Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Transcript

1 Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών σύμβολα αριθμών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1

2 αναπαραστάσεις των αριθμών Εμπράγματες Υλικά αντικείμενα ($$$) Εικονικές (***) Λεκτικές (τρία) Συμβολικές, (3, τρία) Διαφορετικές αναπαραστάσεις, διαφορετική δυσκολία των έργων Ποιες είναι λιγότερο και ποιες περισσότερο απαιτητικές για τα παιδιά; Οι συμβολικές επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 2

3 σχέση αριθμού με ποσότητα ας κάνουμε μια αναλογία με τη γλώσσα η λέξη ΜΠΑΛΑ είναι η μπάλα; όχι, είναι ένα σύμβολο που αναπαριστά την μπάλα ούτε η εικόνα της μπάλας είναι η μπάλα πίσω στους αριθμούς κι αυτή η εικόνα είναι μια αναπαράσταση του 8, δεν είναι το 8 το νούμερο 8, αναπαριστά μια ποσότητα 8 επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 3

4 οι διαφορετικές χρήσης του αριθμού ως σύμβολο Ένα νούμερο (π.χ., 8) αναπαριστά ένα αριθμητικό σύμβολο, μία αριθμολέξη, το πλήθος ενός συνόλου διακριτών αντικειμένων (πληθικότητα του αριθμού), μια θέση στην αριθμογραμμή ή στον πινάκα των αριθμών ή τη θέση στην σειρά απαρίθμησης (διατακτικότητα του αριθμού), αναπαριστά το όνομα κάποιου (ονομαστική χρήση του αριθμού), την αξία θέσης ενός αριθμού σε ένα αριθμητικό σύστημα, κοκ. π.χ., Το νούμερο 1 μπορεί ανάλογα με τη θέση του να αναπαριστά μία δεκάδα ή μια εκατοντάδα ή και μία μονάδα Ο Γιώργος, είναι το 2ο παιδί μιας οικογένειας με 4 παιδιά, γεννήθηκε στις 8 9ου του 1989, στις 4:45,στο δωμάτιο 422 (δηλαδή στον 4ο όροφο της κλινικής) με βάρος 2,3kgr και ύψος 35cm. Ένα σημαντικό στοιχείο της αναπαράστασης είναι η κατανόηση των διαφορετικών χρήσεων των αριθμητικών συμβόλων ανάλογα με το πλαίσιο επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 4

5 διάφορες μορφές του αριθμού 5

6 αναπαραστάσεις του 8 6

7 αναπαραστάσεις του αριθμού n Μορφή του αριθμού είναι οι διαφορετικές αναπαραστάσεις που μπορεί να πάρει ο αριθμός n άλλες μορφές: Ηχητικές (τρία) Συμβολικές / μελάνι σε χαρτί (3, τρία) Μηχανικές, πλήκτρο 3 σε μία μηχανή Ιστογραμμικές Ισομορφισμός ανάμεσα σε πράξεις με αναπαραστάσεις και αριθμητικές πράξεις; Z1 Z2 Z3 Z4 επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 7

8 χαρακτηριστικά της μάθησης στο Νηπιαγωγείο Τα νήπια μαθαίνουν να αναγνωρίζουν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις των ψηφίων. π.χ., το 6 που αναπαριστά πλήθος (π.χ., 6 μολύβια) - πληθικότητα του αριθμού 6 που αναπαριστά θέση στη σειρά των αριθμών (2 μετά το 4) - διατακτικότητα του αριθμού 6 που αναπαριστά όνομα (πχ., η φανέλα με τον αριθμό 6) - ονομαστική χρήση του αριθμού αρχίζουν να κατανοούν ότι η θέση ενός ψηφίου έχει σημασία αλλά μόνο αργότερα κατανοούν εννοιολογικά την αξία θέσης (π.χ., το ρόλο του 1 στο 12 και στο 21). Ακόμα κι αν μετρούν μέχρι και το 30 δεν κατανοούν το 24 ως 2 δεκάδες και 4 μονάδες αλλά ως 24 μονάδες Μπορούν να αναγνωρίσουν τα αριθμητικά σύμβολα μέχρι το 5 και να τα αποτυπώσουν και ίσως και μέχρι το 10 μέχρι το τέλος του νηπιαγωγείου. Βέβαια συχνά μπερδεύουν κάποια σύμβολα ειδικά, π.χ., το 2 με το 5, το 6 με το 9 επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 8

9 Μέσα για τη σωστή κατανόηση του αριθμητικού συμβολισμού Εικονικά, δραματικά, ηχητικά και λεκτικά π.χ Αναπαράγουµε 3 όµοιους ήχους τρία 3 επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 9

10 Αναγνώριση και γραφή των συμβόλων του αριθμού Τα παιδιά από μικρή ηλικία μπορούν να αναγνωρίζουν τα σύμβολα των αριθμών και να τα συνδέουν με τις αντίστοιχες ποσότητες. Η κατασκευή τους, όμως, αρχίζει να εμφανίζεται, όταν το παιδί ασχοληθεί ειδικά με την αντιγραφή ή με τη σχεδίασή τους. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 10

11 Αναγνώριση και γραφή των συμβόλων του αριθμού v Αρχικά, ο σχεδιασμός και η γραφή είναι το ίδιο πράγμα για τα παιδιά, αφού χρησιμοποιούν τις δικές τους αυθόρμητες αναπαραστάσειςγια να επικοινωνούν μετο περιβάλλον τους. v Ο Hughes (1996) αναφέρει μία έρευνα, στην οποία ζητήθηκε από κάθε παιδί που συμμετείχε να αναπαραστήσει τις ποσότητες ένα, δύο, τρία, πέντε και έξι πάνω στο χαρτί. v Από αυτήν την έρευνα προέκυψαν τέσσερις βασικές κατηγορίες των τρόπων με τους οποίους τα παιδιά 3,5 8 χρονών απεικονίζουν γραφικά την αριθμητική ποσότητα ενός συνόλουαντικειμένων. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 11

12 Τα σχέδια των παιδιών 12

13 1. Ιδιοσυγκρασικές απαντήσεις Δεν παρουσιάζονται κάποιες κανονικότητες τις οποίες θα μπορούσαμε να συσχετίσουμε με τον αριθμό των αντικειμένων που τα παιδιά έχουν μπροστά τους. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 13

14 2. Εικονογραφικές αναπαραστάσεις Τα παιδιά προσπαθούν να αναπαραστήσουν κάτι από την εμφάνιση των αντικειμένων που έχουν μπροστά τους, καθώς και τον πληθικό τους αριθμό. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 14

15 3. Εικονικές αναπαραστάσεις Τα παιδιά χρησιμοποιούν ένα σύστημα, που τα βοηθά να αναπαριστούν κάθε αντικείμενο με ένα ασυνεχές σημάδι που έχουν εφεύρει μόνα τους. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 15

16 4. Συμβολικές αναπαραστάσεις Τα παιδιά χρησιμοποιούν τα συμβατικά σύμβολα για να αναπαριστούν την κάθε ποσότητα. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 16

17 Τύπος απαντήσεων: μεταβολές κατά ηλικία επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 17

18 Αναγνώριση και γραφή των συμβόλων του αριθμού vοποιοσδήποτε τρόπος αναπαράστασης, δεδομένου ότι χρησιμοποιείται συστηματικά, μπορεί να θεωρείται μια αποδεκτή γραπτή αναπαράσταση των αριθμών. Η ιστορία των αριθμών vένα παιδί θα μπορούσε να κατασκευάσει ένα ιδιοσυγκρασικό σύστημα που να το καταλαβαίνει μόνο το ίδιο; vτι νόημα θα είχε αυτό; vθα μπορούσε να θυμάται τις αποφάσεις του την άλλη μέρα; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 18

19 Β. Η γνώση των τυπικών συμβόλων των αριθμών περιλαμβάνει δύο στοιχεία: Τη γνώση Της μορφής Της λειτουργίας επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 19

20 α. Μορφή Δημιουργία μιας νοητικής εικόνας για ένα σύμβολο: τα παιδιά πρέπει να γνωρίζουν ποιά είναι τα μέρη ενός συμβόλου και πως συνδέονται μεταξύ τους Κατασκευή ενός σχεδίου κινήσεων για τη γραφή τους επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 20

21 β. Λειτουργία Το νόημα των συμβόλων και η χρησιμότητά τους: Βασικές ιδιότητες των αριθμών: Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν ποσότητα, τη θέση του αντικειμένου σε μία σειρά, στη μέτρηση και στην ονομασία πραγμάτων. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 21

22 Γ. Κατανόηση του αριθμού και δυσκολίες μετάφρασης Ο Hughes (1996) μέσα από τις έρευνές του κατέληξε στο ότι: Η κατανόηση που έχουν τα παιδιά για τον γραπτό συμβολισμό φαίνεται να είναι πολύ επιφανειακή. Τα παιδιά έχουν σοβαρά προβλήματα όταν τους ζητείται να μεταφράσουν τις διάφορες αναπαραστάσεις των αριθμητικών εννοιών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 22

23 Μετάφραση Συνδέσεις και μεταβάσεις από πραγματικές σε φανταστικές καταστάσεις, από τον ένα τύπο αναπαράστασης στον άλλο. Απροθυµία µεγαλύτερων παιδιών να µεταφράσουν αναπαραστάσεις και το συµβατικό αριθµητικό συµβολισµό. Γιατί, όµως; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 23

24 q Όταν τα παιδιά συναντούν τον γραπτό συμβολισμό στο σχολείο, δεν βλέπουν να εξυπηρετεί κανένα σκοπό. Σκοπός q Έτσι, σε πρώιμο στάδιο, οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούν τα παιδιά είναι πιθανό να είναι πολύ πιο κατάλληλοι από το συμβατικό αριθμητικό συμβολισμό. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 24

25 Κατανόηση του αριθμού -πόσο κάνει ένα κι ένα; -εγώ δεν πάω ακόμα σχολείο Hughes, 1981 επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 25

26 ένας χαρακτριστικός διάλογος - Πόσα είναι δύο κι ακόμα ένα; -Τέσσερα -Λοιπόν, πόσα είναι δύο γλειφιτζούρια κι ακόμα ένα; Τρία - Πόσοι είναι δύο ελέφαντες κι ένας ακόμα; - Τρεις Πόσες είναι δύο καμηλοπαρδάλεις κι ακόμα μία; Τρεις Λοιπόν, πόσα είναι δύο κι ακόμα ένα; (κοιτάζοντας τον ενήλικο στα μάτια). Έξι Hughe, 1981 επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 26

27 πείραμα του Hughes έβαλε σε κουτί έναν άγνωστο στα παιδιά αριθμό από τουβλάκια και μετά έβαζε ή έβγαζε μπροστά τους κάποια τουβλάκια και τους ζητούσε να πουν πόσα ήταν πριν τα παιδιά από 2,5 μέχρι 4,5 ετών απαντούσαν σε πολύ μεγάλο ποσοστό σωστά, ενώ απαντούσαν λάθος στην ερώτηση πόσο κάνουν 2+3? Τα παιδιά δυσκολεύονται με την τυπική γλώσσα του σχολείου, ενώ είναι ικανά να κατανοήσουν το μαθηματικό νόημα των πράξεων και των αριθμών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 27

28 η συμβολική γλώσσα των μαθηματικών γιατί οι μαθητές δυσκολεύονται τόσο με την αριθμητική ενώ η γνωστική ανάπτυξη του αριθμού ξεκινάει από τόσο νωρίς; οι μαθητές μπορούν να απαντούν σωστά σε ερωτήσεις τύπου «2 ποδήλατα κι άλλα τρία ποδήλατα πόσα ποδήλατα είναι συνολικά?» αλλά όχι στην ερώτηση 2+3 Η γνώση στην καθημερινή ζωή και η συμβολική, αφηρημένη, σχολική γνώση επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 28

29 σύμβολα και αριθμοί οι αριθμολέξεις συμβολίζουν αφηρημένα πράγματα π.χ., δύο δεν υπάρχει ισομορφισμός ανάμεσα στη λέξη και σε αυτό που συμβολίζει το «δύο», ή το 2, καμία σχέση δεν έχουν με δύο πράγματα επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 29

30 σύμβολα / σημεία σύμβολο: το σημαίνων που έχει αναπαραστατική συνάφεια με το σημαινόμενο στον αριθμό: ΙΙ = δύο σημείο: το σημείο δεν έχει συνάφεια με το σημαινόμενο στον αριθμό: 2= δύο επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 30

31 σύμβολα και αριθμοί υπάρχουν γλώσσες όπου οι αριθμολέξεις έχουν σχέση με τις ποσότητες που αναπαριστούν π.χ., στα ινδικά η λέξη ένα είναι η λέξη φεγγάρι η λέξη δύο είναι η λέξη μάτια, το τέσσερα είναι το αδερφούς γιατί στην ινδική μυθολογία ο Ράμα έχει τρεις αδερφούς, η λέξη επτά είναι το κεφάλι που έχει επτά ανοίγματα, κοκ. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 31

32 από τις συγκεκριμένες καταστάσεις στον τυπικό κώδικα των μαθηματικών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 32

33 πως θα μπορούσε να γεφυρωθεί το κενό; κουτιά που περιέχουν 1, 2, 3 ή 4 γλυκά τα κουτιά σκεπάζονται κι ανακατεύονται για να ξεχωρίζουν τα κουτιά χωρίς να σηκώσουν τα καπάκια, καλούνται να κολλήσουν στο εξωτερικό τους διακριτικά μαγνητάκια με αριθμητικά ψηφία άλλα παιδιά βάζουν το 2 για δύο κι άλλο βάζουν δύο μαγνητάκια για τα δύο γλυκά σιγά σιγά τα παιδιά υιοθετούν το συμβολικό σύστημα των αριθμών για την αναπαράσταση της ποσότητας επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 33

34 Τα σχέδια των παιδιών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 34

35 πως θα μπορούσε να γεφυρωθεί το κενό; με τη χρήση των δαχτύλων εξωτερικές αναπαραστάσεις που είναι πάντα μαζί μας γεφυρώνει το κενό ανάμεσα στα πράγματα και τις νοητικές αναπαραστάσεις των αριθμών - γεφυρώνει το συγκεκριμένο με το αφηρημένο τα τρία σταφυδόψωμα - τρία δάχτυλα τα τρία κουλούρια - τρία δάχτυλα ο αριθμός τρία επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 35

36 αναπαραστάσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 36

37 αναπαραστάσεις αριθμών από νήπια πρόσθεση επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 37

40 αναπαραστάσεις αριθμών από νήπια αφαίρεση επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 40

41 Αναπαραστάσεις νηπίων για την πρόσθεση και την αφαίρεση Γεφύρωση της χρήσης των κοινών συμβόλων στη συνέχεια εισάγονται τα σύμβολα για πράξεις: ο ερευνητής βάζει το +1 μαγνητάκι δίπλα στο ήδη υπάρχων (π.χ., το 2) και ζητά από το παιδί να μαντέψει πόσα γλυκά έβαλε μέσα στο κουτί όσο εκείνο δεν πρόσεχε επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 41

42 ήταν μια εφαρμογή της θεωρίας του Vygotsky Ο ρόλος της κοινότητας στη διαμόρφωση της γνώσης και στη διαδικασία της μάθησης Ο ρόλος των εργαλείων, της γλώσσας, των συμβόλων Ο τρόπος με τον οποίο η μάθηση μπορεί να φέρει ανάπτυξη Η χρήση της σκαλωσιάς στη βάση της ζώνης επικείμενης ανάπτυξης επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 42

43 η γνωστική ανάπτυξη του αριθμού μέσα από τη θεωρία του Vygotsky τα παιδιά έρχονται σε πρώτη επαφή με τον αριθμό (σύμβολα, αναπαραστάσεις, λέξεις, καταστάσεις) μέσα στο κοινωνικού τους περιβάλλον ο αριθμός είναι μια κοινωνική κατασκευή, ένα εργαλείο για να υιοθετήσουν η κατανόηση του αριθμού και η υιοθέτηση του συμβόλου και των πράξεων γίνεται μέσα από τη συμμετοχή στις δράσεις της κοινότητας και υιοθετώντας το λεξιλόγιό της για τον αριθμό τα δάχτυλα, τα αριθμητήρια, τα αριθμητικά παιχνίδια, λειτουργούν ως εργαλεία για την κατανόηση του αριθμού επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 43

44 προνομιακοί αριθμοί στην κοινωνία των ανθρώπων οι φυσικοί αριθμοί με περισσότερες «γνώσεις» για τους φυσικούς αριθμούς, παρά π.χ για τα κλάσματα με φράσεις για την συμπεριφορά τους π.χ., ο πολλαπλασιασμός δηλώνει τα πολλαπλά, άρα πάντα αυξάνει έτσι ακόμα και αν δεν υπάρχει βιολογική προδιάθεση για τους φυσικούς το κοινωνικό πλαίσιο τους κάνει προνομιούχους επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 44