ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.

Transcript

1 .. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό A για το οποίο Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ. Η ζχει πεδίο οριςμοφ το ςφνολο τιμϊν 2. Το ςφνολο τιμϊν τθσ y y. Ιςχφει 4., για κάκε A D. 5., για κάκε A D 6. Προςοχι! Είναι Αν είναι A τθσ. είναι το πεδίο οριςμοφ Α τθσ.. ( γιατί ζχουν διαφορετικό πεδίο οριςμοφ). A A δθλαδι D D, τότε είναι 7. Ζςτω τυχαίο ςθμείο Mα, β τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ςυνάρτθςθσ. Τότε ιςχφει: α β β α, που ςθμαίνει ότι το ςθμείο M β, α ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ. Τα ςθμεία Mα, β και M β, α όμωσ είναι ςυμμετρικά ωσ προσ τθ διχοτόμο δ: y και το. Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ.

2 ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ M α, β τυχαίο. Άρα οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων και ζχουν άξονα ςυμμετρίασ τθ διχοτόμο δ: y. Προςοχι: Ενδζχεται οι γραφικζσ παραςτάςεισ δεφτερο άξονα ςυμμετρίασ. Το διπλανό ςχιμα παρουςιάηει τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ τθσ αντίςτροφισ τθσ, οι οποίεσ είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τισ ευκείεσ y και y. ( περιςςότερα βλζπε.5. ) C και C να ζχουν και 8. Για να βροφμε τα κοινά ςθμεία τθσ C με τθ διχοτόμο δ: y λφνουμε τθν εξίςωςθ. Για να βροφμε τα κοινά ςθμεία τθσ C με τθ διχοτόμο δ: y λφνουμε τθν εξίςωςθ. Πρoςοχι! Ό,τι κοινά ςθμεία ζχει θ ςθμεία κα ζχει και θ C Δθλαδι C με τθν y, τα ίδια ακριβϊσ κοινά με τθν y. ( λόγω τθσ ςυμμετρίασ). ( εξιςϊςεισ ιςοδφναμεσ ) 9. Όταν θ είναι "" Απόδειξθ Για κάκε, D Άρα θ. Ιςχφει 2 τότε και θ είναι " ". με 2 2 είναι " ". και 2.. Όταν θ είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο D τότε και θ είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο D και μάλιςτα με το ίδιο είδοσ μονοτονίασ. Δθλαδι όταν θ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο D. Απόδειξθ (με απαγωγι ςε άτοπο) Για κάκε, D με 2 2 D τότε και θ κα δείξουμε ότι 2 Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 2

3 Υποκζτουμε ότι υπάρχουν, D με 2 τζτοια ϊςτε Άρα ιςχφει άτοπο (γιατί 2) 2 οπότε θ είναι θ είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο D. Όταν θ είναι γνθςίωσ φκίνουςα, θ απόδειξθ είναι παρόμοια. 2. Για να βροφμε τα κοινά ςθμεία των C και C λφνουμε το ςφςτθμα: y y Σ : y y κ.λπ. Πρoςοχι! Οι C και C μπορεί να ζχουν κοινά ςθμεία που δεν ανικουν ςτθ διχοτόμο δ: y..2. Εφρεςθ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ με τφπο e. Να εξετάςετε αν θ αντιςτρζφεται και αν ναι, να βρείτε τθν ςυνάρτθςθ. Για να βροφμε τθ αντίςτροφθ τθσ ςυνάρτθςθσ : A εργαηόμαςτε ωσ εξισ: Βιμα ο Βρίςκουμε το πεδίο οριςμοφ τθσ, αν αυτό δεν δίνεται και ςτθ ςυνζχεια εξετάηουμε αν θ είναι ςυνάρτθςθ "-". Είναι : D { /e } [, ) γιατί Για κάκε,, με 2 2 e e e e 2 e e e 2 e e e e "" 2 2, οπότε: Άρα θ ςυνάρτθςθ είναι " " οπότε είναι αντιςτζψιμθ. Βιμα 2 ο Θζτουμε y = (οπότε είναι = y ) και ςτθ ςυνζχεια λφνουμε τθν εξίςωςθ y = ωσ προσ, βάηοντασ ςτθ πορεία τθσ λφςθσ και όπου κρίνεται απαραίτθτο Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ.

4 περιοριςμοφσ για το y. Η ςυναλικευςθ των περιοριςμών του y μασ δίνουν το ςφνολο τιμών τθσ, το οποίο είναι το πεδίο οριςμοφ τθσ Αν θ λφςθ τθσ εξίςωςθσ y = g y. y = ωσ προσ είναι τθσ μορφισ = gy, τότε είναι. Θζτουμε όπου y το και ζτςι ζχουμε τον τφπο τθσ Ζχουμε λοιπόν: y,, y e, y 2 y e 2 e y 2 2 lne ln y ln y, y 2 y ln y, y 2 ln,... Εφρεςθ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ από ςυναρτθςιακι ςχζςθ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ : με ςφνολο τιμϊν το, που ικανοποιεί τθ ςχζςθ: e 2, () για κάκε. α) Αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ είναι " ", β) Να βρείτε τθν Λφςθ. α) Για κάκε, 2 με ( ) 2 e 2 e 2 e e (2) Άρα θ ςυνάρτθςθ είναι " ", οπότε αντιςτρζφεται. β) Θζτουμε y, (2), y οπότε Η ςχζςθ (), λόγω των (2) και () γίνεται: y y e y 2 y, () y y y e 2, y e 2, Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 4

5 .4. Εφρεςθ αντίςτροφθσ μιασ δίκλαδθσ ςυνάρτθςθσ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ :, αν, αν α) Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ αντιςτρζφεται. β) Να βρεκεί θ ςυνάρτθςθ. γ) Να χαράξετε τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων, μου δ: y. Λφςθ α) Η είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο, με γνθςίωσ αφξουςα ςτο για κάκε,, με για κάκε, Επίςθσ με βάςθ τα προαναφερκζντα προκφπτει ότι:. και τθσ διχοτό- και Για κάκε, και, ιςχφει Αρα θ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ, οπότε αντιςτρζφεται. β) Θζτουμε y Αν, είναι : y. με y y y, y y y y, y, D Αν, είναι: y, με y 2 y, με y 2 y y, με y 2, Τελικά είναι:, αν 2, αν γ) Η γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων, και τθσ διχοτόμου δ: y φαίνονται ςτο διπλανό ςχιμα. Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 5

6 Παρατιρθςθ: Η ςυνάρτθςθ του προθγουμζνου παραδείγματοσ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ. Παρατθροφμε ότι και ςυνάρτθςθ ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ. Επιπλζον παρατθροφμε ότι : Σα κοινά ςθμεία τθσ των C και C. Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 6 είναι γνθςίωσ αφξουςα C και τθσ διχοτόμου δ είναι τα ίδια με τα κοινά ςθμεία Αυτό ιςχφει γενικά ςτθ περίπτωςθ που μια ςυνάρτθςθ είναι γνθςίωσ αφξουςα, όπωσ αποδεικνφεται ςτθ παρακάτω βαςικι πρόταςθ. Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A γνθςίωσ αφξουςα ςτο A. Τότε: α) Η ςυνάρτθςθ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο A. β) Ιςχφει θ ιςοδυναμία των εξιςϊςεων Απόδειξθ α) Η ςυνάρτθςθ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ Α, οπότε είναι αντιςτρζψιμθ και ζςτω Για κάκε,2 A με 2 Υποκζτουμε ότι υπάρχουν Άρα ιςχφει 2 θ αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ. κα δείξουμε ότι A,2. 2 με 2 τζτοια ϊςτε : 2 2 2, άτοπο (γιατί 2, οπότε θ ). είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο A. β) Για να αποδείξουμε ότι οι εξιςϊςεισ, και, 2 είναι ιςοδφναμεσ, αρκεί να δείξουμε ότι κάκε λφςθ τθσ εξίςωςθσ () είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ (2) και αντίςτροφα κάκε λφςθ τθσ εξίςωςθσ (2) είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ (). Ζςτω λοιπόν ρ τυχαία λφςθ τθσ εξίςωςθσ (), δθλαδι είναι Είναι : ρ ρ ρ ρ ρ ρ () ρ ρ Δθλαδι το ρ είναι λφςθ τθσ εξίςωςθσ (2). Αντίςτροφα. Ζςτω τϊρα ρ τυχαία λφςθ τθσ εξίςωςθσ (2), δθλαδι είναι Θα δείξουμε, με απαγωγι ςε άτοπο, ότι ρ Υποκζτουμε ότι: ρ. ρ ρ,. ρ ρ (4).

7 (4) i. ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ, άτοπο. (4) ii. ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Άρα είναι, άτοπο., οπότε οι εξιςϊςεισ () και (2) είναι ιςοδφναμεσ..5. Εφρεςθ των κοινών ςθμείων των γραφικών παραςτάςεων των ςυναρτιςεων και Δίνεται θ ςυνάρτθςθ,. α) Αποδείξετε ότι θ είναι αντιςτρζψιμθ. β) Να βρείτε τθν αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ. γ) Να βρείτε τα κοινά ςθμεία των ςυναρτιςεων και Λφςθ α) Για κάκε 2., με Άρα θ ςυνάρτθςθ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο, οπότε είναι " " και ςυνεπϊσ αντιςτρζψιμθ. β) Θζτουμε y y, και y Αν είναι y Αν είναι y Είναι δθλαδι: y, οπότε y y y y, y. y y y y y, y., οπότε, αν, αν γ) Για να βροφμε τα κοινά ςθμεία των C και C λφνουμε το ςφςτθμα: y y y y y y y y 9 8 y ι ι y y y y 8 8 ι ι y y y Άρα τα κοινά ςθμεία των C και C είναι τα Ο,, Α, και Β, Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 7

8 Μια εποπτεία όλων των παραπάνω μποροφμε να ζχουμε ςτο παρακάτω ςχιμα. Παρατθριςεισ Σχόλια.. Τα κοινά ςθμεία των C και C πράγματι είναι τα Ο,, Α, και Β,. 2. Οι C και C είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τθ διχοτόμο δ: y.. Οι C και C εκτόσ από τθ διχοτόμο δ: y ζχουν και δεφτερο άξονα ςυμμετρίασ, τθ διχοτόμο δ': y. 4. Ό,τι κοινά ςθμεία ζχει θ C με τθ διχοτόμο δ: y ζχει και θ C με τθ διχοτόμο δ: y, ( εδϊ το Ο, ). 5. Οι C και C ζχουν το ίδιο είδοσ μονοτονίασ, (ςτθ προκειμζνθ περίπτωςθ είναι και οι δφο γνθςίωσ φκίνουςεσ). Επιμζλεια: Θ. ΚΑΨΑΛΗΣ Σελ. 8