MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH

Transcript

1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 008

2 Copyright c 008, RNDr. Pavol Purcz, PhD. - Mgr. Adriana Šugárová Žiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná tlačenou, elektronickou alebo inou formou bez písomného súhlasu autora a vydavateľa. Neprešlo jazykovou úpravou. Recenzenti: Doc.RNDr. František Olejník, CSc., Doc.RNDr. Csaba Török, CSc. Vydala Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakulta ISBN

3 Úvod Tieto skriptá sú napísané pre študentov 1.ročníka bakalárskeho štúdia TU Stavebnej fakulty a Fakulty umení v Košiciach. Skriptá obsahujú tieto kapitoly: Lineárna algebra, Reálna funkcia jednej reálnej premennej, Diferenciálny počet funkcie jednej premennej a Analytická geometria. Posledná kapitola pozostáva z výsledkov riešenia daných úloh. Na začiatku každej kapitoly sú uvedené definície niektorých pojmov a ich vlastnosti, potrebné na riešenie príslušných úloh. Skriptá ďalej obsahujú riešené príklady a príklady na samostatné riešenie s výsledkami. Nakoľko tieto skriptá sú koncipované ako zbierka úloh, neobsahujú definície všetkých pojmov a ani dôkazy matematických viet. Na záver si dovoľujeme poďakovať doc.rndr. Františkovi Olejníkovi, CSc. a doc.rndr. Csabovi Törökovi, CSc. za starostlivé prečítanie celého textu a pripomienky, ktorými prispeli k zlepšeniu tejto učebnej pomôcky. Autori 3

4 1 Lineárna algebra 1.1 Matice. Operácie s maticami. Maticou typu m n nazývame tabuľku čísel pozostávajúcu z m riadkov a n stĺpcov a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n A = (a ij ) =..... a m1 a m... a mn Čísla a ij (i = 1,,..., m; j = 1,,..., n) nazývame prvky matice A. Ak všetky prvky matice sú rovné nule, maticu nazývame nulovou maticou. Ak m = n, matica A sa volá štvorcová matica. Prvky a ii, i = 1,,..., n štvorcovej matice tvoria jej hlavnú diagonálu. Ak všetky prvky hlavnej diagonály štvorcovej matice sú rôzne od nuly a všetky prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule, hovoríme o trojuholníkovej matici. Štvorcová matica, ktorej všetky prvky hlavnej diagonály sú rovné číslu 1 a všetky jej ostatné prvky sú rovné nule, sa nazýva jednotková matica. Budeme ju označovať E. Rovnosť dvoch matíc Dve matice A = (a ij ) a B = (B ij ) považujeme za rovnaké a píšeme A = B, ak sú toho istého typu m n a ak všetky prvky obidvoch matíc na rovnakých miestach sú rovnaké, t.j. a ij = b ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n). Súčet dvoch matíc Súčtom dvoch matíc A = (a ij ) a B = (b ij ) toho istého typu m n rozumieme maticu C = (c ij ) typu m n, pre ktorej prvky platí c ij = a ij + b ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n). Násobenie matice reálnym číslom Maticu násobíme reálnym číslom tak, že každý jej prvok násobíme týmto číslom. Súčin dvoch matíc Nech A = (a ij ) je matica typu m n a B = (b ij ) je matica typu n p. Maticu C = (c ij ) typu m p, pre prvky ktorej platí c ij = a i1 b 1j + a i b j a in b nj (i = 1,..., m; j = 1,..., p) nazývame súčinom matíc A a B a píšeme C = A B. Súčin dvoch matíc je definovaný práve vtedy, ak počet stĺpcov prvej matice sa rovná počtu riadkov druhej matice, t.j. i-tý riadok matice A násobíme j-tým stĺpcom matice B. Maticu a 11 a 1... a n1 a 1 a... a n.... a 1n a n... a nm označujeme A T a nazývame transponovanou maticou k matici A. Príklad 1. Nájdime maticu X, pre ktorú platí 3A + X = B, kde ( ) ( ) A =, B =

5 ( x11 x Riešenie. Matica X musí byť typu, X = 1 x 1 x X = 1 [( ) ( )] = 1 [( ) ( )] = Príklad. Určme súčin matíc A B a B A, kde A = ). Po dosadení dostaneme ( ) 1 = , B = ( ) Riešenie. Súčin A B má zmysel, pretože počet stĺpcov matice A sa rovná počtu riadkov c 11 c 1 matice B. Matica C = A B je typu 3, C = c 1 c. Prvok c ij je súčinom i-teho c 31 c 3 riadku matice A a j-teho stĺpca matice B. Teda c 11 = 4. +.( 3) + ( 1) = 7 c 1 = ( 1) = 9 c 1 = 3. + ( 7).( 3) ( 8).3 = 4, atď. Dostaneme 7 9 C = Súčin B A nemá zmysel, pretože počet stĺpcov matice B je rôzny od počtu riadkov matice A. Úlohy 1. Pre aké čísla x, y, z, u platí rovnosť medzi nasledujúcimi dvojicami matíc? a) ( ) ( ) y = 4 x + 5y 4 1x + 9 b) ( ) = x z + 8 c) ( ) = x ( y ) 4 10x + 1 3u 8 + 5z 8 ( ) y x + 1 6z + 3u 8. Vypočítajte A + B, A B, A 3B, ak: ( ) ( ) a) A =, B = ; b) A = 3 1 1, B =

6 3. Vypočítajte: a) ; b) ; [( ) ( )] c) ( Vypočítajte ) ( ) súčin matíc: ( ) ( ) ( ) ( ) a) ; b) ; c) ; ( ) ( ) 3 5 d) 4 ; e) ; f) ; g) Pre dané matice A a B vypočítajte súčiny A B a B A (ak existujú). 3 a) A = ( 1 1 ) 1, B = ; b) A = ( ), B = 4 0 ; 3 1 ( ) c) A =, B = ; ( ) d) A = , B = ; e) A = 4 6, B = 1 4 ; f) A = 1 0, B = ; g) A = 3 4, B = 1 4 ; ( ) h) A =, B = ; i) A = 5 0, B = ; ( ) ( ) j) A =, B =

7 6. ( Vypočítajte ) ( ) súčin( matíc: ) a) ; ( ) ( ) ( ) b) ; ( ) ( ) ( ) c) ; ( ) d) ( ) Vypočítajte x, y, z, t, u, v tak, aby platilo: ( ) ( ) x 3 y 0 x t u z 1 x = v z t 8. Vypočítajte A, B 3A, (A B) (A + B) a A B, ak: ( ) ( ) 5 1 A = ; B = ( ) 1 9. Vypočítajte hodnotu f(a), keď: A = ; 3 3 a) f(x) = x 5x + 3 b) f(x) = x x 1 ( ) Je daná matica A =. Nájdite maticu X, ktorá spĺňa podmienku: 0 a) X + 4A = O b) 5A 3X = O ( ) Je daná matica A =. Nájdite maticu X, ktorá spĺňa podmienku: 3 8 a) A + X = E b) A + 3X = E 1. Riešte maticové rovnice ( s neznámou ) maticou ( X: ) a) A 3X = B, kde A =, B = ; ( ) ( ) b) 3A + X = B, kde A =, B = ; ( ) ( ) c) 6X 3A = B, kde A =, B = ; d) ( ( ) ( ) X + A) = X B, kde A =, B = ; ( ) e) A T 3X = B, kde A = , B = ;

8 1 0 f) 5X A = E, kde A = Určte rozmery matice A a jej prvky: a) 1 A = 3 ; b) A 1 = ( 0 ) ; c) A ( 3 1 ) ( ) ( ) ( ) = ; d) A = Determinanty Každej štvorcovej matici A typu n n a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n A =.... a n1 a n... a nn môzeme priradiť číslo, ktoré nazývame determinantom matice A a označujeme D, det A alebo a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n..... a n1 a n... a nn V determinante D si zvolíme ľubovoľný prvok a ij a symbolom S ij označíme determinant, ktorý vznikne z determinantu D vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. S ij nazývame subdeterminantom (minorom) determinantu D patriacim prvku a ij. Algebraickým komplementom A ij patriacim prvku a ij nazývame subdeterminant S ij so znamienkom, t.j. A ij = ( 1) i+j S ij. Hodnota determinantu D matice A je definovaná takto 1. Ak n = 1, tak D = a 11.. Ak n, tak hodnotou determinantu D matice A nazývame číslo, ktoré dostaneme tak, že prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) determinantu vynásobíme príslušnými algebraickými komplementami a všetko spolu spočítame (rozvoj determinantu podľa riadku (stĺpca)). Z definície hodnoty determinantu D vyplýva D = a 11 a 1 a 1 a = a 11a a 1 a 1, a 11 a 1 a 13 D = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 = a 11A 11 + a 1 A 1 + a 31 A 31 = a 11 a a 3 a 3 a a 1 ( a ) 1 a 13 a a 3 a 33 + a 1 a a a 3 8

9 Poznámka. Pre n = 3 je možné použiť Sarusovo pravidlo: a 11 a 1 a = a a 1 a a 11 a a 33 + a 1 a 3 a 13 + a 31 a 1 a 3 a 13 a a a 3 a 3 a 11 a 33 a 1 a 1... a 31 a 3 a a 11 a 1 a a 1 a a 3 Vlastnosti determinantov 1. Determinant matice sa rovná determinantu matice k nej transponovanej.. Ak determinant D má dva riadky rovnaké, tak D = Ak niektorý riadok determinantu D je nulový, tak D = Ak v determinante D vymeníme navzájom dva riadky, tak sa zmení znamienko determinantu. 5. Determinant násobíme číslom tak, že týmto číslom násobíme jeden ľubovoľný riadok. 6. Hodnota determinantu sa nezmení, ak k ľubovoľnému riadku pripočítame číselný násobok iného riadku. Poznámka. Z vlastnosti 1 vyplýva, že vlastnosti -6 platia aj pre stĺpce. Príklad 3. Vypočítajme determinant Riešenie = 7.3 ( ).( 5) = 1 10 = Príklad 4. Vypočítajme determinant D = Riešenie = ( 5) [ ( 5) ] = = Príklad 5. Vypočítajme determinant D =

10 Riešenie. Determinant môžme rozvinúť podľa ľubovoľného riadku (stĺpca) a počítať podobným spôsobom ako v predchádzajúcom príklade. Ukážme teraz inú modifikáciu tohto spôsobu. Najprv determinant upravíme tak, aby v niektorom riadku (stĺpci) boli všetky prvky okrem jedného rovné nule. Pripočítaním prvého riadku k druhému a následným rozvojom podľa druhého riadku dostaneme D = = 0.A 1 +0.A +( ).A 3 +0.A 4 = ( ).( 1) =.18 = Úlohy 14. Vyčíslite determinanty: a) ; b) ; c) ; d) ; e) sin α cos α cos α sin α. 15. Riešte rovnice: a) x = 0; b) 3x 1 x x 3 = 3; c) x 6x 3 x = Vyčíslite determinanty: 3 0 a) ; b) ; c) ; d) ; 1 1 e) ; f) ; g) ; h) x 1 x 0 x 1 x 1 x ; 1 a 1 i) 0 a 0 a 0 a ; j) a a a a a a a a. 17. Vypočítajte x z rovníc: x x 3 a) x 3 = 0; b) 8 x 8 = 0; c) x x x = Nasledujúce determinanty vypočítajte rozvinutím podľa niektorého riadku (stĺpca) x a a) a b c d ; b) 1 1 y 1 1 z ; c) b c t d Vyčíslite determinanty: a) ; b) ; c) ;

11 d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) Inverzná matica Majme štvorcovú maticu A. Maticu A 1, pre ktorú platí A A 1 = A 1 A = E nazývame inverznou maticou k matici A. Matica A má inverznú maticu A 1 práve vtedy, ak determinant D matice A je rôzny od nuly a vypočítame ju podľa vzorca kde A je adjungovaná matica k matici A, A 11 A 1... A n1 A A 1 A... A n =..., A 1n A n... A nn kde A ij sú algebraické komplementy k prvkom a ij matice A. Príklad 6. Nájdime inverznú maticu (ak existuje) k matici A 1 = 1 D A, (1) ( ) a) A = 1 3, b) B = 0 4 cos x sin x, c) C =. sin x cos x Riešenie a) D = Vypočítame prvky A ij adjungovanej matice A 11 A 1 A 31 A = A 1 A A 3, A 13 A 3 A 33 kde A ij sú algebraické komplementy k prvkom a ij matice A. 11

12 A 11 = = 1, A 1 = = 1, A 13 = = 1, A 1 = = 1, A = = 3, A 3 = =, A 31 = = 1, A 3 = =, A 33 = = 1. Podľa vzorca (1) dostaneme A 1 = = b) 3 4 D = = 0. Z toho vyplýva, že matica B nemá inverznú maticu. c) D = cos x sin x sin x cos x = cos x + sin x = 1 0. Preto matica C má inverznú maticu C 1. Vypočítame prvky C ij adjungovanej matice ( ) C C11 C = 1. C 1 C Postupne zisťujeme, že C 11 = cos x, C 1 = sin x, C 1 = sin x, C = cos x. Podľa vzorca (1) dostaneme C 1 = 1 ( ) ( ) cos x sin x cos x sin x =. 1 sin x cos x sin x cos x Úlohy V úlohách 0. a 1. vypočítajte inverznú maticu A 1 pre danú maticu A. 0. ( ) ( ) ( ) ( ) a) A = ; b) A = ; c) A = ; d) A = a) A = ; b) A = 3 1 ; c) A = 1 ; d) A = ; e) A = 1 ; f) A = ;

13 g) A = ; h) A = Riešte maticové rovnice s neznámou maticou X. ( ) ( ) ( ) ( ) a) X = ; b) X = ; ( ) ( ) ( ) ( ) c) X = ; d) X = ; ( ) ( ) 3 1 e) X = ; ( ) ( ) ( ) f) X = ; ( ) ( ) ( ) g) X = ; ( ) ( ) ( ) h) X = ; i) X 1 3 = ; j) 3 4 X = Sústavy lineárnych rovníc Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi má tvar a 11 x 1 + a 1 x a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x a n x n = b... a m1 x 1 + a m x a mn x n = b m. (1) Čísla a ij sa nazývajú koeficienty a čísla b i (i = 1,,..., m; j = 1,,..., n) sa nazývajú absolútne členy sústavy (1); x 1, x,..., x n sa nazývajú neznáme. Ak všetky absolútne členy sú rovné nule, sústava sa nazýva homogénna. Maticu a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n A =. a m1 a m... a mn 13

14 nazývame maticou sústavy (1). Maticu a 11 a 1... a 1n A a 1 a... a n =. a m1 a m... a mn b 1 b b m nazývame rozšírenou maticou sústavy (1). A. Gaussova eliminačná metóda Dve sústavy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalentné, ak majú tie isté neznáme a ak každé riešenie jednej sústavy je riešením aj druhej sústavy a obrátene. Úpravy sústavy, ktorými z danej sústavy dostaneme sústavu s ňou ekvivalentnú, nazývame ekvivalentné úpravy. Budeme používať tieto ekvivalentné úpravy: 1. zmena poradia rovníc (neznámych),. násobenie ľubovoľnej rovnice sústavy ľubovoľným číslom rôznym od nuly, 3. pripočítanie číselného násobku ľubovoľnej rovnice sústavy k inej rovnici sústavy. Ekvivalentnými úpravami sa menia len koeficienty a absolútne členy sústavy. Preto namiesto sústavy môžeme pracovať s rozšírenou maticou sústavy. Každej ekvivalentnej úprave sústavy odpovedá úprava rozšírenej matice sústavy: 1. zmena poradia riadkov (stĺpcov),. násobenie ľubovoľného riadku rozšírenej matice ľubovoľným číslom rôznym od nuly, 3. pripočítanie číselného násobku ľubovoľného riadku rozšírenej matice k inému riadku tejto matice. Úpravami 1-3 sa snažíme docieliť, aby na hlavnej diagonále matice sústavy boli všetky prvky rôzne od nuly a pod hlavnou diagonálou všetky prvky rovné nule. Môže sa stať, že používaním týchto úprav dostaneme nulový riadok: Tomuto riadku odpovedá rovnica sústavy 0.x x x n = 0. Tejto rovnici vyhovujú ľubovoľné čísla x 1, x,..., x n. Preto táto rovnica pre výpočet nemá význam a zo sústavy ju môžeme vynechať. Z toho vyplýva, že nulový riadok rozšírenej matice môžeme vynechať. Po konečnom počte použití úprav 1-3 a vynechaní nulových riadkov nastane jedna z týchto troch možností: 1. Dostaneme riadok tvaru b i, kde b i 0. Tomuto riadku odpovedá rovnica 0.x x x n = b i, ktorá nemá riešenie (je sporná). Z toho vyplýva, že sústava (1) nemá riešenie.. Matica sústavy má trojuholníkový tvar (t.j. m = n, teda počet riadkov matice sústavy je rovnaký ako počet jej stĺpcov, alebo inak povedané, počet rovníc sa rovná počtu neznámych). V tomto prípade má sústava jediné riešenie. 3. Počet riadkov matice sústavy je menší ako počet jej stĺpcov, (t.j. m < n), teda počet rovníc sa rovná počtu neznámych. V tomto prípade má sústava nekonečne mnoho riešení. 14

15 V prípadoch a 3 napíšeme sústavu rovníc odpovedajúcu výslednej rozšírenej matici a obdržanú sústavu riešime. Príklad 7. Riešme sústavu x + y + 3z = 3 4x + y + 5z = 5 3x + 4y + 7z =. Riešenie. Napíšeme rozšírenú maticu sústavy a upravujeme ju : Vymenili sme navzájom druhý a tretí stĺpec (aby prvok a 11 na hlavnej diagonále bol rovný jednej). 1 : Prvý riadok sme násobili postupne číslami - a -4 a pripočítali k druhému a tretiemu riadku. : Vymenili sme navzájom druhý a tretí riadok (aby prvok a na hlavnej diagonále bol rôzny od nuly) a zároveň vydelili druhý riadok číslom 1 a tretí riadok číslom 5. Výsledná matica sústavy má trojuholníkový tvar a teda riešenie je jediné. Napíšeme sústavu odpovedajúcu výslednej rozšírenej matici y + x + 3z = 3 x + z = z = 1. Pri jej riešení postupujeme zdola nahor. Z tretej rovnice vypočítame z = 1, dosadíme do druhej rovnice a vypočítame x = 1. Napokon, dosadíme do prvej rovnice a vypočítame y =. Príklad 8. Riešme sústavu x + y + z u = 1 y z + 3u = 3 x + 3y + z 4u = 4 5x + y + + 4u = 4. Riešenie

16 : Prvý riadok sme postupne násobili číslami 1 a 5 a pripočítali k tretiemu a štvrtému riadku. : Druhý riadok sme postupne násobili číslami 5 a 1 a pripočítali k tretiemu a štvrtému riadku. 3 : Tretí riadok sme najprv vydelili číslom a potom násobili číslom 7 a pripočítali k štvrtému riadku. 4 : Vynecháme nulový riadok. Výsledná matica sústavy má lichobežníkový tvar. Preto sústava má nekonečne mnoho riešení. Napíšeme sústavu odpovedajúcu výslednej rozšírenej matici x + y + z u = 1 y z + 3u = 3 z 5u = 5. Za jednu z neznámych, napr. za neznámu u si zvolíme ľubovoľné číslo a potom z tretej, druhej a prvej rovnice vypočítame z = 5 + 5u, y = u, x = 0. Príklad 9. Riešme sústavu x + y 3z u = 7 3x y + z + u = 4 11x 4y 3z + u = 10. Riešenie : Prvý riadok sme postupne vynásobili číslami 3 a 11 a pripočítali k druhému a tretiemu riadku. : Druhý riadok sme vynásobili číslom 3pripočítali k tretiemu riadku. Poslednému riadku odpovedá sporná rovnica 0.x + 0.y + 0.z + 0.u = 16. Preto sústava nemá riešenie. Príklad 10. riešenie? Pre aké hodnoty a má systém x 1 x + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x x 3 + 4x 4 = x 1 + 7x 4x x 4 = t Riešenie t t 16

17 t 5 1 : Vymeníme prvú a druhú rovnicu. Potom prvú rovnicu postupne násobíme číslami, 1 a pripočítame k druhej a tretej rovnici. : Druhú rovnicu pripočítame k tretej rovnici. Keďže sústava odpovedajúca výslednej rozšírenej matici má mať riešenie, nesmie obsahovať spornú rovnicu. Z toho vyplýva t 5 = 0 a t = 5. B. Cramerovo pravidlo Ak počet rovníc sústavy (1) sa rovná počtu neznámych a ak determinant D matice sústavy (1) je rôzny od nuly, táto sústava má jediné riešenie, ktoré nájdeme Cramerovým pravidlom x 1 = D 1 D, x = D D,..., x n = D n D. D i je determinant, ktorý dostaneme z determinantu D tak, že v D i-ty stĺpec nahradíme stĺpcom absolútnych členov sústavy (1), i = 1,,..., n. Príklad 11. Riešme sústavu x 1 + x + x 3 = 1 x 1 x + x 3 = 4 4x 1 + x + 4x 3 =. Riešenie. Najskôr vypočítame determinant D danej sústavy. 1 1 D = = 6 0. Z toho vyplýva, že sústava má jediné riešenie a nájdeme ho Cramerovým pravidlom x 1 = D 1 D, x = D D, x 3 = D 3 D. 1 1 D 1 = = 6, D 1 1 = = 1, D = = 1. Po dosadení dostaneme x 1 = 6 6 = 1, x = 1 6 =, x 3 = 1 6 =. 17

18 Príklad 1. Vypočítajme t tak, aby homogénna sústava mala aj nenulové riešenie. ax 1 + x + x 3 = 0 x 1 + ax + x 3 = 0 x 1 + x + ax 3 = 0 Riešenie. Pre determinant D sústavy musí platiť D = 0 (keby platilo D 0, tak sústava by mala jediné riešenie, teda nulové). Teda a a a = 0. Po výpočte determinantu dostaneme rovnicu a 3 3a + = 0, čo môžme upraviť najprv takto a 3 a a + = 0 a ďalej a(a 1) (a 1) = (a 1)[a(a 1) ] = (a 1)(a a ) = (a 1) (a + ), ktorej korene sú a 1 = 1, a =. C. Riešenie sústavy pomocou inverznej matice Predpokladajme, že počet rovníc sústavy (1) sa rovná počtu n neznámych. Pre sústavu (1) uvažujme tieto matice a 11 a 1... a 1n x 1 b 1 a 1 a... a n A =...., X = x., B = b.. a n1 a n... a nn x n b n Potom sústavu (1) môžeme zapísať jednou maticovou rovnicou A X = B. Túto rovnosť nazývame maticový zápis sústavy (1). Ak matica A má inverznú maticu A 1, rovnicu násobíme zľava maticou A 1 a dostaneme X = A 1 B. Príklad 13. Riešme sústavu x 1 + x x 3 = x 1 x 3 = x 1 + x + x 3 = 7. Riešenie. Najskôr prejdeme k maticovému zápisu sústavy A X = B. Zostavíme maticu A sústavy, maticu X neznámych a maticu B absolútnych členov sústavy 1 1 x 1 A = 1 0 1, X = x, B =. 1 1 x

19 K matici A existuje inverzná matica A 1 = Potom z maticového zápisu A X = B môžeme vyjadriť X = A 1 B a dosadiť x 1 x = = =, 6 6 x čo znamená, že x 1 = 1, x =, x 3 = 3. Úlohy Riešte sústavy lineárnych rovníc: 3. x + y z = 3 3x 3y + 5z = 8 x + 4y 3z = 5 4. x + y z = 1 4x 5y + 6z = 3x 3y + 4z = 3 5. x + y + z = x + 3y + z = 5 x + y + 5z = 7 6. x y + z = 3x + y + z = x y + z = 1 7. x + y + 3z = 1 x y = 3 x + y + z = 8. x 3y + z = 0 x + y z = 3 x + y + z = 1 9. x 1 x x 3 = 4 3x 1 + 4x x 3 = 11 3x 1 x + 4x 3 = x + y + z = 4 3x 5y + 3z = 1 x + 7y z = x + y = 5 x + 3z = 16 5y z = 10 19

20 3. x + y 4z = 1 x + y 5z = 1 x y z = 33. x y + z = x + y + 3z = 1 x 3y z = x y + z = 5 x y z = 4x y z = x + y z = 0 x + y + z = 0 x y + 3z = x y z = 0 x + 4y + z = 0 3x + 7y + 3z = x + y = 1 x y 6z = 1 x z = 38. 3x 1 + 4x + x 3 8 = 0 x 1 + 5x + x 3 5 = 0 x 1 + 3x + 4x 3 3 = x 1 + 3x + x 3 4 = 0 x 1 + 6x + x 3 = 0 4x 1 + 8x x 3 = x + y + z = x + 3y + z = 5 x + y + 5z = 7 x + 3y 3z = x + y 3z = 1 x + y z = 1 x + y + z = 3 x + y 3z = 1 4. x + 3y + z = 0 x y + 3z = 0 3x 5y + 4z = 0 x + 17y + 4z = x y + z = 4 x + y z = 1 3x 7y z = 1 x + 5y + z = x + y z = 3x y + z = 7 x z = x + y + z = 7 0

21 45. x y + 3z 4u = 4 y z + u = 3 x + 3y 3u = 1 7y + 3z + u = x 1 + x + 3x 3 + 4x 4 = 11 x 1 + 3x + 4x 3 + x 4 = 1 3x 1 + 4x + x 3 + x 4 = 13 4x 1 + x + x 3 + 3x 4 = x 1 + 3x + 11x 3 + 5x 4 = x 1 + x + 5x 3 + x 4 = 1 x 1 + x + 3x 3 + x 4 = 3 x 1 + x + 3x 3 + 4x 4 = x 1 + 5x + 4x 3 + x 4 = 0 x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 11 x x + 9x 3 + 7x 4 = 40 3x 1 + 8x + 9x 3 + x 4 = x 1 + x x 3 + x 4 = 4 4x 1 + 3x x 3 + x 4 = 6 8x 1 + 5x 3x 3 + 4x 4 = 1 3x 1 + 3x x 3 + x 4 = x 1 + 4x + x 3 + x 4 = 3 3x 1 + 5x + 3x 3 + 5x 4 = 6 6x 1 + 8x + x 3 + 5x 4 = 8 3x 1 + 5x + 3x 3 + 7x 4 = x 1 x + x 3 + x 4 = 4 x 1 + x 3x 3 x 4 = 7 11x 1 4x 3x 3 + x 4 = x 1 + x x 3 x 4 = 0 x 1 x + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x x 3 + x 4 = 5 x 1 + x + x 3 x 4 = x + 4x 3 3x 4 6 = 0 x 1 + x + 3x 3 + x 4 = 0 6x 1 + 5x + 13x 3 8 = 0 x 1 + 3x + 7x 3 x = x 1 + x + 3x 3 x 4 = 1 3x 1 + x + x 3 x 4 = 1 x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x + x 3 x 4 = 1 5x 1 + 5x + x 3 = 1

22 V úlohách určte hodnotu parametra a tak, aby sústava mala a) jediné riešenie b) žiadne riešenie c) nekonečne mnoho riešení x 1 + x + x 3 = 1 7x 1 + 6x + 5x 3 = a 5x 1 + 4x + 3x 3 = 56. ax + y + z = 0 5x + y z = x y + z = x + y + az = x + ay + z = 1 ax + y + z = x 1 + x + x 3 = x 1 + 3x + 4x 3 = 3 3x 1 + x + ax 3 = Určte parameter a tak, aby sústava rovníc x 1 x + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x x 3 + 4x 4 = x 1 + 7x 4x x 4 = a mala riešenie. 60. Určte parameter a tak, aby sústava rovníc 3x y + z = 0 ax 14y + 15z = 0 x + y 3z = 0 mala nenulové riešenie a nájdite ho. 61. Stavebná firma zaplatila za 1 balík stavebných zmesí, 3 balíky cementu a 7 balíkov kameniva 3.530,-Sk. Pri objednávke 1 balíka stavebných zmesí, 4 balíkov cementu a 10 balíkov kameniva uhradila 4.310,-Sk. Koľko zaplatí stavebná firma za balíky stavebných zmesí, 3 balíky cementu a 5 balíkov kameniva?

23 Funkcie jednej reálnej premennej.1 Definičný obor a základné vlastnosti funkcií Množinu všetkých reálnych čísel označme R. Definičným oborom D(f) (ak D(f) nie je daný) funkcie danej rovnicou y = f(x) rozumieme množinu všetkých x R, pre ktoré f(x) R. Oborom hodnôt H(f) funkcie danej rovnicou y = f(x) rozumieme množinu všetkých y R, pre ktoré existuje x R tak, že y = f(x). Grafom funkcie danej rovnicou y = f(x) rozumieme množinu všetkých usporiadaných dvojíc [x, y] RxR takých, že x D(f) a y H(f). Funkcia y = f(x) je párna, ak f( x) = f()x pre každé x D(f). Funkcia y = f(x) je nepárna, ak f( x) = f()x pre každé x D(f). Funkciu f(x) nazývame ohraničenou, ak jej obor hodnôt H(f) je ohraničená množina. Podobne definujeme pojem funkcie ohraničenej zhora (zdola). Nech pre funkciu y = f(x) platí: ak x 1 x (pre všetky x 1, x D(f)), tak aj f(x 1 ) f(x ). Potom k funkcii y = f(x) existuje inverzná funkcia x = g(y), pre ktorú platí, že D(g) = H(f) a ku každej hodnote y D(g) existuje také x D(f), pre ktoré y = f(x). Rovnice y = f(x) a x = g(y) vyjadrujú tú istú krivku. Grafy funkcií y = f(x) a y = g(x) sú symetrické podľa priamky y = x. Inverznú funkciu k funkcii f označujeme aj ako f 1. Úlohy V úlohách 1-60 načrtnite grafy daných funkcií, určte definčný obor D(f) a obor hodnôt H(f). Zistite vlastnosti ako párnosť, nepárnosť, ohraničenosť zhora a zdola. Ak funkcia má inverznú funkciu f 1 (x), určte ju spolu s grafom, D(f 1 ) a H(f 1 ). 1. y = x.. y = x y = x y = x y = x y = x + 8; x < 0, ). 7. y = x y = 4 x ; x < 0, ). 9. y = (x + 1) ; x < 1, ). 10. y = (x 1) + 4; x < 1, ). 11. y = (x 1) y = x x. 13. y = (x 1) x. 14. y = x x y = x x y = x y = 9 x. 18. y = x 19. y = 1 3 x x 1 1. y = 3 x+1. y = 1. x 3. y = y = + 1. (x 1) (x+1) 5. y = x. 6. y = x y = 3 x y = x y = sin x + 1; x < π, π >. 30. y = 5 sin x. 31. y = sin(x π) y = sin(x + π). 33. y = sin( x) y = 5 sin x y = cos x. 36. y = 3 cos x y = cos(x π ). 38. y = cos x y = sin x. 40. y = sin x y = tg 4x + 1; x ( π, π). 4. y = tg x ; x ( π, π) y = 3 tg(x + π ). 44. y = tg(x π). 3

24 45. y = cotg x ; x (0, 4π) y = cotg(x π); x (π, π). 47. y = 3 x y = ( 1 3 )x y = x y = x y = x. 5. y = log 3 (x + 1). 53. y = log 1 (x + 1). 54. y = log 3 3 (x ). 55. y = log 3 (x + ). 56. y = log x y = arcsin x π. 58. y = arccos(x + 1). 59. y = arctg x. 60. y = arctg x Limita a spojitosť funkcie Limita funkcie v bode x 0 nezávisí od toho či je funkcia definovaná v bode x 0 alebo nie. Napriek tomu tento fakt má pri výpočte limít dôležitú úlohu. 1. Ak funkcia f je spojitá v bode x 0, tak jej limitu v bode x 0 počítame dosadením x 0 za x. lim f(x) = f(x 0 ). (1) x x 0 Príklad 1.. Vypočítajme lim x x + 5 x 3 Riešenie. Funkcia je definovaná v bode x 0 =. Preto môžeme použiť (1) a dostaneme lim x x + 5 x 3 = = 3.. Ak funkcia nie je spojitá v bode x 0 (alebo ak x 0 = ± ), je situácia zložitejšia. Osobitnú pozornosť treba venovať limitám typu 0 0,,, 0, (+0)0, 0, 1. () Pre hodnotu limity typov () môžu byť všetky možnosti: limita je vlastná, nevlastná alebo neexistuje vlastná ani nevlastná limita. Výpočet limity funkcie začíname tak, že do tejto funkcie dosadíme bod, v ktorom limitu počítame. Ak dostaneme limitu niektorého z typov (), použijeme úpravy ktorými odstránime takéto typy. Používame pritom vety a výsledky o limitách funkcie. Príklad. Vypočítajme limitu 8x 3 5x + 6 lim x 3x + x 1. Riešenie. Najskôr vypočítame limitu čitateľa a menovateľa. lim x (8x3 5x + 6) = lim x x3 (8 5 x + 6 x ) =, 3 lim x (3x + x 1) =. 4

25 Čitateľa aj menovateľa delíme najvyššou mocninou premennej x v menovateli a dostaneme 8x 3 5x + 6 lim x 3x + x 1 = lim 8x x x x = 8 3 lim x =. x x x Príklad 3. Vypočítajme limity a) lim (tg x 1 x π cos x ), b) lim x sin x x. Riešenie. Ľahko sa presvedčíme, že ide o limity typu a.0 a ďalej urobíme výpočet. a) b) lim (tg x 1 x π (sin x 1)(sin x + 1) = lim x π cos x(sin x + 1) cos x ) = lim ( sin x cos x 1 cos x ) = lim x π = lim x π x π sin x 1 cos x(sin x + 1) = lim x π cos x = lim x π sin x + 1 = cos π sin π + 1 = 0 = 0. lim x sin x x = lim sin x x 1 x = lim sin x x. 1 x = lim sin x x x sin x 1 cos x = cos x cos x(sin x + 1) = =. Úlohy 61. Načrtnite grafy nasledujúcich funkcií a určte body nespojitosti. { { x + 3, x < 1, ) x + 3, x (, > a) y = 5x 1, x (, 1) ; b) y = 3x, x (, ) c) =, x = 0, x = ± 4 x, x < 4, x > 6. Funkcia je definovaná nasledujúcim spôsobom 0 pre x < 0 ax pre 0 x < 1 y = x. + 4x pre 1 x < 3 b x pre x 3. Určte a, b tak, aby funkcia bola spojitá na celom D(f). Načrtnite graf funkcie. ; 5

26 63. Funkcia je definovaná nasledujúcim spôsobom: { x + 1 pre x 1 y = 3 ax pre x > 1. Pri akej hodnote čísla a bude funkcia spojitá? Načrtnite jej graf. 64. Vypočítajte nasledujúce limity funkcií. a) lim x (x + 8); b) lim x (4 x ); c) lim x [(x 1) + 4]; d) lim x 3 9 x ; g) lim x (1 + 3 x ); j) lim x (1 3 x ); m) lim x ( 3 x 1 ); e) lim x 0 x 9 ; h) lim (1 + 3 x 3 x ); k) lim (1 3 x 5 x ); f) lim x +(1 + 3 x ); i) lim x +(1 3 x ); l) lim ( 3 x x 1 ); n) lim ( + 1 ); o) lim x (x 1) x 1 +( + 1 (x 1) ); 1 p) lim( + ); q) lim x 0 (x 1) ( 3 x 4); x r) lim x 1 ( x + 5); s) lim x ( 1 3 )x+1 ; t) lim x (1 3 )x+1 ; u) lim x 1 ( 1 3 )x+1 ; v) lim x [log 3 (x + 1)]; w) lim x 0 [log 3 (x + 1)]; x) lim x 1 +[log 3(x + 1)]; y) lim x ( arctg x); z) lim x 0 ( arctg x + 3); 65. Vypočítajte nasledujúce jednostranné limity: a) lim x 1 + 3x + 1 x 1 ; 3x + 1 b) lim x 1 x 1 ; x + c) lim x + x 4 ; x + d) lim x x 4 ; e) lim x 3 + x + 3 x 6 ; x + 3 f) lim x 3 x 6. 6

27 3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej 3.1 Derivácia funkcie A. Derivácie základných elementárnych funkcií (c) = 0 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) = 1 cos x (cotg x) = 1 sin x (log a x) = 1 x ln a (ln x) = 1 x B. Pravidlá derivovania (a x ) = a x ln a (e x ) = e x (x α ) = αx α 1 (arcsin x) = 1 1 x (arccos x) = 1 1 x (arctg x) = 1 1+x (arccotg x) = 1 1+x. Majme funkcie f(x), g(x) a konštantu c. Potom platí (cf) = cf (f + g) = f + g (fg) = f g + fg ( f g ) = f g fg g. Z funkcií y = f(u) a u = g(x) utvorme zloženú funkciu y = f(g(x)). Pre deriváciu zloženej funkcie platí: [f(g(x))] = f (g(x))g (x), čo môžme zapísať aj takto: kde [f(u)] = f (u)u, u = g(x); u = g (x). Potom pre derivácie zložených základných elementárnych funkcií môžme predchádzajúce vzorce používať aj v tomto tvare: (c) = 0 (sin(u)) = cos(u).u (cos(u)) = sin(u).u (tg(u)) = 1 cos (u).u (cotg(u)) = 1 sin (u).u (log a (u)) = 1 (u) ln a.u (ln(u)) = 1 (u).u (a u ) = a u ln a.u (e u ) = e u.u (u α ) = αu α 1.u (arcsin((u))) = 1 1 u.u (arccos(u)) = 1 1 u.u (arctg(u)) = 1.u 1+u (arccotg(u)) = 1.u. 1+u Príklad 1. Vypočítajme deriváciu funkcií a) y = 3 x + 5 tg x 3 arcsin x, b) y = x 3 ln x, c) y = x cos x. 7

28 Riešenie. a) y = ( 3 x ) + (5 tg x) (3 arcsin x) = (x 3 ) + 5(tg x) 3(arcsin x) = b) c) =. 3 x cos x x = x + 5 cos x 3 1 x. y = (x 3 ln x) = (x 3 ) ln x + x 3 (ln x) = 3x ln x + x 3. 1 x = x (3 ln x + 1). y x = ( cos x ) = x cos x x(cos x) cos x = 1. cos x x( sin x) cos x = cos x + x sin x. cos x Príklad. Vypočítajme deriváciu zložených funkcií a) y = sin(3x + 1), b) y = e arctg x, c) y = ln (x + x 4). Riešenie. a) Funkcia je zložená z týchto funkcií y = sin z, z = 3x + 1. Podľa vzorca (1) je derivácia zloženej funkcie rovná súčinu derivácii funkcií, z ktorých je zložená. Použijeme vzorec (1) a dostaneme [sin(3x + 1)] = (sin z) (3x + 1) = cos z 3 = 3 cos(3x + 1). b) Funkcia je zložená z týchto dvoch funkcií y = e z, z = arctg x. Podľa vzorca (1) dostaneme (e arctg x ) = (e z ) (arctg x) = e z (arctg x). Funkcia z = arctg x je opäť zložená funkcia, a to z funkcií z = arctg u, u = x. Znovu použijeme vzorec (1) a máme e z (arctg x) = e z (arctg u) (x) = e z u = earctg x 1 + 4x. Môžme počítať aj priamo, bez zavádzania pomocných premenných. c) [ln (x + x 4)] = ln(x + 1 x 4) x + x 4 [1 + 1 (x 4) 1 x] = = ln(x + 1 x 4) x + x 4 x 4 + x x 4 = x 4 ln(x + x 4). Príklad 3. Vypočítajme deriváciu funkcie y = (1 + x ) x. Riešenie. Funkciu nemôžeme hneď derivovať podľa žiadneho z uvedených vzorcov, pretože funkcia nemá konštantný základ, ani exponent. 8

29 Najskôr funkciu upravíme tak, aby mala konštantný základ. Použijeme pritom rovnosť z = e ln z, platnú pre každé z > 0. Za z dosadíme z = (1 + x ) x, funkciu upravíme a až potom derivujeme. y = (1 + x ) x = e ln(1+x ) x = e x ln(1+x). y = [e x ln(1+x) ] = e x ln(1+x) [ln(1+x 1 )+x 1 + x x] = (1+x ) x [ln(1+x )+ x 1 + x ]. Takýto postup používame vždy pri derivovaní funkcie tvaru [f(x)] g(x). Úlohy 1. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkcií a) y = x x, b) y = 3 x 5, c) y = 1 x 3, d) y = x x x, e) y = 3 x 3 x 3 x, f) y = 4 x x 4.. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkcií a) y = (x 3 + 1)(x 4), b) y = (x 3 3x + )(x 4 + x 1), c) y = x arcsin(x) + 1 x, d) y = x. ln x x, e) y = x e x, f) y = x arccos(x), g) y = x cotg x + x, h) y = x log 3 (x), i) y = x 1 + x. 3. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkcií a) y = x + 1 x 1, b) y = 3t + 1 t 1, c) y = t + t, d) y = x4 b x, 1 + ln x e) y =, f) y = 3 ln x, x x g) y = 1 ln(x) 1 + ln(x), h) y = x cos x, i) y = 1 cos(x) 1 sin x, j) y = cotg x e x, k) y = x + 1 3(x 1) + (x 1)(1 x). 4. Vypočítajte derivácie nasledujúcich zložených funkcií a)y = sin (x) + sin(x ) + sin(x), b) y = cos(x ) + 3 sin (x) sin 3 (x), c) y = y = tg(4x + 3), d) y = arctg x, e) y = arctg x + 1 x 1, x f) y = arccotg, g) y = arccos sin x, h) y = 1 + x 1 x, 9

30 i) y = 3 x3, j) y = 10 sin x, k) y = 1 cos(x), l) y = e x, m) y = e x5, n) y = e x ln(x), o) y = ln(x + 3x + 5), p) y = ln arcsin x, q) y = e x. ln x, r)y = log 3 (x 1), s) y = log 3 (x sin(x)), t) y = ln(x x ). 5. Vypočítajte derivácie nasledujúcich zložených funkcií a)y = (1 + sin (x)) 4, b) y = tg x 1, c) y = cos 1 + x, 1 x 1 d) y = sin, e) y = arcsin3, f) y = arcsin cos 1 x 1 x, g)y = e arcsin(x) 1, h)y = ln x 1, i) y = log (x ), j) y = 5 sin x cos x 3, k)y = 1 ln 1 + x 1 x, l) y = e cos x + x. 6. Vypočítajte derivácie zložených funkcií a) y = ln cos arctg ex e x, b) y = ( e x 1 arctg e x 1), c) y = sin x 4 cos 4 x + 3 sin x 8 cos x ln 1 + tg x 1 tg x, d) y = ln tg x cotg x ln(1 + sin x) x, e) y = 1 4 (6x3 + x + x 11) x + x ln(x x + x + ), f) y = 1 6 h) y = (x + 1) ln x x arctg x 1, g) y = ln x 1 x arctg x, x 1 x arcsin x + 1 ln(1 x ), i) y = 1 + x x arcsin x + 1 3, j)y = ln arctg 1 + x, k) y = ln cos e x + 1, l) y = x(arcsin(x)) x+ 1 x arcsin(x), m)y = 1 (3 x) 1 x x + arcsin x Vypočítajte deriváciu funkcií tvaru y = [f(x)] g(x) a) y = 4x x, b) y = x cos x, c) y = (x + 1) arctg x, d) y = ( ) 1 x 1 + x 1+x, e) y = x 1/x, f) y = x x, 1 x g) y = (tg x) 1 cos x, h) y = x ln x, i) y = (arctg x) ln x, j) y = (sin x) cos x, k) y = x ex, l) y = (tg(x)) cotg x. 30

31 8. Určte f (n) (x), ak a) f(x) = x 8 3x 6 + 5x 4 7x + 9, n = 4; b) f(x) = x, n = 6; c) f(x) = arccotg x, n = 3; d) f(x) = cos x, n = 3; e) f(x) = x 3 ln x, n = 4; f) f(x) = 10, n = 10; x10 g) f(x) = log x, n = 4; h) f(x) = cos(x), n = Vypočítajte y (x), ak a) y = (x + 1) 3, b) y = ln(x x ), c) y = x + x x Geometrický a fyzikálny význam derivácie Ak priamka má smernicu k a prechádza bodom P 0 (x 0, y 0 ), tak jej rovnica je y y 0 = k(x x 0 ). (1) Majme priamky p 1 a p so smernicami k 1 a k. Ak priamky p 1 a p sú rovnobežné, tak k 1 = k, ak sú kolmé, tak k 1.k = 1 () a ak nie sú kolmé, tak pre ich uhol ϕ platí A. Geometrický význam derivácie f v bode x 0 tg ϕ = k 1 k 1 + k 1 k. (3) Geometrický význam derivácie funkcie f v bode x 0 je smernica k t dotyčnice t ku grafu funkcie f v bode P 0 (x 0, f(x 0 )), t.j. f (x 0 ) = k t. Z (1) vyplýva, že rovnica dotyčnice v bode P 0 je y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). (4) Príklad 4. Nájdime rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f(x) = x x + 3, ak dotyčnica je kolmá na priamku x + y + 1 = 0. Riešenie. Smernica danej priamky p je k p = 1. Chceme vypočítať smernicu k t dotyčnice. Pretože dotyčnica je kolmá na priamku p, podľa () platí k t k p = 1, k t = 1 k p = =.

32 Teraz vypočítame x-ovú súradnicu x 0 dotykového bodu. Pretože f (x) = x, máme f (x 0 ) = x 0. Použijeme geometrický význam derivácie a dosadíme Dosadíme do (4) a máme rovnicu dotyčnice f (x 0 ) = k t x 0 = x 0 =, f(x 0 ) = 3. y 3 = (x ), x y 1 = 0. Normála je rovnobežná s priamkou p. Preto pre jej smernicu k n platí k n = k p = 1. Dosadíme do (1) a máme rovnicu normály y 3 = 1 (x ), x + y 8 = 0. Príklad 5. Nájdime uhol kriviek f 1 (x) = e x, f (x) = e 3x. Riešenie. Uhol dvoch kriviek v ich spoločnom bode je uhol ich dotyčníc v tomto bode. Nájdime body, v ktorých sa pretínajú dané krivky. Postupne dostaneme e x = e 3x, e x e 3x = 0, e x (1 e x ) = 0, e x = 1, x = 0, y = e 0 = 1. Krivky sa pretínajú v jednom bode P (0, 1). Nájdeme smernice k 1, k dotyčníc v tomto bode ku daným krivkám a použijeme vzorec (3). f 1(x) = e x k 1 = f 1(0) = B. Fyzikálny význam derivácie f (x) = 3e 3x k = f (0) = 3 tg ϕ = = 1 7, ϕ = arctg 1 7. Ak hmotný bod sa pohybuje po priamke a jeho dráha s je funkciou času s = s(t), tak derivácia dráhy s v čase t 0 je rovná jeho rýchlosti v čase t 0, t.j. s (t 0 ) = v(t 0 ). Druhá derivácia dráhy s v čase t 0 je rovná jeho zrýchleniu a v čase t 0, t.j. s (t 0 ) = a(t 0 ). Príklad 6. Hmotný bod sa pohybuje po priamke tak, že jeho vzdialenosť s od začiatočného bodu sa za t sekúnd rovná s = 1 4 t4 4t t. 3

33 a) Určme čas, v ktorom sa pohybujúci hmotný bod nachádza v začiatočnom bode. b) V akom čase sa jeho rýchlosť rovná nule? Riešenie. a) Položíme s = 0 a postupne dostaneme 1 4 t4 4t t = 0, t (t 16t + 64) = 0, t (t 8) = 0, t 1 = 0, a t = 8. Hmotný bod sa nachádza v začiatočnom bode v čase t 1 = 0 a t = 8 sekúnd. b) Rýchlosť v = s = t 3 1t + 3t. Položíme v = 0 a máme t 3 1t + 3t = 0, t(t 1t + 3) = 0, t 1 = 0, t = 4, t 3 = 8. Hmotný bod má rýchlosť rovnú nule v čase t 1 = 0, t = 4 a t 3 = 8 sekúnd. Úlohy 10. Napíšte rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkcie a) y = x 4x v bode T (1,?); b) y = x v bode T (,?); c) y = ln x v bode T (?, 1); d) y = 3x 4 x 3 v bode T (,?); e) y = x v bode T (4,?); f) y = e x cos(x) v bode T (0,?). 11. V ktorom bode je dotyčnica k parabole y = x a) rovnobežná s priamkou y = 4x 5, b) kolmá na priamku x 6y + 5 = 0, c) taká, že zviera s priamkou 3x y + 1 = 0 uhol ϕ = π 4? Napíšte rovnice týchto dotyčníc. 1. Napíšte rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkcie a) y = x 3 3x tak, aby t o x ; b) y = ln x x c) y = ln x tak, aby t p : x y 3 = 0; d) y = e x/ + 1 tak, aby t p : x y + 1 = 0; e) y = ex + 1 tak, aby t p : x y + 1 = 0; f) y = x ln x tak, aby t p : x y + 5 = 0; tak, aby t 0 x ; g) y = x x + 3 tak, aby t p : 3x y + 5 = 0. 33

34 13. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie a) y = x x + 3 tak, aby t p : x + y 1 = 0; b) y = x ln x tak, aby t p : x y + 3 = 0; c) y = x 3 11x 15 tak, aby t p : x + y 7 = 0; d) y = x 3 tak, aby t p : 4x 3y + = Zistite, v ktorom bode je dotyčnica ku grafu funkcie y = f(x) rovnobežná s osou O x, ak: a) y = ln x x ; b) y = x (x ) ; c) y = 3x 4 + 4x 3 1x Zistite, v ktorom bode dotyčnica ku kubickej parabole y = x3 3 zviera s osou O x uhol π Vypočítajte uhol, pod ktorým pretína graf funkcie y = f(x) os O x, ak: a) y = ln(x + 1); b) y = e x 1; c) y = sin x; d) y = tg(x). 17. Určte také číslo b, aby graf funkcie y = bx x3 4 pretínal os x pod uhlom π Vypočítajte uhol, pod ktorým pretínajú grafy funkcií: a) y = x, y = x 3 ; b) y = (x ), y = 4x x Raketa odpálená zo Zeme sa pohybuje kolmo nahor tak, že pre jej vzdialenosť x v km od Zeme platí x = t 18t, kde t je čas v minútach od okamihu kedy prestali motory rakety pôsobiť. Určte rýchlosť rakety v čase t = 3 minúty, čas, v ktorom sa pohyb rakety nahor skončí a najväčšiu výšku, ktorú raketa dosiahne. 0. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = t 3 15t + 36t +, kde s je dráha v m a t je čas v sekundách. Zistite, v ktorom čase je rýchlosť telesa nulová. 1. Keď teleso vyhodíme zvisle nahor, výška telesa nad povrchom počítaná v metroch je daná rovnicou s = 100t 4, 9t, kde t je čas v sekundách. Nájdite: a) rýchlosť v čase t = ; b) za aký čas dosiahne teleso najväčšiu výšku; c) akú najväčšiu výšku teleso dosiahne.. Rýchlosť telesa pohybujúceho sa priamočiaro je daná rovnicou v = 3t + t. Aké zrýchlenie bude mať teleso o štyri sekunky po začiatku pohubu? 3. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 1 + t + t, kde s je dráha v metroch a t je čas v sekundách. Určte jeho rýchlosť v čase t =. 4. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 1 4 t4 4t t, kde s je dráha v metroch a t je čas v sekundách. Zistite, v ktorom čase je: a) teleso na začiatku dráhy; b) rýchlosť telesa nulová. 34

35 3.3 L Hospitalovo pravidlo Predpokladajme, že lim x x 0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 alebo lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = a nech existuje Potom existuje aj a platí rovnosť lim x x 0 lim x x 0 lim x x 0 f (x) g (x). f(x) g(x) f(x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x). Toto pravidlo platí aj pre x 0 = alebo x 0 =. L Hospitalovo pravidlo sa teda prakticky používa na počítanie limít podielu dvoch funkcií f(x) typu 0 a. Po istých úpravách môžeme L Hospitalovo pravidlo použiť aj na limity g(x) 0 typu, 0, a iné. Príklad 7. Vypočítajme limitu lim x x 3x + 5x 3 x + 1. Riešenie. Limita je typu. Úlohu môžme riešiť dvoma spôsobmi. a) Vyberieme najvyššiu mocninu premennej x pred zátvorku a vykrátime. Použitím viet o počítaní limít je možné ľahko určiť limity dielčich výrazov ako aj následne vypočítať celkovú hodnotu hľadanej limity. lim x x 3x + 5x 3 x + 1 = lim x ( 3 + ) x x x x 3 (5 + 1 ) = lim x x 3 x b) Na výpočet použijeme L Hospitalovo pravidlo. lim x x 3x + 5x 3 x + 1 = lim x 4x 3 15x 4x = lim x 3 x + x x(5 x + 1 x 3 ) = x 4 = lim x 0 30 = 0. Príklad 8. Vypočítajme limity a) lim x π 1 sin x π x, b) lim x 0 ( cotg x 1 ) x c) lim x x e x. 35

36 Riešenie. a) Dosadením x = π zistíme, že limita je typu 0. Môžeme použiť L Hospitalovo pravidlo. 0 lim x π 1 sin x π x = lim x π cos x = 1 lim cos x = 1 x π cos π = 1 0 = 0. b) Limita je typu (pre x 0+ je to typ + (+ ), pre x 0 je to typ ( )). Upravíme na typ 0. 0 ( lim cotg x 1 ) x tg x = lim x 0 x x 0 x tg x = lim 1 cos x x 0 ( ) = tg x + x 1 cos x = lim x 0 cos x 1 (sin x cos x + x) = lim x 0 cos x 1 sin x + x = lim x 0 4 cos x sin x cos x + = = 0. c) Máme počítať limitu súčinu f(x)g(x). Súčin fg prepíšeme na podiel alebo g 1 a f máme typ 0 alebo. Ak sa výpočet limity skomplikuje po úprave na jeden z týchto 0 typov, použijeme úpravu na druhý typ. V našom príklade je limita typu 0. Upravíme ju na typ. f 1 g lim x x e x x = lim x e = lim x x x e x = lim x 1 e x = 0 = 0. Úlohy Vypočítajte nasledujúce limity. Typ 5. a) lim x 3x 4 + 5x 1 x 4 3x 3 + x, d) lim x x 3 4x 1 6x + 3x x 3, b) lim x e) lim x x 3 + x x + 1 5x 6x + 3 (x + 1) (x 1)(x + 3) g) lim, h) lim x x x 3x + 5 x 3 100x x + 15x 7x x + 6 c) lim x 4x 3 + 5x, f) lim x x 1 3 x 3, i) lim x (x 1) (4x 1)(3x + ). 6. ln sin x ln sin x a) lim, b) lim x 0 + ln sin 5x x 0 + ln sin x, ln x d) lim x 0 + cotg x, ln x g) lim x x, ln x e) lim x x, h) lim x π c) lim x π tg 5x tg 3x, x f) lim x ln(1 + x), ln( π x) e x, i) lim tg x x x. Typ a) lim x x 4 x 3x +, b) lim x 1 x 4 + x 3 x 3x + x 3 4x + 5x c) lim, x 1 x 5 3x + 36

37 x x + 1 d) lim, e) lim x 1 x 3 x x 1 g) lim x 0 j) lim x π sin 3x, h) lim x x 0 cos 3x cos x, x sin x m) lim x 0 1 cos x p) lim x 1 x 1 ln x, s) lim x e ln x 1 x e, k) lim x 0, n) lim x 0 8x 3 1 6x 5x + 1 f) lim x 1 x sin(x + 1), sin 8x sin 4x + sin 7x i) lim, sin 9x x 0 sin 3x 1 cos x x sin x, l) lim, x x 0 x 3 ln cos x sin(1 x), o) lim, x x 1 x 1 e x 1 q) lim x 0 sin x, t) lim x 0 Typ ( ) 8. ( 1 a) lim x 0 x 1 ) ( 1, b) lim e x 1 x 1 ln x Typ 0 9. ( 1 d) lim x 0 sin x 1 tg x a) lim x ln x, x 0 + ), e) lim x 0 e x e r) lim x 1 x 1, e x 1 e x e x, u) lim 3x x 0 sin x. x ln x ( cotg x 1 x b) lim x ln(1 + 1 x x ), d) lim x 0 + x e1/x, e) lim x 0 x e1/x, g) lim x (π arctg x) ln x, h) lim x x 4 x ) ( 1, c) lim x 1 ), f) lim x 1 ln x 1 x 1 ( 1 ln x 1 x 1 c) lim x cotg x x 0 4, f) lim x [x(e 1/x 1)], ), ). tg πx, i) lim sin(x 1) tg(πx). 4 x Rastúce a klesajúce funkcie. Lokálne extrémy. A. Majme funkciu f, ktorá je spojitá na intervale I a má deriváciu v každom vnútornom bode intervalu I. Ak f (x) > 0 (f (x) < 0) v každom vnútornom bode x intervalu I, tak f je rastúca (klesajúca) na intervale J. Príklad 9. Nájdime intervaly, na ktorých je funkcia rastúca a na ktorých je klesajúca. f(x) = ln(1 x ) Riešenie. Najskôr určíme definičný obor D(f). Vyjde nám D(f) = ( 1, 1). Vypočítame deriváciu funkcie f. Dostaneme f (x) = x 1 x. 37

38 a) Zaujíma nás, kde je funkcia f rastúca, teda pre ktoré x platí, že f (x) > 0. Preto položíme f (x) > 0 a dosadíme. Máme x 1 x > 0. Riešením nerovnice je x ( 1, 0) (1, ). Nemôžeme povedať, že funkcia f je rastúca na týchto dvoch intervaloch. Môže byť rastúca len tam, kde je definovaná. Preto nájdeme spoločnú časť tejto množiny a D(f). Dostaneme [( 1, 0) (1, )] ( 1, 1) = ( 1, 0). Funkcia f je rastúca na intervale ( 1, 0). b) Skúmame, kde je funkcia klesajúca. Položíme f (x) < 0 a podobným postupom zistíme, že funkcia f je klesajúca na intervale (0, 1). B. Body, v ktorých má funkcia f lokálne extrémy hľadáme týmto postupom 1. Nájdime stacionárne body funkcie f, t.j. body, pre ktoré platí f (x) = 0 a body, v ktorých funkcia f nemá deriváciu.. Funkcia f môže mať lokálny extrém len v týchto bodoch. O tom, či funkcia f má v týchto bodoch lokálny extrém, rozhodneme podľa niektorého z nasledujúcich dvoch pravidiel: pravidlo 1. Ak f (x 0 ) = 0 a f (x 0) 0, tak funkcia má v bode x 0 lokálny extrém, a to a) lokálne minimum, ak f (x 0 ) > 0, b) lokálne maximum, ak f (x 0 ) < 0. Nech x 0 je stacionárny bod funkcie f alebo bod v ktorom funkcia f nemá deriváciu. Potom platí pravidlo. Ak funkcia f je spojitá v bode x 0 a ak existuje také okolie bodu x 0, že v tomto okolí naľavo od bodu x 0 je funkcia rastúca (klesajúca) a napravo je klesajúca (rastúca), tak funkcia f má v bode x 0 lokálne maximum (minimum). Príklad 10. Nájdime lokálne extrémy funkcie f(x) = x3 3 x 3x. Riešenie. Definičný obor funkcie f je D(f) = (, ). Upravíme a dostaneme f (x) = x x 3. f (x) = (x 3)(x + 1). Funkcia f má deriváciu v každom bode definičného oboru D(f). Nájdeme stacionárne body. Položíme f (x) = 0 a získame stacionárne body x 1 = 1 a x = 3. Lokálne extrémy môže funkcia mať len v týchto dvoch bodoch. Či skutočne má, rozhodneme teraz napr. podľa pravidla 1. f (x) = x 38

39 f ( 1) = 4 < 0, f (3) = 4 > 0. Funkcia nadobúda v bode x 1 = 1 lokálne maximum f( 1) = 5 a v bode x 3 = 3 má lokálne minimum f(3) = 9. Príklad 11. Nájdime lokálne extrémy funkcie f(x) = (10 x) 3 x. Riešenie. Definičný obor je D(f) = (, ). f (x) = 3 x + (10 x) 3 x 1 3 = 3 x + (10 x) 3 3. x Derivácia neexistuje v bode x = 0. Hľadáme stacionárne body, teda postupne riešime rovnicu f (x) = 0 3 x + (10 x) 3 3 x = 0, 3x + 0 x = 0, x = 4. Funkcia f má stacionárny bod x = 4. Teda lokálny extrém môže byť len v bodoch x = 0 a x = 4. (Lokálne extrémy teraz vyšetrujeme podľa pravidla.) Tieto body rozdelia definičný obor D(f) na intervaly (, 0), (0, 4), (4, ). V každom z týchto intervalov derivácia f (x) nemení znamienko. Sú to intervaly, v ktorých funkcia f(x) je rastúca (ak f (x) > 0), prípadne klesajúca (ak f (x) < 0). Pretože f (x) má rovnaké znamienko v celom intervale, znamienko f (x) v každom intervale stanovíme tak, že nájdeme znamienko f (x) v ľubovoľnom jednom bode tohoto intervalu. V jednotlivých intervaloch si zvoľme napr. tieto body 1 (, 0), 1 (0, 4), 8 (4, ) a vypočítajme deriváciu f (x) v zvolených bodoch. f ( 1) = 3 ( 1) + (10+1) f (1) = (10 1) f (8) = (10 8) = 1 3 < 0, = 5 > 0, = < 0. Získané výsledky zapíšeme do tabuľky. Ak funkcia rastie (klesá) použijeme šípku ( ) x (, 0) (0, 4) (4, ) f (x) + f(x) Funkcia f je spojitá na D(f) (pretože je elementárna), a teda aj v bodoch x = 0 a x = 4. Podľa pravidla má funkcia f v bode x = 0 lokálne minimum f(0) = (10 0) 0 = 0 a v bode x = 4 má lokálne maximum f(x) = (10 4) 3 16 = 1 3. Stacionárny bod x = 4 (ale nie bod x = 0) by sme mohli vyšetriť aj podľa pravidla 1. 39

40 Úlohy 30. Určte intervaly, na ktorých sú funkcie rastúce a klesajúce: a) f(x) = x 3 + 4x 3x + 6, b) f(x) = x3 3 x x + 1, 31. Určte lokálne extrémy funkcií c) f(x) = x 4 4x + 5, d) f(x) = x 3 e x, e) f(x) = x, f) f(x) = arctg(x) x. ln x a) y = x 5 5x 4 + 5x 3 + 4, b) y = x 3 + 3x 4, c) y = 3x 1 x, d) y = y = (x + ), x e) y = x x +, f) y = x3 x 1 x 1, g) y = x arctg x, h) y = ln(x) + 1 x. 3.5 Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie A. Medzi časté aplikácie matematiky patrí úloha nájsť najväčšiu hodnotu (maximum) a najmenšiu hodnotu (minimum) funkcie f na danom intervale I. Nech I je uzavretý interval, I =< a, b > a funkcia f je spojitá na I. Potom podľa Weierstrassovej vety má funkcia f na I maximum aj minimum. Maximum a minimum funkcie f hľadáme takto 1. Nájdeme body z intervalu (a, b) v ktorých je f (x) = 0 a body z tohoto intervalu, v ktorých f (x) neexistuje.. Zistíme, v ktorých z týchto bodov má funkcia f lokálny extrém. 3. Vypočítajme hodnoty f(a), f(b) a hodnoty funkcie f v bodoch, v ktorých má lokálny extrém. Najväčšie z týchto čísel je maximum a najmenšie je minimum funkcie f na intervale < a, b >. Ak I nie je uzavretý interval, nemôžeme použiť Weierstrassovu vetu. Môžeme si pomôcť skúmaním jednostranných limít v koncových bodoch. Môže sa stať, že funkcia na I nemá maximum ani minimum. Môžme použiť aj nasledujúcu vlastnosť (v) spojitých funkcií: ak f je spojitá funkcia na intervale I a má práve v jednom bode x 0 I lokálne maximum (lokálne minimum), tak f(x 0 ) je najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie f na intervale I. Príklad 1. Nájdime najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie a) f(x) = x 3 + 3x 9x 3 na intervale < 4, 4 >, b) f(x) = tg x tg x na intervale < 0, π ). 40

41 Riešenie. a) 1. Najskôr vypočítame deriváciu f (x). f (x) = 3x + 6x 9. Nájdeme stacionárne body funkcie f. Položíme f (x) = 0, teda 3x +6x 9 = 0. Riešenia rovnice x 1 = 1, x = 3 sú stacionárne body, 1 ( 4, 4), 3 ( 4, 4). Body, v ktorých f nemá deriváciu neexistujú.. Funkcia môže mať lokálny extrém len v bodoch x 1 = 1 a x = 3. Či skutočne má, rozhodneme použitím druhej derivácie. f (x) = 6x + 6, f (1) = 1 > 0, f ( 3) = 1 < 0. Funkcia f má v bode x 1 = 1 má lokálne minimum a v bode x = 3 lokálne maximum. 3. Počítame hodnoty funkcie f v bodoch x 1 = 1, x = 3 a v koncových bodoch x 3 = 4 a x 4 = 4. f(1) = 8, f( 3) = 4, f( 4) = 17, f(4) = 73. Funkcia f má najväčšiu hodnotu v bode x 4 = 4, pričom f(4) = 73 a najmenšiu hodnotu má v bode x 1 = 1, pričom f(1) = 8. b) 1. Vypočítame f (x). Položíme f (x) = 0. f 1 (x) = cos x tg x 1 cos x = 1 tg x cos x. 1 tg x cos x = 0, tg x = 1, x = π (0, 4 π ). Máme jeden stacionárny bod x = π ležiací v intervale ( ) 0, π 4. Funkcia f má deriváciu v každom bode daného intervalu.. Funkcia f môže mať lokálny extrém len v bode x = π. Použijeme druhú deriváciu. 4 f (x) = 1 cos x cos x (1 tg x) cos x( sin x) = cos 4 x 1 + (1 tg x) sin x ( π ) =, f = cos 4 ( 1 x 4 ) 4 < 0. Funkcia f má v bode x = π lokálne maximum. Podľa vlastnosti (v) má v tomto bode 4 najväčšiu hodnotu, a to f( π) = Pri hľadaní najmenšej hodnoty si všímame len koncové body. Platí f(0) = 0. Funkcia f nie je definovaná v bode x = π, preto nemôžeme počítať f(π ). Skúmame limitu zľava v bode x = π. lim x π ( tg x tg x ) ( = lim sin x ) x π cos x sin x cos x sin x cos x sin x = lim x π cos x =. Funkcia f najmenšiu hodnotu nemá. 41