OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina
|
|
|
- Τάνις Αλεξανδρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina
2 GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK
3 GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN Pri proučavanju raznih vrsta naprezanja štapa, odnosno pri određivanju unutrašnjih sila primenom metode preseka, napona, deformacija i dr. koriste se neke čisto geometrijske karakteristike poprečnih preseka. To su: površina, statički momenti i momenti inercije. Površina se, pored ostalog koristi pri proučavanju aksijalnog naprezanja, statički momenti se koriste pri određivanju težišta površina i pri proučavanju savijanja, a momenti inercije pri proučavanju savijanja, uvijanja, izvijanja i dr.
4 POVRŠN POPREČNOG PRESEK... n i i n Dimenzija L Jedinica [m ], [cm ], [mm ]
5 POVRŠN POPREČNOG PRESEK ko presek ne može da se rastavi na konačan broj delića čija su težišta poznata, razdeli se na veliki broj malih površina, a zatim se prelazi na granični slučaj, kada sve površine teže nuli. Površina elementarnog dela je d d d d
6 STTČK MOMENT POVRŠNE POPREČNOG PRESEK Z OSU S d S d i su rastojanja težišta elementarne površine d do ose, odnosno ose ntegraljenje se vrši po celoj površini Dimenzija [L ] Jedinica [m ], [cm ], [mm ]
7 STTČK MOMENT POVRŠNE POPREČNOG PRESEK Z OSU Prema Varinjonovoj teoremi Moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata: d d S S Statički momenti, pored neposrednog integraljenja mogu da se odrede i kao proizvodi površine i odgovarajuće koordinate njenog težišta
8 TEŽŠTE POVRŠNE Koordinate težišta površine: n d i d i S i i i S n n d d i i S i i i S n ko su statički momenti određeni neposrednim integraljenjem, mogu se odrediti koordinate težišta površine. Dimenzija [L] Jedinica [m], [cm], [mm]
9 STTČK MOMENT POVRŠNE POPREČNOG PRESEK Z OSU ko osa prolazi kroz težište površine, statički moment za tu osu jednak je nuli. S S 0 0 S 0 S 0 S u 0 S v 0 Za osu simetrije statički moment površine je jednak nuli jer ova osa prolazi kroz težište.
10 STTČK MOMENT SLOŽENE POVRŠNE Statički momenti prostih površina izračunavaju se neposredno integraljenjem. Statički moment složene površine, koja se sastoji od više prostih površina - pravougaonika, kvadrata, trouglova, krugova itd. jednak je zbiru statičkih momenata pojedinih prostih površina u odnosu na istu osu. S d d d... d... n n i i i n S d d d... d... n n i i i,,...,,... n,,... n n n površine pojedinih delova složene površine, koordinate težišta pojedinih površina, n broj prostih površina. n n
11 Koordinate težišta površine: n i i i S... n n n i... n i n i i i n i n n n ko površina ima osu simetrije težište se nalazi na toj osi, slika a). ko površina ima dve ose simetrije težište je u njihovom preseku, slika b). ko površina ima centar simetrije, težište je u tom centru, slika c). i S a) b) c)
12 Primer: Odrediti statički moment pravougaonika dimenzija b, h u odnosu na osu, i u odnosu na osu. h/ b h h S d bd b h/ 0 h/ Statički moment površine u odnosu na težišnu osu je jednak nuli. h h b bh ( ) 0 0 S d bd b h 0
13 Primer: Odrediti koordinate težišta date složene površine.
14 a h 6 a 6 h 6cm, cm, 0,67cm r π π r 6, 8cm, 0,85cm, 0 π a 6 b a b 6 cm, cm, cm 6 6, 8, 8cm
15 S 0,67 6,0cm S 0 6,8 0 ( ) S cm S 6 cm ( ) S 0,85 6, 8 5, cm S 6cm S S S S, 0 0 7,98cm S S S S 5, 6,6 cm
16 Koordinate težišta: S,6, 8 S 7,98, 8, 75m 0, m
17 KRKTERSTKE STTČKH MOMENT NERJE RVNH POVRŠN Statički moment površine za neku osu u ravni te površine može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli u zavisnosti od uzajamnog položaja te površine i ose. ko je statički moment za neku osu jednak nuli, to znači da je ta osa težišna. S S 0 0 S S 0 0
18 Za osu simetrije statički moment površine jednak je nuli jer ova osa prolazi kroz težište. ko površina ima dve ose simetrije ili više takvih osa, težište se nalazi u presečnoj tački tih osa. krug, kvadrat, elipsa, pravougaonik, prsten itd. Kososimetrična površina ima težište u tački kose simetrije.
19 MOMENT NERJE RVNH POVRŠN KSJLN MOMENT NERJE ENTRFUGLN MOMENT NERJE POLRN MOMENT NERJE
20 KSJLN MOMENT NERJE d d ksijalni moment inercije površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od odgovarajuće ose u ravni te površine
21 ENTRFUGLN MOMENT NERJE d entrifugalni moment inercije predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i oba njihova odstojanja od osa.
22 POLRN MOMENT NERJE O r d Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te površine predstavlja zbir proizvoda svih elementarnih površina i kvadrata njihovih odstojanja od tog pola.
23 POLRN MOMENT NERJE r ( ) d d d O Polarni moment inercije jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije za bilo koje dve međusobno upravne ose koje se seku u tom polu.
24 KRKTERSTKE MOMENT NERJE RVNH POVRŠN Dimenzija L Jedinica m cm ksijalni i polarni moment inercije uvek su pozitivne veličine, različite od nule entrifugalni moment inercije može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Svaka površina, bila ona simetrična ili nesimetrična, ima bar jedan par međusobno upravnih osa za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli.
25
26 ko površina ima jednu osu simetrije, tada je centrifugalni moment inercije za tu osu i bilo koju drugu upravnu osu jednak nuli. ( ) d 0 d d
27 PROMEN MOMENT NERJE PR TRNSLJ KOORDNTNOG SSTEM. ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije preseka za ose ξ i η ξ η ξη η ξ d d ξη d ko je koordinatni početak koordinatnog sistema ξo η ujedno i težište površine O, tada su ose ξ i η težišne, a ξ, η, ξη težišni li sopstveni momenti inercije.
28 ŠTJNEROV TEOREM ξa ηb ( ) d η b d η d b η d b d ξ bsξ b ( ) d ξ a d ξ d a ξ d a d η asη a ( )( ) ξ a η b d ξη d a η d b ξ d ab d as bs ab ξµ η
29 ŠTJNEROV TEOREM ko je koordinatni početak koordinatnog sistema ξo η ujedno i težište površine O, tada su ose ξ i η težišne, a ξ, η, ξη težišni li sopstveni momenti inercije. Kako su statički momenti za te ose jednaki nuli (S ξ 0, S η 0), a b i a ξ ξ b η ξη η a a b ξη
30 ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije za ose koje nisu težišne jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za paralelne težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije ξ, η, ξη težišni li sopstveni momenti inercije Položajni aksijalni momenti inercije predstavljaju proizvode kvadrata rastojanja odgovarajućih paralelnih osa i površine (b, a ), a položajni centrifugalni moment inercije jednak je proizvodu oba rastojanja između paralelnih osa i površine (a b ). Za a, b položajni momenti inercije su a, b, a b
31 ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije ravne površine za ose paralelne težišnim osama jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije Sopstveni (težišni, centralni) ξ b η a ξη a b Položajni
32 ŠTJNEROV TEOREM Momenti inercije za ose koje nisu težišne jednaki su zbiru sopstvenih momenata inercije za paralelne težišne ose i odgovarajućih položajnih momenata inercije ko su poznati momenti inercije nekog preseka za ose koje nisu težišne, na primer i, sopstveni (težišni) momenti inercije za odgovarajuće paralelne težišne ose su: ξ η ξη
33 KRKTERSTKE MOMENT NERJE RVNH POVRŠN ksijalni moment inercije za osu koja nije težišna uvek je veći od momenta inercije za paralelnu težišnu osu, jer su položajni momenti inercije uvek pozitivne veličine (b >0, a >0). Moment inercije za težišnu osu (sopstveni moment inercije) je najmanji od momenata inercije za sve međusobno paralelne ose. Pri paralelnom pomeranju samo jedne koordinatne ose centrifugalni moment inercije se ne menja. Ovo sledi iz a b ako je, na primer a0, b 0 (ili je a 0, b0) tada je ξη ξη ξη
34 MOMENT NERJE Z ZOKRENUT (ROTRN) KOORDNTN SSTEM Poznati su sopstveni (težišni) momenti inercije, i. Za neki novi koordinatni sistem ξoη koji je zaokrenut u odnosu na prethodni, treba odrediti momente inercije ξ, η i ξη. ξη Ugao zaokretanja φ je proizvoljan i smatra se pozitivnim ako se rotacija osa vrši u pozitivnom matematičkom smeru (suprotno od smera kazaljke na satu)
35 MOMENT NERJE Z ZOKRENUT KOORDNTN SSTEM ROTJ KOORDNTNOG SSTEM. GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE ξ MN M PQ M sin ϕ cos ϕ η SQ NQ SQ MP cos ϕ sin ϕ ( ) d cos sin d cos d sin d sin cos d ξ η ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕcos ϕ ( ) d sin cos d sin d cos d sin cos d η ξ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕcos ϕ
36 Kako je: ( )( ) ξη d sin ϕ ξη cos ϕ cos ϕ sin ϕ d sin ϕ cos ϕ d d ( cos ϕ sin ϕ ) d ( ) sin cos ( cos sin ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( ϕ) ϕ ( ϕ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos ( ) ( ) ξ cos ϕ sin ϕ ( ) ( ) η cos ϕ sin ϕ ( ) ξη sin ϕ cos ϕ Momenti inercije za bilo koji novi, zaokrenuti koordinatni sistem
37 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Drugi obrazac dobija se iz prvog zamenom ugla φ sa φ90 0. Zbog toga je dovoljno ispitati prvi i treći od ovih obrazaca. ξ ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ η ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ ξη ( ) sin ϕ cos ϕ Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem su neprekidne funkcije ugla rotacije φ, pa se mogu odrediti njihove ekstremne vrednosti: d ξ dϕ ( ) sin ϕ cosϕ 0 rgumentφkoji zadovoljava poslednju jednačinu označimo saα, pa se dobija: tgα
38 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE tgα Ovo se isto dobija i iz uslova n π Jednačina ima bezbroj rešenja α n α, n,,,... Sva ova rešenja (uglovi) određuju dva uzajamno upravna pravca. Zato je dovoljno odrediti samo jedno, najmanje rešenje za α. Kako je: to mora biti tgα α 90 dobijeno iz uslova d dϕ odnosno -5 0 α 5 0 ξ 0 za α φ d dϕ η 0 tj. apsolutna vrednost ugla 0 α 5 Ugao α određuje položaj takozvanih glavnih težišnih osa inercije.
39 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE cos α ( ) tg α ± tgα sin α ( ) ( ) ( ) ( ) ma min ( ) tg α ± Sa ovim, iz prva dva obrasca, zamenom φ sa α, dobijaju se ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercije glavni težišni momenti inercije: iz trećeg obrasca sledi: ( ) ξη 0 ϕα
40 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Osa () je osa u odnosu na koju je aksijalni moment inercije maksimalan i ona zaklapa ugao sa pozitivnim delom ose O α Osa () je osa u odnosu na koju je aksijalni moment inercije minimalan i ona zaklapa ugao α 90 0 α sa pozitivnim delom ose O,, tgα Ugao α se nanosi u pozitivnom matematičkom smeru.
41 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE entrifugalni moment inercije za glavne ose inercije je jednak nuli: 0 ko su i težišne ose tada su i glavni centralni momenti inercije, ose () i () su glavne centralne ose inercije: ( ) ( ) ( ) ( ) ma min
42 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Za ose za koje aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment inercije je jednak nuli. Važi i obrnut zaključak: ako je za par međusobno upravnih osa centrifugalni moment inercije jednak nuli, te su ose glavne ose inercije (aksijalni momenti inercije za te ose imaju ekstremne vrednosti). Pri svemu ovome, u opštem slučaju, ni jedna od osa ne mora biti osa simetrije površine. Za površinu koja ima jednu osu simetrije, ta osa je jedna glavna težišna osa, dok je druga glavna osa upravna na nju i prolazi kroz težište. Za ove ose centrifugalni moment inercije je jednak nuli. ko površina ima dve ose simetrije, te ose su glavne težišne ose inercije, jer je i za njih centrifugalni moment inercije jednak nuli (pravougaonik, profil itd.). ko površina ima tri ili više osa simetrije, bilo koja osa je glavna osa, jer su momenti inercije za sve težišne ose, u tom slučaju međusobno jednaki. Takve površine su kvadratna, kružna, prstenasta itd.
43 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Kako je moment inercije za težišnu osu manji od momenta inercije za osu koja nije težišna a paralelna je težišnoj, od svih težišnih osa najmanji je moment inercije za drugu glavnu osu (). Zaključuje se da je najmanji mogući aksijalni moment inercije površine. Od svih težišnih osa najveći je momenata inercije za osu (), ali postoji bezbroj netežišnih osa za koje su momenti inercije veći od. Detaljnijom analizom prva dva obrasca dolazi se do veoma korisnog zaključka: uvek osa većeg poznatog momenta inercije, zaokretanjem za ugaoα prelazi u osu najvećeg momenta inercije (), a osa manjeg poznatog momenta inercije u osu najmanjeg momenta inercije (). Pri rešavanju zadataka, korisno je imati u vidu činjenicu da osa najmanjeg momenta inercije () uvek prati izduženje površine, a osa najvećeg težišnog momenta inercije () ima poprečan položaj u odnosu na taj pravac.
44 GLVNE OSE NERJE GLVN MOMENT NERJE Glavne težišne ose inercije nazivaju se i glavnim centralnim osama, dok se glavni težišni momenti inercije nazivaju i glavni centralni momenti inercije. Ove veličine imaju ogroman značaj u analizi napona i deformacije grednih nosača. Glavni težišni momenti inercije poprečnog preseka nekog štapa predstavljaju meru otpora pri njegovom savijanju. Na primer, gredu pravougaonog poprečnog preseka lakše je saviti oko vertikalne ose (), nego oko horizontalne ose (), jer je b<h.
45 MOMENT NERJE Z OSE ZOKRENUTE U ODNOSU N GLVNE OSE NERJE. NVRJNTE MOMENT NERJE ko se glavne ose inercije za koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli ( 0) usvoje kao koordinatne ose, momenti inercije za zaokrenute ose u odnosu na njih, za proizvoljan ugao su: ξ cos ϕ sin ϕ ( ) ( ) cos ϕ η sin ϕ cos ϕ ( ) ( ) cos ϕ ξη ( ) sin ϕ cos ϕ ( ) sin ϕ ξ η ξ η ξη koje se pri rotaciji koordinatnog sistema ne menjaju. To su invarijante momenata inercije.
46 NVRJNTE MOMENT NERJE ξ η PRV NVRJNT Zbir aksijalnih momenata inercije se ne menja pri rotaciji pravouglog koordinatnog sistema. Taj zbir mora biti konstantan jer predstavlja polarni moment inercije preseka za koordinatni početak kao pol. ξ η ξη DRUG NVRJNT Nepromenljivost razlike proizvoda aksijalnih momenata inercije i kvadrata centrifugalnog momenta inercije (za glavne ose je centrifugalni moment inercije jednak nuli 0).
47 NVRJNTE MOMENT NERJE Korišćenjem druge invarijante može se za neku površinu izračunati centrifugalni moment inercije za par upravnih osa ako su poznati aksijalni momenti inercije za te ose i glavni momenti inercije. Na primer za standardni raznokraki ugaonik na sledećoj slici u tablicama su date vrednosti,, i pa iz druge ivarijante se sračuna centrifugalni moment inercije za koji nema vrednosti u tablicama: ξ η ξη ± Znak minus ili plus se uzima zavisno od položaja ugaonika u odnosu na usvojene koordinatne ose. U sličaju datom na slici, treba uzeti znak minus, jer je veći deo površine ugaonika u i V kvadrantu.
48 POLUPREČN NERJE. ELPS NERJE Promena aksijalnih momenata inercije od pravca ose može se geometrijski predstaviti pomoću elipse inercije preseka. Neka su za površinu poznate glavne težišne ose () i () i glavni težišni momenti inercije i. Moment inercije u odnosu na proizvoljnu težišnu osu ξ dobija se primenom prvog izraza: cos sin ϕ ϕ ξ : i i i i cos ϕ ξ sin ϕ i poluprečnici inercije za glavne ose glavni poluprečnici inercije i ξ ξ poluprečnik inercije za osu ξ
49 ELPS NERJE z praktičnih razloga označimo osu () sa a osu () sa. Uočimo na osi ξ neku tačku N (,) na rastojanju r od koordinatnog početka (težišta površine). Očigledno je da postoje sledeće zavisnosti: cos ϕ sin ϕ r r i i ξ cos ϕ i sin ϕ i i i r ξ i i / r r r r i i r ξ i i i i i ko se rastojanje r odabere tako da bude r i i i ξ i i
50 ELPS NERJE i i Ovo predstavlja elipsu inercije površine za težište (težišna elipsa inercije). Poluose elipse inercije su glavni težišni poluprečnici inercije i i i. Pri konstruisanju elipse inercije veći poluprečnik i nanosi se na na osu (), a manji poluprečnik inercije i nanosi se na na osu (). Poluprečnik inercije nanosi se upravno na osu za koju je određen. Zbog toga je elipsa inercije uvek izdužena u pravcu izduženja površine.
51 ELPS NERJE ko su glavni težišni momenti inercije međusobno jednaki, tada su jednaki i poluprečnici inercije (i i ), pa se elipsa inercije svodi na krug. To je slučaj kod kvadrata, kruga, prstena, pravilnog šestougaonika i dr, tj. kod svih površina kod kojih se momenti inercije ne menjaju pri rotaciji koordinatnog sistema. Elipsa inercije ima svoja geometrijska značenja. Dva najvažnija su:. Rastojanje proizvoljne težišne ose, na primer ξ, i njoj paralelne tangente t na elipsu, jednako je poluprečniku inercije za tu osu (d i ξ ).. ko je tangenta t elipse inercije paralelna sa jednom težišnom osom, tada se centrifugalni moment inercije površine može dobiti kao proizvod koordinata dodirne tačke D i površine, tj. ξη ξ D η D. ξη
52 MOMENT NERJE PRVOUGONK h, b h, b bh d b bd d h 0 h 0 bd d hb d b hd d b 0 b 0 hd d h b d b bd b d b d h 0 h 0 h 0 bd d Za težišne ose 0 bh h b h b hb bh b h bh bh h bh
53 MOMENT NERJE ELPS NERJE PRVOUGONK Za težišne ose i z momenti inercije su: bh hb 0 Poluprečnici inercije su: bh h i i h bh 6 0,9h i hb bh i b b 6 0,9b Rastojanje između tačke dodira tangente koja je paralelna sa odabranom osom i težišta je i D. D i D
54 MOMENT NERJE KRUG MOMENT NERJE POLOVNE KRUG π π r D r D 0 0,785 r 0,09D r 6 D π π i i r 8 D π π 0,878 D r 0, D, r c π 0,005 D 0,9 r 8 D 8 r 0,005 D 0,9 r 8 D 8 r D 0,0069 r 0,098 r π π π π π π
55 POSTUPK ODREĐVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE. zabrati koordinatni sistem O i odrediti položaj težišta. Odrediti sopstvene momente inercije svake površine. Primenom Štajnerove teoreme odrediti momente inercije složene površine za težišne ose. Odrediti položaj (ugao) glavnih centralnih osa inercije 5. Odrediti glavne centralne momente inercije 6. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati elipsu inercije
56 PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odabrati ose i i odrediti težište: ( ) cm, 0, 0 0;0 ( ) ( ) 8 8cm,,5cm, 6,5cm,5;6,5 8 8cm,,5cm, 6,5cm,5; 6,5 S 0 S 8 cm S 8cm S 0 S 5 cm S 5 cm S S S S S S S S S 0 8 T 0 S 0 8 T 0
57 PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odrediti momente inercije za ose i
58 Odrediti sopstvene momente inercije b h h b 0 cm cm h b 0 b h 8 8 0,66 cm,66 cm b h h b ,66 cm,66 cm
59 8 6,5 0,66 8 6,5 0,66 cm 8 8,5,66 8,5,66 cm 8 ( ) ( ) 8 6,5,5 8 6,5,5 0 0 cm 6 Odrediti momente inercije za ose i
60 PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odrediti položaj glavnih osa i glavne momente inercije tgα tgα ( 6) α arctg,8 5, α 6,7 ma ( ) ( ) min ( ) ( ),8 8, 8 ( ξη ) ϕα ma min 0 006cm 99cm ( 8 8) ( 8 8) ( 6) ( 8 8) ( 8 8) ( 6)
61 PRMER ZRČUNVNJ MOMENT NERJE SLOŽENE POVRŠNE Odrediti poluprečnike inercije i ,66cm i 99 8,88cm
62 POSTUPK ODREĐVNJ GEOMETRJSKH KRKTERSTK SLOŽENE POVRŠNE NPOMENE O ČEMU TREB VODT RČUN Treba koristiti simetriju jer je težište površine uvek na osi simetrije Osa simetrije je ujedno i glavna osa inercije, a druga glavna osa prolazi kroz težište i upravna je na prvu. ko površina ima više osa simetrije težište je njihovom preseku, a one su ujedno i glavne ose inercije Za glavne ose inercije centrifugalni moment inercije je uvek jednak nuli
63 Primer: Odrediti momente inercije date složene površine. 6cm ( ;0,67) 6,8 cm ( 0,85;0) ( ; ) cm S,6,75 m, 8 S 7,98 0, m, 8
64 Sopstveni momenti inercije trougla površina b h 6 h b 6 b h ,cm cm 6 7 cm Sopstveni momenti inercije polukružne površine 6,8 cm 6cm r 7π 0 r π 8 π 8 ( 9π 6) ( 0,5;) (,60; 0,) 6,8cm,76 cm
65 ( ) 0,68,5; cm Sopstveni momenti inercije pravougaonika površina 0 6cm 6 h b cm 6 b h Momente inercije date složene površine ( ) 0,68 6,8 0, 6,8 6, T ( ),5 6 6,8,6,76 6 0,5 T ( ) ( ) 0,68,5 0 6,8 0,, ,5 T T cm 5,80 T cm T,8 cm 5,95 T T
20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm
MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike
, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
OTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I
5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I
4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta
( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
ODREĐIVANJE TEŽIŠTA KRUTOG TELA Korišćenjem Varinjonove teoreme, dobija se: = Gi. = G z
TEŽIŠTE Svako kruto telo je sačinjeno od velikog brojačestica (elementarnih delova). Kada se telo nalazi u blizini Zemljine površine na svaku od tihčestica dejstvuje sila njene težine koja je usmerena
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi
Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Konvencija o znacima za opterećenja grede
Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju
ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
wwwmatematiranjecom TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate, njega smo podelili na minute i sekunde(
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development
Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog
VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija
VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu