Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Transcript

1 Γενικά Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Η βασική διαφορά μεταξύ των πειραματικών σχεδίων είναι ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται ή κατατάσσονται οι πειραματικές μονάδες (πειραματικά τεμάχια) Σε όλα τα σχέδια οι πειραματικές μονάδες κατηγοριοποιούνται κατά επέμβαση αλλά στα περισσότερα ταξινομούνται περαιτέρω σε ομάδες, σειρές, στήλες, κύρια τεμάχια, υποτεμάχια κλπ. Η ΑΝΟVA χρησιμοποιεί τους μέσους όρους αυτών των κατηγοριών, που ονομάζονται «Πηγές Παραλλακτικότητας» για την εκτίμηση Μέσων Τετραγώνων. Υπολογίζεται επίσης ένα Μέσο Τετράγωνο που εκτιμά το Πειραματικό Σφάλμα, δηλαδή τη διακύμανση που οφείλεται σε τυχαία αίτια (διαφορές μεταξύ των πειραματικών μονάδων που έχουν δεχθεί την ίδια επέμβαση) Εάν δεν υπάρχουν πραγματικές διαφορές μεταξύ των μέσων όρων κάποιας κατηγορίας (πχ. επεμβάσεων, ομάδων κλπ), το ΜΤ της κατηγορίας αυτής θα είναι κατά μέσον όρο ίσο με το ΜΤ του σφάλματος. Μεγάλες διαφορές σπάνια θα προκύψουν μόνο από τύχη

2 Γενικά (Συνέχεια) Πειραματικό σχέδιο και ANOVA O έλεγχος για το εάν δύο ανεξάρτητες εκτιμήσεις διακυμάνσεων (ΜΤ) μπορούν να θεωρηθούν ότι αποτελούν εκτιμήσεις της ίδιας διακύμανσης, γίνεται με τη δοκιμασία του F. Έτσι, απαντάται το ερώτημα εάν οι μ.ο. μιας συγκεκριμένης πηγής παραλλακτικότητας πχ. επεμβάσεων είναι ίσοι. Ελέγχεται δηλαδή εάν οι διαφορές που υπολογίσθηκαν από το πείραμα αντανακλούν δειγματοληψία από πραγματικά διαφορετικούς πληθυσμούς ή εάν προέκυψαν από τυχαία δειγματοληψία ενός μόνο πληθυσμού (δηλ. μ 1 μ μ i ). Όταν από τη δοκιμασία του F προκύψει ότι το ΜΤ μιας πηγής παραλλακτικότητας είναι σημαντικά μεγαλύτερα από το ΜΤ του σφάλματος, τότε συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν πραγματικές διαφορές μεταξύ των μ.ο. αυτής της συγκεκριμένης πηγής παραλλακτικότητας Η πιθανότητα να κάνουμε λάθος είναι το Σφάλμα τύπου Ι που επιλέγεται από τον ερευνητή (συνήθως 5% - σημαντική διαφορά ή 1% - υψηλά σημαντική διαφορά)

3 Παράδειγμα (κατηγοριοποίηση: επεμβάσεις) Yi... μ, σ F πειράµατος Δείγμα 1 (n 6) Δείγμα.. Δείγμα 1 Εκτίμηση της σ του πληθυσμού Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Υ 1 s 1 Σ(Υ i Υ 1 ) /(6 1) Υ.. Υ 1 1. Από τη συνδυασμένη τυχαία διακύμανση (σφάλμα) δηλ. s w (s 1 + s +.+ s 1 ) /1. Από τη διακύμανση των μ.ο. των δειγμάτων s Σ( Υ i. Υ ) /(1 1) Y επομένως 6 s b s F s s Υ b w s Σ(Υ i Υ ) /(6 1) s 1 Σ(Υ i Υ 1 ) /(6 1) με ΒΕ (a-1)/a(n-1) (1-1)/1(6-1) 11/60..

4 Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Παράδειγμα (κατηγοριοποίηση: επεμβάσεις) Εάν επαναληφθεί η διαδικασία δειγματοληψίας και ληφθούν όλα τα πιθανά δείγματα (n 6) από τον αρχικό πληθυσμό, θα παραχθεί ένας πληθυσμός τιμών F με κατανομή συχνοτήτων: Η κατανομή F για 11/60 ΒΕ Επειδή οι δύο διακυμάνσεις στον λόγο του F αποτελούν εκτιμήσεις της ίδιας διακύμανσης, ο λόγος αυτός θα είναι κοντά στο 1 εκτός εάν έχει ληφθεί ένα ασύνηθες σετ δειγμάτων 5%

5 Πρότυπα επιδράσεων Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Όταν οι επεμβάσεις που μελετώνται σε ένα πείραμα είναι μόνο αυτές για τις οποίες θα εξαχθούν συμπεράσματα, τότε ισχύει το Πρότυπο των καθορισμένων επιδράσεων ή Πρότυπο Ι Όταν οι επεμβάσεις έχουν προκύψει από τυχαία δειγματοληψία ενός μεγάλου πληθυσμού επεμβάσεων, τότε μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα για όλες τις πιθανές επεμβάσεις. Στην περίπτωση αυτή ισχύει το Πρότυπο τυχαίων επιδράσεων ή Πρότυπο ΙΙ Εάν οι επεμβάσεις του πειράματος αποτελούν τυχαίο δείγμα από ένα περιορισμένο αριθμό επεμβάσεων, τότε ισχύει το Πρότυπο ΙΙΙ Το Πρότυπο που ισχύει για κάθε πείραμα καθορίζει τον τρόπο στατιστικής αξιολόγησης των αποτελεσμάτων και το εύρος του πεδίου εφαρμογής τους

6 Περιγραφή του σχεδίου Το απλούστερο πειραματικό σχέδιο Μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν οι πειραματικές μονάδες χαρακτηρίζονται από ομοιογένεια Η προϋπόθεση της ομοιογένειας καθιστά το σχέδιο δυσεφάρμοστο σε πειράματα αγρού, πλην των περιπτώσεων περιορισμένων επεμβάσεων

7 Διαδικασία τυχαιοποίησης Παράδειγμα τυχαιοποίησης Οι επεμβάσεις μοιράζονται στις πειραματικές μονάδες με εντελώς τυχαίο τρόπο Κάθε π.μ. έχει την ίδια πιθανότητα να δεχθεί κάθε επέμβαση Η τυχαιοποίηση γίνεται με τη χρήση πινάκων τυχαίων αριθμών, προγραμμάτων Η/Υ κλπ Τέσσερις επεμβάσεις (A, Β, C και D) και πέντε επαναλήψεις D C 1 11 D B 1 B A 3 13 C B 4 14 D C 5 15 C B 6 16 A C 7 17 A D 8 18 B A 9 19 D A 10 0

8 Πλεονεκτήματα του ΕΤΣ 1. Ιδιαίτερα εύχρηστο σχέδιο (ο αριθμός των επεμβάσεων και των επαναλήψεων εξαρτάται από τον διαθέσιμο αριθμό πειραματικών μονάδων (τεμαχίων). Η στατιστική ανάλυση είναι απλή συγκρινόμενη με άλλα σχέδια 3. Η απώλεια πληροφορίας όταν λείπουν κάποια δεδομένα είναι μικρή σε σχέση με άλλα σχέδια λόγω του μεγάλου αριθμού ΒΕ του υπολοίπου (σφάλματος) Μειονεκτήματα του ΕΤΣ 1. Εάν υφίσταται ανομοιογένεια πειραματικών μονάδων, η ακρίβεια του πειράματος είναι μικρότερη. Είναι το λιγότερο αποτελεσματικό σχέδιο, εκτός εάν οι μονάδες είναι ομοιογενείς 3. Δεν είναι κατάλληλο για μεγάλο αριθμό επεμβάσεων

9 Το Γραμμικό Πρότυπο Γραμμικό πρότυπο για το Εντελώς Τυχαιοποιημένο Σχέδιο είναι : Y µ + τι + ε όπου Y µ τ ι ε j-στή παρατήρηση της i-στής επέμβασης ο μ.ο. του πληθυσμού η επίδραση της i-στής επέμβασης τυχαίο σφάλμα ε Ν (0, σ e ) τ i 0 Μπορούμε να εκτιμήσουμε την σ από τους μ.ο. υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) των Επεμβάσεων (ΜΤε) Μπορούμε να εκτιμήσουμε την σ από τις ατομικές παρατηρήσεις υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) του Σφάλματος (ΜΤυ)

10 Προϋποθέσεις της ANOVA 1. Τα πειραματικά σφάλματα είναι τυχαία, ανεξάρτητα και ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέσο όρο μηδέν και κοινή διακύμανση (δηλ. οι διακυμάνσεις μέσα σε κάθε επέμβαση είναι ομοιογενείς) ε Ν (0, σ e ). Οι πληθυσμοί (a) από τους οποίους προήλθε κάθε επέμβαση ακολουθούν την κανονική κατανομή 3. Οι διακυμάνσεις των πληθυσμών αυτών είναι ίσες ή ομοιογενείς. Η ιδιότητα αυτή λέγεται ομοσκεδαστικότητα 4. Οι παρατηρήσεις (an) είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους Τόσο το επίπεδο σημαντικότητας όσο και η ευαισθησία της δοκιμασίας του F επηρεάζονται εάν δεν ισχύουν οι παραπάνω προϋποθέσεις, με αποτέλεσμα αύξηση των Σφαλμάτων τύπου Ι Και στην περίπτωση αυτή όμως, για τα περισσότερα βιολογικά δεδομένα, η ANOVA δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα

11 Γραφική παράσταση των αποκλίσεων

12 Το Γραμμικό Πρότυπο (Συνέχεια) Χρησιμοποιώντας το πρότυπο μπορούμε να εκτιμήσουμε το ή το ε εάν ι γνωρίζουμε το και το μ Y τ Παράδειγμα Y µ + τ + i ε Επέμβαση 1 Επέμβαση Επέμβαση Y Y 7 i. Y Y 8 i. Y. i Y -3 1

13 Το Γραμμικό Πρότυπο (Συνέχεια) Το Γραμμικό πρότυπο για κάθε παρατήρηση (Υ ) μπορεί να γραφεί ως εξής: α) Εισάγεται ο μ για κάθε παρατήρηση Επέμβαση 1 Επέμβαση Επέμβαση Y Y 7 i. Y Y 8 i. Y. i Y -3 1 β) Για κάθε παρατήρηση εισάγεται το αντίστοιχο τ i, όπου τ ι Y i. Y Επέμβαση 1 Επέμβαση Επέμβαση Y Y 7 i. Y Y 8 i. Y. i Y -3 1

14 Το Γραμμικό Πρότυπο(Συνέχεια) γ) Εισάγεται το ε για κάθε παρατήρηση Επέμβαση 1 Επέμβαση Επέμβαση Y Y 7 i. Y Y 8 i. Y. i Y -3 1 Σημείωση Για κάθε επέμβαση : τ i 0 ΑΤε n τ i ε 0

15 Κατάτμηση Αθροίσματος Τετραγώνων Τα συστατικά του προτύπου µ ως Y τ ως Y i. Y ι ε ως Y Y i. oπότε: a n i 1 j 1 Y Y ( Y. Y ) + ( Y Y.) Y i i a n a n ( Y Y ) ( Y. Y ) + ( Y Yi. ) Y µ + τι + i 1 j 1 i ε ( Y. Y ) + ( Y Y.) Y + i i μπορούν να ξαναγραφούν ως εξής: i 1 j 1 ή απλούστερα: ( Y Y ) n ( Y ) i. Y + ( Y Y i )

16 Ανάλυση της παραλλακτικότητας (ANOVA) Ανάλυση της παραλλακτικότητας για το ΕΤΣ με ίσο αριθμό επαναλήψεων για κάθε επέμβαση Πηγή Π Παραλλακτικότητας Μεταξύ Βαθμοί Ελευθερίας (ΒΕ) Άθροισμα Τετραγώνων (ΑΤ) των Επεμβάσεων a-1 ΑΤε n ( Y ) i. Y Μέσο Τετράγωνο (ΜΤ) ATε MTε (a( a-1 a 1) Τιμή του F ΜΤε ΜΤυ ΘΣΜΤ σ e +nσ e Εντός των Επεμβάσεων Υπόλοιπο ή Σφάλμα) (Υ a(n-1) ΑΤυ ( Y Yi. ) Σύνολο an-1 ΑΤσ ( Y Y ) ΜΤ υ ATυ a(n -1) σ e

17 Η δοκιμασία του F Όταν διενεργείται μια δοκιμασία του F (πηλίκο δύο διακυμάνσεων), ουσιαστικά ελέγχεται η μηδενική υπόθεση H 0 : μ 1 μ. μ i σ βασισμένη σε διακύμανση μέσων όρων σ ε + nσ ε F σ βασισμένη σε διακύμανση ατομικών ττιμών σ ε Η εκτίμηση της σ από την σ ε (τυχαία διακύμανση - πειραματικό σφάλμα ), είναι αμερόληπτη, αφού δεν εξαρτάται από την ύπαρξη διαφορών των μ.ο. Η εκτίμηση όμως της σ από τους μέσους όρους των επεμβάσεων, επηρεάζεται από τις διαφορές μεταξύ των μ.ο. καθώς και από τις τυχαίες διαφορές. Η εκτίμηση αυτή προσεγγίζει την αμερόληπτη εκτίμηση μόνο όταν δεν διαφέρουν πραγματικά οι μ.ο., διότι τότε η επίδραση των επεμβάσεων ( nσ ε ) στο θεωρητικό ΜΤ για τις " Επεμβάσεις" ( + ) πλησιάζει το μηδέν. Επομένως αναμένεται μικρό F σ ε nσ ε και δεν απορρίπτεται η H 0 Αντίθετα, όταν διαφέρουν πραγματικά οι μ.ο., το nσ ε είναι σημαντικό, το F αναμένεται μεγάλο και έτσι απορρίπτεται η Η 0

18 Παράδειγμα 1. ANOVA για ίσο αριθμό επαναλήψεων Επέμβαση Επανάληψη Α B C Y i Y 444 Y 3,875 5,805 7,48 1. Διαμόρφωση της υπόθεσης: H 0 : μ 1 μ μ 3 H 1 : μ 1 μ μ 3 ή μ 1 μ μ 3 H 0 : οι μ.ο. δεν διαφέρουν H 1 : τουλάχιστον ένας μ.ο. διαφέρει από τους υπόλοιπους ή μ 1 μ μ 3

19 Παράδειγμα 1. ANOVA για ίσο αριθμό επαναλήψεων Επέμβαση Επανάληψη Α B C Y i Y 444 Y 3,875 5,805 7,48 Y 444. ΔΟ 1648 na 4*3 3. ATσ Y ΔΟ ( ) ΔΟ Y i. 13 ATε ΔΟ n

20 Παράδειγμα 1. ANOVA για ίσο αριθμό επαναλήψεων Επέμβαση Επανάληψη Α B C Y i Y 444 Y 3,875 5,805 7,48 5. ΑΤυ ΑΤσ ΑΤε ,5 379,5 6. Πηγή ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Παραλλακτικότητας Επεμβάσεις α Σφάλμα- Υπόλοιπο α(n-1) Σύνολο an F α; ΒΕ επεμβάσεων, ΒΕ υπολοίπου F 0.05 ; F 0.01 ;.9 8.0

21 Παράδειγμα 1. ANOVA για ίσο αριθμό επαναλήψεων 8. Εξαγωγή συμπερασμάτων Επειδή το F < 4.6 δεν απορρίπτεται η H 0 : μ 1 μ μ 3 σε α Επειδή το F < 8.0 δεν απορρίπτεται η H 0 : μ 1 μ μ 3 σε α % ΣΠ s * 100 Y % 4,167 ΣΠ * 100 6,494 * * 3 17,6%

22 Παράδειγμα. ANOVA για άνισο αριθμό επαναλήψεων Επεμβάση Επανάληψη Α B C D 1,0 1,7,0,1, 1,9,4, 3 1,8 1,5,7, 4,3,5 1,9 5 1,7,4 10 5,1 1 8,4 Y Y 0,6 8,7 9,06 17,7 1. Διαμόρφωση της υπόθεσης: H 0 : μ 1 μ μ 3 μ 4 H 1 : τουλάχιστον ένας μ.ο. διαφέρει από τους υπόλοιπους Y ΔΟ n i 17

23 Παράδειγμα. ANOVA για άνισο αριθμό επαναλήψεων Επεμβάση Επανάληψη Α B C D 1,0 1,7,0,1, 1,9,4, 3 1,8 1,5,7, 4,3,5 1,9 5 1,7,4 10 5,1 1 8,4 Y Y 0,6 8,7 9,06 17,7 3. ATσ Y ΔΟ (,0 +, + 1, ,9 ) ΔΟ 75,77 74,3 1, AT Yi. ΔΟ n 10 5, ε ,13 75,110 74,13 0, i 5. ΑΤυ ΑΤσ ΑΤε 1,638 0,978 0, 660

24 Παράδειγμα. ANOVA για άνισο αριθμό επαναλήψεων 6. Πηγή ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Παραλλακτικότητας Επέμβαση α-13 0,978 0,36 6,39** Σφάλμα Με αφαίρεση 13 0,660 0,051 Σύνολο Ολικός αριθμός παρατηρήσεων , F α; ΒΕ επεμβάσεων, ΒΕ υπολοίπου F 0.05 ; F 0.01 ;

25 Παράδειγμα. ANOVA για άνισο αριθμό επαναλήψεων 8. Εξαγωγή συμπερασμάτων Επειδή το F 6.39 > 3.41απορρίπτεται η H 0 : μ 1 μ μ 3 σε α Επειδή το F 6.39 > 5.74 απορρίπτεται η H 0 : μ 1 μ μ 3 σε α 0.01 s 9. % ΣΠ * 100 Y %ΣΠ * 100 ( 0.59 ) * %.088