Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Transcript

1 Εισαγωγή στην Εκτιμητική

2 Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση του δείγματος (στατιστικό); Ποιο είναι το μέγεθος του σφάλματος; x, s 2, s, p Υπάρχει υπερεκτίμηση ή υποεκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου του πληθυσμού;

3 Πληθυσμός κ δείγματα μεγέθους n μ χ 1 χ 2 χ 4 χ κ χ 3 Η κατανομή των μέσων αριθμητικών των κ δειγμάτων αποτελεί την κατανομή δειγματοληψίας των δειγματικών μέσων. Όσο αυξάνει το μέγεθος n η κατανομή αυτή προσεγγίζει την κανονική κατανομή με μέση τιμή Ε(x) και τυπική απόκλιση ** Συνήθως το σ είναι άγνωστο και αντικαθίσταται από το s σ x (τυπικό σφάλμα του μέσου) Κεντρικό οριακό θεώρημα : Όποια και αν είναι η κατανομή του πληθυσμού ως προς την μεταβλητή x οι δειγματικοί μέσοι ακολουθούν την κανονική κατανομή. n

4 Επιγραμματικά: Ο πληθυσμός είναι κανονικός -- Η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου είναι κανονική ανεξάρτητα από το μέγεθος του δείγματος. Η κατανομή του πληθυσμού είναι περίπου συμμετρική -- Η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου προσεγγίζει την κανονική κατανομή για δείγματα μεγέθους τουλάχιστον 15 παρατηρήσεων (n > 15). Ανεξάρτητα από την κατανομή του πληθυσμού -- Η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου προσεγγίζει την κανονική κατανομή για δείγματα μεγέθους τουλάχιστον 30 παρατηρήσεων (n > 30).

5 Παρaδείγματα Οι βαθμοί των εξετάσεων κατανέμονται κανονικά με μέση τιμή μ = 5 και τυπική απόκλιση σ = 1. Ποια είναι η πιθανότητα ένας φοιτητής να πάρει βαθμό μεγαλύτερο από 6.5; Η μέση βαθμολογία μιας τάξης 20 φοιτητών να είναι μεγαλύτερη από 6.5; P ( x 6.5) P ( z ) P ( z 1.5) 1 P ( z 1.5) % P ( x 6.5) P ( z ) P ( z 6.7) 1 P ( z 6.7) 1/ 20 Ένα εξάρτημα ιατρικού μηχανήματος έχει κατά μέσο όρο 500 ώρες διάρκεια λειτουργίας με τυπική απόκλιση 200 ώρες. Αν ελέγξουμε ένα δείγμα από 16 εξαρτήματα, ποια είναι η πιθανότητα η μέση τιμή της διάρκειας λειτουργίας του δείγματος να είναι μικρότερη από 460 ώρες; x N (500,50), / n 200/ P ( x 460) P ( z ) P ( z 0.8) % 50

6 Κατανομή δειγματοληψίας ποσοστού (ή αναλογίας) Έστω p η αναλογία ή ποσοστό «επιτυχιών» στον πληθυσμό και p η αναλογία των επιτυχιών στο δείγμα π.χ. αναλογία ή ποσοστό των ατόμων που δηλώνουν προτίμηση για ένα προϊόν. Η αναλογία (ή ποσοστό) μεταβάλλεται σε κάθε δείγμα και αποτελεί τυχαία μεταβλητή της οποίας η κατανομή είναι διωνυμική. Όταν το μέγεθος του δείγματος αυξάνει (n>30) η κατανομή πιθανότητας του p προσεγγίζει την κανονική και ισχύει: (1 ) p' N p, p p n Σ ένα πληθυσμό το 40% ψηφίζει το κόμμα Α και το 60% το κόμμα Β. Ποια είναι η πιθανότητα σε τυχαίο δείγμα 100 ατόμων η πλειοψηφία να ψηφίζει το κόμμα Α P ( p' 0.5) P ( z ) P ( z 2) 1 P ( z 2) (0.4x 0.6)/100

7 Διαστήματα εμπιστοσύνης Έστω θ η τιμή μιας παραμέτρου του πληθυσμού. Με βάση τα δεδομένα ενός δείγματος προσδιορίζεται ένα διάστημα (z 1, z 2 ) το οποίο περιέχει την παράμετρο θ που θέλουμε να εκτιμήσουμε με μια καθορισμένη εκ των προτέρων πιθανότητα, δηλαδή P(z 1 <θ<z 2 ) = 1-α. Διάστημα Εμπιστοσύνης (Confidence Interval): το διάστημα (z 1, z 2 ) Όρια εμπιστοσύνης του διαστήματος (Confidence limits): τα z 1, z 2 Επίπεδο εμπιστοσύνης (level of confidence): η πιθανότητα 1-α Επίπεδο σημαντικότητας (Significance level): το α

8 Διαστήματα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Περίπτωση που η διακύμανση σ 2 είναι γνωστή x z, x z n a /2 a /2 n z a/2 : η κριτική τιμή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής που αντιστοιχεί σε επίπεδο σημαντικότητας α. P x za /2 x za /2 1 a n n π.χ. αν α=0.05, η πιθανότητα το διάστημα εμπιστοσύνης να περιέχει την άγνωστη μέση τιμή είναι 0.95 z z 1.96 και z z / /

9

10 1-α α/2 α/2

11 Παράδειγμα Μία εταιρία κατασκευής ιατρικών παρασκευασμάτων παίρνει δείγμα για την ζήτηση των παρασκευασμάτων της κατά την διάρκεια 25 εβδομάδων που θεωρούνται οι σημαντικότερες για τις πωλήσεις της: Είναι γνωστό ότι η τυπική απόκλιση της ζήτησης κατά την περίοδο αυτή είναι 75 παρασκευάσματα. Θέλουμε να εκτιμήσουμε την μέση τιμή της ζήτησης με 95% εμπιστοσύνη με σκοπό να εκτιμήσουμε επίπεδα αποθεμάτων.

12 Η καταγεγραμμένη ζήτηση των 25 εβδομάδων αποτελεί ένα δείγμα της ζήτησης. Η παράμετρος που πρέπει να εκτιμηθεί είναι η μέση τιμή του πληθυσμού: μ Από τα δεδομένα x Επομένως Τα κάτω και άνω όρια εμπιστοσύνης είναι and

13 Το εύρος ενός διαστήματος εμπιστοσύνης εξαρτάται από το επιπέδου εμπιστοσύνης, την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, και το μέγεθος του δείγματος.