Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 213 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Μια κατασκευαστική εταιρεία ετοιμάζει την ενεργειακή μελέτη ενός νέου κτιρίου, οι ενεργειακές ανάγκες του οποίου αφορούν τον ηλεκτρισμό, το ζεστό νερό και τη θέρμανση με τις ημερήσιες του ανάγκες να ανέρχονται σε 2, 1 και 3 μονάδες αντίστοιχα. Υπάρχουν τρεις πιθανές πηγές ενέργειας για αυτές τις ανάγκες: ηλεκτρικό ρεύμα, φυσικό αέριο και φωτοβολταϊκό σύστημα στην οροφή του κτιρίου. Η επιφάνεια της οροφής περιορίζει την απόδοση ενός φωτοβολταϊκού συστήματος στις 3 μονάδες, ενώ δεν υπάρχουν όρια στις μονάδες που μπορεί να αποδώσει το ηλεκτρικό ρεύμα και το φυσικό αέριο. Από την άλλη μεριά οι ανάγκες σε ηλεκτρισμό μπορούν να καλυφθούν μόνον από το ηλεκτρικό ρεύμα (με κόστος ανά μονάδα), ενώ οι ανάγκες σε ζεστο νερό και θέρμανση μπορούν καλυφθούν από οποιαδήποτε πηγή ή συνδυασμό πηγών με το κοστολόγιο να διαμορφώνεται ως εξής: Ηλεκτρικό Ρεύμα Φυσικό Αέριο Φωτοβολταϊκό Σύστημα Ζεστό Νερό Θέρμανση Χρησιμοποιήστε το μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς προκειμένου να προσδιορίσετε τον τρόπο κάλυψης των ενεργειακών αναγκών του κτιρίου σε τρόπο ώστε το συνολικό ημερήσιο κόστος για αυτές να είναι το ελάχιστο δυνατόν. 2. Ως συνήθως, ας είναι c ij το κόστος για τη μεταφορά μιας μονάδος από τον i σταθμό προέλευσης στον j σταθμό προορισμού, σύμφωνα με το tableau που κατασκευάσατε στο προηγούμενο ερώτημα. Για τη βέλτιστη λύση που βρήκατε ανωτέρω, υποθέστε ότι η τιμή c ij που αφορά εκάστη εκ των βασικών μεταβλητών είναι αμετάβλητη, αλλά και ότι η τιμή c ij για κάθε μία από τις μη βασικές μεταβλητές είναι διαπραγματεύσιμη. Για κάθε ένα από τα c ij των οποίων η τιμή δεν είναι αμετάβλητη αλλά αντιθέτως είναι διαπραγματεύσιμη, βρείτε ένα διάστημα τιμών για το οποίο η βέλτιστη λύση που υπολογίσατε παραμένει βέλτιστη. ΘΕΜΑ 2 ο Ένας εργολάβος πρέπει να μεταφέρει 1, και 1 τόνους αμμοχάλικο σε τρία διαφορετικά σημεία μιας πόλης, έστω A, B και C αντίστοιχα. Η αγορά του αμμοχάλικου μπορεί να γίνει είτε από ένα λατομείο το οποίο βρίσκεται στα βόρεια της πόλης από όπου μπορεί να αγοράσει μέχρι 18 τόνους, είτε από ένα λατομείο το οποίο βρίσκεται στα νότια της πόλης από όπου μπορεί να αγοράσει μέχρι 14 τόνους. Το κόστος αγοράς ανά τόνο αμμοχάλικο από το κάθε λατομείο καθώς επίσης και το κόστος μεταφοράς ανά τόνο δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Κόστος Μεταφοράς στο σημείο Λατομείο Α Β C Αντίτιμο Αγοράς στον Βορρά στο Νότο Χρησιμοποιήστε το μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς προκειμένου να προσδιορίσετε τις ποσότητες αμμοχάλικου που πρέπει να μεταφερθούν από το κάθε λατομείο στο καθένα εκ των τριών σημείων της πόλης σε τρόπο ώστε το συνολικό κόστος προμήθειας και μεταφοράς να είναι το ελάχιστο δυνατόν. 4. Ως συνήθως, ας είναι c ij το κόστος για τη μεταφορά μιας μονάδος από τον i σταθμό προέλευσης στον j σταθμό προορισμού, σύμφωνα με το tableau που κατασκευάσατε στο προηγούμενο ερώτημα. Για τη βέλτιστη λύση που βρήκατε ανωτέρω, υποθέστε ότι η τιμή c ij που αφορά εκάστη εκ των βασικών μεταβλητών είναι αμετάβλητη, αλλά και ότι η τιμή c ij για κάθε μία από τις μη βασικές μεταβλητές είναι διαπραγματεύσιμη. Για κάθε ένα από τα c ij των οποίων η τιμή δεν είναι αμετάβλητη αλλά αντιθέτως είναι διαπραγματεύσιμη, βρείτε ένα διάστημα τιμών για το οποίο η βέλτιστη λύση που υπολογίσατε παραμένει βέλτιστη. ΘΕΜΑ 3 ο Μια μονάδα καταδρομέων, η MOK1, βρίσκεται στη θέση 1 και αναμένει να πάρει διαταγή προκειμένου να μετακινηθεί σε κάποια άλλη θέση. Το σχήμα που ακολουθεί αναπαριστά με ένα δίκτυο το συνολικό σχέδιο μετακίνησης με την ακόλουθη λογική: οι κόμβοι του δικτύου είναι οι θέσεις από τις οποίες μπορεί να περάσει η ΜΟΚ1, οι ακμές του δικτύου είναι οι διαθέσιμες μεταξύ αυτών των θέσεων συνδέσεις (δρόμοι) και, τέλος, οι αριθμοί επάνω στις ακμές δίνουν τις αναμενόμενες απώλειες για κίνηση πάνω σε κάθε πιθανή διαδρομή (ακμή του δικτύου) όπως εκτιμήθηκαν από το επιτελείο επιχειρήσεων. Η κίνηση της MOK1 μέσα από τα δυνατά δρομολόγια του δικτύου ενέχει κινδύνους που συνεπάγονται απώλειες ανδρών, και είναι αυτονόητο ότι κάθε μετακίνηση πρέπει να γίνει με ελάχιστες δυνατές απώλειες.

2 Δασύλλιο Η διαταγή που πήρε η ΜΟΚ1 είναι, μετακίνηση από τον θέση που βρίσκεται (κόμβος 1) στη θέση (κόμβος) 6. Βρείτε τη διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει η ΜΟΚ1 προκειμένου να εκτελέσει την διαταγή με τις ελάχιστες δυνατές αναμενόμενες απώλειες. Πόσες θα είναι οι απώλειες της μονάδος; Προσοχή Στην απάντησή σας πρέπει να αναφέρεται με σαφήνεια η τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης που θα χρησιμοποιήσετε. Η διαδικασία επίλυσης θα πρέπει να ακολουθεί την εφαρμογή του αλγορίθμου, δηλαδή στην πορεία επίλυσης του προβλήματος θα πρέπει να αριθμήσετε με 1,2,3 τις διαδοχικές επαναλήψεις του αλγορίθμου και σε κάθε μία εξ αυτών πρέπει να είναι απολύτως σαφές τι υπολογίζεται και πώς. Λύσεις που θα δοθούν χωρίς να προκύπτουν από την απόλυτη εφαρμογή των βημάτων του αλγορίθμου δεν θα ληφθούν καθόλου υπόψη. 2. Αμέσως μόλις ολοκληρώθηκαν οι αναγκαίοι υπολογισμοί για τη διαταγή που δόθηκε στα πλαίσια του προηγούμενου ερωτήματος 1 και η μονάδα ήταν έτοιμη να ξεκινήσει την πορεία που χαράχθηκε, έφθασε νέα διαταγή η οποία ακυρώνει την παλαιά και διατάσσει την ομάδα να μετακινηθεί στη θέση (κόμβος). Στηριζόμενοι αποκλειστικά και μόνο στους υπολογισμούς που έχετε κάνει προκειμένου να απαντήσετε στο ερώτημα 1, προσδιορίστε τη διαδρομή και τις ελάχιστες απώλειες που θα έχει η ομάδα για να εκτελέσει την νέα διαταγή. 3. Και αυτή η διαταγή ακυρώθηκε και η ΜΟΚ1 διατάχθηκε τελικά να κινηθεί προς τη θέση (κόμβο) 4. Στηριζόμενοι αποκλειστικά και μόνο στους υπολογισμούς που έχετε κάνει προκειμένου να απαντήσετε στο ερώτημα 1, δηλαδή χωρίς να κάνετε κανένα απολύτως νέο υπολογισμό, είναι δυνατόν να δυνατόν να προσδιορίσετε τη διαδρομή και τις ελάχιστες απώλειες που θα έχει η ομάδα για να εκτελέσει την νέα διαταγή; Προσοχή. Η απάντησή σας θα πρέπει να είναι ΝΑΙ ή ΟΧΙ συνοδευόμενη από πλήρη αιτιολόγηση. Αν η απάντηση σας είναι τελικά ΟΧΙ θα πρέπει ταυτόχρονα να υποδείξετε πόσες ακόμη (και για ποιο λόγο) επαναλήψεις του αλγορίθμου θα χρειαζόταν να γίνουν για να απαντήσετε στο ερώτημα (δεν ζητείται να τις κάνετε). ΘΕΜΑ 4 ο H «Ήπειρος Ξυλοκόποι» πρόκειται σύντομα να υλοτομήσει οκτώ δασύλλια τα οποία βρίσκονται στην ίδια περιοχή (βουνό). Για το λόγο αυτό ετοιμάζεται να κατασκευάσει ένα δίκτυο από χωματόδρομους προκειμένου το κάθε δασύλλιο να είναι προσιτό από οποιοδήποτε άλλο. Οι αποστάσεις (σε χλμ.) μεταξύ κάθε ζεύγους από τα οκτώ δασύλλια έχει ως ακολούθως: Δασύλλιο Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης για να βοηθήσετε τη διοίκηση της «Ήπειρος Ξυλοκόποι» να κατασκευάσει το δίκτυο επικοινωνίας των δασυλλίων σε τρόπο ώστε το συνολικό μήκος του δρόμου που θα υλοποιηθεί να είναι το ελάχιστο δυνατόν. Προσοχή Στην απάντησή σας πρέπει να αναφέρεται με σαφήνεια η τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης που θα χρησιμοποιήσετε. Η διαδικασία επίλυσης θα πρέπει να ακολουθεί την εφαρμογή του αλγορίθμου, δηλαδή στην πορεία επίλυσης του προβλήματος θα πρέπει να αριθμήσετε με 1,2,3 τις διαδοχικές επαναλήψεις του αλγορίθμου και σε κάθε μία εξ αυτών πρέπει να είναι απολύτως σαφές τι υπολογίζεται και πώς. Λύσεις που θα δοθούν χωρίς να προκύπτουν από την απόλυτη εφαρμογή των βημάτων του αλγορίθμου δεν θα ληφθούν καθόλου υπόψη.

3 ΘΕΜΑ ο Δίνεται το ακόλουθο δίκτυο αναπαράστασης ενός έργου που πρόσφατα ανέλαβε μια τεχνική εταιρεία, η RTT: A 8 D 3 Start C B 2 E 7 G 12 Finish F 6 H 1 1. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι οκτώ (8) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. 2. Στη συνέχεια, υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου του οποίου η τυπική απόκλιση εκτιμήθηκε στις 1. χρονικές μονάδες. Η RTT επιθυμεί διακαώς να ολοκληρώσει το έργο σύμφωνα με το συμβόλαιό της, μια και διαφορετικά επιβαρύνεται με βαρύτατο πρόστιμο. Εάν η RTT θέλει να είναι 9% βέβαιη ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς να υποχρεωθεί στην καταβολή προστίμου, ποιο χρόνο έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του στην προσφορά της; Δίνεται: P( Z 1.29) =.41, P( Z 2.24) =.487, P( Z 1.6) =.4, P( Z.91) =.3186 ΘΕΜΑ 6 ο Δίνεται το ακόλουθο δίκτυο αναπαράστασης ενός έργου που πρόσφατα ανέλαβε μια τεχνική εταιρεία, η RTT: Start A 2 B 4 C 3 D 7 E 6 F G 8 I 4 J 6 Finish H 3. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι δέκα (1) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. 4. Στη συνέχεια, υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου του οποίου η τυπική απόκλιση εκτιμήθηκε στις 2 χρονικές μονάδες. Η RTT επιθυμεί διακαώς να ολοκληρώσει το έργο σύμφωνα με το συμβόλαιό της, μια και διαφορετικά επιβαρύνεται με βαρύτατο πρόστιμο. Εάν η RTT θέλει να είναι 9% βέβαιη ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς να υποχρεωθεί στην καταβολή προστίμου, ποιο χρόνο έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του στην προσφορά της; Δίνεται: P( Z 1.29) =.41, P( Z 2.24) =.487, P( Z 1.6) =.4, P( Z.91) =.3186 ΘΕΜΑ 7 ο Οι υποψήφιοι δήμαρχοι δύο πολιτικών σχηματισμών ετοιμάζουν την καμπάνια τους εναντίον του αντιπάλου τους για τον επερχόμενο τελικό γύρο των εκλογών της τοπικής αυτοδιοίκησης. Καθένας τους πρέπει να επιλέξει το θέμα στο οποίο θα επικεντρωθεί. Έκαστος εκ των δύο υποψηφίων θεωρεί ότι έχει πλεονέκτημα σε τρία θέματα. Βέβαια, η αποτελεσματικότητα της επιλογής κάποιου εκ των θεμάτων για κάποιο εκ των υποψηφίων, είναι σχετική με την επιλογή του θέματος από τον αντίπαλό του. Για την ακρίβεια, η εκτιμούμενη αύξηση των ψήφων του πολιτικού Α, εκφρασμένη ως ποσοστό των συνολικών ψήφων, για καθένα εκ των δυνατών συνδυασμών θεμάτων (ζητημάτων) που έχουν επιλεγεί, έχει ως ακολούθως:

4 Ζητήματα για τον Πολιτικό Α Ζητήματα για τον Πολιτικό Β Λόγω του χρόνου που απαιτείται για την προετοιμασία του κάθε υποψηφίου από τους συνεργάτες του, η απόφαση για το θέμα/ζήτημα που θα επικεντρωθεί ο καθένας εξ αυτών πρέπει να ληφθεί άμεσα κι οπωσδήποτε δεν μπορεί να περιμένει την επιλογή του αντιπάλου του. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε τη βέλτιστη επιλογή για τον κάθε υποψήφιο δήμαρχο καθώς και την αναμενόμενη αύξηση/μείωση του ποσοστού των ψήφων του υποψήφιου Α. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. ΘΕΜΑ 8 ο Οι υποψήφιοι δήμαρχοι δύο πολιτικών σχηματισμών ετοιμάζουν την καμπάνια τους εναντίον του αντιπάλου τους για τον επερχόμενο τελικό γύρο των εκλογών της τοπικής αυτοδιοίκησης. Καθένας τους πρέπει να επιλέξει το θέμα στο οποίο θα επικεντρωθεί. Ο υποψήφιος του σχηματισμού Α θεωρεί ότι έχει πλεονέκτημα σε τέσσερα θέματα, ενώ εκείνος του σχηματισμού Β σε τρία. Βέβαια, η αποτελεσματικότητα της επιλογής κάποιου εκ των θεμάτων για έκαστο εκ των υποψηφίων, είναι σχετική με την επιλογή του θέματος από τον αντίπαλό του. Για την ακρίβεια, η εκτιμούμενη αύξηση των ψήφων του πολιτικού Α, εκφρασμένη ως ποσοστό των συνολικών ψήφων, για καθένα εκ των δυνατών συνδυασμών θεμάτων (ζητημάτων) που έχουν επιλεγεί, έχει ως ακολούθως: Ζητήματα για τον Πολιτικό Β Ζητήματα για τον Πολιτικό Α Λόγω του χρόνου που απαιτείται για την προετοιμασία του κάθε υποψηφίου από τους συνεργάτες του, η απόφαση για το θέμα/ζήτημα που θα επικεντρωθεί ο καθένας εξ αυτών πρέπει να ληφθεί άμεσα κι οπωσδήποτε δεν μπορεί να περιμένει την επιλογή του αντιπάλου του. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε τη βέλτιστη επιλογή για τον κάθε υποψήφιο δήμαρχο καθώς και την αναμενόμενη αύξηση/μείωση του ποσοστού των ψήφων του υποψήφιου Α. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα.

5 ΘΕΜΑ 1 ο Ερώτημα 1 Στο ζητούμενο μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς ξεκινάμε ορίζοντας ως σταθμούς παραγωγής τους: Ηλεκτρικό Ρεύμα, Φυσικό Αέριο και Φωτοβολταϊκό Σύστημα. Το Ηλεκτρικό Ρεύμα πρέπει να μπορεί να αποδώσει όσες μονάδες απαιτούνται από το σύνολο των ενεργειακών αναγκών του κτιρίου που εδώ είναι: 2 (για τον Ηλεκτρισμό) + 1 (για το Ζεστό Νερό) + 3 (για τη Θέρμανση) = 6 μονάδες. Το Φυσικό Αέριο που δεν συμμετέχει στην ενεργειακή ζήτηση για τον Ηλεκτρισμό πρέπει να μπορεί να αποδώσει όσες μονάδες απαιτούνται για τις ενεργειακές ανάγκες του κτιρίου σε Ζεστό Νερό (1) και Θέρμανση (3) = 4 μονάδες. Τέλος η παραγωγή του Φωτοβολταϊκού Συστήματος καταγράφεται ότι είναι 3 μονάδες ως σταθμούς προορισμού τους: Ηλεκτρισμό, Ζεστό Νερό και Θέρμανση με τη ζήτηση να ανέρχεται σε 2, 1 και 3 μονάδες αντίστοιχα. Η συνολική παραγωγή ανέρχεται σε = 13 μονάδες, ενώ η συνολική ζήτηση στις = 6 μονάδες. Συνεπώς, προκειμένου το πρόβλημα να είναι ισορροπημένο, πρέπει να εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού με ζήτηση 13-6 = 7 μονάδες. Επειδή η ζήτηση σε Ηλεκτρισμό πρόκειται να καλύπτεται αποκλειστικό από το Ηλεκτρικό Ρεύμα, το κόστος "μεταφοράς" από το Φυσικό Αέριο και το Φωτοβολταϊκό Σύστημα προς τον Ηλεκτρισμό ορίστηκε στα Μ, με Μ>>>. Αναφορικά τώρα με τα κόστη "μεταφοράς" προς τον εικονικό σταθμό προορισμού αυτά ισούνται με μηδέν, δεν υπάρχει πραγματική ζήτηση για να υπάρχει και πραγματικό κόστος. Τα υπόλοιπα μεγέθη που αφορούν το κόστος "μεταφοράς" καταγράφονται με σαφήνεια στην εκφώνηση. Με αυτή τη συλλογιστική διαμορφώνεται η ακόλουθη δομή (tableau) προβλήματος μεταφοράς. Ηλεκτρικό Ρεύμα Φυσικό Αέριο Φωτοβολτ. Σύστημα Ηλεκτρισμός Ζεστό Νερό Θέρμανση Εικονικός 9 8 Μ 6 Μ Η μέθοδος Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος δίνει ως τέτοια την:

6 Μ Μ Μ Η λύση αυτή έχει 6 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά u i, v j και σχηματίζοντας τις διαφορές δ ij = u i + v j - c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δ ij i, j) και συνεπάγεται κόστος "μεταφοράς" της τάξης των 26. u -1 v M M M M Συνεπώς, η βέλτιστη λύση, αυτή με το μικρότερο δυνατό κόστος δηλαδή, προβλέπει ότι η ζήτηση για Ηλεκτρισμό πρέπει να καλυφθεί εξ' ολοκλήρου από το Ηλεκτρικό Ρεύμα, η ζήτηση σε Ζεστό Νερό πρέπει να καλυφθεί εξ' ολοκλήρου από το Φωτοβολταϊκό Σύστημα, η ζήτηση σε Θέρμανση πρέπει να καλυφθεί κατά 1 μονάδες από το Φυσικό Αέριο και κατά 2 μονάδες από το Φωτοβολταϊκό Σύστημα. Με τον τρόπο αυτό θα εξασφαλιστεί το ελάχιστο συνολικό ημερήσιο κόστος για τις ενεργειακές ανάγκες του κτιρίου, ύψους 26. Ερώτημα 2 Για το κελί (1, 2) ας είναι cˆ 12 c12 ( 9 ) η νέα τιμή μοναδιαίας "μεταφοράς". Τότε ˆ 12 u ˆ 1 v2 c12 ( 4) (9 ) Η παρούσα λύση θα παραμείνει βέλτιστη εάν ˆ 12, δηλαδή εάν c 4 Για το κελί (1, 3) ας είναι cˆ 13 c13 ( 8 ) η νέα τιμή μοναδιαίας "μεταφοράς". Τότε ˆ u v cˆ ( ) (8 )

7 Η παρούσα λύση θα παραμείνει βέλτιστη εάν ˆ 13, δηλαδή εάν 3 3 c 13 Για το κελί (2, 2) ας είναι cˆ 22 c22 ( 6 ) η νέα τιμή μοναδιαίας "μεταφοράς". Τότε ˆ 22 u ˆ 2 v2 c22 ( 4) (6 ) 2 Η παρούσα λύση θα παραμείνει βέλτιστη εάν ˆ 22, δηλαδή εάν 2 2 c 4 22 Δεν έχει νόημα να ελεγχθούν τα κελιά (2, 1) και (3, 1) αφού δεν τίθεται θέμα παραγωγής Ηλεκτρισμού ούτε από το Φυσικό Αέριο, ούτε από το Φωτοβολταϊκό Σύστημα. Δεν έχει νόημα να ελεγχθεί το κελί (3, 4) και (3, 1) αφού ο 4ος σταθμός προορισμού είναι εικονικός. Επομένως, εάν το ενεργειακό κόστος παραγωγής Ζεστού Νερού από το Ηλεκτρικό Ρεύμα ελαττωθεί κατά τουλάχιστον ανά μονάδα, ή το ενεργειακό κόστος της Θέρμανσης από το Ηλεκτρικό Ρεύμα ελαττωθεί κατά τουλάχιστον 3 ανά μονάδα, ή το ενεργειακό κόστος παραγωγής Ζεστού Νερού από το Φυσικό Αέριο ελαττωθεί κατά τουλάχιστον 2 ανά μονάδα, τότε η νέα βέλτιστη λύση θα είναι τουλάχιστον τόσο καλή όσο η τρέχουσα (συνολικό ημερήσιο κόστος για τις ενεργειακές ανάγκες του κτιρίου θα είναι το πολύ 26).

8 ΘΕΜΑ 2 ο Ερώτημα 1 Στο ζητούμενο μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς ξεκινάμε ορίζοντας ως σταθμούς παραγωγής τα δύο λατομεία στο Βορρά και το Νότο με προσφορά 18 και 14 τόνους αμμοχάλικο αντίστοιχα ως σταθμούς προορισμού τα σημεία A, B και C με τη ζήτηση να ανέρχεται σε 1, και 1 τόνους αμμοχάλικο αντίστοιχα. Η συνολική παραγωγή ανέρχεται σε = 32 τόνους, ενώ η συνολική ζήτηση στις = 2 τόνους. Συνεπώς, προκειμένου το πρόβλημα να είναι ισορροπημένο, πρέπει να εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού με ζήτηση 32-2 = 7 τόνους. Τα κόστη μεταφοράς προκύπτουν ως το άθροισμα του κόστους αγοράς με το κόστος μετακίνησης, ενώ τα κόστη μεταφοράς προς τον εικονικό σταθμό προορισμού αυτά ισούνται με μηδέν, δεν υπάρχει πραγματική ζήτηση για να υπάρχει και πραγματικό κόστος. Με αυτή τη συλλογιστική διαμορφώνεται η ακόλουθη δομή (tableau) προβλήματος μεταφοράς. Σημείο Α Σημείο Β Σημείο C Εικονικός Λατομείο Βορράς Λατομείο Νότος Η μέθοδος Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος δίνει ως τέτοια την: Η λύση αυτή έχει θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά u i, v j και σχηματίζοντας τις διαφορές δ ij = u i + v j - c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή δεν είναι η βέλτιστη (δ 24 > ). Το κόστος προμήθειας και μεταφοράς είναι της τάξης των 367.

9 u 1 v Στη συνέχεια με εισερχόμενο κελί το (2, 2), κατασκευάζουμε το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων: Η νέα λύση, στην οποία το κελί (2, 2) είναι βασικό και το (1, 2) μη βασικό μια και θ = min{, 7} =, δίνεται στο tableau που ακολουθεί. Ο έλεγχος αριστότητας αποδεικνύει ότι αυτή η λύση είναι η ζητούμενη βέλτιστη λύση του προβλήματος (δ ij (i, j)), με κόστος προμήθειας και μεταφοράς 37. u 1 v Συνεπώς το σημείο Α πρέπει να προμηθευτεί τη ζητούμενη ποσότητα αμμοχάλικου (1 τόνοι) εξ ολοκλήρου από το λατομείο στο Βορρά, το σημείο Β πρέπει να προμηθευτεί τη ζητούμενη ποσότητα αμμοχάλικου ( τόνοι) εξ ολοκλήρου από το λατομείο στο Νότο, το σημείο C πρέπει να προμηθευτεί 8 τόνους αμμοχάλικου από το λατομείο στο Βορρά και 2 τόνους αμμοχάλικου από το λατομείο στο Νότο. Ερώτημα 2 Για το κελί (1, 2) ας είναι cˆ 12 c12 ( 16 ) η νέα τιμή μοναδιαίας "μεταφοράς". Τότε ˆ u v cˆ ( 14) (16 )

10 Η παρούσα λύση θα παραμείνει βέλτιστη εάν ˆ 12, δηλαδή εάν 2 2 c Για το κελί (2, 1) ας είναι cˆ 21 c21 ( 18 ) η νέα τιμή μοναδιαίας "μεταφοράς". Τότε ˆ 21 u ˆ 2 v1 c21 (1 13) (18 ) 4 Η παρούσα λύση θα παραμείνει βέλτιστη εάν ˆ 22, δηλαδή εάν 4 4 c Δεν έχει νόημα να ελεγχθεί το κελί (1, 4) αφού ο 4ος σταθμός προορισμού είναι εικονικός. Επομένως, εάν το κόστος παραγωγής και μεταφοράς από το Βόρειο Λατομείο προς το Σημείο Β ελαττωθεί κατά τουλάχιστον 2 ανά τόνο, ή το κόστος παραγωγής και μεταφοράς από το Νότιο Λατομείο προς το Σημείο Α ελαττωθεί κατά τουλάχιστον 4 ανά τόνο, τότε η νέα βέλτιστη λύση θα είναι τουλάχιστον τόσο καλή όσο η τρέχουσα (το συνολικό κόστος παραγωγής και μεταφοράς αμμοχάλικου θα είναι το πολύ 37).

11 ΘΕΜΑ 3 ο Ερώτημα 1 Πρόκειται για πρόβλημα που ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων συντομότερης διαδρομής καθόσον για κάποιο κόμβο Χ του δικτύου ζητείται να βρεθεί η διαδρομή με τις ελάχιστες απώλειες που συνδέει τον κόμβο 1 με τον κόμβο Χ. Έτσι θα εφαρμοσθεί ο αλγόριθμος συντομότερης διαδρομής για μετακίνηση από τον κόμβο 1 στον κόμβο 6. Στα επόμενα, και για λόγους ευκολίας στην ανάπτυξη της λύσης, η λέξη «απόσταση» θα αναφέρεται σε «απώλειες ανδρών». Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία με απόσταση (από τον εαυτό της), οπότε το σύνολο των μόνιμων κόμβων θα είναι Λ={1}. 1η Επανάληψη: Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με κόμβους του Λ, είναι οι 2, 3 και 4: κόμβος 2, με απόσταση 7 από την αφετηρία, κόμβος 3, με απόσταση 9 από την αφετηρία, και κόμβος 4, με απόσταση 18 ομοίως. Επειδή min(7, 9, 18) = 7 και αυτό αντιστοιχεί στον κόμβο 2, ο λυμένος κόμβος που προκύπτει σε αυτή την επανάληψη του αλγορίθμου είναι ο 2, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ={1, 2}. Το 7 είναι και η τελική ελάχιστη απόσταση του 2 από τον 1 και αντιστοιχεί στη διαδρομή 1 2, (δεν υπάρχει συντομότερη διαδρομή που να οδηγεί από τον 1 στον 2). 2η Επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 2 στους μόνιμους. Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με κόμβους του Λ, είναι τώρα οι 3, 4 και : κόμβος 3, με απόσταση 9, απευθείας από την αφετηρία, κόμβος 3, με απόσταση 1, μέσω του 2 (η ελάχιστη τελική απόσταση του 2 από τον 1 που είναι 7 έχει ήδη βρεθεί 1η επανάληψη και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2. Επομένως η προσωρινή απόσταση του κόμβου 3 (από τον 1) είναι =1 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 2 3). Η είσοδος του κόμβου 2 δεν βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο 3 (ήταν 9 κι έγινε 1). κόμβος 4, με απόσταση 18 απευθείας από την αφετηρία, και κόμβος, με απόσταση 12, μέσω του 2 (η ελάχιστη τελική απόσταση του 2 από τον 1 που είναι 7 έχει ήδη βρεθεί 1η επανάληψη και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2. Επομένως η προσωρινή απόσταση του κόμβου (από τον 1) είναι 7 + = 12 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 2 ). Επειδή min(9, 18, 12) = 9 και αυτό αντιστοιχεί στον κόμβο 3, ο λυμένος κόμβος σε αυτή την επανάληψη είναι ο 3. Αυτός καθίσταται μόνιμος, μπαίνει στο σύνολο των μονίμων κόμβων το οποίο γίνεται Λ={1, 2, 3}. Η ελάχιστη τελική απόσταση του 3 από τον 1 είναι 9, πετυχαίνεται δε μέσω της διαδρομής η Επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 3 στους μόνιμους. Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με κόμβους του Λ, είναι οι 4 και : κόμβος 4, με απόσταση 18 απευθείας από την αφετηρία, κόμβος, με απόσταση 12, μέσω του 2, και κόμβος, με απόσταση 13, μέσω του 3 (η ελάχιστη τελική απόσταση του 3 από τον 1 που είναι 9 έχει ήδη βρεθεί 2η επανάληψη και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 3. Επομένως η προσωρινή απόσταση του κόμβου (από τον 1) είναι = 13 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 3 ). Η είσοδος του κόμβου 3 δεν βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο (ήταν 12 κι έγινε 13). Επειδή min(18, 12) = 12 και αντιστοιχεί στον κόμβο, από τους κόμβους {4, } που σε αυτή την επανάληψη συνδέθηκαν με κόμβους του Λ, λυμένος κόμβος είναι ο. Το νέο σύνολο των μονίμων κόμβων είναι τώρα Λ = {1, 2, 3, }. Η ελάχιστη τελική απόσταση του από τον 1 είναι 12 και πετυχαίνεται μέσω της διαδρομής η Επανάληψη: Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στους μόνιμους. Κόμβοι που συνδέονται άμεσα με κόμβους του Λ, είναι οι 4 και 6: κόμβος 4, με απόσταση 18 απευθείας από την αφετηρία, και κόμβος 6, με απόσταση 14, μέσω του (η ελάχιστη τελική απόσταση του από τον 1 που είναι 12 έχει ήδη βρεθεί 3η επανάληψη και αντιστοιχεί στην διαδρομή 1 2. Επομένως η προσωρινή απόσταση του κόμβου 6 (από τον 1) είναι = 14 και πετυχαίνεται στην διαδρομή 1 2 6).

12 Επειδή min(18, 14) = 14 και αντιστοιχεί στον κόμβο 6, από τους κόμβους {4, 6} που σε αυτή την επανάληψη συνδέθηκαν με κόμβους του Λ, λυμένος κόμβος είναι ο 6. Το νέο σύνολο των μονίμων κόμβων είναι τώρα Λ = {1, 2, 3,, 6}. Η ελάχιστη τελική απόσταση του 6 από τον 1 είναι 14 και πετυχαίνεται μέσω της διαδρομής Εδώ τερματίζεται ο αλγόριθμος για την απάντηση στο 1ο ερώτημα αφού ο κόμβος 6 που ήταν ο προορισμός εισήλθε στο σύνολο των μόνιμων κόμβων. Οι συνολικές απώλειες της ΜΟΚ1, που είναι και οι ελάχιστες δυνατόν, ανέρχονται σε 14 άνδρες. Στη συνέχεια παραθέτουμε πίνακα στον οποίο συνοψίζονται οι διαδοχικές επαναλήψεις του αλγορίθμου της συντομότερης διαδρομής η οποία συνδέει τον κόμβο 1 με τον κόμβο 6: Επανάληψη Σύνολο μόνιμων κόμβων Ακμή άμεσα συνδεδεμένου κόμβου Προσωρινό μήκος διαδρομής μέχρι τον συνδεόμενο κόμβο Λυμένος κόμβος Ελάχιστο (τελικό) μήκος διαδρομής μέχρι τον λυμένο κόμβο Αρχή η Λ={1} η Λ={1, 2} =1 (όχι βελτίωση) =12 3η Λ={1, 2, 3} = =13 (όχι βελτίωση) 4η Λ={1, 2, 3, } = Ο κόμβος 6 που ήταν ο προορισμός έγινε μόνιμος και ο αλγόριθμος τερμάτισε. Ερώτημα 2 Ο κόμβος έγινε μόνιμος στην 3η επανάληψη, όπου έχει βρεθεί ότι οι ελάχιστες απώλειες είναι 12 και η διαδρομή είναι η 1 2. Ερώτημα 3 ΟΧΙ. Ο αλγόριθμος για την απάντηση στο 1ο ερώτημα τερμάτισε όταν ο κόμβος 6 έγινε μόνιμος. Αυτό όμως έχει συμβεί πριν ο κόμβος 4 γίνει μόνιμος, δηλαδή οι υπολογισμοί για το ερώτημα 1 δεν κατέστησαν λυμένο τον κόμβο 4 για να μπορεί να απαντηθεί το ερώτημα. Χρειάζεται μια ακόμη επανάληψη, αφού ο κόμβος 4 είναι ο μοναδικός μη μόνιμος κόμβος του δικτύου.

13 ΘΕΜΑ 4 ο Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου. Ξεκινάμε αυθαίρετα από οποιοδήποτε κόμβο, έστω τον κόμβο 1. Συνδέουμε τον πλέον κοντινό του, που είναι ο κόμβος, μέσω της ακμής 1- με μήκος.7. Οι κόμβοι {1, } είναι συνδεδεμένοι. Ο πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους {1, } είναι ο κόμβος 4 με την ακμή -4 μήκους.7. Έτσι, συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι {1,, 4}. Ο επόμενος πλησιέστερος κόμβος είναι ο κόμβος 8 με την ακμή -8 μήκους.8, οπότε συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι {1,, 4, 8}. Ο πλησιέστερος στους συνδεδεμένους είναι ο κόμβος 7 με την ακμή 8-7 μήκους.. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι τώρα {1,, 4, 8, 7}. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 6 με τον κόμβο 7 μέσω της ακμής 7-6 μήκους.6, οπότε το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι το {1,, 4, 8, 7, 6}. Ο επόμενος κόμβος που συνδέεται είναι ο κόμβος 3 με τον κόμβο 8 μέσω της ακμής 8-3 με μήκος 1.. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων γίνεται {1,, 4, 8, 7, 6, 3}. Τελευταίος συνδέεται ο κόμβος 2 με την ακμή 3-2 μήκους.9. Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι.2 και είναι το ελάχιστο συνολικό

14 ΘΕΜΑ ο ερώτημα 1 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 8 8 B C D E F G H Κρίσιμη διαδρομή: A D G Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 23 χρονικές μονάδες. ερώτημα 2 Δίνεται ότι η τ.μ. Χ = Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 23 και διακύμανση σ 2 = Τότε: X-23 a-23 a-23 Prob X a.9 Prob a 2.47 χρονικές μονάδες

15 ΘΕΜΑ 6 ο ερώτημα 1 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 2 2 B C D E F G H I J Κρίσιμη διαδρομή: A D H J Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 2 χρονικές μονάδες. ερώτημα 2 Δίνεται ότι η τ.μ. Χ = Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 2 και διακύμανση σ 2 = 2 2. Τότε: X-2 a-2 a-2 Prob X a.9 Prob a 22.8 χρονικές μονάδες 2 2 2

16 ΘΕΜΑ 7 ο Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, αδυνατεί να μας δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη - πολιτικού Α είναι ίση με -2 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β2) και η Minimax τιμή του παίκτη -πολιτικού Β είναι ίση με 2 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β3). Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin Α Α Α Col Max Minimax Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Η στρατηγική Α3 διαγράφεται ως υποδεέστερη της Α2, οπότε ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 3, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Α1 x Α2 1-x Β1 y1 Β2 y2 Β3 y Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Για τον παίκτη Β ονομάζουμε y1 την πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του Β1, y2 να εφαρμόσει την Β2 και y3 να εφαρμόσει την Β3. Προφανώς y1+y2+y3 =1. Για τον παίκτη με δύο στρατηγικές (δηλαδή τον Α) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: V(A, B1) = x +3(1-x) = 3 3x, V(A, B2) = -2x+4(1-x) = 4 6x και V(A, B3) = 2x - 3(1-x) = -3 + x. Σύρουμε δύο παράλληλους κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν την αξία για τον παίκτη Α. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(A, Bi), i=1,2,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο Β και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη Α είτε της Α1 είτε της Α2. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(A, B1) συνδέουμε το 3 με το, για το V(A, B2) συνδέουμε το 4 με το -2 και για την ευθεία V(A, B3) συνδέουμε το -3 με το 2.

17 Επειδή ο παίκτης Α επιλέγει maximin στρατηγική, αυτό συνεπάγεται ότι επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα. Δηλαδή θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το υψηλότερο σημείο Κ. Ως εκ τούτου, η στρατηγική Β1 από την πλευρά του παίκτη Β απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του maximin σημείου Κ και το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης 2 2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες y2 και y3 με y και 1-y αντίστοιχα: Α1 x Α2 1-x Β2 y Β3 1-y Στο σχήμα, με τα πράσινα βέλη σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται η βέλτιστη τιμή της πιθανότητας x 1 που είναι περίπου,64 και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κατακόρυφο άξονα (V,18). Για να εντοπίσουμε όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά. Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2: εξισώνουμε τις V(A, B2) και V(A, B3) και έχουμε 4 6x = -3 + x που δίνει 11x = 7. Άρα x = 7/11 (.64) και 1-x = 4/11 (στο σχήμα υποδεικνύεται με βέλος το σημείο στο οποίο η πιθανότητα x,64). Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B2) ή V(A, B3) δηλαδή είναι V = 4 6(7/11) = 2/11 (.18) (πράγματι στο σχήμα καταδεικνύεται με βέλος η τιμή του παιγνίου η οποία είναι στο.18 περίπου). Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A2) δηλαδή -2y + 2(1-y) = 4y - 3(1-y) που δίνει y = /11 και 1-y = 6/11. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(B, A1) είτε στο V(B, A2) θα πρέπει να πάρουμε τιμή του παιγνίου ίση με V =2/11 που βρήκαμε πριν και πράγματι έτσι είναι. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (7/11, 4/11, ) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (, /11, 6/11) Τιμή του παιγνίου V = 2/11 Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές η αναμέτρηση με τους ίδιους όρους, η αναμενόμενη αύξηση των ποσοστών του πολιτικού Α σε βάρος του Β ανέρχεται 2/11 της εκατό (περίπου.18%).

18 ΘΕΜΑ 8 ο Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, αδυνατεί να μας δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α είναι ίση με (τομή των στρατηγικών Α2 και Β1) και η Minimax τιμή του παίκτη Β είναι ίση με 3 (τομή των στρατηγικών Α3 και Β1). Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin Α Α2 4 1 Α Α Col Max 3 6 Minimax 3 3 Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική από την πλευρά του παίκτη Α. Από την πλευρά του παίκτη Β η στρατηγική Β3 είναι υποδεέστερη της Β1. Έτσι, μειώνεται η διάσταση του πίνακα πληρωμών ο οποίος δίνει τον ακόλουθο πίνακα διάστασης 4 2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β1 y 1 Β2 y 2 Α1 1-1 Α2 4 Α3 3-2 Α4-3 6 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική διαδικασία επίλυσης. Ονομάζουμε y 1 την πιθανότητα ο παίκτης Β να ακολουθήσει τη στρατηγική Β1 και y 2 την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β2 με y 1 + y 2 = 1. Για τον παίκτη Β που έχει δύο στρατηγικές διατυπώνουμε τις ακόλουθες σχέσεις: V(B, A1) = 1y 1-1y 2 = 2y 1-1 V(B, A2) = y 1 + 4y 2 = -4y V(B, A3) = 3y 1-2y 2 = y 1-2 V(B, A4) = -3y 1 + 6y 2 = -9y Φέρουμε δύο παράλληλους κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Στη συνέχεια φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α, δηλαδή τα V(B, Ai), i=1,2,3,4 που βρήκαμε παραπάνω. Για να χαράξουμε τα τέσσερα αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές από τον πίνακα πληρωμών στους δύο άξονες και πιο συγκεκριμένα, για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(B, A1) συνδέουμε το -1 με το 1, για το V(B, A2) συνδέουμε το 4 με το, για το V(B, A3) συνδέουμε το -2 με το 3 και για την ευθεία V(B, A4) συνδέουμε το 6 με το -3.

19 Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονη κόκκινη γραμμή. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο, δηλαδή όπως σημειώνεται, το σημείο Κ. Συνεπώς, οι στρατηγικές A1 και Α4 του παίκτη A απορρίπτονται αφού δεν συμμετέχουν στον καθορισμό του minimax σημείου (Κ) και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες y 1 και y 2 με y και 1-y αντιστοίχως. Επίσης προσθέσαμε τις πιθανότητες x και 1-x για τις υποδεικνυόμενες στρατηγικές, Α2 και Α3 (αντιστοίχως) του παίκτη Α. Β1 y Β2 1-y Α2 x 4 Α3 1-x 3-2 Στο σχήμα, με τα πράσινα βέλη σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται η βέλτιστη τιμή της πιθανότητας y που είναι.67 και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κάθετο άξονα (V=1.33). Για να εντοπίσουμε όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά. Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2. Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A2)=V(B, A3) από όπου προκύπτει ότι: y + 4(1-y) = 3y - 2(1-y) που δίνει 9y = 6. Άρα y = 2/3 (όπως φαίνεται και στο σχήμα) και 1-y = 1/3. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(Β, Α2) ή V(Β, Α3) δηλαδή είναι V = 4 (1/3) = 4/3 (όπως φαίνεται και στο σχήμα). Για τον παίκτη Α, έχουμε ότι: V(A, B1) = x + 3(1-x) = 3-3x και V(A, B2) = 4x - 2(1-x) = 6x 2. Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B2) παίρνουμε 9x =, άρα x = /9 οπότε 1-x = 4/9. Η τιμή του παιγνίου επαληθεύεται ξανά με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B2) δηλαδή είναι για παράδειγμα: V = V(A, B1) = 3-3 (/9) = 4/3. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (, /9, 4/9, ) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (2/3, 1/3, ) Τιμή του παιγνίου V = 4/3. Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές η αναμέτρηση με τους ίδιους όρους, η αναμενόμενη αύξηση των ποσοστών του πολιτικού Α σε βάρος του Β ανέρχεται 4/3 της εκατό (περίπου 1.33%).