ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (8,33% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ A.1 Αν η συνάρτηση του οριακού κόστους μιας επιχείρησης είναι ΜC = 4 Q-, και το σταθερό της κόστος είναι 500 να βρεθεί το συνολικό κόστος που αντιστοιχεί σε επίπεδο παραγωγής 0 μονάδων. ΤC(Q) = (4Q )dq = Q Q + C TC(0)=500 => c=500 TC(0) = = =160 ΘΕΜΑ A. Δίνεται η συνάρτηση ζήτησης 36 p = 9 q 36 + όπου p είναι η τιμή και q η ποσότητα. Να βρεθεί το μέγιστο έσοδο R= p.q. 1

2 36q R = q. p = + 9q q 36 (36 q).( q 36) (36 q).( q 36) R = + 9 = ( q 36) 36.( q 36) 36q+ 9( q 36) ( q 36) = = ( q 36) ( q 36) ΚΠΠ: ( 36) ( q 36) = ( q 36) =± =± 1 q q 1 R = + q = 9 3 = = 48 = 36 1 = 4 R = + q q q q = 4 ( q 36) ( 36 9( 36) ).( 36) ( ( 36) ).(( 36) ) q q + q q q = = ( q 36) ( q 36) 18( 36).( 36) ( 36 9( 36) ).( 36) 36.( 36) 4 4 ΚΔΠ: Για q = 48, R'' > 0 Ελάχιστο 1 Για q = 4 R'' < 0 Μέγιστο ΘΕΜΑ A.3 Σε έρευνα που έγινε από τη Διεύθυνση Μελετών της Τράπεζας Τ διαπιστώθηκε ότι το ύψος των λογαριασμών όψεως που τηρούνται σ αυτήν ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο 500 και τυπική απόκλιση 150. α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγμένος λογαριασμός έχει ύψος μεταξύ 317 και 770. β. Η Τράπεζα στο πλαίσιο της πολιτικής προσέλκυσης νέων πελατών προγραμματίζει να προσφέρει υψηλότερο επιτόκιο σε πελάτες που το μέσο ύψος του λογαριασμού τους υπερβαίνει κάποιο ποσό Π. Αν το μέτρο αυτό δεν πρέπει να επεκταθεί σε περισσότερους από το 1% των πελατών της να υπολογισθεί ποιο θα πρέπει να είναι το ποσό Π. Έστω Χ το ύψος ενός λογαριασμού. Γνωρίζουμε ότι το Χ ακολουθεί κανονική κατανομή Χ ~ Ν (μ = 500, σ = 150 ). α. Ζητάμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(317 < X < 770) 317 μ X μ 770 μ Ρ( 317 < X < 770) = Ρ < < = σ σ σ

3 = Ρ < Ζ < = Ρ < Ζ < = = Ρ( 1, < Ζ < 1,80) = Ρ( Ζ < 1,8 ) Ρ( Ζ < 1, ) = = Ρ( Ζ < 1,8) 1 Ρ( Ζ < 1,) = Ρ Ζ < 1,8 + Ρ Ζ < 1, 1 = 0, ,8888-1= 1,859-1= 0,859 Ρ 317 < Χ < 770 = 0,859 0, ή 85% ( ) ( ) ( ) = Συνεπώς: ( ) 85 β. Έστω Π το ζητούμενο ποσό, το οποίο θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: Ρ(Χ>Π) = 0,01 Ρ ( X > Π) = 0,01 Ρ(X < Π) = 0,99 X μ Π μ Π μ Ρ < = 0,99 Ρ Ζ < = 0,99 σ σ σ Π μ =,33 Π μ =,33* σ Π = μ +,33* σ σ Π = 500 +,33*150 Π = ,5 Π = 849,5 850 Συνεπώς το ζητούμενο ποσό είναι Π = 850 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Ερώτημα α: 5,0 μονάδες Ερώτημα β: 5,0 μονάδες Σύνολο: 10,0 μονάδες ΘΕΜΑ A.4 Ένα πολυκατάστημα έγινε κατά τους τελευταίους μήνες στόχος πολλών μικροκλοπών από υποτιθέμενους πελάτες. Η Διεύθυνση του καταστήματος αύξησε τα μέτρα ασφαλείας και αυτό είχε σαν αποτέλεσμα να συλληφθούν επ αυτοφώρω οι δράστες 50 τέτοιων μικροκλοπών. Σύμφωνα με τα στοιχεία της Υπηρεσίας Ασφάλειας του καταστήματος 10 από τους συλληφθέντες είναι άντρες και 130 γυναίκες. Επιπλέον, από τους άνδρες 5 είναι κάτω των 0 ετών, 50 μεταξύ 0 και 40 ετών και 45 πάνω από 40 ετών. Οι αντίστοιχοι αριθμοί για τις γυναίκες είναι 30, 65 και 35. Τοποθετήστε τα δεδομένα αυτά σε πίνακες. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθούν: α. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγμένος δράστης είναι άνδρας. β. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγμένος δράστης άνω των 40 ετών είναι γυναίκα. γ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγμένος άνδρας δράστης είναι κάτω των 0 ετών. δ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγμένος δράστης είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών. Από τα δεδομένα της άσκησης δημιουργούνται τον πίνακα που ακολουθεί: 3

4 Ηλικία Φύλο Άνδρες (Α) Γυναίκες (Γ) Σύνολα Πίνακας Κατανομή δραστών κατά φύλο / ηλικία Κάτω των 0 (0-) 5 (0,10) 30 (0,1) 55 (0,) Μεταξύ 0 και 40 (0 40) 50 (0,0) 65 (0,6) 115 (0,46) Άνω των 40 (40 + ) 45 (0,18) 35 (0,14) 80 (0,3) Σύνολα 10 (0,48) 130 (0,5) 50 (1,00) α. Ρ( ένας τυχαία επιλεγμένος δράστης να είναι άνδρας ) = 0,10+0,0+0,18 = 0,48 β. Ρ(ένας τυχαία επιλεγμένος δράστης πάνω από 40 να είναι γυναίκα ) = Ρ( τυχαία επιλεγμένα δράστης να είναι Γ / 40 + ) = Ρ( Γ / 40 + ) = + P( Γ 40 ) 0,14 = =0,4375 0,44 + P(40 ) 0,3 γ. Ρ( ένας τυχαία επιλεγμένος άνδρας δράστης να είναι κάτω των 0 ετών ) = Ρ(τυχαία επιλεγμένος δράστης να είναι 0 / Α)= Ρ( 0 / Α ) = P(0 Α) 0, 10 = =0,083 0,1 P( Α) 0, 48 δ. Ρ( ένας τυχαία επιλεγμένος δράστης να είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών ) = Ρ( Α ή 0 ) = Ρ(Α 0 ) = Ρ(Α) + Ρ( 0 ) Ρ(Α 0 ) = 0,48+0, 0,10 = 0,60 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Ερώτημα α:,5 μονάδες Ερώτημα β:,5 μονάδες Ερώτημα γ:,5 μονάδες Ερώτημα δ:,5 μονάδες Σύνολο: 10,0 μονάδες ΘΕΜΑ Α.5 Ένα διυλιστήριο χρησιμοποιεί δύο τύπους αργού πετρελαίου, Π 1 και Π, για την παραγωγή δύο τύπων βενζίνης Β 1 και Β. Η παραγωγή μπορεί να πραγματοποιηθεί σύμφωνα με δύο παραγωγικές διαδικασίες, Δ 1 και Δ, που δεν αποκλείουν η μία την άλλη. Σύμφωνα με τη διαδικασία Δ 1, ανά ώρα εφαρμογής της, αναμειγνύονται 6 (χιλιάδες) λίτρα πετρελαίου Π 1 με 4 (χιλιάδες) λίτρα πετρελαίου Π και παράγονται 5 (χιλιάδες) λίτρα βενζίνης Β 1 και (χιλιάδες) λίτρα βενζίνης Β. Σύμφωνα με τη διαδικασία Δ, ανά ώρα εφαρμογής της, αναμειγνύονται 3 (χιλιάδες) λίτρα πετρελαίου Π 1 με 5 (χιλιάδες) λίτρα πετρελαίου Π και παράγονται (χιλιάδες) λίτρα βενζίνης Β 1 και 4 (χιλιάδες) λίτρα βενζίνης Β. Οι διαθέσιμες ποσότητες αργού πετρελαίου Π 1 και Π είναι 168 (χιλιάδες) και 00 (χιλιάδες) λίτρα, αντίστοιχα. Οι απαιτήσεις της αγοράς επιβάλλουν την παραγωγή τουλάχιστον 100 (χιλιάδων) λίτρων βενζίνης Β 1 και 80 (χιλιάδων) λίτρων βενζίνης Β. Το κέρδος από τη παραγωγή με 4

5 βάση τη διαδικασία Δ 1 είναι 4 νομισματικές μονάδες ανά ώρα εφαρμογής της, ενώ για τη διαδικασία Δ είναι 1 νομισματική μονάδα ανά ώρα. (α) Να διαμορφωθεί ένα μαθηματικό μοντέλο που να προσδιορίζει επί πόσες ώρες το διυλιστήριο θα λειτουργήσει σύμφωνα με τη διαδικασία Δ 1 και επί πόσες ώρες σύμφωνα με τη διαδικασία Δ, έτσι ώστε το συνολικό κέρδος να μεγιστοποιείται. (5μ) (β) Να προσδιορισθεί γραφικά η βέλτιστη λύση του μαθηματικού μοντέλου. (5μ) Πίνακας δεδομένων Διαδικασία Είσοδος (Πετρέλαιο) χιλιάδες λίτρα Έξοδος (Βενζίνη) χιλιάδες λίτρα Κέρδος Π 1 Π Β 1 Β Δ Δ Απόθεμα χιλιάδες λίτρα Απαίτηση χιλιάδες λίτρα Ερώτημα (α) Ορίζουμε ως μεταβλητές απόφασης εκείνες οι οποίες προσδιορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης που στην προκειμένη περίπτωση είναι το συνολικό κέρδος. Το συνολικό κέρδος καθορίζεται από τους τρόπους με τους οποίους παρασκευάζονται τα δύο προϊόντα δηλαδή από το πόσες ώρες χρησιμοποιήθηκε η διαδικασία Δ1 και πόσες ώρες η διαδικασία Δ. Έστω λοιπόν ότι το διυλιστήριο λειτουργεί επί x 1 ώρες σύμφωνα με τη διαδικασία Δ 1 και επί x ώρες σύμφωνα με τη διαδικασία Δ. Τότε, η αντικειμενική συνάρτηση θα είναι maxmze z = 4x 1 + 1x αφού τα μοναδιαία κέρδη ανά περίπτωση είναι 4 και 1 αντιστοίχως. Για την κατασκευή των περιορισμών του προβλήματος έχουμε τα εξής: ο περιορισμός της κατανάλωσης πετρελαίου τύπου Π1 υποδεικνύει ότι η συνολική κατανάλωση αυτού του παραγωγικού συντελεστή δεν δύναται να ξεπεράσει τη μέγιστη διαθέσιμη ποσότητα που είναι ίση με 168 (χιλιάδες) λίτρα. Άρα, η κατανάλωση 6x 1 + 3x (χιλιάδες) λίτρα πετρελαίου Π 1 πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση από το 168. Ομοίως για το πετρέλαιο τύπου Π έχουμε ότι η συνολική κατανάλωση ανέρχεται σε 4x 1 + 5x (χιλιάδες) λίτρα πετρελαίου Π και πρέπει να είναι το πολύ 00. Οι άλλοι δύο περιορισμοί αναφέρονται στις ελάχιστες ζητούμενες ποσότητες. Για τη βενζίνη τύπου Β1 πρέπει να παράγονται τουλάχιστον 100 (χιλιάδες) λίτρα. Η συνολική παραγωγή προκύπτει από τη σχέση 5x 1 + x (χιλιάδες) λίτρα βενζίνης Β 1 oπότε η σχέση είναι 5x 1 + x > 100. Ομοίως για τη βενζίνη τύπου Β παίρνουμε x 1 + 4x > 80. Έτσι, ανακεφαλαιώνοντας, το μοντέλο στο οποίο έχουμε ενσωματώσει και τους περιορισμούς της μη αρνητικότητας των μεταβλητών είναι: 5

6 maxmze z = 4x 1 + x με τους περιορισμούς 6x 1 + 3x 168 4x 1 + 5x 00 5x 1 + x 100 x 1 + 4x 80 x 1 0, x 0 Ερώτημα (β) Για να βρούμε την άριστη λύση γραφικά, χαράσσουμε τις ευθείες που αντιστοιχούν στους τέσσερις περιορισμούς και εντοπίζουμε την κοινή περιοχή ισχύος, δηλαδή την εφικτή (κυρτή) περιοχή του προβλήματος, που εδώ είναι η περιοχή που ορίζεται από τις κορυφές ΑΒΓΔ (δηλαδή το εφικτό σύνολο του προβλήματος είναι το κυρτό πολύγωνο ΑΒΓΔ). Η άριστη λύση, σύμφωνα με τη θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού, εντοπίζεται σε μία εκ των κορυφών. Επομένως ένα τρόπος για να εντοπίσουμε την άριστη (βέλτιστη) λύση είναι να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών της εφικτής περιοχής και να αντικαταστήσουμε αυτές στην αντικειμενική συνάρτηση. Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών επιλύουμε ανά δύο τα απλά γραμμικά συστήματα των ευθειών των οποίων οι κορυφές είναι τα σημεία τομής. Στον επόμενο πίνακα έχουμε τις συντεταγμένες όλων των κορυφών μαζί με την τιμή του Ζ. Η μέγιστη εντοπίζεται στην κορυφή Γ(4, 8) που, με αντικατάσταση στην αντικειμενική συνάρτηση, δίνει το βέλτιστο z = 104. Άρα, η συνάρτηση έχει μέγιστο στο σημείο Γ(4,8) δηλαδή η άριστη λύση είναι x 1 = 4 και x = 8 με μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με μέγιστο κέρδος. * z = 104 που παριστάνει το Κορυφές, συντεταγμένες και τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Κορυφή x1 x z Α 5, ,941 58,8 Β 13,3333 9,3333 8,67 Γ Δ 15 1,5 7,5 Ο έτερος τρόπος εντοπισμού της άριστης λύσης, που περιγράφεται αναλυτικά στις σημειώσεις, είναι η χάραξη των ισοσταθμικών ευθειών που αντιστοιχούν στην οικογένεια των παραλλήλων ευθειών που ορίζεται από την παραμετρική οικογένεια της αντικειμενικής συνάρτησης και μετά να σαρώσουμε την εφικτή περιοχή με τις ιστοσταθμικές προς την κατεύθυνση που αυξάνεται η τιμή του z. Το τελευταίο σημείο στο οποίο τέμνει την εφικτή περιοχή πριν να φύγει στην μη εφικτή περιοχή είναι το άριστο. Η εξίσωση της οικογένειας των παραλλήλων ευθειών που παριστάνεται από την αντικειμενική συνάρτηση είναι η x = - 4x 1 + z. Χαράσσουμε μία τυχαία αντικειμενική για κάποια αυθαίρετη τιμή του z, (βλ. για παράδειγμα την ισοσταθμική για z=40) και στη συνέχεια, σαρώνοντας την εφικτή περιοχή προς τη κατεύθυνση αύξησης του z, βλέπουμε ότι το τελευταίο σημείο στο οποίο την τέμνει 6

7 πριν να φύγει στην μη εφικτή περιοχή είναι το σημείο Γ (υπάρχει στο σχήμα η αντίστοιχη διακεκομμένη ισοσταθμική του μεγίστου). Αυτό είναι και το βέλτιστο σημείο, και μόνο για αυτό αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων 6x 1 + 3x = 168 και x 1 + 4x = 80 των οποίων είναι η τομή. Οπότε, εντοπίζουμε το σημείο Γ(4, 8) και με αντικατάσταση στην αντικειμενική συνάρτηση παίρνουμε την άριστη τιμή z * = 104. ΘΕΜΑ Α.6 Σε ένα κατάστημα ψυχαγωγίας υπάρχει ένα μηχάνημα με ένα δημοφιλές παιγνίδι εικονικής πραγματικότητας. Ο χρόνος του παιγνιδιού ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή τρία λεπτά. Τις ώρες αιχμής, οι παίκτες καταφθάνουν μπροστά στο μηχάνημα ακολουθώντας εκθετική κατανομή του χρόνου που παρεμβάλλεται μεταξύ διαδοχικών αφίξεών τους. Η εκθετική αυτή κατανομή έχει μέση τιμή 5 λεπτά. Οι παίκτες περιμένουν τη σειρά τους δημιουργώντας μία ουρά αναμονής μπροστά στο μηχάνημα. Κάθε παίκτης, μετά την ολοκλήρωση της σειράς του (δηλαδή αφού παίξει) αποχωρεί για να βρει κάτι άλλο να ασχοληθεί, δηλαδή δεν δικαιούται να παίξει δύο συνεχόμενες φορές. Το κόστος παραμονής κάθε πελάτη στο σύστημα αναμονής και εξυπηρέτησης είναι 0,5 το λεπτό, ενώ το κόστος παροχής εξυπηρέτησης (δηλαδή διατήρησης του παιγνιδιού στο κατάστημα) είναι 0,1 το λεπτό. (α) Υπολογίστε τους δείκτες λειτουργικότητας: μέσο μήκος ουράς αναμονής, μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα, μέσο χρόνο αναμονής, μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα και την πιθανότητα ένας παίκτης να αρχίσει το παιγνίδι αμέσως. (7μ) (β) Τις ώρες αιχμής, πόσα θα πρέπει να είναι να προσδοκώμενα έσοδα της επιχείρησης από το παιγνίδι στη μονάδα του χρόνου ώστε αυτό να είναι κερδοφόρο; (3μ) Πρόκειται για ένα σύστημα Μ/Μ/1, όπου ο server είναι το μηχάνημα του παιγνιδιού (s=1) και το παιγνίδι αυτό καθ αυτό η «εξυπηρέτηση». Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου το λεπτό ή την ώρα. Αν χρησιμοποιήσουμε αρχικά την ώρα, για ευκολία στις πράξεις, θα έχουμε ότι ο μέσος ρυθμός άφιξης λ, της κατανομής 7

8 Posson, θα είναι λ = 1 άτομα/ώρα. Αυτό επειδή γνωρίζουμε ότι η Posson διαδικασία εισόδου συνοδεύεται από μία παράλληλη εκθετική κατανομή του χρόνου που παρεμβάλλεται μεταξύ διαδοχικών αφίξεων και η σχέση που τις συνδέει είναι ότι η μέση τιμή του χρόνου αυτού είναι 1/λ = 5 λεπτά δηλαδή 1/1 της ώρας (άρα λ=1 πελάτες την ώρα). Με όμοιο τρόπο συμπεραίνουμε ότι ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης μ, της κατανομής Posson στην εξυπηρέτηση, είναι μ=0 άτομα την ώρα αφού η μέση τιμή της αντίστοιχης εκθετικής κατανομής του χρόνου εξυπηρέτησης είναι 1/μ = 3 λεπτά δηλαδή 1/0 της ώρας (άρα μ=0 πελάτες την ώρα κατά μέσο όρο). Ερώτημα α λ 1 Το μέσο μήκος της ουράς αναμονής: L q = = = 0, 9 πελάτες. μ( μ λ) 0(0 1) λ λ 1 Το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα: L = = L + = 0,9 + = 1, 5 πελάτες q μ λ μ 0 λ Lq 0,9 Ο μέσος χρόνος αναμονής: Wq = = = = 0,075 ώρες (=0,075 60=4,5 μ( μ λ) λ 1 λεπτά). 1 L 1 Ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα είναι: W = = = W + = q μ λ λ μ 1,5 = 0,15 ώρες (=0,15 60=7,5 λεπτά). 1 Η πιθανότητα ένας παίκτης να ξεκινήσει το παιγνίδι αμέσως ισοδυναμεί με την πιθανότητα να μην βρει κανένα στο παιγνίδι τη χρονική στιγμή της άφιξής του, που είναι η πιθανότητα το σύστημα να είναι κενό, δηλαδή η P 0. Στο σύστημα Μ/Μ/1 η πιθανότητα λ P 0 είναι ίση με 1 δηλαδή είναι 1-1/0 = 0,4 δηλαδή 40%. μ Ερώτημα β Οι υπολογισμοί τώρα γίνονται πρώτα με μονάδα χρόνου το λεπτό για ευκολία. Το συνολικό κόστος λειτουργίας είναι TC = WC + SC = c w L + c s s δηλαδή είναι (για c w = 0,5 ανά λεπτό, c s = 0,1 ανά λεπτό, L=1,5 και s=1), TC = 0,5 1,5 + 0,1 1 = 0,85 ανά λεπτό. Αν θέλουμε να βρούμε το συνολικό κόστος με βάση την ώρα είναι απλώς 0,85*60 = 51 την ώρα. Επομένως, για να είναι το παιγνίδι κερδοφόρο, θα πρέπει τα έσοδα να ξεπερνάνε τα 51 την ώρα (ισοδύναμα τα 0,85 το λεπτό). ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΙΛΟΓΗ 3 ΑΠΟ ΤΑ 6 ΘΕΜΑΤΑ (16.67% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ B.1 Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση συνολικού κόστους TC=0+5 Q+0,05 Q και συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν της P = 10 0, Q, όπου Q είναι το επίπεδο παραγωγής και P η τιμή του προϊόντος. α. Να βρεθεί το μέγιστο επίπεδο παραγωγής το οποίο μεγιστοποιεί τα κέρδη Π της επιχείρησης και να επιβεβαιωθεί ότι το σημείο αυτό αποτελεί το μέγιστο της συνάρτησης κέρδους. Τα κέρδη δίνονται από την συνάρτηση Π = P. Q TC. β. Στο μέγιστο σημείο ποιο είναι το κέρδος της επιχείρησης; 8

9 α. Π=Q(10-0,Q)-0-5Q-0,05Q = -0,5Q +5Q-0 Π' = -0,5Q + 5 Π'=0 => Q=10 Π'' = -0,5 <0 επομένως στο Q=10 υπάρχει μέγιστο κέρδος. β. Το μέγιστο κέρδος είναι Π(10) = -0, = = 5 ΘΕΜΑ B. Να βρεθούν οι ελαστικότητες, των παρακάτω συναρτήσεων σε ένα σημείο τους x. α. y = a + bx b β. y = ax a) dy x x. = b. dx y a + bx b) dy x b 1 x. = abx. b dx y ax = b 9

10 ΘΕΜΑ B.3 Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανομή συχνότητας των μισθών τριάντα υπαλλήλων μιας δημόσιας υπηρεσίας: Μισθός ( ) Αριθμός Υπαλλήλων Δίνεται επίσης ότι η τυπική απόκλιση των μισθών τους είναι 10,5. Με βάση τα δεδομένα αυτά να υπολογιστούν: α. Ο αριθμητικός μέσος. β. Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των μισθών. γ. Ο συντελεστής ασυμμετρίας και να σχολιαστεί. Υπολογισμός βοηθητικών στοιχείων Κεντρική Μισθός Τιμή ( ) m Αριθμός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F ΣΥΝΟΛΑ f m α. Αριθμητικός Μέσος X = k = 1 f m n = = 773,333 X 773,3 β. Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος I = Q 3 Q 1 Θα πρέπει να υπολογιστούν τα Q 1, Q 3. Εντοπισμός της θέσης του Q 1 : n * 30 *1 30 = = = 7, Άρα το Q 1 ανήκει στην η τάξη (διάστημα < 800) Υπολογισμός της τιμής του Q 1 : δ n * ( 7,5 7) 0.5 Q1 = LQ + F = = = ( 0, 036)= 1 Q1 1 f Q1 = ,6 Q 1 703,6 10

11 Εντοπισμός της θέσης του Q 3 : n * 30 *3 90 = = =, Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστημα < 900) Υπολογισμός της τιμής του Q 3 : δ n* (,5 1) 1,5 Q3 = LQ + F 1 = = = ( 0, 3)= 3 Q3 f Q3 = Q = Συνεπώς το Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος είναι: I = Q 3 Q 1 = ,6 = 16,4 Ι = 16,4 γ. Συντελεστής Ασυμμετρίας Χ - M S P = 3 s Το X έχει ήδη υπολογιστεί και είναι X = 773,3 Το S δίνεται και είναι S = 10,5 Άρα απομένει ο υπολογισμός του Μ. Εντοπισμός της θέσης του Μ: n 30 = = 15 Άρα το Μ ανήκει στην η τάξη (διάστημα < 800) Υπολογισμός της τιμής του Μ: δ n ( 15 7) 8 M = LM + FM 1 = = = ( 0, 571)= fm = ,1 M 757,1 773,3-757,1 16, Άρα S P = 3 = 3 = 3 0,158 0, 47 10,5 10,5 Συνεπώς, η κατανομή παρουσιάζει θετική ασυμμετρία. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Ερώτημα α:,5 μονάδες Ερώτημα β: 4,5 μονάδες Ερώτημα γ: 3,0 μονάδες Σύνολο: 10,0 μονάδες ΘΕΜΑ B.4 Ένα Ιατρικό Κέντρο δοκιμάζει μια νέα δίαιτα αδυνατίσματος. Ο Πίνακας 3 περιέχει, για 5 τυχαία επιλεγμένα άτομα (Α Ε) από αυτά που υποβλήθηκαν στη συγκεκριμένη δίαιτα, τον αριθμό των εβδομάδων (Χ) που την ακολούθησαν και το βάρος (Υ) σε κιλά που έχασαν Πίνακας 3 Άτομα Α Β Γ Δ Ε Χ Υ

12 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι μεταβλητές X και Y συνδέονται με γραμμική σχέση: α. Να εκτιμηθεί η ευθεία παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ. β. Να εκτιμηθεί ο συντελεστής συσχέτισης και να ερμηνευτεί. γ. Να εκτιμηθεί το βάρος που θα χάσει ένα άτομο αν ακολουθήσει τη δίαιτα για 4 εβδομάδες. Με βάση τα δεδομένα της άσκησης δημιουργείται ο Πίνακας 4. Πίνακας 4 (1) () (3) (4) (5) (6) X Y X X Y Y ( X ) ( Y ) ( X X ) ( Y Y ) ,8-1,8 0, 1, 3, -,8-3,6 1,0 7,,4 8,96 3,96 0,16,16 8,96 ΣΥΝΟΛΑ , Υπολογισμός βοηθητικών στοιχείων 4 = X 1 X = = 4,8, = Y Y = = 4, n 5 n 5 S XX S S YY = ( X ) = X X = ( ) = Y Y Y Y n X n = = ( X X )( Y Y ) = 4, XY S YX α. Ευθεία Παλινδρόμησης S XY 4, α = Y X =, 4,8 a S,8 4 = = = XX 0,89 S XY 4, a 1 = = a1 = 1,06 S XX,8 Άρα η ευθεία παλινδρόμησης είναι: Y = 0,89 + 1,06X β. Συντελεστής Συσχέτισης r = S XY 4, = r = 0,98 S S,8* 6,8 XX YY = 6,8 =,8 Συμπεραίνουμε ότι υπάρχει έντονη θετική συσχέτιση μεταξύ του χρόνου δίαιτας ενός ατόμου και της απώλειας βάρους του. γ. Εκτίμηση της τιμής του Υ για Χ=4 Η ευθεία παλινδρόμησης είναι: 1

13 Y = 0,89 + 1,06 * X Για Χ = 4 έχουμε Y = 0,89 + 1,06* 4 Y = 3, 35 Άρα η απώλεια βάρους μετά από 4 εβδομάδες δίαιτας θα είναι 3,35 κιλά. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ Ερώτημα α: 5,0 μονάδες Ερώτημα β: 3,0 μονάδες Ερώτημα γ:,0 μονάδες Σύνολο: 10,0 μονάδες ΘΕΜΑ Β.5 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, ) Καλύτερη συσκευασία, 3) Αυξημένη διαφημιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιμής. Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β Β1 Β Β3 Β4 Α Α Α Α Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιμή του παιγνιδιού. (10μ) Η εφαρμογή του κριτηρίου mnmax απευθείας στον πίνακα δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την μη ύπαρξη ισορροπίας. Πράγματι, το maxmn σημείο των σειρών του παραπάνω πίνακα είναι η τιμή στην τομή των στρατηγικών Α1 και Β1, ενώ το mnmax σημείο των στηλών είναι η τιμή 3 στην τομή των στρατηγικών Α1 και Β. Επομένως δεν υπάρχει ισορροπία (δεν υπάρχουν αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) οπότε θα καταφύγουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Έτσι, συνεχίζουμε την επίλυση με διαγραφή κατ αρχήν όσων περισσοτέρων υποδεέστερων στρατηγικών. Οι στρατηγικές Α και Α4 διαγράφονται επειδή είναι υποδεέστερες της Α1 (στην προκειμένη περίπτωση είναι υποδεέστερες και της Α3) και δεν εφαρμόζονται ποτέ από έναν ορθολογιστή παίκτη Α (δηλαδή έχουν μηδενική πιθανότητα εφαρμογής). Στη συνέχεια, μπορούν να διαγραφούν και οι στρατηγικές Β3 και Β4 διότι είναι τώρα υποδεέστερες της Β (αφού τα εναπομένοντα στοιχεία των στηλών τους είναι όλα μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα της Β) και ο ορθολογιστής παίκτης Β δεν θα τις εφάρμοζε. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης και δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β1 y Β 1-y Α1 x 3 Α3 1-x

14 Αν τώρα, ονομάσουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, τότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Ομοίως, έστω y η πιθανότητα ο Β να ακολουθήσει τη στρατηγική του Β1, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του Β. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι V(A, B1) = x + 4(1-x) = -x + 4 και V(A, B) = 3x + 1(1-x) = x + 1. Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B) έχουμε ότι: -x + 4 = x + 1 δηλαδή 4x = 3 που δίνει x=0,75 άρα 1-x = 0,5. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B) δηλαδή είναι V = 0, =,5. Για τον παίκτη B, με όμοιο τρόπο, έχουμε ότι V(B, A1)=V(B, A3) απ όπου προκύπτει μετά τις πράξεις ότι y + 3 = 3y + 1 που δίνει y = 0,5 οπότε 1-y = 0,5 επίσης. Ανακεφαλαιώνοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0,75, 0, 0,5, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0,5, 0,5, 0, 0) Τιμή του παιγνίου V =,5 (αναμενόμενο κέρδος στον παίκτη Α, ζημιά του παίκτη Β) ΘΕΜΑ Β.6 Μία οικογένεια προγραμματίζει μία εκδρομή από την Πελοπόννησο στον Έβρο με αφετηρία τη Σπάρτη και προορισμό την Αλεξανδρούπολη. Στο ακόλουθο δίκτυο βλέπετε όλους τους εναλλακτικούς πιθανούς αυτοκινητόδρομους που μπορούν να χρησιμοποιήσουν για τη μετάβασή τους από τη Σπάρτη (κόμβος 1) στην Αλεξανδρούπολη (κόμβος 9) ενώ οι τιμές στις ακμές παριστάνουν ώρες ταξιδιού. Οι ενδιάμεσοι κόμβοι είναι οι πόλεις απ όπου μπορούν να περάσουν κατά τη διάρκεια του ταξιδιού. Η οικογένεια θέλει να φτάσει από τη Σπάρτη στην Αλεξανδρούπολη όσο γίνεται συντομότερα. Μπορείτε να τους συμβουλέψετε κατάλληλα; 14

15 Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής. Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Κόμβοι με προσωρινές διαδρομές: κόμβος, με απόσταση 5 από την αφετηρία απευθείας, κόμβος 3, με απόσταση ομοίως, κόμβος 5, με απόσταση 4 ομοίως και κόμβος 4, με απόσταση 6 ομοίως. Στο σύνολο των μονίμων εισέρχεται ο κόμβος 3 με ελάχιστη απόσταση μονάδες οπότε το σύνολο γίνεται {1, 3}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 3 στους μόνιμους. κόμβος, με απόσταση 5 μονάδες από την αφετηρία μέσω του 3 ή απευθείας κόμβος 5, με απόσταση 4 μέσω του 3 ή απευθείας κόμβος 7, με απόσταση 6 μονάδες μέσω του 3 κόμβος 4, με απόσταση 6 παραμένει, άλλωστε δεν είναι προσβάσιμος από τον κόμβο 3 Μόνιμος καθίσταται ο κόμβος 5 που έχει προσωρινή απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 4 μονάδες είτε απευθείας είτε μέσω του 3, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το {1, 3, 5}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 5 στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 4, παραμένει καλύτερο το 6 απευθείας από τον κόμβο 1 (μέσω του 5 είναι 8 μονάδες) κόμβος 7, παραμένει καλύτερο το 6 μέσω του 3 (μέσω του 5 είναι 7 μονάδες) κόμβος, παραμένει με απόσταση 5 μονάδες μέσω του 3 ή απευθείας κόμβος 8, μέσω του 5 με μήκος διαδρομής από την αφετηρία 4+3 = 7 μονάδες Από τους κόμβους με προσωρινό μήκος διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος με ελάχιστη απόσταση από την αφετηρία 5 μονάδες είτε απευθείας είτε μέσω του 3, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα {1, 3, 5, }. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 4, παραμένει το 6 απευθείας από τον κόμβο 1 (δεν είναι προσβάσιμος από τον ) 15

16 κόμβος 7, παραμένει καλύτερο το 6 μέσω του 3 (μέσω του είναι 9) κόμβος 8, παραμένει καλύτερο το 7 μέσω του κόμβου 5 (δεν είναι προσβάσιμος από τον ) κόμβος 6, μέσω του με μήκος διαδρομής 5+3=8 μονάδες Από τους κόμβους με προσωρινό μήκος διαδρομής, μόνιμος γίνεται ο κόμβος 4 με απόσταση από την αφετηρία 6 μονάδες απευθείας, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα {1, 3, 5,, 4}. Εδώ, θα μπορούσε να μπει στη θέση του 4 ο κόμβος 7 αλλά αυτό δεν έχει σημασία για το τελικό αποτέλεσμα. Απλώς αλλάζει η σειρά εισόδου στο σύνολο. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων. Ο κόμβος 4 συνδέεται μόνο με κόμβους που είναι ήδη μόνιμοι. Έτσι όπως βλέπουμε: κόμβος 7, παραμένει καλύτερο το 6 μέσω του 3 (δεν είναι προσβάσιμος από τον 4) κόμβος 8, παραμένει καλύτερο το 7 μέσω του κόμβου 5 (ομοίως) κόμβος 6, παραμένει το 8 μέσω το κόμβου (ομοίως) δεν υπάρχουν νέες προσβάσεις Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 7 με απόσταση από την αφετηρία 6 μονάδες μέσω του κόμβου 3 και το σύνολο μονίμων γίνεται {1, 3, 5,, 4, 7}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 7 στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 8, παραμένει καλύτερο το μήκος 7 μέσω του κόμβου 5 (μέσω του 7 είναι 10) κόμβος 6, παραμένει καλύτερο το μήκος 8 μέσω το κόμβου (μέσω του 7 είναι 9) κόμβος 9, μήκος διαδρομής 6+5=11 μέσω του 7 Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 8 με απόσταση από την αφετηρία 7 μονάδες μέσω του κόμβου 5 και το σύνολο μονίμων γίνεται {1, 3, 5,, 4, 7, 8}. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 8 στο σύνολο των μονίμων. κόμβος 6, παραμένει καλύτερο το 8 μέσω το κόμβου (άλλωστε δεν είναι προσβάσιμος από τον 8) κόμβος 9, μήκος διαδρομής 7+3 = 10 μέσω του κόμβου 8, δηλαδή βελτιώνεται Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 6 με απόσταση από την αφετηρία 8 μονάδες μέσω του και το σύνολο μονίμων γίνεται {1, 3, 5,, 4, 7, 8, 6}. Τέλος, αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 6 στο σύνολο των μονίμων. Ο κόμβος 9 ούτως ή άλλως δεν είναι προσβάσιμος από τον 6, οπότε για τον κόμβο 9 παραμένει καλύτερο μήκος διαδρομής το 10 μέσω του κόμβου 8 και εισέρχεται στους μόνιμους. Επομένως το ελάχιστο μήκος διαδρομής (σύνολο ωρών) είναι 10 ώρες. Για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 9 ο οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 8 και αυτός στη συνέχεια στο κόμβο 5. Από τον κόμβο 5 ερχόμαστε είτε απευθείας από την αφετηρία, είτε μέσω του κόμβου 3. Κατά συνέπεια άριστη διαδρομή, με μήκος (ώρες) 10 μονάδες, είναι το μονοπάτι ή εναλλακτικά το μονοπάτι Στο επόμενο σχήμα δίνουμε τα άριστα μονοπάτια μετάβασης από την αφετηρία στον κόμβο 9 με τη μορφή έντονων γραμμών με βέλη. 16

17 17