Analitička geometrija u ravnini
|
|
- Κύμα Ηλιόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analitička geometrija u ravnini September 5, Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima i i j j i Slika 1: Pravokutni koordinatni sustav u ravnini. promotrimo dvije točke u ravnini: T 1 ( 1, 1 ) i T 2 ( 2, 2 ) 1
2 1 VEKTRI U KRDINATNM SUSTAVU 2 2 d T T Q 1 2 Slika 2: Udaljenost točaka T 1 i T 2 u ravnini. udaljenost d izmed u točaka T 1 i T 2 možemo izračunati pomoću Pitagorinog teorema d 2 = ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 = d = ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 (1) 1.2 Koordinate i duljine vektora u koordinatnom sustavu promatramo točku u ravnini T(, ) T(, ) j i Slika 3: Vektor s hvatištem u ishodištu i krajem u točki. povučemo vektor od ishodišta do točke T T = i + j (2)
3 1 VEKTRI U KRDINATNM SUSTAVU 3 nešto složeniji problem dobijemo ako tražimo koordinate vektora izmed u dvije proizvoljne točke u ravnini označimo s a vektor koji ima početak u točki T 1 ( 1, 1 ) i kraj u točki T 2 ( 2, 2 ) T 2 a T 1 T 2 a a j T 1 a i Slika 4: Vektor s hvatištem u točki T 1 i krajem u točki T 2. iz sl. 4 slijedi T 2 = T 1 + a = a = T 2 T 1 (3) u jedn. (3) uvrstimo poznate izraze T 1 = 1 i + 1 j i T 2 = 2 i + 2 j (4) ( ) a = 2 i + 2 j 1 i + 1 j = ( 2 1 ) i + ( 2 1 ) j (5) vektor a takod er možemo rastaviti na komponente a = a i + a j (6) izraze uz i i j možemo izjednačiti jer su vektori i i j linearno nezavisni = a = 2 1 i a = 2 1 (7) komponentu a dobijemo tako da od koordinate krajnje točke vektora oduzmemo koordinatu njegove početne točke komponentu a dobijemo tako da od koordinate krajnje točke vektora oduzmemo koordinatu njegove početne točke vektor a možemo napisati u obliku a = ( 2 1 ) i + ( 2 1 ) j (8)
4 1 VEKTRI U KRDINATNM SUSTAVU 4 duljina vektora a jednaka je udaljenosti točaka T 1 i T 2 a = a 2 + a 2 = ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 (9) 1.3 komitost vektora želimo izvesti uvjet okomitosti vektora a i b = a + b 1 = 1 a + b 2 Slika 5: komiti vektori a i b. vektor c jednak je razlici vektora a i b c = a b (10) ako su vektori a i b okomiti, vrijedi Pitagorin poučak c 2 = a 2 + b 2 (11) komponente vektora c c = a b i c = a b (12) uvrstimo komponente vektora c u jednadžbu (11) c 2 + c2 = (a b ) 2 + (a b ) 2 = a 2 + b2 2a b + a 2 + b2 2a b (13) sada možemo izvesti uvjet okomitosti vektora a i b a 2 + b 2 2a b + a 2 + b 2 2a b = a 2 + a 2 + b 2 + b 2 (14) = a b + a b = 0 (15)
5 2 JEDNADŽBA PRAVCA 5 u općenitom slučaju vektora u prostoru uvjet okomitosti glasi = a b + a b + a z b z = 0 (16) uvjet (16) ekvivalentan je uvjetu a b = 0 (17) 2 Jednadžba pravca 2.1 Eksplicitni oblik jednadžbe pravca graf polinoma prvog stupnja predstavlja pravac u ravnini f() = a + b (18) da bi konstruirali graf funkcije (18) dovoljno je nacrtati dvije točke s koordinatama T(, f()) i provući pravac kroz njih Primjer: f() = 2 1 potrebne su nam dvije točke za konstrukciju grafa: T 1 ( 1, f( 1 )) i T 2 ( 2, f( 2 )) npr., možemo izabrati 1 = 0 i 2 = 1 = T 1 (0, 1) i T 2 (1, 1) (19) kroz točke povučemo pravac
6 2 JEDNADŽBA PRAVCA 6 = 2 1 T 2 (1, 1) T 1 (0, 1) Slika 6: Konstrukcija pravca. jednadžbu () = a + b (20) obično zovemo eksplicitni oblik jednadžbe pravca p parametar a zovemo koeficijent smjera pravca p koeficijent b odgovara odsječku pravca p na osi ( = 0) = a 0 + b = b (21) = a + b b = ( = 0) Slika 7: dsječak pravca na osi.
7 2 JEDNADŽBA PRAVCA 7 koeficijent smjera mjeri nagib pravca ako je koeficijent smjera pozitivan funkcija f() = a + b je strogo rastuća 1 < 2 = f( 1 ) < f( 2 ) (22) ako je koeficijent smjera negativan funkcija f() = a + b je strogo padajuća 1 < 2 = f( 1 ) > f( 2 ) (23) a = 2 a = 1 a = 1 2 a = 1 2 a = 2 a = 1 Slika 8: Primjeri pravaca s različitim koeficijentima smjera. što je apsolutna vrijednost koeficijenta smjera veća, pravac brže raste ili pada pravci = a 1 + b 1 i = a 2 + b 2 su paralelni ako su ima koeficijenti smjera jednaki tj. ako vrijedi a 2 = a 1 (24) pravci = a 1 + b 1 i = a 2 + b 2 su okomiti ako vrijedi a 2 = 1 a 1 (25)
8 2 JEDNADŽBA PRAVCA 8 = a + b 2 = a + b 1 = a + b 1 = 1 a + b 2 Slika 9: Primjer paralelnih i okomitih pravaca. 2.2 Implicitni oblik jednadžbe pravca prvo ćemo izvesti jednadžbu pravca za koji je zadan koeficijent smjera i jedna točka kroz koju pravac prolazi označimo zadanu točku s T 1 ( 1, 1 ) pravac prolazi kroz točku T 1 pa sigurno vrijedi 1 = a 1 + b = b = 1 a 1 (26) parametar b uvrstimo u jedn. 20 i dolazimo do jednadžbe pravca s koeficijentom smjera a koji prolazi kroz točku T 1 ( 1, 1 ) = a + b = = a + 1 a 1 = 1 = a( 1 ) (27) u sljedećem koraku izvodimo jednadžbu pravca ako su nam zadane dvije točke kroz koje pravac prolazi T 1 ( 1, 1 ) i T 2 ( 2, 2 ) pravac prolazi kroz točke T 1 i T 2 pa sigurno vrijedi iz jedn. (28) izrazimo odsječak b i uvrstimo ga u jedn. (29) 1 = a 1 + b (28) 2 = a 2 + b (29) b = 1 a 1, (30) 2 = a a 1 = a( 2 1 ) = 2 1 (31)
9 3 KRIVULJE DRUGG REDA 9 pod uvjetom da vrijedi 1 2 možemo napisati a = (32) jednadžba pravca koji prolazi kroz točke T 1 ( 1, 1 ) i T 2 ( 2, 2 ) glasi 3 Krivulje drugog reda 3.1 Kružnica 1 = ( 1 ) (33) pretpostavimo da u ravnini leži točka C i da je zadan realni broj r skup svih točaka u rvnini koje su od točke C udaljene za r zovemo kružnica radijusa r točka C je središte kružnice u najjednostavnijem slučaju kružnica ima središte u ishodištu udaljenost točke T(, ) od ishodišta d(t, ) = (34) jednadžba kružnice radijusa r sa središtem u ishodištu glasi d(t, ) = r = = r = = r 2 (35) r T(, ) Slika 10: Kružnica radijusa r sa središtem u ishodištu
10 3 KRIVULJE DRUGG REDA Elipsa Definicija elipse pretpostavimo da u ravnini leže dvije točke F 1 i F 2 udaljene za d(f 1, F 2 ) 2c (36) neka je a realan broj za koji vrijedi a > 1 2 d(f 1, F 2 ) = a > c (37) skup svih točaka ravnine za koje zbroj udaljenosti od točaka F 1 i F 2 iznosi 2a zovemo elipsa d(f 1, T) + d(f 2, T) d 1 + d 2 = 2a, (38) T d 1 d 2 F 1 F 2 Slika 11: Primjer elipse Konstrukcija elipse želimo konstruirati elipsu kojoj su zadani fokusi, kao i zbroj udaljenosti točke elipse od fokusa nacrtamo točke F 1 i F 2 u ravnini, pravac p koji prolazi kroz njih i točku koja se nalazi na polovištu dužine F 1 F 1 udaljenost točaka F 1 i F 2 iznosi 2c
11 3 KRIVULJE DRUGG REDA 11 c F 1 F 2 p Slika 12: Prvi korak pri konstrukciji elipse nacrtamo kružnicu radijusa a sa središtem u točki kružnica siječe pravac p u točkama A 1 i A 2 a A 2 F 2 F 1 A 1 p Slika 13: Drugi korak pri konstrukciji elipse udaljenost točke A 1 od fokusa F 1 d(a 1, F 1 ) = A 1 F 1 = A 1 F 1 = a c (39) udaljenost točke A 1 od fokusa F 2 d(a 1, F 2 ) = A 1 F 2 = A 1 + F 2 = a + c (40) zbroj udaljenosti točke A 1 od fokusa d(a 1, F 1 ) + d(a 1, F 2 ) = a c + a + c = 2a (41)
12 3 KRIVULJE DRUGG REDA 12 točka A 1 se očito nalazi na elipsi istim postupkom bi zaključili da se i točka A 2 nalazi na elipsi u sljedećem koraku odaberemo bilo koju točku T na dužini F 1 F 2 oko točke F 1 opišemo kružnicu radijusa d 1 = d(a 1, T), a oko točke F 2 kružnicu radijusa d 2 = d(a 2, T) T 1 d 1 d 2 A 1 F 1 T F 2 A 2 p T 2 Slika 14: Treći korak pri konstrukciji elipse dvije kružnice se sijeku u točkama T 1 i T 2 promotrimo točku T 1 zbroj udaljenosti točke T 1 od fokusa F 1 i F 2 iznosi d(f 1, T 1 ) + d(f 2, T 1 ) = d 1 + d 2 = d(a 1, T) + d(a 2, T) = d(a 1, A 2 ) = 2a (42) jednako tako vrijedi d(f 1, T 2 ) + d(f 2, T 2 ) = d 1 + d 2 = d(a 1, T) + d(a 2, T) = d(a 1, A 2 ) = 2a (43) točke T 1 i T 2 takod er pripadaju elipsi sada oko točke F 1 opišemo kružnicu radijusa d(a 2, T), a oko točke F 2 kružnicu radijusa d(a 1, T)
13 3 KRIVULJE DRUGG REDA 13 T 3 d 1 d 2 A 1 F 1 T F 2 A 2 p T 4 Slika 15: Četvrti korak pri konstrukciji elipse dvije kružnice sijeku se u točkama T 3 i T 4 promotrimo točku T 3 zbroj udaljenosti točke T 3 od fokusa F 1 i F 2 iznosi d(f 1, T 3 ) + d(f 2, T 3 ) = r 1 + r 2 = d(a 2, T) + d(a 1, T) = d(a 2, A 1 ) = 2a (44) jednako tako vrijedi d(f 1, T 4 ) + d(f 2, T 4 ) = r 1 + r 2 = d(a 2, T) + d(a 1, T) = d(a 2, A 1 ) = 2a (45) točke T 3 i T 4 takod er pripadaju elipsi odabirom različitih točaka T možemo odrediti više točaka elipse i spojiti ih T 3 T 3 T 1 T 1 T 3 T 1 A 2 A 1 T 4 T 2 T 4 T 4 T 2 T 2 Slika 16: Konstrukcija elipse.
14 3 KRIVULJE DRUGG REDA Svojstva elipse osnovni pojmovi vezani uz elipsu fokusi ili žarišta elipse: točke F 1 i F 2 središte elipse: polovište dužine F 1 F 2 Fokusi F 1 F 2 Središte Slika 17: Fokusi i središte elipse. prva glavna os elipse: pravac kroz fokuse druga glavna os elipse: pravac okomit na prvu glavnu os koji prolazi kroz središte elipse tjemena ili vrhovi elipse: sjecišta elipse s glavnim osima Glavne osi B 2 Tjemena elipse A 1 A 2 B 1 Slika 18: Glavne osi i tjemena elipse. linearni ekscentricitet elipse: c = d(f 1, F 2 )/2 velika poluos elipse: a = d(, A 1 ) = d(, A 2 )
15 3 KRIVULJE DRUGG REDA 15 mala poluos elipse: b = d(, B 1 ) = d(, B 2 ) Velika poluos b a Mala poluos Slika 19: Velika i mala poluos elipse. numerički ekscentricitet elipse: e = c/a koristeći definiciju elipse možemo izvesti relaciju koja povezuje malu poluos, veliku poluos i udaljenost fokusa od ishodišta T a b a F 2 c F 1 promotrimo točku T na sl. 20 Slika 20: Dokaz relacije a 2 = b 2 + c 2. trokut F 1 F 2 T je jednakokračan, a zbroj udaljenosti točke T od fokusa iznosi 2a duljina svakog kraka trokuta F 1 F 2 T mora biti jednaka a sada primjenimo Pitagorin poučak na trokut TF 1 slijedi relacija izmed u velike poluosi a, male poluosi b i koordinate fokusa c a 2 = b 2 + c 2 (46)
16 3 KRIVULJE DRUGG REDA Jednadžba elipse ako su a i b poluosi elipse i ako se osi koordinatnog sustava poklapaju s glavnim osima elipse, tada jednadžba elipse glasi trebamo dokazati dvije tvrdnje 2 a b 2 = 1 (47) Tvrdnja 1: ako točka T(, ) pripada elipsi njezine koordinate zadovoljavaju jedn. (47) točka T prema pretpostavci pripada elipsi to znači da zbroj udaljenosti točke T od fokusa iznosi 2a d(t, F 1 ) + d(t, F 2 ) = 2a (48) koordinate fokusa F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) (49) udaljenost točke od fokusa d(t, F 1 ) = ( + c) i d(t, F 2 ) = ( c) (50) jedn. (48) prelazi u ( + c) ( c) = 2a (51) jedan od korijena prebacimo na desnu stranu jednadžbe ( + c)2 + 2 = 2a ( c) (52) kvadriramo gornju jednadžbu ( + c) = 4a 2 4a ( c) ( c) (53) 2 + 2c + c = 4a 2 4a ( c) c + c (54) 2c = 4a 2 4a ( c) c (55) 4a ( c) = 4a 2 4c (56) a [ 2 ( c) 2 + 2] = (a 2 c) 2 (57) a [ 2 2 2c + c 2 + 2] = a 4 2a 2 c + 2 c 2 (58) a 2 2 2a 2 c + a 2 c 2 + a 2 2 = a 4 2a 2 c + 2 c 2 (59) 2 (a 2 c 2 ) + a 2 2 = a 2 (a 2 c 2 ) (60)
17 3 KRIVULJE DRUGG REDA 17 iskoristimo relaciju izmed u velike i male poluosi b 2 = a 2 c 2 = 2 b a 2 = a 2 b 2 (61) podijelimo prethodnu jednadžbu s a 2 b 2 i dolazimo do jednadžbe koju smo trebali pokazati 2 a b 2 = 1 (62) Tvrdnja 2: ako koordinate točke T(, ) zadovoljavaju jedn. (47) onda točka pripada elipsi trebamo pokazati da zbroj udaljenosti točke T od fokusa iznosi 2a udaljenost točke T od fokusa F 1 d(t, F 1 ) 2 = ( + c) = 2 + 2c + c (63) koordinate točke zadovoljavaju jedn. (47) udaljenost od fokusa 2 a b 2 = 1 = 2 = b 2 b2 a 22 (64) d(t, F 1 ) 2 = 2 + 2c + c 2 + b 2 b2 a 22 = 2a2 b 2 a 2 + 2c + c 2 + b 2 (65) iskoristimo relaciju b 2 = a 2 c 2 ( d(t, F 1 ) 2 = c2 c ) 2 + 2c + a 2 = a 22 a + a (66) jednakim postupkom bi došli do udaljenosti točke T od drugog fokusa d(t, F 2 ) 2 = ( a c a ) 2 (67) dakle, zbroj udaljenosti zaista iznosi 2a d(t, F 1 ) + d(t, F 2 ) = (a + c ) a + (a c ) a = 2a (68)
18 3 KRIVULJE DRUGG REDA Hiperbola Definicija hiperbole pretpostavimo da u ravnini leže dvije točke F 1 i F 2 udaljene za d(f 1, F 2 ) = 2c (69) neka je a realan broj za koji vrijedi a < 1 2 d(f 1, F 2 ) = a < c (70) skup svih točaka ravnine za koje apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od točaka F 1 i F 2 iznosi 2a zovemo hiperbola d(f 1, T) d(f 2, T) = 2a, (71) T(, ) d 2 d 1 F 2 F 1 Slika 21: Primjer hiperbole Konstrukcija hiperbole želimo konstruirati hiperbolu kojoj su zadani fokusi, kao i razlika udaljenosti točke hiperbole od fokusa nacrtamo točke F 1 i F 2 u ravnini, pravac p koji prolazi kroz njih i točku koja se nalazi na polovištu dužine F 1 F 1 udaljenost točaka F 1 i F 2 iznosi 2c
19 3 KRIVULJE DRUGG REDA 19 F 1 F 2 c p Slika 22: Prvi korak pri konstrukciji hiperbole nacrtamo kružnicu radijusa a sa središtem u ishodištu sustava kružnica siječe pravac p u točkama A 1 i A 2 udaljenost točke A 1 od fokusa F 1 d(a 1, F 1 ) = d(, F 1 ) d(, A 1 ) = c a (72) udaljenost točke A 1 od fokusa F 2 apsolutna vrijednost razlika udaljenosti točka A 1 očito pripada hiperboli d(a 1, F 2 ) = d(, F 2 ) + d(, A 1 ) = c + a (73) d(a 1, F 1 ) d(a 1, F 2 ) = c a c a = 2a (74) jednakim postupkom bi pokazali da točka A 2 takod er pripada hiperboli sada odaberemo točku T koja leži na pravcu p, ali se nalazi izvan dužine F 1 F 2 nacrtamo jednu kružnicu radijusa d(t, A 1 ) sa središtem u fokusu F 1 i drugu kružnicu radijusa d(t, A 2 ) sa središtem u fokusu F 2 dvije kružnice se sijeku u točkama T 1 i T 2 udaljenost točaka T 1 i T 2 od fokusa F 1 jednaka je radijusu prve kručnice d(t, A 1 ) = d(, T) d(, A 1 ) = d(, T) a (75)
20 3 KRIVULJE DRUGG REDA 20 udaljenost točaka T 1 i T 2 od fokusa F 2 jednaka je radijusu druge kručnice d(t, A 2 ) = d(, T) + d(, A 2 ) = d(, T) + a (76) apsolutna vrijednost razlike udaljenosti u oba slučaja iznosi d(t, A 1 ) d(t, A 2 ) = d(t, ) a d(t, ) a = 2a (77) točke T 1 i T 2 pripadaju elipsi u sljedećem koraku nacrtamo jednu kružnicu radijusa d(t, A 1 ) sa središtem u fokusu F 2 i drugu kružnicu radijusa d(t, A 2 ) sa središtem u fokusu F 1 dvije kružnice se sijeku u točkama T 3 i T 4 jednakim postupkom kao u prethodnom koraku pokazali da točke T 3 i T 4 pripadaju hiperboli ako postupak ponovimo za više točaka T doći ćemo do niza točaka koje pripadaju hiperboli, a time i do same hiperbole Svojstva hiperbole osnovni pojmovi vezani uz hiperbolu fokusi ili žarišta hiperbole: točke F 1 i F 2 središte hiperbole: polovište dužine F 1 F 2 Fokusi Središte F 1 F 2 Slika 23: Fokusi i središte hiperbole. prva glavna os hiperbole: pravac kroz fokuse
21 3 KRIVULJE DRUGG REDA 21 druga glavna os hiperbole: pravac okomit na prvu glavnu os koji prolazi kroz središte hiperbole tjemena ili vrhovi hiperbole: sjecišta hiperbole s glavnim osima Glavne osi Tjemena hiperbole T 1 T 2 Slika 24: Glavne osi i tjemena hiperbole. linearni ekscentricitet hiperbole: c = d(f 1, F 2 )/2 velika poluos hiperbole: a = d(, A 1 ) = d(, A 2 ) mala poluos hiperbole: b = d(, B 1 ) = d(, B 2 ) Velika poluos Mala poluos a b Slika 25: Velika i mala poluos hiperbole. numerički ekscentricitet hiperbole: e = c/a Jednadžba hiperbole pretpostavimo da se osi koordinatnog sustava poklapaju s glavnim osima hiperbole i da fokusi hiperbole pritom leže na osi
22 3 KRIVULJE DRUGG REDA 22 jednadžba hiperbole tada glasi trebamo pokazati dvije tvrdnje 2 a 2 2 b 2 = 1 (78) Tvrdnja 1: ako točka T(, ) pripada hiperboli, njezine koordinate vezane su jednadžbom (78) točka T prema pretpostavci pripada hiperboli pa vrijedi d(f 1, T) d(f 2, T) = 2a (79) koordinate fokusa: F 1 = (c, 0) i F 2 = ( c, 0) udaljenost točke T(, ) od fokusa iznosi d(f 1, T) = ( c) i d(f 2, T) = ( + c) (80) pretpostavimo prvo da vrijedi d(f 1, T) > d(f 2, T) d(f 1, T) d(f 2, T) = 2a = ( c) ( + c) = 2a (81) prebacimo jedan od korijena na drugu stranu jednadžba i kvadriramo je ( c)2 + 2 = ( + c) a (82) ( c) = ( + c) a ( + c) a 2 (83) 2 2c + c 2 = 2 + 2c + c 2 + 4a ( + c) a 2 (84) 4c 4a 2 = 4a ( + c) (85) c + a 2 = a ( + c) (86) 2 c 2 + 2a 2 c + a 4 = a 2 ( + c) 2 + a 2 2 (87) 2 c 2 + 2a 2 c + a 4 = a a 2 c + a 2 c 2 + a 2 2 (88) 2 (c 2 a 2 ) a 2 2 = a 2 (c 2 a 2 ) (89) 2 b 2 a 2 2 = a 2 b 2 (90) 2 a 2 2 b 2 = 1 (91)
23 3 KRIVULJE DRUGG REDA Parabola Definicija parabole pretpostavimo da u ravnini leže točka F i pravac p skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od točke F i pravca p zovemo parabola Konstrukcija parabole želimo konstruirati parabolu kojoj su zadani fokus F i direktrisa ρ pritom udaljenost fokusa od direktrise iznosi p prvi korak je da povučemo okomicu na direktrisu ρ koja prolazi kroz fokus F F p Q ρ Slika 26: Prvi korak konstrukcije parabole točka koja se nalazi na polovištu dužine FQ jednako je udaljena od fokusa i direktrise (za p/2) pa se sigurno nalazi na paraboli u drugom koraku kroz fokus povučemo paralelu s direktrisom (označimo je s t) i nacrtamo kružnicu radijusa p sa središtem u fokusu F kružnica siječe pravac t u točkama T 1 i T 2 obje točke su udaljene za p od fokusa jer se nalaze na kružnici istovremeno su obje udaljene za p od direktrise jer se nalaze na pravcu t
24 3 KRIVULJE DRUGG REDA 24 stoga obje točke pripadaju paraboli T 2 F T 1 Q ρ Slika 27: Drugi korak konstrukcije parabole treći korak konstrukcije parabole započinjemo odabirom proizvoljne točke T koja je smještena na okomici, ali iznad fokusa kroz točku T provučemo paralelu s direktrisom (označimo je s t) i nacrtamo kružnicu radijusa d(t, Q) kružnica siječe pravac t u točkama T 1 i T 2 točke T 1 i T 2 su udaljene za d(t, Q) od fokusa jer se nalaze na kružnici istovremeno su udaljene za d(t, Q) od direktrise jer se nalaze na pravcu t zaključujemo da se i točke T 1 i T 2 nalaze na paraboli
25 3 KRIVULJE DRUGG REDA 25 T T 2 T 2 F T 1 T 1 Q ρ Slika 28: Treći korak konstrukcije parabole ako postupak ponovimo s drugačijim odabirom točke T dolazimo do još dvije točke parabole T 2 T 1 T 2 T 1 T F 2 Q T 1 ρ Slika 29: Četvrti korak konstrukcije parabole na kraju točke spojimo u parabolu
26 3 KRIVULJE DRUGG REDA 26 T 2 T 1 T 2 T 1 T2 F T 1 Q ρ Slika 30: Dovršetak konstrukcije parabole Elementi parabole fokus i tjeme parabole fokus je točka iz definicije parabole: sve točke koje leže na paraboli su jednako udaljene od fokusa i ravnalice ili direktrise tjeme je točka koja je najbliže fokusu, a time i ravnalici fokus d T tjeme F Q d p Slika 31: Fokus i tjeme parabole. os parabole: pravac koji dijeli parabolu na dva jednaka dijela ravnalica ili direktrisa: sve točke koje leže na paraboli su jednako udaljene od fokusa i ravnalice ili direktrise
27 3 KRIVULJE DRUGG REDA 27 os parabole d T ravnalica F d Q p Slika 32: Fokus i tjeme parabole. parametar parabole: udaljenos fokusa od ravnalice (direktrise) parametar parabole obično označavamo s p odmah slijedi da je udaljenost fokusa od tjemena p/2, kao i udaljenost tjemena od ravnalice d T parametar parabole F p/2 p/2 d Q p Slika 33: Parametar parabole Jednadžba parabole ako je ishodište koordinatnog sustava u tjemenu parabole, a os parabole leži na osi, parabola ima jednadžbu oblika = 1 2p 2 (92)
28 3 KRIVULJE DRUGG REDA 28 d T(, ) F p/2 p/2 d Q p Slika 34: Izvod jednadžbe parabole. trebamo dokazati dvije tvrdnje Tvrdnja 1: ako točka T(, ) pripada paraboli tj. ako je njena udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise p, za koordinate točke vrijedi = 1 2p 2 (93) točka T(, ) prema pretpostavci pripada paraboli pa je udaljenost točke od fokusa jednaka udaljenosti točke od direktrise d(f, T) = d(ρ, T) (94) ishodište sustava se nalazi u tjemenu parabole pa jednadžba direktrise glasi = p 2, (95) dok su koordinate fokusa F ( 0, p ) 2 (96) udaljenost točke T(, ) od direktrise udaljenost točke T(, ) od fokusa d(f, T) = d(ρ, T) = + p 2 (97) 2 + ( p 2) 2 (98)
29 3 KRIVULJE DRUGG REDA 29 uvjet (94) svodi se na 2 + ( p ) 2 p = (99) kvadriramo prethodnu jednadžbu 2 + ( p ) 2 ( = + p 2 (100) 2 2) p + p2 4 = 2 + p + p2 4 (101) 2 = 2p (102) koordinate točke T(, ) zaista su vezane relacijom = 1 2p 2 (103) Tvrdnja 2: ako za točku T(, ) vrijedi onda je točka T element parabole udaljenost točke od fokusa (vidi sliku 34) iznosi = 1 2p 2 (104) d 2 1 = 2 + ( p 2) 2 (105) uvrstimo vezu izmed i (104) i kvadriramo izraz u zagradi ( d 2 1 = 2p + 2 p + p2 p ) 2 ( 4 = 2 + p + = + p 2 (106) 2 2) udaljenost točke T od ravnalice (vidi sliku 34) iznosi d 2 = + p 2 (107) udaljenosti d 1 i d 2 su jednake točka T je jednako udaljena od fokusa i ravnalice pa se nalazi na paraboli
30 4 TRANSFRMACIJE KRDINATNG SUSTAVA 30 4 Transformacije koordinatnog sustava 4.1 Translacija koordinatnog sustava pretpostavimo da u ravnini leže koordinatni sustavi S i S položaj ishodišta sustava S u sustavu S odred en je vektorom = 0 i + 0 j (108) T ( 0, 0 ) Slika 35: Translacija koordinatnog sustava. položaj točke T u sustavu S odred en je vektorom položaj iste točke u sustavu S odred en je vektorom T = i + j (109) T = i + j (110) za svaku točku T vrijedi T = + T (111) uvrstimo jednadžbe (108), (109) i (110) u prethodni izraz i + j = i + j + 0 i + 0 j (112) jedinični vektori su linearno nezavisni pa možemo izjednačiti izraze uz i i j = + 0 i = + 0 (113)
31 4 TRANSFRMACIJE KRDINATNG SUSTAVA 31 našli smo formule za transformacije koordinata pri translaciji koordinatnog sustava = 0 i = 0 (114) = 0 i = 0 (115) formule (114) i (115) omogućuju povezivanje koordinata točke T u novom (S ) i starom sustavu (S) 4.2 Rotacija koordinatnog sustava pretpostavimo da koordinatni sustavi S i S leže u istoj ravnini, imaju zajedničko ishodište i da kut izmed u osi i (tj. i ) iznosi φ φ 90 0 φ j j i i φ Slika 36: Rotacija koordinatnog sustava u ravnini. točka T ima koordinate (, ) u sustavu S, dok su njene koordinate u sustavu S (, ) želimo povezati koordinate u sustavima S i S skalarni produkt jediničnih vektora u sustavima S i S i i = cos φ (116) j j = cos φ (117) i j = cos ( φ) = sin φ (118) j i = cos (90 0 φ) = sin φ (119) za općeniti vektor a vrijedi a = ( a i) i + ( a j) j (120)
32 5 ZADACI ZA VJEŽBU 32 primjenimo prethodnu formulu na jedinične vektore i i j i = ( i i) i + ( i j) j = cos φ i + sin φ j (121) j = ( j i) i + ( j j) j = sin φ i + cos φ j (122) točki T u sustavu S pridružene su koordinate (, ), a točki T koordinate (, ) vektor s hvatištem u ishodištu i krajem u točki T možemo napisati u oba sustava T = i + j = i + j (123) pomnožimo jednadžbu (123) s jediničnim vektorom i = i i + j i = cos φ + sin φ (124) pomnožimo jednadžbu (123) s jediničnim vektorom j jednadžbe transformacije možemo invertirati = i j + j j = sin φ + cosφ (125) = cosφ + sin φ (126) = sin φ + cosφ (127) = cosφ sin φ (128) = sin φ + cosφ (129) 5 Zadaci za vježbu Zadatak 1: Neka sustav S nastaje iz sustava S translacijom ishodišta za vektor 2 i + j i onda rotacijom za kut φ = U sustavu S nad i jednadžbu pravca = 0. Rješenje: ( ) + (2 3) + 14 = 0
33 5 ZADACI ZA VJEŽBU 33 Zadatak 2: Neka sustav S nastaje iz sustava S translacijom ishodišta za vektor 2 i + j i onda rotacijom za kut φ = U sustavu S nad i jednadžbu kružnice ( 1) 2 + ( + 3) 2. Rješenje: ( ) 2 + ( ) 2 = 4 Zadatak 3: Neka sustav S nastaje iz sustava S translacijom ishodišta za vektor 2 i + j i onda rotacijom za kut φ = U sustavu S nad i jednadžbu elipse Zadatak 4: = 1. Neka sustav S nastaje iz sustava S translacijom ishodišta za vektor 2 i + j i onda rotacijom za kut φ = U sustavu S nad i jednadžbu hiperbole = 1. Zadatak 5: Neka sustav S nastaje iz sustava S translacijom ishodišta za vektor 2 i + j i onda rotacijom za kut φ = U sustavu S nad i jednadžbu parabole = 2 2.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα3. KRIVULJE DRUGOG REDA
3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα(r, φ) φ x. Polarni sustav
olarnom u oložaj točke u ravnini možemo definirati omoću udaljenosti r od ishodišta i kuta φ koji sojnica ishodišta i točke zatvara s osi φ r (r, φ) kut φ je o konvenciji ozitivan ako ga mijenjamo u smjeru
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραAB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija prostora
Analitička geometrija prostora Franka Miriam Brückler U analitičkog geometriji u ravnini se pomoću koordinata (uredenih parova realnih brojeva) proučavaju točke ravnine i njihovi jednodimenzionalni skupovi:
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραJoš neki dokazi leptirovog teorema
POUČAK 50 Još neki dokazi leptirovog teorema Šefket Arslanagić, Alija Muminagić U [] su dana četiri razna dokaza Leptirovog teorema (Butterfly s theorems), od kojih su dva čisto planimetrijska, jedan je
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότερα4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα2 Mature i državni ispiti iz matematike u europskim zemljama ( a) 4,zaa = 2 i. 27b. b = 3. 2 x sin. 2 +x. 1. Mature u Sloveniji
Ljetni rok, 995. godine Osnovna razina Zadatak. Ako od broja b oduzmemo dvokratnik broja a, dobije se 2. Ako se peterokratnik broja a umanji za (b + ), dobije se 6. Izračunajte brojeve a i b. Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραNASTAVNI PREDMET: MATEMATIKA 3
GIMNZIJ I STRUKOVN ŠKOL JURJ DORILE PZIN NSTVNI PREDMET: MTEMTIK nalitiča geometrija u ravnini. GORTN ROERT..00 Nastavno pismo NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU TLI SDRŽJ. NLITIČK GEOMETRIJ
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραOrtogonalne transformacije
Promatramo dva koordinatna S i S sa zajedničkim ishodištem z x z k i x k i j j y y jedinične vektore koordinatnog S možemo izraziti pomoću jediničnih vektora koordinatnog S i = ( i i) i + ( i j) j + (
Διαβάστε περισσότερα