Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Transcript

1 Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja enačba imenuje nasprotnem primeru pa se enačba imenuje nehomogena homogena v Linearno diferencialno enačbo reda lahko rešimo na več načinov V nadaljevanju si bomo ogledali metodo z imenom metoda variacije konstante Po tej metodi moramo najprej prvotni enačbi prirediti homogeno enačbo dz + pz=0 ki predstavlja diferencialno enačbo z ločljivima spremenljivkama Ko jo integriramo dobimo: ln z+ p = ln od koder preberemo rešitev: z= e p ( ) Na ta način smo dobili splošno rešitev prirejene homogene enačbe Rešitev nehomogene enačbe poiščemo sedaj tako da ne jemljemo več kot konstanto temveč kot novo neznano funkcijo to pomeni da rešitev iščemo v obliki = e p

2 Ker je d d = e pe dobimo iz prvotne enačbe ali e p d p pe +pe = f p p p d = f e p od koder dobimo z integracijo e f + p = Splošna rešitev nehomogene enačbe je zato p [ ] e p ( ) = e f + Primer 5: Rešimo linearno diferencialno enačbo reda: REŠITEV: + cos= sin! Najprej moramo rešiti pripadajočo homogeno enačbo ki se v tem primeru glasi: z + cosz= 0 3

3 Gornjo enačbo zapišemo v obliki: dz z jo integriramo: =cos ln z = sin + ln in dobimo rešitev prirejene homogene diferencialne enačbe: z= e sin Rešitev nehomogene enačbe bomo po metodi variacije konstante poiskali z nastavkom oblike = e sin e sin = e cos sin Sedaj od tod izračunamo še odvod in oboje vstavimo v prvotno enačbo: sin sin sin e e cos+ e cos= sin oziroma po ureditvi: d sin sin = e sin = e sin cos Od tod še: sin d= e sin cos= e sin d(sin ) Z integracijo obeh strani dobimo: sin = e sin + sin Če sedaj vstavimo dobljeni izraz za v rešitev homogene enačbe dobimo končno splošno rešitev prvotne enačbe v obliki: sin = sin + e 4

4 Primer 6: Rešimo še enačbo: + = ln! REŠITEV: Prirejena homogena enačba se glasi: z + z= 0 Ker gre za diferencialno enačbo z ločljivima spremenljivkama jo znamo brez težav rešiti Najprej jo prepišemo v obliko: dz dz+ z = 0 + = 0 z ki jo lahko integriramo in dobimo: z= z= Rešitev nehomogene enačbe bo po nastavku enaka: = Velja (izračunamo odvod): = Postavimo gornja izraza v enačbo ki jo rešujemo in dobimo: + = ln ( ) ( ) + = ln d = ln = ln = ln + 5

5 Splošna rešitev enačbe se torej glasi: = ln + 4 Bernoullijeva diferencialna enačba Diferencialna enačba prvega reda ki ima obliko + p = f α α pri čemer je α realna konstanta se imenuje Bernoullijeva enačba Enačbo rešujemo tako da najprej obe strani enačbe najprej delimo z α Na ta način dobimo: + p = f α α Sedaj uvedemo novo spremenljivko u = u v obliki: u= α Njen odvod se glasi: u = ( α) α Ko to upoštevamo v prvotni enačbi jo lahko zapišemo v obliki: ( α) pu ( α) + = f Johann Bernoulli ( ) - švicarski matematik 6

6 Dobljena enačba je linearna diferencialna enačba prvega reda za neznano funkcijo u ki jo že znamo rešiti Primer 7: Poiščimo splošno rešitev enačbe ( ) + = +! REŠITEV: Ko to enačbo zapišemo v obliki: d = + + vidimo da gre za Bernoullijevo enačbo Najprej jo bomo delili z : d = + + in nato vpeljali novo spremenljivko u = d preide enačba v obliko: + u = + + = Ker je odvod: Dobili smo linearno diferencialno enačbo I reda ki jo bomo rešili z metodo variacije konstante Splošno rešitev pripadajoče homogene enačbe: dv + + v = 0 dobimo tako da ločimo spremenljivki in enačbo integriramo: 7

7 dv v ( ) = lnv = ln + + ln + ter uredimo: v = + Rešitev nehomogene enačbe iščemo v obliki u= v pri čemer postavimo = Izračunamo: = d ( ) in vstavimo v nehomogeno enačbo Po ureditvi dobimo: d = + + od tod pa sledi: + = + = + + ln Rešitev nehomogene enačbe za spremenljivko u = u() je torej: u = + ln ( + + ) Ko v ta izraz še vstavimo nazaj prvotno spremenljivko dobimo končno rešitev: = + ln ( + + )