Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Transcript

1 Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη

2 Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος)

3 Σημειακή εκτίμηση Η εκτίμηση μιας άγνωστης παραμέτρου ενός πληθυσμού μέσω της τιμής μιας εκτιμήτριας για συγκεκριμένη πραγματοποίηση ενός τυχαίου δείγματος Είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός

4 Ιδιότητες εκτιμητριών Αμεροληψία Σε επαναλαμβανόμενες δειγματοληψίες η εκτιμήτρια κατά μέσο όρο εκτιμά σωστά την άγνωστη παράμετρο (ούτε την υπερεκτιμά ούτε την υποεκτιμά) Αποτελεσματικότητα Μεταξύ δύο αμερόληπτων εκτιμητριών μιας παραμέτρου, πιο αποτελεσματική είναι αυτή που έχει πιο μικρή διακύμανση Συνέπεια Αυξανομένου του μεγέθους του δείγματος η εκτίμηση γίνεται καλύτερη / πιο ακριβής (οι τιμές της εκτιμήτριας συγκλίνουν στην τιμή της παραμέτρου)

5 Αμερόληπτες εκτιμήτριες Ο δειγματικός μέσος Χ = 1 X i=1 i είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυσμιακής μέσης τιμής μ Αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυσμιακής μέσης τιμής μ είναι και η συνάρτηση Τ = Χ 1+Χ Η δειγματική διακύμανση S = 1 1 είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυσμιακής διακύμανσης σ i=1 X i X Αν η πληθυσμιακή μέση τιμή μ είναι γνωστή, τότε η συνάρτηση 1 X i=1 i μ είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυσμιακής διακύμανσης σ

6 Εκτίμηση με διάστημα Ένα 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης (0<α<1) για μια παράμετρο ενός πληθυσμού, είναι ένα διάστημα που υπολογίζεται από ένα τυχαίο δείγμα από τον πληθυσμό και έχει πιθανότητα 1-α να περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου Η πιθανότητα 1-α ονομάζεται συντελεστής εμπιστοσύνης του διαστήματος Ορίζεται ασφαλώς να είναι μεγάλη (συνήθως ίση με 0.90, 095, 0.98 ή 0.99)

7 Ερμηνεία ενός 100(1-α)% διαστήματος εμπιστοσύνης Σε μεγάλο αριθμό επαναλήψεων του πειράματος «παίρνω ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από τον πληθυσμό και κατασκευάζω για μια άγνωστη παράμετρο ένα 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης» Ποσοστό 1-α των δειγμάτων θα δώσουν διάστημα που θα περιέχει την τιμή της παραμέτρου και ποσοστό α των δειγμάτων θα δώσουν διάστημα που δε θα περιέχει την τιμή της παραμέτρου

8 Διαστήματα Εμπιστοσύνης συντελεστή εμπιστοσύνης 1-α Για τη μέση τιμή μ ενός πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους Πληθυσμός Διακύμανση πληθυσμού (σ ) Μέγεθος του δείγματος () 100(1-α)% Δ.Ε. για τη μέση τιμή μ του πληθυσμού Κανονικός Γνωστή Οτιδήποτε X ± z α σ Κανονικός Άγνωστη Οτιδήποτε X ± t 1;α S Οποιοσδήποτε Γνωστή Μεγάλο X ± z α σ Οποιοσδήποτε Άγνωστη Μεγάλο X ± z α S Όχι κανονικός Γνωστή ή Άγνωστη Μικρό ;

9 Διαστήματα Εμπιστοσύνης συντελεστή εμπιστοσύνης 1-α Για τo διωνυμικό ποσοστό p με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους αριθμός επιτυχιών στο δειγμα Αν p = και p 5 και 1 p 5 το διάστημα p ± z a p 1 p είναι ένα κατά προσέγγιση 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για το διωνυμικό ποσοστό p

10 Διαστήματα Εμπιστοσύνης συντελεστή εμπιστοσύνης 1-α Για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 1 S, χ 1;a 1 S χ 1;1 a

11 Διαστήματα Εμπιστοσύνης συντελεστή εμπιστοσύνης 1-α Για τη διαφορά μ 1 μ των μέσων τιμών δύο πληθυσμών με δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους 1 και αντίστοιχα Πληθυσμοί Διακυμάνσεις πληθυσμών (σ 1, σ ) Μεγέθη των δειγμάτων ( 1, ) 100(1-α)% Δ.Ε. για τη διαφορά μ 1 μ των μέσων τιμών των πληθυσμών σ Κανονικοί Γνωστές Οτιδήποτε X Y ± z 1 α + σ 1 σ Οποιοιδήποτε Γνωστές Μεγάλα X Y ± z 1 α + σ 1 S Οποιοιδήποτε Άγνωστες Μεγάλα X Y ± z 1 α + S 1 Κανονικοί Άγνωστες και ίσες Οτιδήποτε X Y ± t ;α S όπου = και S = 1 1 S S 1 + Όχι κανονικοί Γνωστές ή Άγνωστες Μικρά ;

12 Διαστήματα Εμπιστοσύνης συντελεστή εμπιστοσύνης 1-α Για τη διαφορά p 1 p δύο διωνυμικών ποσοστών με δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους 1 και αντίστοιχα Αν p i = αριθμός επιτυχιν στο δειγμα i, i=1, και i p i 5 και i 1 p i 5, i=1, το διάστημα p 1 p ± z a p 1 1 p p 1 p είναι ένα κατά προσέγγιση 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά p 1 p δύο διωνυμικών ποσοστών

13 Διαστήματα Εμπιστοσύνης συντελεστή εμπιστοσύνης 1-α Για το λόγο σ 1 σ των διακυμάνσεων δύο κανονικών πληθυσμών με δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους 1 και αντίστοιχα 1 F 1 1; 1;a S 1 S, 1 F 1; 1 1;a S 1 S