M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Transcript

1 M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić

2 P Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. 2 Norma vektora 3 Cauchy Schwarz Buniakowsky (CSB) nejednakost CSB nejednakost. 2/16

3 P 1 Definicija 5. Uredena trojka ( e 1, e 2, e 3 ) linearno nezavisnih vektora iz X 0 (E) zove se baza vektorskog prostora X 0 (E). Ureden par ( e 1, e 2 ) linearno nezavisnih vektora iz X 0 (M) zove se baza vektorskog prostora X 0 (M). Svaki nenul vektor ( e) iz X 0 (p) čini bazu vektorskog prostora X 0 (p). Neka je a X 0 (E), a ( e 1, e 2, e 3 ) baza u X 0 (E). Tada vektor a na jedinstven način možemo zapisati a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. Brojeve a 1, a 2, a 3 zovemo koordinate (komponente) vektora a u bazi ( e 1, e 2, e 3 ). CSB nejednakost. 3/16

4 P 1 Definicija 5. Uredena trojka ( e 1, e 2, e 3 ) linearno nezavisnih vektora iz X 0 (E) zove se baza vektorskog prostora X 0 (E). Ureden par ( e 1, e 2 ) linearno nezavisnih vektora iz X 0 (M) zove se baza vektorskog prostora X 0 (M). Svaki nenul vektor ( e) iz X 0 (p) čini bazu vektorskog prostora X 0 (p). Neka je a X 0 (E), a ( e 1, e 2, e 3 ) baza u X 0 (E). Tada vektor a na jedinstven način možemo zapisati a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. Brojeve a 1, a 2, a 3 zovemo koordinate (komponente) vektora a u bazi ( e 1, e 2, e 3 ). CSB nejednakost. 3/16

5 P 1 a + b = (a 1 + b 1 ) e 1 + (a 2 + b 2 ) e 2 + (a 3 + b 3 ) e 3 λ a = (λa 1 ) e 1 + (λa 2 ) e 2 + (λa 3 ) e 3 Definicija 6. Par (O; ( e 1, e 2, e 3 )) fiksne točke O i baze ( e 1, e 2, e 3 ) zovemo Kartezijev koordinatni sustav u prostoru E. CSB nejednakost. 4/16

6 P 1 a + b = (a 1 + b 1 ) e 1 + (a 2 + b 2 ) e 2 + (a 3 + b 3 ) e 3 λ a = (λa 1 ) e 1 + (λa 2 ) e 2 + (λa 3 ) e 3 Definicija 6. Par (O; ( e 1, e 2, e 3 )) fiksne točke O i baze ( e 1, e 2, e 3 ) zovemo Kartezijev koordinatni sustav u prostoru E. CSB nejednakost. 4/16

7 P 1 Posebno je pogodno ako za bazu prostora X 0 (E) izaberemo uredenu trojku medusobno okomitih i jediničnih (dugačkih 1!) vektora, koje obično označavamo s ( i, j, k). Tako dobivamo pravokutni Kartezijev koordinatni sustav (O; ( i, j, k)). Pravac odreden vektorom i označavamo sa x i zovemo os apscisa, pravac odreden vektorom j označavamo sa y i zovemo os ordinata, a pravac odreden vektorom k označavamo sa z i zovemo os aplikata. CSB nejednakost. 5/16

8 P 1 Primjedba 7. Ranije smo utvrdili da postoji bijekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje) izmedu skupova E i X 0. Primijetite da takoder postoji bijekcija izmedu skupa svih uredenih trojki realnih brojeva R 3 i vektorskog prostora X 0 (E) jer svakoj uredenoj trojki (x 1, x 2, x 3 ) R 3 na jedinstven način možemo pridružiti vektor a = x 1 i + x 2 j + x 3 k iz prostora X0 (E) i obrnuto. Zato ćemo često po potrebi povezivati, pa neki puta i poistovjećivati pojmove: skup E, vektorski prostor X 0 (E) i R 3. CSB nejednakost. 6/16

9 P Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. 2 Norma vektora 3 Cauchy Schwarz Buniakowsky (CSB) nejednakost CSB nejednakost. 7/16

10 P 2 Definicija 7. Neka je X 0 vektorski prostor. Funkciju : X 0 [0, ), koja svakom vektoru a X 0 pridružuje nenegativni realni broj (koji ćemo označiti s a ili jednostavno a zovemo norma vektora a ako vrijedi (i) a = 0 a = 0 [pozitivna definitnost], (ii) λ a = λ a za svaki λ R i za svaki a X 0, (iii) a + b a + b za svaki a, b X 0 [nejednakost trokuta]. CSB nejednakost. 8/16

11 P 2 Najčešće korištene vektorske norme su: a 1 = a 1 + a 2 + a 3, (l 1 norma) a 2 = a a2 2 + a2 3, (l 2 ili Euklidova norma) a = max{ a 1, a 2, a 3 }, (l ili Čebiševljeva norma) CSB nejednakost. 9/16

12 P 2 Udaljenost dviju točaka Udaljenost dviju točaka A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) M u ravnini M u kojoj je uveden pravokutni Kartezijev koordinatni sustav možemo izračunati po formuli d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Ako definiramo radijvektore r A, r B X 0 (M), r A = x 1 i + y 1 j, r B = x 2 i + y 2 j, (1) onda udaljenost zapisanu formulom (1) možemo zapisati kao d 2 (A, B) = r B r A 2, gdje je r B r A = (x 2 x 1 ) i+(y 2 y 1 ) j. Na sličan način može se definirati i udaljenost dviju točaka preko l 1 ili l norme sljedećim formulama: d 1 (A, B) = r B r A 1, d (A, B) = r B r A CSB nejednakost. 10/16

13 P 2 Udaljenost dviju točaka Udaljenost dviju točaka A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) M u ravnini M u kojoj je uveden pravokutni Kartezijev koordinatni sustav možemo izračunati po formuli d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Ako definiramo radijvektore r A, r B X 0 (M), r A = x 1 i + y 1 j, r B = x 2 i + y 2 j, (1) onda udaljenost zapisanu formulom (1) možemo zapisati kao d 2 (A, B) = r B r A 2, gdje je r B r A = (x 2 x 1 ) i+(y 2 y 1 ) j. Na sličan način može se definirati i udaljenost dviju točaka preko l 1 ili l norme sljedećim formulama: d 1 (A, B) = r B r A 1, d (A, B) = r B r A CSB nejednakost. 10/16

14 P Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. 2 Norma vektora 3 Cauchy Schwarz Buniakowsky (CSB) nejednakost CSB nejednakost. 11/16

15 P 3 Lema 1. Neka je f : R R kvadratna funkcija f(x) = ax 2 + 2bx + c, a, b, c R, a > 0. Tada vrijedi: (i) b 2 ac 0 f(x) 0 x R (ii) b 2 ac = 0 f( b a ) = 0 & f(x) > 0 x R \ { b a}. CSB nejednakost. 12/16

16 P 3 Teorem 4. (Cauchy Schwarz Buniakowsky) Za proizvoljne realne brojeve a 1,..., a n, b 1,..., b n R vrijedi ( n ) 2 a k b k k=1 n pri čemu jednakost vrijedi onda i samo onda a 2 k k=1 k=1 - ako je a 1 = = a n = 0 ili b 1 = = b n = 0 ili n b 2 k, (2) - ako je barem jedan a i 0 ali postoji λ R, takav da je b k = λa k k = 1,..., n. CSB nejednakost. 13/16

17 P 3 Korolar 1. (Hölderova nejednakost) Za proizvoljne realne brojeve a 1,..., a n, b 1,..., b n R vrijedi n (a k + b k ) 2 n a 2 k + n b 2 k, (3) k=1 k=1 pri čemu jednakost vrijedi onda i samo onda k=1 - ako je a 1 = = a n = 0 ili b 1 = = b n = 0 ili - ako je barem jedan a i 0 i ako postoji λ 0, takav da bude b k = λa k k = 1,..., n. CSB nejednakost. 14/16

18 P 3 Korolar 2. (Nejednakost trokuta) Za proizvoljne realne brojeve a 1,..., a n, b 1,..., b n, c 1,..., c n R vrijedi n (b k a k ) 2 n (c k a k ) 2 + n (b k c k ) 2, (4) k=1 k=1 pri čemu jednakost vrijedi onda i samo onda k=1 - ako je c k = a k ili c k = b k za sve k = 1,..., n ili - ako je barem jedan c i a i i ako postoji λ 0, takav da bude b k c k = λ(c k a k ) k = 1,..., n. CSB nejednakost. 15/16

19 P 3 Primjer 8. Neka su x i y realni brojevi takvi da je 3x + 7y = 1. Dokažite da je x 2 + y CSB nejednakost. 16/16