1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.

Transcript

1 PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom tekstu, a takod e su moguće slovne i druge greške. Studenti su u obavezi da konsultuju dodatnu, dole navedenu literaturu, koju je moguće naći u biblioteci Fakulteta.. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, L. D. Kudrijavcev, Kurs matematičke analize I, Viša škola, Moskva, 98 na ruskom). 3. Dušan Ćirić, Uvod u matematičku analizu, I deo, Prirodno-matematički fakultet, Niš, 008.

2 Sadržaj Glava Uvod. Skupovi i relacije Funkcije Grupoid, grupa, prsten i polje Polje realnih brojeva Neke posledice aksioma ured enog polja Neki važniji podskupovi skupa realnih brojeva Prošireni skup realnih brojeva Ekvivalenti i posledice aksiome neprekidnosti Glava Nizovi. Granične vrednosti realnih nizova. Osobine Monotoni nizovi Bolcano-Vajerštrasova teorema za nizove Košijev kriterijum konvergencije nizova Deične granice niza. Limes superior i es inferior niza Glava 3 Granične vrednosti funkcija 3. Pojam granične vrednosti funkcije Osobine graničnih vrednosti funkcija Košijev kriterijum egzistencije granične vrednosti funkcije Granična vrednost složene funkcije Granična vrednost monotone funkcije Neprekidnost i tačke prekida Neke osobine funkcija neprekidnih u tački Neke osobine funkcija neprekidnih na segmentu Neprekidnost i monotonost. Neprekidnost inverzne funkcije Neprekidnost elementarnih funkcija Asimptotske oznake O, o i Glava 4 Diferenciranje realnih funkcija jedne realne promenljive 4. Izvod i diferencijal Pravila diferenciranja

3 4.3 Izvodi višeg reda Teoreme o srednjoj vrednosti

4 4

5 Glava Uvod. Skupovi i relacije Čitaoca upićujemo na udžbenik str. -6): Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, Funkcije Neka su X i Y neprazni skupovi. Preslikavanje funkcija) skupa X u skup Y je svako pravilo propis, dogovor) f kojim se svakom elementu skupa X dodeljuje tačno jedan elemenat skupa Y. Ako je f preslikavanje skupa X u skup Y pisaćemo f : X Y. Osim termina funkcija, ili preslikavanje, koriste se i termini pridruživanje ili korespondencija. Elemenat x X se obično naziva original lik), a y Y njegova slika, i pritom pišemo y = fx). Kažemo još i da je x nezavisno promenljiva ili argument, a y zavisno promenljiva. Ovo nije stroga matematička definicija funkcije, budući da uključuje pojmove pravilo propis, dogovor) koje nismo prethodno definisali. Sledi stroga matematička definicija pojma funkcije koja se zasniva na pojmu skupa. Definicija.. Neka su X i Y neprazni skupovi. Podskup f Dekartovog proizvoda X Y koji zadovoljava uslove i) x X) y Y ) x, y) f, ii) x X) y, y Y )x, y ) f x, y ) f = y = y ), zovemo preslikavanje funkcija) f skupa X u skup Y. 5

6 6 Glava. Uvod Prema tome, fukcija f skupa X u skup Y je binarna) relacija iz X u Y sa osobinama i) i ii). Umesto x, y) f pišemo y = fx), skup X zovemo domen ili oblast definisanosti), a skup Y zovemo kodomen funkcije f. Uslov i) ove definicije govori o tome da svaki elemenat x X može biti original za funkciju f, dok uslov ii) govori o jednoznačnosti dobroj definisanosti) funkcije f, tj. da jednom originalu odgovara tačno jedna slika. Kada je jasno koji su domen i kodomen funkcije, govorićemo jednostavno o funkciji x fx), istićući time original i njegovu sliku. Ako je A X, slika skupa A funkcijom f, u oznaci fa), je skup svih onih elemenata iz Y koji su slika nekih elemenata iz A, tj. fa) = {fx) x A}. Definicija.. Dve funkcije f : X Y i f : X Y su jednake ako su ispunjeni sledeći uslovi: i) X = X, ii) Y = Y, iii) x X )f x) = f x) f i f za bilo koji original imaju iste slike). Definicija.3. Za dve funkcije f : X Y i f : X Y, ako je: i) X X, ii) Y Y, iii) x X )f x) = f x), onda kažemo da je f restrikcija suženje) funkcije f, a da je f ekstenzija produženje) funkcije f. Ako je pritom Y = Y, onda pišemo f = f X. Definicija.4. Za funkciju f : X Y kažemo da je - injektivna, injekcija) ako različitim originaa x, x X uvek odgovaraju različite slike, tj. ako važi implikacija: x, x X)x x = fx ) fx ))..) Drugim rečima, funkcija f je - ako ne postoje dva različita elementa skupa X koji imaju istu sliku. S obzirom na zakon kontrapozicije za implikaciju: p = q) q = p), zaključujemo da je uslov.) ekvivalentan sledećem: x, x X)fx ) = fx ) = x = x )..) Prema tome, funkcija f : X Y je - ako važi uslov.), tj. ako iz jednakosti slika sledi i jednakost odgovarajućih originala.

7 .. Funkcije 7 Definicija.5. Za funkciju f : X Y kažemo da je na surjektivna, surjekcija) ako y Y ) x X) y = fx). Drugim rečima, funkcija f : X Y je surjekcija ako je fx) = Y. Definicija.6. Funkcija f : X Y je bijektivna bijekcija) ako je injektivna i surjektivna. Primer.7. i) Funkcija f : R R data sa f x) = x nije ni injekcija jer f ) = f ) = 4) ni surjekcija jer f x) za svako x R). ii) Neka je R + = {x R x 0} i funkcija f : R + R data sa f x) = x, tj. f = f R +. Fukcija f je -, ali nije na. iii) Ako isti analitički izraz definiše funkciju f 3 : R R +, onda f 3 nije -, ali je na. iv) Na kraju, restrikcija f 4 : R + R + funkcije f je bijekcija. v) Neka je R = {x R x 0} i f 5 : R R + funkcija data takod e sa f 5 x) = x, onda je f 5 bijekcija. Ako je f : X Y funkcija i B Y. Inverzna slika skupa B funkcijom f, u oznaci f B), je skup svih elemenata iz X koji se funkcijom f preslikavaju u skup B: f B) = {x X fx) B}. Jasno, f Y ) = X. Primer.8. Neka je X = {,, 3, 4, 5}, Y = {a, b, c, d, e, f} i funkcija f : X Y data sa ) f =. a a a f f Za A = {, } X i B = {d, e, f} Y važi fa) = {a}, f B) = {4, 5}, f fa)) = {,, 3} i ff B)) = {f}. Dakle, A f fa)) i ff B)) B. Primer.9. Ako je f : R R funkcija iz Primera.7, onda je f R + ) = R +, f R+ ) = R i f R ) = {0}. Sledi f f R + ))) = R i f f R )) = f {0}) = {0}. Prema tome, R + f f R + ))) i f f R )) R. Tvrd enje.0. Neka je f : X Y..0.) Za svaki podskup A skupa X važi A f fa))..0.) Funkcija f je injekcija ako i samo ako za svaki podskup A skupa X važi A = f fa)).

8 8 Glava. Uvod Dokaz..0.): Neka je x A. Tada fx) fa), tj. elemenat x se funkcijom f preslikava u skup fa) i zato x f fa)). Prema tome, A f fa))..0.): Pretpostavimo da je f injekcija. Da bi dokazali da je A = f fa)), na osnovu.0.), dovoljno je dokazati inkluziju f fa)) A. Neka je x f fa)). Tada fx) fa), te postoji a A tako da je fx) = fa). Kako je f injekcija, sledi x = a, i zato x A. Prema tome, f fa)) A. Obrnutu implikaciju, tj. tvrd enje da injektivnost funkcije f sledi iz činjenice da je A = f fa)) za svaki podskup A skupa X, dokazaćemo kontrapozicijom. Pretpostavimo da f nije injekcija. Pokazaćemo da postoji skup A X takav da je A f fa)). Iz činjenice da f nije injekcija sledi da postoje x, x X, takvi da je x x i fx ) = fx ) = y. Neka je A = {x }. Tada je fa) = {y} i {x, x } f fa)). Prema tome, A f fa)). Tvrd enje.. Neka je f : X Y...) Za svaki podskup B skupa Y važi ff B)) B...) Funkcija f je surjekcija ako i samo ako za svaki podskup B skupa Y važi ff B)) = B. Dokaz...): Neka je B Y. Kako je f B) skup svih elemenata iz X koji se funkcijom f preslikavaju u skup B, tj. fx) B za svako x f B), te je ff B)) B...): Neka je f surjekcija, B Y i y B. Postoji x X tako da je fx) = y. Sledi x f B), i prema tome, y = fx) ff B)). Ovim smo pokazali da je B ff B)), i s obzirom na..) zaključujemo da važi jednakost ff B)) = B. Pretpostavimo da je ff B)) = B za svaki podskup B skupa Y. Odavde za B = Y dobijamo ff Y )) = Y. Kako je f Y ) = X, sledi fx) = Y, tj. f surjekcija. Ako je f : X Y, A i A podskupovi skupa X, i B, B i B podskupovi skupa Y, tada važi: i) f ) =, ii) A A = fa ) fa ), iii) fa A ) = fa ) fa ), iv) fa A ) fa ) fa ), v) fa \A ) fa )\fa ), vi) f ) =, vii) B B = f B ) f B ), viii) f B B ) = f B ) f B ), ix) f B B ) = f B ) f B ),

9 .. Funkcije 9 x) f B \B ) = f B )\f B ), xi) f CB) = Cf B). Primetimo da u iv) i v) inkluzije mogu biti stroge. Za funkciju f : R R iz Primera.7, i skupove A = [, 0] i A = [0, ] važi f A A ) = f{0}) = {0}, f A \A ) = f [, 0)) = 0, ], f A ) = [0, ], f A ) = [0, ], f A ) f A ) = [0, ], f A )\f A ) =, te je f A A ) f A ) f A ) i f A \A ) f A )\f A ). Sledeća tvrd enja nije teško dokazati:. Funkcija f : X Y je injekcija ako i samo ako za svaka dva podskupa A i A skupa X važi fa A ) = fa ) fa );. Funkcija f : X Y je injekcija ako i samo ako za svaka dva podskupa A i A skupa X važi fa \A ) = fa )\fa ); 3. Funkcija f : X Y je injekcija ako i samo ako za svaki podskup A skupa X važi fca) CfA); 4. Funkcija f : X Y je surjekcija ako i samo ako za svaki podskup A skupa X važi fca) CfA); 5. Funkcija f : X Y je bijekcija ako i samo ako za svaki podskup A skupa X važi fca) = CfA). Definicija.. Neka su f : X Y i g : Z U funkcije, i fx) Z. Tada funkciju h : X U definisanu sa hx) = gfx)), x X, zovemo proizvod slaganje, kompozicija) funkcija f i g i pišemo h = g f. Prema tome, g f)x) = gfx)), x X. Primer.3. Neka je X = {,, 3}, Y = {a, b, c, d, e, f}, Z = {a, f, g, h}, U = {7, 8, 9, 0, }, i funkcije f : X Y i g : Z U date sa f = 3 a a f ) g = a f g h Kako je fx) = {a, f} Z, to je definisana kompozicija g f : X U, i važi g f)) = gf)) = ga) = 7, g f)) = gf)) = ga) = 7 i g f)3) = gf3)) = gf) = 8, tj. g f = ). ).

10 0 Glava. Uvod Ako je f : X Y, g : Y Z i h : Z U, onda funkcije h g f) i h g) f imaju i isti domen X i isti kodomen U i za svako x X važi h g f))x) = hg f)x)) = hgfx))), h g) f)x) = h g)fx)) = hgfx))), te je h g f))x) = h g) f)x). Zato važi jednakost h g f) = h g) f. Prema tome, kompozicija funkcija je asocijativna. Med utim, kompozicija funkcija nije komutativna. Zaista, ako postoji g f ne mora postojati kompozicija f g. Na primer, ako je f : R + R funkcija data sa fx) = x, x R +, a funkcija g : R R sa gx) = x, x R, onda je kompozicija g f definisana g f)x) = gfx)) = g x) = x, x R + ), dok kompozicija f g nije. Čak i kada postoje kompozicije g f i f g, one ne moraju biti jednake. Zaista, ako je funkcija f : R R data sa fx) = x, a g : R R funkcija data sa gx) = x +, x R, onda je g f)x) = gfx)) = gx) = x + i f g)x) = fgx)) = fx + ) = x + ) = x +, i prema tome, g f f g. Tvrd enje.4. Neka je f : X Y i g : Y Z. Tada važi:.4.) Ako su f i g injekcije, tada je i g f injekcija..4.) Ako su f i g surekcije, tada je i g f surjekcija..4.3) Ako je g f injekcija, onda je f injekcija..4.4) Ako je g f surjekcija, onda je g surjekcija. Dokaz..4.): Neka su f i g injekcije i g f)x ) = g f)x ) za x, x X. Tada je gfx )) = gfx )), i budući da je g injekcija, dobijamo fx ) = fx ). Odavde, zbog injektivnosti funkcije f, sledi x = x. Prema tome, g f je injekcija..4.): Neka su f i g surjekcije. Tada je g f)x) = gfx)) = gy ) = Z, te je i g f surjekcija..4.3): Neka je g f injekcije i fx ) = fx ) za x, x X. Odavde zbog jednoznačnosti funkcije g sledi gfx )) = gfx )), tj. g f)x ) = g f)x ). Sada iz injektivnosti funkcije g f sledi x = x. Prema tome, f je injekcija..4.4): Neka je g f surjekcija. To znači da je g f)x) = Z, tj. gfx)) = Z. Iz fx) Y sledi gfx)) gy ), i zato je Z gy ) Z. Prema tome, gy ) = Z i g je surjekcija. Identička funkcija skupa X, i X : X X, je funkcija definisana sa i X x) = x za x X.

11 .. Funkcije Teorema.5. Neka je f : X Y. Ako je f bijekcija, tada postoji jedinstvana funkcija g : Y X tako da važe sledeća dva uslova: g f = i X,.3) f g = i Y..4) Obrnuto, ako postoji funkcija g : Y X tako da važe uslovi.3) i.4), onda je f bijekcija. Dokaz. Neka je f : X Y bijekcija i y Y. Iz surjektivnosti funkcije f sledi da postoji x X tako da je fx) = y. Iz injektivnosti funkcije f sledi da je x jedan jedini elemenat iz skupa X za koji je fx) = y. Na taj način je svakom y Y pridružen tačno jedan elemenat x X takav da je y = fx). Obeležimo sa g : Y X ovako definisano preslikavanje skupa Y u skup X. Dakle g će y Y slikati u onaj elemenat x X za koji je fx) = y, tj. gy) = x ako i samo ako je fx) = y. Zato je g f)x) = gfx)) = gy) = x, za svako x X, i f g)y) = fgy)) = fx) = y, za svako y Y. Dokazali smo postojanje funkcije g : Y X za koju važe uslovi.3) i.4). Dokažimo sada da je ona jedinstvena. Neka je g : Y X funkcija koja ispunjava uslove.3) i.4), tj. neka važi g f = i X, f g = i Y. Neka je y Y proizvoljan. Tada postoji x X tako da je fx) = y. Odavde zbog uslova.3) imamo gy) = gfx)) = g f)x) = i X x) = x, a takod e i g y) = g fx)) = g f)x) = i X x) = x, te je gy) = g y). Sledi g = g. Obrnuto, ako postoji funkcija g : Y X tako da važe uslovi.3) i.4), onda iz.4.3) i.4.4) sledi da je f bijekcija primetimo da je iz istih razloga i g bijekcija). Ako je funkcija f : X Y bijekcija, jedinstvena bijekcija g : Y X za koju važe uslovi.3) i.4) zove se inverzna funkcija funkcije f i obeležava sa f. Dakle f f = i X i f f = i Y, tj. x X) f fx)) = x, y Y ) ff y)) = y. Primer.6. Nad imo inverznu funkciju za funkciju f 4 iz Primera.7: f 4 : R + R +, f 4 x) = x, x R +. Stavimo da je za x R +, f 4 x) = y, tj. x = y. Odavde x = y, tj. f4 y) = y. Kako je uobičajeno da nezavisno promenljiva bude označena sa x, pisaćemo f 4 x) = x.

12 Glava. Uvod Funkcija f 5 : R R +, f 5 x) = x, x R Primer.7), je takod e bijekcija. Iz y = x, budući da x R, sledi x = y, tj. f5 y) = y. Prema tome, inverzna funkcija funkcije f 5 je data sa f5 x) = x, x R +. Napomenimo da ako postoji inverzna funkcija funkcije f : X Y, i ako je B Y, inverzna slika skupa B funkcijom f biće isto što i slika skupa B funkcijom f : Y X..3 Grupoid, grupa, prsten i polje Neka je X neprazan skup. Preslikavanje f : X X se zove binarna operacija skupa X. Uobičajeno je da se za binarne operacije koriste oznake, +,,, i td, i umesto, recimo a, b)) = c, gde su a, b, c X, piše a b = c. Operacija obeležena sa + obično se naziva aditivna operacija, dok se operacija obeležena sa naziva multiplikativna operacija. Primer binarne operacije je preslikavanje a, b) a + b skupa N u skup N, tj. dobro poznata operacija sabiranja prirodnih brojeva. Za binarnu operaciju skupa X kažemo da je ) asocijativna ako ) komutativna ako a, b, c X) a b c) = a b) c; a, b X) a b = b a. Neka su i dve binarne operacije skupa X. Ako je a, b, c X) a b c) = a b) a c), tada kažemo da za operaciju važi levi distributivni zakon u odnosu na operaciju. Ako je a, b, c X) a b) c = a c) b c), onda kažemo da za operaciju važi desni distributivni zakon u odnosu na operaciju. Ako važe i levi i desni distributivni zakon, onda ćemo reći da za operaciju važi distributivni zakon u odnosu na operaciju. Sabiranje prirodnih brojeva je komutativna operacija, dok stepenovanje nije, jer je, na primer, 3 3.

13 .3. Grupoid, grupa, prsten i polje 3 Takod e, sabiranje prirodnih brojeva je asocijativna operacija, ali stepenovanje nije, jer je, na primer, 3 ) 4 = i 34 = 8. Množenje prirodnih brojeva je distrubutivna operacija u odnosu na sabiranje i sleva i sdesna), ali sabiranje nije distributivna operacija u odnosu na množenje, jer je, na primer, + 3 4) = 4 i + 3) + 4) = 5 6 = 30. Definicija.7. Ured eni par X, ) nepraznog skupa X i binarne operacije skupa X zovemo grupoid. Par N, +) je grupoid, a takod e i N, ) gde su + i redom sabiranje i množenje. Med utim par N, ) nije grupoid, gde je operacija oduzimanja. Definicija.8. Ako je X, ) grupoid, i ako postoji elemenat e X takav da je x X) x e = e x = x, onda kažemo da je e neutralni elemenat grupoida X. U slučaju multiplikativne operacije neutralni elemenat se naziva jedinični elemenat ili jedinica i obeležava sa, dok se u slučaju aditivne operacije naziva nula i obeležava sa 0. Tvrd enje.9. Ako u grupoidu X, ) postoji neutralni elemenat, onda je on jedinstven. Dokaz. Neka su e i e dva neutralna elementa u grupoidu X. Tada je e = e e = e. Prma tome, neutralni elemenat je jedinstven. Definicija.0. Neka u grupoidu X, ) postoji neutralni elemenat i neka x, y X. Ako je x y = y x = e, onda kažemo da je y simetrični elemenat elementa x, i pišemo y = x. Iz definicije je jasno da ako je y simetričan elemenat elementa x, onda i x simetričan elemenat elementa y, tj. x = y ako i samo ako je y = x, i stoga, x ) = x. U slučaju multiplikativne operacije simetrični elemenat elementa x se naziva inverzni elemenat elementa x i označava sa x, a u slučaju aditivne operacije suprotni elemenat elementa x i označava se sa x.

14 4 Glava. Uvod Definicija.. Ured eni par X, ) nepraznog skupa X i asocijativne binarne operacije skupa X zovemo polugrupa. Na primer, poznate polugrupe su N, +) i N, ). Tvrd enje.. Neka u polugrupi X, ) postoji neutralni elemenat e i neka je x X. Simetrični elemenat elementa x, ukoliko postoji, je jedinstven. Dokaz. Neka su x i x simetrični elementi elementa x. Tada je x = x e = x x x ) = x x) x = e x = x. Prema tome, simetrični elemenat elementa x je jedinstven. Definicija.3. Neka su X, ) i Y, ) dva grupoida. Preslikavanje f : X Y takvo da je x, x X) fx x ) = fx ) fx ), zove se homomorfizam grupoida X, ) u grupoid Y, ). Homomorhizam koji je surjektivan injektivan) se zove epimorfizam monomorfizam). Homomorhizam koji je još i bijekcija se zove izomorfizam. Preslikavanje f : N N, dato sa fn) = 3 n, je homomorhizam grupoida N, +) u grupoid N, ), jer n, m N) fn + m) = 3 n+m = 3 n 3 m = fn) fm). Tvrd enje.4. Neka je f : X Y izomorfizam grupoida X, ) u grupoid Y, ). Tada je f : Y X izomorfizam grupoida Y, ) u grupoid X, ). Dokaz. Budući da je f bijekcija, inverzna funkcija f postoji i takod e je bijekcija. Pokažimo da je f homomorfizam. Neka su y, y Y. Zbog surjektivnosti funkcije f postoje x, x X takvi da je fx ) = y i fx ) = y. Kako je f homomorfizam, sledi f y y ) = f fx ) fx )) = f fx x )) = x x = = f y ) f y ), te je i f homomorfizam. Prema tome, f je izomorfizam. Ako su dva grupoida izomorfna, onda oni imaju iste algebarske osobine. Tvrd enje.5. Neka je f : X Y epimorfizam grupoida X, ) u grupoid Y, ). Ako je operacija skupa X komutativna, onda je i operacija skupa Y komutativna.

15 .3. Grupoid, grupa, prsten i polje 5 Dokaz. Neka su y, y Y. Funkcija f je surjekcija, pa postoje x, x X takvi da je fx ) = y i fx ) = y. Budući da je f homomorfizam, a operacija komutativna, sledi y y = fx ) fx ) = fx x ) = fx x ) = fx ) fx ) = y y. Pema tome, je komutativna operacija. Tvrd enje.6. Neka je f epimorfizam grupoida X, ) u grupoid Y, ). Ako u grupoidu X, ) postoji neutralni elemenat e, onda je fe) neutralni elemenat u grupoidu Y, ). Dokaz. Neka je y Y proizvoljan elemenat. Iz surjektivnosti funkcije f sledi da postoji x X takav da je fx) = y. Kako je f homomorfizam, to je y fe) = fx) fe) = fx e) = fx) = y, fe) y = fe) fx) = fe x) = fx) = y. Prema tome, fe) je neutralni elemenat u grupoidu Y, ). Definicija.7. Grupoid X, ) za koji važi zovemo grupa. x, y, z X) x y z) = x y) z, x X) e X) x e = e x = x, x X) x X) x x = x x = e, Drugim rečima, polugrupa, u kojoj postoji neutralni elemenat i u kojoj svaki elemenat ima simetrični elemenat, zove se grupa. Definicija.8. Ako je X, ) grupa, a operacija komutativna, onda kažemo da je X, ) Abelova grupa. Par N, +) nije grupa, ali je Z, +) Abelova grupa. Tvrd enje.9. U grupi X, ) važi zakon kancelacije kraćenja), tj. a, x, y X)a x = a y = x = y),.5) i a, x, y X)x a = y a = x = y)..6) N. Abel 80-89), norveški matematičar

16 6 Glava. Uvod Dokaz. Neka su a, x, y X i a x = a y. Kako a ima simetrični elemenat a i kako je operacija asocijativna, to je a x = a y = a a x) = a a y) = a a) x = a a) y) = e x = e y = x = y. Analogno se dokazuje.6). Tvrd enje.30. Neka je X, ) grupa i x, y X. Tada važi x y) = y x. Dokaz. x y) x y) = e = x x y) x y) ) = x e = x x y)) x y) = x = x x) y) x y) = x = e y) x y) = x = y x y) = x = y y x y) ) = y x = y y) x y) = y x = e x y) = y x = x y) = y x. Tvrd enje.3. Neka je X, ) grupa i a, b X. Tada jednačina ima jedistveno rešenje x = a b. Takod e, jednačina ima jedistveno rešenje y = b a. a x = b.7) y a = b.8) Dokaz. Kako je a a b) = a a ) b = e b = b,

17 .3. Grupoid, grupa, prsten i polje 7 x = a b je rešenje jednačine.7). Pokažimo da je ovo rešenje jednistveno. Pretpostavimo da je x još jedno rešenje jednačine.7). Tada je i zato a x = b i a x = b, a x = a x. Kako u grupi važi zakon kancelacije, sledi x = x. Prema tome, rešenje jednačine.7) jedinstveno. Analogno se dokazuje tvrd enje za jednačinu.8). Definicija.3. Ured ena trojka X, +, ), gde je X neprazan skup, a + i binarne operacije skupa X je prsten ako su ispunjeni sledeći uslovi: ) X, +) je Abelova grupa, ) X, ) je polugrupa, 3) operacija je distributivna u odnosu na operaciju +, tj. važi x, y, z X)x y + z) = x y) + x z) x + y) z = x z) + y z)). Abelovu grupu X, +) nazivamo aditivna, a polugrupu X, ) multiplikativna. Podsetimo se da neutralni elemenat grupe X, +) zovemo nula i označavamo sa 0. Simetrični elemenat elementa x u grupi X, +) zovemo suprotni elemenat i označavamo sa x. Da bismo pojednostavili pisanje dogovorićemo se da je operacija višeg prioriteta od operacije +, pa ćemo, recimo, umesto x y +z) = x y)+x z), pisati x y + z) = x y + x z Trojka Z, +, ) je prsten. Kako je polugrupa Z, ) komutativna i sa jedinicom, za prsten Z, +, ) kažemo da je komutativan prsten sa jedinicom. Tvrd enje.33. Neka je X, +, ) prsten. Tada za svako x X važi Dokaz. Iz sledi x 0 = 0 x = 0. x 0 = x 0 + 0) = x 0 + x 0, 0 + x 0 = x 0 + x 0.

18 8 Glava. Uvod Kako u grupi X, +) važi zakon kancelacije, to je 0 = x 0. Analogno se dokazuje da je 0 x = 0. Za prsten ćemo reći da je netrivijalan ako sadrži bar jedan elemenat različit od 0. Ako je X, +, ) netrivijalan prsten sa jedinicom je neutralni elemenat za operaciju ), primetimo da 0 ne može imati inverzni elemenat. Zaista, ako bi nula imala inverzni elemenat 0, onda bi 0 0 =, dok bi na osnovu Tvrd enja.33 važilo 0 0 = 0, i prema tome, = 0. Zbog toga bi za svako x X imali x = x = x 0 = 0, što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je prsten netrivijalan. Tvrd enje.34. Neka je X, +, ) prsten i x, y X. Tada važi Dokaz. Iz Tvrd enja.33 sledi x) y = x y) = x y),.9) x) y) = x y..0) x) y + x y = x) + x) y = 0 y = 0, i zato je x) y suprotni elemenat elementa x y, tj. x) y = x y). Slično se dokazuje da je x y) = x y). Iz.9) sledi x) y) = x y)) = x y)) = x y. Definicija.35. Ured ena trojka X, +, ), gde je X neprazan skup, a + i binarne operacije skupa X je polje ako su ispunjeni sledeći uslovi: ) X, +) je Abelova grupa, ) X\{0}, ) je Abelova grupa, gde je 0 neutralni elemenat grupe X, +), 3) operacija je distributivna u odnosu na operaciju +. Prema tome, polje je prsten za koji je X\{0}, ) Abelova grupa. Podsetimo se da neutralni elemenat grupe X\{0}, ) zovemo jedinica i označavamo sa. Simetrični elemenat elementa x u grupi X\{0}, ) zovemo inverzni elemenat elementa x i označavamo sa x. Primeri polja su R, +, ) i Q, +, ). Tvrd enje.36. Ako je X, +, ) polje, tada važi:.36.) Neutralni elemenat operacije + je jedinstveno odred en..36.) Za svaki elemenat x X postoji jedinstveno odred en njegov suprotni elemenat..36.3) Za svako a, b X jednačina a + x = b ima jedinstveno rešenje.

19 .3. Polje realnih brojeva ) Neutralni elemenat operacije je jedinstveno odred en..36.5) Za svaki elemenat x X\{0} postoji jedinstveno odred en njegov inverzni elemenat..36.6) Za svako a X\{0} i svako b X, jednačina a x = b ima jedinstveno rešenje..36.7) Za svako x X, x 0 = ) Za svako x, y X, x) y = x y) = x y) i x) y) = xy..36.9) Za svako x, y X važi implikacija.36.0) Za svako x X, ) x = x. x y = 0 = x = 0 y = 0. Dokaz. Tvrd enja.36.) i.36.4) slede iz Tvrd enja.9. Iz činjenice da su X, +) i X\{0}, ) grupe i Tvrd enja. slede.36.) i.36.5)..36.3) sledi iz činjenice da je X, +) grupa i Tvrd enja ) se dokazuje analogno Tvrd enju.3. Tvrd enje.36.7) sledi iz Tvrd enja.33, a tvrd enje.36.8) iz Tvrd enja.34. Budući da je iskazna formula p = q r) p q = r) tautologija, da bismo dokazali.36.9) dovoljno je dokazati da iz x y = 0 i x 0 sledi y = 0. Iz x 0 sledi da postoji x X, i množeći jednakost x y = 0 sa x dobijamo x x y = x 0, tj. y = x 0. Na osnovu Tvrd enja.33 jer svako polje je prsten) sledi y = ): Iz ) x + x = ) x + x = + ) x = 0 x = 0 sledi da je ) x suprotni elemenat za elemenat x, tj. ) x = x..4 Polje realnih brojeva U ovoj sekciji uvodimo skup realnih brojeva aksiomatski. Definicija.37. Polje R, +, ) naziva se polje realnih brojeva ako su ispunjeni sledeći uslovi:.37.) Na skupu R je definisana relacija totalnog poretka, za koju važi:

20 0 Glava. Uvod.37..) a, b, c R)a b = a + c b + c),.37..) a, b R)0 a 0 b = 0 a b)..37.) Za svaka dva neprazna podskupova A i B skupa R, takva da je a b za sve a A, b B, postoji c R tako da je a c b za sve a A, b B. Osobine.37..) i.37..) govore da je relacija totalnog ured enja saglasna sa operacijama + i. Za polje sa takvim osobinama kažemo da je ured eno polje. Aksioma.37.) se zove aksioma neprekidnosti ili aksioma potpunosti. Napomenimo da se aksioma neprekidnosti ne može izvesti iz ostalih aksioma polja realnih brojeva, i jedino ju je moguće zameniti nekim njoj ekvivalentnim iskazom. Inače za skup realnih brojeva kažemo da je nepekidno ured eno polje. Operacije + i se nazivaju, respektivno, sabiranje i množenje. Umesto a b pišemo ab. Za dva realna broja a i b, zbir a + b) se zove razlika brojeva a i b i obeležava sa a b. Za b R\{0} inverzni elemenat u odnosu obeležava se sa b ili. Količnik brojeva a R i b R\{0} je a b b i obeležava se sa a b. Koristimo i oznake, <, >: a b b a, a < b a b a b, a > b a b a b. Napomenimo da su sva neprekidna ured ena polja izomorfna med u sobom. To znaži da ako su R, +,, ) i R, +,, ) dva neprekidna ured ena polja na skupu R i definisane su operacije + i i i i relacija totalnog ured enja i koja je saglasna sa operacijama + i i i, i za skup R i važi aksioma.37.), i =, ), onda postoji bijekcija f : R R takva da je za sve x, y R važi: fx + y) = fx) + fy), fx y) = fx) fy), x y fx) fy). Zato možemo reći da je skup realnih brojeva jedinstven do na izomorfizam..5 Neke posledice aksioma ured enog polja Budući da je polje, za R, +, ) važe sve one osobine navedene u Tvrd enju.36. Dokažimo još neke osobine koje su posledica aksioma polja. Tvrd enje ) Za a, b R\{0} važi ab = a b.

21 .5. Neke posledice aksioma ured enog polja.38.) Za a, c R i b, d R\{0} važi a b + c d ad + cb =. bd Dokaz..38.): Iz Tvrd enja za grupe i komutativnosti operacije sledi ab = ab) = b a = a b = a b..38.): Neka su a, c R i b, d R\{0}. Tada je ad + cb bd = ad + cb)bd) = ad + cb)b d = = adb d + cbb d = ab + cd = = a b + c d. Dokažimo sada neke osobine koje su posledica aksioma ured enog polja. Tvrd enje.39. Neka su a, b, c, d R..39.) Važi tačno jedna od mogućnosti:.39.) a < b = a + c < b + c..39.3) 0 < a 0 < b = 0 < ab. a < b, a = b, a > b..39.4) a b 0 b a b a a b 0. Analogno važi kad se relacijski znak zameni znakom <..39.5) a b c d = a + c b + d. Analogno važi kad se relacijski znak zameni znakom <..39.6) a b 0 c = ac bc; a b c 0 = ac bc; a < b 0 < c = ac < bc; a < b c < 0 = ac > bc..39.7) 0 a b 0 c d = 0 ac bd. Analogno važi ako se znak zameni znakom <..39.8) 0 a b = 0 a b. Analogno važi ako se znak zameni znakom <..39.9) a 0 b 0 = ab 0; a 0 b 0 = ab 0;

22 Glava. Uvod a < 0 b > 0 = ab < 0; a < 0 b < 0 = ab > ) Za svako a R je a 0. Ako je a 0, onda je a > ) > ) a > 0 = a > ) 0 < a < b = a > b > 0; a < b < 0 = 0 > a > b. Dokaz..39.): Za a, b R važi a = b ili a b. Neka je a b. Budući da je relacija totalnog poretka, svaka dva elementa iz skupa R su uporediva, tj. važi a b ili b a. Odavde zbog a b sledi a < b ili b < a. Lako se vidi da svaki od slučaja a < b, a = b i a > b isključuje ostala dva..39.): Neka je a < b. Tada je a b i na osnovu.37..) sledi a + c b + c. Ako bi bilo a + c = b + c, onda bi, s obzirom da u grupi R, +) važi kraćenje, važilo a = b, što je u suprotnosti sa a < b. Sledi a + c b + c, i prema tome, a + c < b + c..39.3): Neka je 0 < a i 0 < b. Tada je 0 a i 0 b i na osnovu.37..) sledi 0 ab. Ako bi bilo ab = 0, onda bi bilo a = 0 ili b = 0, što je u suprotnosti sa a 0 i b 0. Iz.36.9) sledi ab 0, i prema tome, 0 < ab..39.4): Za a, b R važi: a b = a + a) b + a) = 0 b a = = 0 + b) b a + b) = b a = a + b) a + a) = a b 0 = a b + b 0 + b = a b..39.5): Na osnovu.37..), iz a b sledi a + c b + c, dok iz c d sledi b + c b + d. Iz tranzitivnosti relacije dobijamo a + c b + d..39.6): Neka je a b i 0 c. Tada je na osnovu.39.4) 0 b a, a iz.37..) sledi 0 b a)c, tj. 0 bc ac. Opet na osnovu.39.4) sledi bc ac. Ostala tvrd enja se dokazuju slično..39.7): Neka je 0 a b i 0 c d. Iz.39.6) sledi 0 c ac bc i bc bd. Sada na osnovu tranzitivnosti relacije sledi 0 ac bd..39.8): Sledi iz.39.7)..39.9): Neka je a 0 i b 0. Tada je 0 a na osnovu.39.4), a na osnovu.37..) sledi 0 a)b, tj. 0 ab. Opet primenom.39.4) dobijamo ab 0. Ostala tvrd enja se dokazuju slično.

23 .5. Neke posledice aksioma ured enog polja ): Neka je a 0. Iz.37..) sledi a 0. Ako je a 0, onda iz.39.9) sledi a 0. Dakle za svako a R je a 0. Ako je a 0, onda je a 0 na osnovu.36.9), i zato je a > ): Kako je 0, iz.39.0) sledi = > ): Neka je a > 0. Ako je a 0, na osnovu.39.9) sledi = a a 0, što je u suprotnosti sa.39.). Prema tome, a > ): Neka je 0 < a < b. Iz.39.3) sledi ab > 0, te je ab.39.). Sada iz.39.9) i.38.) dobijamo > 0 na osnovu 0 < a < b = 0 < a ab < b ab = 0 < a a b < b a b = 0 < b < a. Neka je sada a < b < 0. Iz.39.9) sledi ab > 0, te je ab > 0. Zato a < b < 0 = a ab < b ab < 0 = a a b < b a b < 0 = b < a < 0. Za broj x kažemo da je pozitivan negativan) ako je x > 0 x < 0) i nepozitivan nenegativan) ako je x 0 x 0). Pojam apsolutne vrednosti realnog broja x uvodimo sa: x = max{x, x}..) Tako je 3 = max{3, 3} = 3 i 3 = max{ 3, 3)} = 3. Jasno, 0 = 0. Ako je x > 0, onda je x > x, te je x = x. Ako je x < 0, onda je x > 0 > x, i stoga je x = x. Prema tome, x, ako je x > 0, x = 0, ako je x = 0,.) x, ako je x < 0. Tvrd enje.40. Neka su x, y, a R. Tada važi:.40.) x = x..40.) Za a > 0, x = a x = a x = a..40.3) Za a > 0, x a a x a. Analogno važi ako se znak zameni znakom <.

24 4 Glava. Uvod.40.4) Za a > 0, x a x a x a. Analogno važi ako se znak zameni znakom <..40.5) Za ɛ > 0, x a ɛ a ɛ x a + ɛ. Analogno važi ako se znak zameni znakom <..40.6) x x x..40.7) x + y x + y nejednakost trougla)..40.8) x y x y x + y..40.9) xy = x y..40.0) Neka je y 0. Tada je x y = x y. Dokaz..40.): x = max{ x, x)} = max{ x, x} = x..40.): Očigledno..40.3): Neka je a > 0. Tada je x a max{x, x} a x a x a a x a..40.4): Neka je a > 0. Tada je x a max{x, x} a x a x a x a x a..40.5): Neka je ɛ > 0. Iz.40.3) i.37..) sledi x a ɛ ɛ x a ɛ a ɛ x a + ɛ..40.6): Iz.) sledi x x i x x. Prema tome, x x x..40.7): Ako je x + y 0, onda iz.) i.40.6) sledi x + y = x + y x + y. Ako je x+y < 0, onda opet iz.) i.40.6) sledi x+y = x+y) = x+ y) x + y. Nejednakost trougla je moguće dokazati i na sledeći način: iz.40.6) sledi x x x i y y y, odakle na osnovu.39.5) dobijamo x + y ) x + y x + y. Sada na osnovu.40.3) sledi x + y x + y..40.8): Iz nejednakosti trougla sledi x = x y + y x y + y, pa je x y x y.

25 .5. Neki važniji podskupovi skupa realnih brojeva 5 Ako u zadnjoj nejednakosti x i y zamene mesta dobijamo y x y x = x y) = x y, tj. x y ) x y. Zato je x y = max{ x y, x y )} x y..40.9): Ako je x 0 i y 0, onda je xy )), i iz.) sledi xy = xy = x y. Ako je x 0 i y 0 onda je, na osnovu.39.9), xy 0. Iz.) i.36.8) sledi xy = xy) = x y) = x y. Slično, ako je x 0 i y 0, iz.39.9) sledi xy 0. Na osnovu.) i.36.8) dobijamo xy = xy = x) y) = x y..40.0): Neka je z = xy. Tada je x = zy. Na osnovu.40.9) sledi x = z y. Odavde, budući da je y = 0 jer y 0), sledi z = x y, tj. x x = y y..6 Neki važniji podskupovi skupa realnih brojeva Definicija.4. Podskup A skupa R naziva se induktivnim ako važi x)x A = x + A). Primer induktivnog skupa je sam skup R. Pokažimo da je presek proizvoljne familije induktivnoh skupova takod e induktivan skup. Neka je {A i : i I} familija induktivnih skupova i neka je x i I A i. Tada x A i za svako i I, i kako je A i induktivan skup za svako i I, to x + A i za svako i I. Prema tome, x + A i, pa je A i induktivan skup. i I i I Prema tome, presek svih induktivnih podskupova skupa R koji sadrže jeste induktivan skup koji sadrži, i to najmanji u smislu inkluzije) takav. Definicija.4. Skup N prirodnih brojeva jeste najmanji induktivan podkup skupa R koji sadrži. Sledeća teorema sledi neposredno iz definicije skupa prirodnih brojeva. Teorema.43. Neka je M N takav da je.43.) M,.43.) n M = n + M. Tada je M = N.

26 6 Glava. Uvod Dokaz. Iz.43.) i.43.) sledi da je M induktivan skup koji sadrži, a kako je N najmanji u smislu inkluzije induktivan skup koji sadrži, to je N M. Kako je već M N, sledi M = N. Sledeće tvrd enje je poznato pod nazivom princip matematičke indukcije. Posledica.44. Ako je iskaz T n), koji zavisi od prirodnog broja n,.44.) istinit za prirodan broj,.44.) i ako iz pretpostavke da je istinit za prirodan broj n sledi da je istinit za prirodan broj n +, onda je T n) istinit je za svaki prirodan broj n. Dokaz. Neka je M = {n N : T n) je istinit iskaz}. Skup M je podskup skupa N i ispunjava uslove.43.) i.43.), pa na osnovu Teoreme.43 sledi M = N, tj. T n) je istinit iskaz za svaki prirodan broj n. Skup N ima sledeće osobine: Tvrd enje ) m, n N = m + n, mn N..45.) n N i n = n N..45.3) m, n N i m > n = m n N..45.4) min N =. m, n N i m > n = m n ) Svaki neprazan skup A N ima najmanji elemenat. Dokaz..45.): Neka je m N fiksiran i A = {n N : m + n N}. Skup N je induktivan, pa je m + N i zato A. Ako je n A, tj. m + n N onda je m + n + ) = m + n) + N, pa je n + A. Skup A ispunjava uslove Teoreme.43, pa je A = N, tj. za sve n N je m + n N. Neka je B = {n N : mn N}. Kako m = m N, sledi B. Neka je n B. Tada mn N i mn + ) = mn + n N na osnovu upravo dokazanog tvrd enja da je zbir dva prirodna broja prirodan broj. Prema tome, n + B i skup B ispunjava uslove Teoreme.43, pa je B = N, tj. za sve n N je mn N..45.4): Dokažimo da je min N =. Neka je A = {n N : n }. Budući da je sledi A. Neka je n A. Tada je n, a kako je 0, na osnovu.39.5) sledi n =, i stoga n + A. Na osnovu Teoreme.43 sledi A = N, tj. za svako n N je n. Prema tome, min N =. Dalje koristimo uobičajene oznake = +, 3 = +, 4 = 3 +,....

27 .6. Neki važniji podskupovi skupa realnih brojeva 7 Definicija.46. Skup celih brojeva je Z = N {0} { n : n N}. Prema tome, svi prirodni brojevi, 0 i svi suprotni brojevi prirodnih brojeva čine skup celih brojeva. Z, +, ) je komutativni prsten sa jedinicom, ali nije polje, jer osim i nijedan drugi elemenat skupa Z nema inverzni u Z. Definicija.47. Racionalan broj je svaki realan broj oblika p q q 0. Skup svih racionalnih brojeva se označava sa Q. gde su p, q Z, Tvrd enje.48. Q, +,, ) je ured eno polje. Primetimo da se od svakog racionalanog broja može naći veći prirodan broj. Zaista, ako je r Q i r 0 onda je r < ; ako je r > 0 i r = p, p, q N, zbog q q sledi q, te je r = p q p < p + i p + N. Med utim, Q ne zadovoljava aksiomu neprekidnosti, što pokazuje sledeći primer. Neka je A = {x Q : x < } i B = {x Q : x > 0, x > }. Skupovi A i B su neprazni jer, recimo, A, 3 B) i za sve a A, b B je a b ako je a A, a 0, budući da za svako b B važi b > 0, onda je a < b; ako je a A, a > 0, i b B tada je takod e a < b jer u protivnom bi iz a b > 0, na osnovu.39.8), sledilo > a b >, što je apsurd). Dokažimo da ne postoji z Q tako da je a z b za sve a A, b B. Pretpostavimo suprotno, da takav racionalan broj z postoji. Sledi z > 0 A, pa je z). Mora biti z < ili z = ili z >. Ako bi z =, onda bi za z = p q, gde su p i q uzajamno prosti prirodni brojevi, važilo p q =, odakle p = q, te je delitelj broja p, tj. p = r, r N. Sledi r) = q, odakle r = q, pa je delitelj broja q, što je nemoguće jer su brojevi p i q uzajamno prosti. Dokažimo da je z < nemoguće. Pretpostavimo suprotno, da je z <. Postoji prirodan broj n takav da je n > z +. Tada je z z + ) = z + z n n + n z + z + < z + z ) =, n i zato z + n A. Med utim z + > z, i ovo protivureči izboru broja z. n

28 8 Glava. Uvod Dokažimo da je i slučaj z > nemoguć. { Pretpostavimo } da je z >. Postoji prirodan broj n takav da je n > max z, z z. Tada je z n > 0 i z ) = z z n n + n > z z n > z z ) =, i prema tome, z n B. Med utim z < z, i ovo protivureči izboru broja z. n Primetimo da skup A nema supremum u skupu Q, a da skup B nema infimum u Q. Zaista, ako bi postojao sup A = α Q, tada bi, budući da je svaki elemenat skupa B gornja granica skupa A, važila nejednakost a α b za sve a A i sve b B, što smo upravo pokazali da je nemoguće. Slično se pokazuje da B nema infimum u skupu Q. Ovim smo ujedno dokazali da se skup Q ne poklapa sa skupom R, tj. da postoje realni brojevi koji nisu racionalni. Takve brojeve nazivamo iracionalnim i njihovo otkriće se pripisuje Pitagorejskoj školi. Skup iracionalnih brojeva obeležavaćemo sa I. Postoji bijekcija izmed u skupa realnih brojeva i skupa tačaka neke prave, koja se onda naziva brojna osa. Tako dobijeni geometrijski model skupa R koristićemo da bismo lakše zamišljali odred ene odnose med u elementima i podskupovima skupa R. Umesto realan broj često ćemo govoriti realna tačka. Neka su a, b R, a < b. Otvoren interval je skup a, b) = {x R : a < x < b}, a segment odsečak, zatvoren interval) je skup Poluinterval zatvoren sleva je skup a poluinterval zatvoren zdesna je skup [a, b] = {x R : a x b}. [a, b) = {x R : a x < b}, a, b] = {x R : a < x < b}. Često se intervali i poluintervali nazivaju jednim imenom intervali. Broj a naziva se levi kraj intervala, a broj b se naziva desni kraj intervala. Broj b a je dužina intervala. Pitagora oko p.n.e.), starogrčki matematičar

29 .6. Prošireni skup realnih brojeva 9 Za ɛ > 0, pod ɛ-okolinom tačke a podrazumevamo otvorni interval oblika a ɛ, a + ɛ) = {x R : x a < ɛ}. Okolina tačke broja) a R je bilo koji otvoreni interval skupa R koji tu tačku sadrži. Budući da svaka okolina tačke a sadrži neku njenu ɛ-okolinu, to je u radu sa okolinama uvek dovoljno posmatrati ɛ-okoline..7 Prošireni skup realnih brojeva Iz tehničkih razloga, radi jednostavnijeg izražavanja, skup realnih brojeva se proširuje sa još dva elementa + i, koji se čitaju redom sa plus beskonačno i minus beskonačno. Tako dobijamo prošireni skup realnih brojeva R = R {, + }. Ako je a R, govorićemo da je a konačan broj. Relacija poretka sa skupa R proširuje se na skup R na sledeći način: x R) < x) x R)x < + ) < +. Na taj način je skup R linearno ured en. Svaki podskup A skupa R je odozgo odozdo) ograničen sa + ), tj. + ) je gornja donja) granica skupa A. Ako je A R odozgo ograničen u R, onda on ima supremum u R, i to je supremum i u R, a ako A nije odozgo ograničen u R, onda smatramo da je sup A = +. Takod e ako je A R i + A, onda uzimamo da je sup A = +. Dakle svaki neprazan podskup u R ima supremum. Slično, svaki neprazan podskup u R ima infimum. i Koristićemo sledeće oznake:, + ) = {x R : < x < + } = R, a, + ) = {x R : x > a} i [a, + ) = {x R : x a},.3), a) = {x R : x < a} i, a] = {x R : x a},.4) gde je a R. Skupove u.3) zvaćemo okolinama tačke +, dok ćemo skupove u.4) zvati okolinama. Takod e je i skup, + ) = R okolina tačke +, kao i tačke. Primetimo da same tačke + i ne pripadaju sopstvenim okolinama.

30 30 Glava. Uvod.8 Ekvivalenti i posledice aksiome neprekidnosti Navešćemo nekoliko iskaza koji su ekvavalentni aksiomi neprekidnosti. To su tzv. Dedekindova aksioma, aksioma supremuma i aksioma infimuma. Dedekindovom 3 aksiomom naziva se sledeće tvrd enje: Ako su A i B podskupovi skupa R sa osobinama: A, B,.5) A B = R,.6) a A) b B) a < b,.7) tada ili postoji max A ili postoji min B. Aksioma supremuma: Svaki neprazan, odozgo ograničen podskup skupa R ima supremum u R. Aksioma infimuma: Svaki neprazan, odozdo ograničen podskup skupa R ima infimum u R. Da bismo dokazali ekvivalentnost ovih iskaza pokazaćemo sledeći niz implikacija: aksoma neprekidnosti = Dedekindova aksioma = aksioma supremuma = aksioma infimuma = aksioma neprekidnosti. Prvo dokazujemo da iz aksiome neprekidnosti sledi Dedekindova aksioma: Neka su A i B podskupovi skupa R takvi da važe uslovi.5),.6) i.7). Iz.7) sledi A B =. Na osnovu aksiome neprekidnosti postoji z R tako da je a z b, za sve a A, b B..8) Iz R = A B i A B = sledi: z A z B. Ako z A onda iz.8) sledi da je z = maxa, a ako z B onda je z = minb. Prema tome, ili postoji max A ili postoji min B. Pokažimo sada da iz Dedekindove aksiome sledi aksioma supremuma: Neka je X neprazan podskup skupa R ograničen odozgo. Neka je B skup svih gornjih granica skupa X, i neka je A = R\B. Jasno, A B = R i A B =. Kako je X neprazan skup, to postoji x X. Iz x < x sledi da x nije gornja granica skupa X, tj. x / B, pa x A. Prema tome, A. Skup X je ograničen odozgo, dakle ima gornju granicu, te je i skup B neprazan. Pokazaćemo da za svako a A i svako b B važi a < b. 3 R. Dedekind 83-96), nemački matematičar

31 .8. Ekvivalenti i posledice aksiome neprekidnosti 3 Pretpostavimo suprotno, da postoji a A i b B tako da je a b. Kako je b R, b je gornja granica skupa X, a iz nejednakosti a b sledi da je a takod e gornja granica skupa X, i zato a B. Dakle a pripada i skupu A i skupu B, što je nemoguće jer A B =. Prema tome, skupovi A i B ispunjavaju uslove.5),.6) i.7), te na osnovu Dedekindove aksome sledi da ili postoji max A ili postoji min B. Pokazaćemo da nije moguće da skup A ima maksimum. Zaista, neka je a A = R\B proizvoljan elemenat. Sledi a nije gornja granica skupa X, pa postoji x X tako da je a < x. Kako je a < a + x < x, sledi da a = a + x nije gornja granica skupa X, dakle a A, i a > a. Dakle za svaki elemenat a skupa A postoji elemenat a iz A koji je veći od a, i prema tome, skup A nema maksimum. Stoga skup B ima minimum, i ovaj je, po definiciji, sup X. Dokažimo da iz aksiome supremuma sledi aksioma infimima. Neka je X neprazan odozdo ograničen podskup skupa R i neka je b njegova donja granica. Neka je X = { x : x X}. Jasno, X je neprazan skup. Iz b x za svako x X, sledi x b, pa je b gornja granica skupa X. Sada na osnovu aksiome supremuma sledi da postoji M R, tako da je M = sup X. Iz x M za svako x X, sledi x M, pa je M donja granica skupa X. Neka je y R donja granica skupa X. Onda je y gornja granica skupa X, pa je M y jer M, budući da je supremum skupa X, je najmanja gornja granica skupa X ). Odavde y M. Prema tome, M je maksimum skupa svih donjih granica skupa X, te je M = inf X. Ovim je dokaz gotov, a ujedno smo pokazali da je sup X = inf X. Na kraju dokažimo da iz aksiome infimuma sledi aksioma neprekidnosti. Neka su A i B neprazni podskupovi skupa R takvi da je a b za sve a A, b B. To znači da je bilo koji elemenat skupa A je donja granica skupa B, pa je B neprazan i odozdo ograničen skup. Na osnovu aksiome infimuma postoji m R tako da je m = inf B. Kako je m najveća donja granica skupa B, sledi a m b za sve a A, b B. Svako od sledeća tri tvrd enja je poznato pod nazivom Arhimedovo 4 svojstvo princip). Teorema.49. Za svaki realan broj a postoji prirodan broj n takav da je n > a, tj. Dokaz. Pretpostavimo da važi suprotno, tj. 4 Arhimed 87?- p.n.e.), starogrčki matematičar a R) n N) n > a..9) a R) n N) n > a,.0)

32 3 Glava. Uvod što je ekvivalentno sa: a R) n N) n a. To znači da je skup N odozgo ograničen, te na osnovu aksiome supremuma sledi da postoji supremum skupa N. Neka je β = sup N. Kako je β < β, i budući da je β kao supremum) najmanja gornja granica skupa N, to β nije gornja granica skupa N. Sledi da postoji n N tako da je n > β. Odavde n+ N i n+ > β, što povlači da β nije gornja granica skupa N. Dobijena kontradikcija dokazuje da ne važi.0), tj. važi.9). Teorema.50. Za svaki realan broj a postoji jedinstven ceo broj m, takav da je m a < m..) Dokaz. Analogno dokazu prethodne teoreme dokazuje se da za svako a R postoji l Z takav da je l > a, tj. a R) l Z) a < l..) Dokažimo sada da za svako a R postoji ceo broj k takav da je k < a. Pretpostavimo suprotno, tj. a R) k Z) k < a,.3) što je ekvivalentno sa a R) k Z) k a. Odavde sledi da je skup Z odozdo ograničen, pa na osnovu aksiome infimuma postoji inf Z, označimo ga sa α. Kako je α + > α i kako je α kao infimum) najveća donja granica skupa Z, to α + nije donja granica skupa Z. Zato postoji k 0 Z tako da je k 0 < α +. Odavde k 0 Z i k 0 < α, što je u suprotnosti sa činjenicom da je α donja granica skupa Z. Dobijena kontradikcija pokazuje da.3) ne važi, tj. važi a R) k Z) k < a..4) Primetimo da smo.4) mogli da dokažemo tako što.) primenimo na broj a R. Zaista, iz.) sledi da postoji z Z tako da je z > a. Odavde z Z i z < a.) Prema tome, za svako a R pokazali smo da postoje celi brojevi k i l takvi da je k < a < l. Uočimo intervale [k, k + ), [k +, k + ),..., [l, l). Budući da je k < a < l, med u ovim intervaa mora postojati jedan interval, na primer, [m, m) takav da je a [m, m), tj. m a < m.

33 .8. Ekvivalenti i posledice aksiome neprekidnosti 33 Broj m u nejednakosti.) naziva se najveći ceo deo od a ili samo celi deo broja a i obeležava sa [a]. Prema tome, [a] je najveći ceo broj koji je manji ili jednak od a. Tako je [.4] = i [.4] = 3. Primetimo da za svako x R važi [x] x < [x] +. Posledica.5. Za svako b R i svako a R, a > 0, postoji jedinstven broj m Z takav da je m )a b < ma..5) Dokaz. Iz Teoreme.50 sledi da postoji m Z tako da je odakle sledi.5). m b a < m, Tvrd enje.5. Multiplikativni Arhimedov princip) Ako su a, b R takvi da je a > i b > 0, onda postoji i jednoznačno je odred en ceo broj p takav da je a p b < a p. Dokaz. Dokažimo najpre da za svako b > 0 postoji ceo broj m Z tako da je a m > b, tj. b > 0) m Z) a m > b..6) Pretpostavimo da važi suprotno, tj. b > 0) m Z) a m b..7) Neka je A = {a m : m Z}. Iz.7) sledi da je A odozgo ograničen, pa na osnovu aksiome supremuma ovaj skup ima supremum. Neka je α = sup A. Jasno α > 0. Kako je a >, to na osnovu.39.3) sledi a < i prema tome, α a < α. Budući da je α najmanja gornja granica skupa A, α nije gornja granica skupa A, a pa postoji m 0 Z tako da je a m 0 > α a. Odavde am0+ > α i kako je a m0+ A jer m 0 + Z, dobijamo da α nije gornja granica skupa A, što je u suprotnosti sa tim da je α = sup A. Dobijena protivurečnost pokazuje da važi.6). Kako je i b > 0.39.)), iz.6) sledi da postoji k Z tako da je ak > b. Odavde na osnovu.39.3) zaključujemo a k < b, tj. za l = k Z, a l < b. Prema

34 34 Glava. Uvod tome, pokazali smo da postoje m, l Z takvi da je a l < b < a m. Odavde je l < m i uočimo sada intervale [a l, a l+ ), [a l+, a l+ ),... [a m, a m ). Med u ovim intervao mora postojati jedan interval, na primer [a p, a p ), p Z, l p < p m, takav da je b [a p, a p ). Primetimo da se analogno dokazu za.6) dokazuje da važi a R)a > = b R) n N) a n > b)..8) Posledica.53. Neka je a > 0. Tada je { a } inf n : n N = 0..9) Dokaz. Neka je A = { a n : n N }. Očigledno je 0 donja granica ovog skupa. Pokažimo da je 0 najveća donja granica. Neka je ɛ > 0. Na osnovu Teoreme.49 sledi da postoji prirodan broj n N takav da je n > a ɛ. Odavde a < ɛ. Kako n a A, sledi da ɛ nije donja granica skupa A. Prema tome skup A ne može imati n donju granicu veću od 0, pa je 0 najveća donja granica skupa A, tj. 0 = inf A. Tvrd enje.54. Za svaka dva realna broja a i b takva da je a < b, postoji racionalan broj r, takav da je a < r < b. Dokaz. Iz Tvrd enja.49 sledi da postoji prirodan broj n N takav da je n > b a, tj. < b a..30) n Iz Posledice.5 sledi da postoji ceo broj m takav da je m n a < m + ) n..3) Sada iz leve strane nejednakosti u.3), i potom.30), sledi m + ) n = m n + n a + n < a + b a) = b..3) Iz desne strane nejednakosti u.3) i.3) sledi a < m + ) n < b,

35 .8. Ekvivalenti i posledice aksiome neprekidnosti 35 i kako je m + racionalan broj, tvrd enje je dokazano. n Drugim rečima, u svakom intervalu a, b), a, b R, a < b, se nalazi barem jedna racionalna tačka r. Ako na dalje posmatramo interval a, r) ili r, b)) u njemu se takod e nalazi racionalna tačka, i td. Dolazimo do zaključka da se u svakom intervalu nalazi beskonačno mnogo racionalnih tačaka. Osim toga, ovo znači da se u okolini svake realne tačke nalazi racionalna tačka, i zbog toga kažemo da je skup Q gust u skupu R. Definicija.55. Neka su [a, b ], [a, b ],... [a n, b n ],..., a n, b n R, n N, odsečci realne prave. Ako je ispunjen uslov a a a n b n... b b,.33) tj. [a n, b n ] [a n+, b n+ ], n N, onda kažemo da je [a n, b n ]) niz umetnutih odsečaka. Drugim rečima, [a n, b n ]) je niz umetnutih odsečaka ako je svaki sledeći odsečak [a n+, b n+ ] sadržan u prethodnom [a n, b n ]. Teorema.56. Kantorov 5 princip umetnutih odsečaka) Svaki niz umetnutih odsečaka ima neprazan presek. Dokaz. Neka je A = {a n : n N} i B = {b n : n N}. Skup A je odozgo ograničen sa bilo kojim od brojeva b n, pa na osnovu aksiome supremuma, postoji α = sup A R. Budući da je b n gornja granica skupa A za svako n N, sledi α b n za svako n N..34) Prema tome, skup B je odozdo ograničen i na osnovu aksiome infimuma, postoji β = inf B R. S obzirom da je β najveća donja granica skupa B, iz.34) sledi α β. Prema tome, važe nejednakosti a n α β b n, n N..35) Pokažimo da je [α, β] n N [a n, b n ]..36) 5 G. Cantor ), nemački matematičar

36 36 Glava. Uvod Neka je x [α, β]. Iz.35) sledi a n α x β b n i prema tome, x [a n, b n ] za svako n N. Stoga je x [a n, b n ]. n N Prema tome, [a n, b n ] je neprazan skup. n N Napomena.57. Za dokaz Teoreme.33 dovoljno je bilo dokazati da važi inkluzija.36). Med utim može se pokazati da važi i obrnuto inkluzija: [a n, b n ] [α, β]..37) n N Zaista, neka je x [a n, b n ]. Tada je a n x b n za svako n N. To znači da n N je x gornja granica skupa A, a takod e i donja granica skupa B. Zato je α x jer je α kao supremum skupa A njegova najmanja gornja granica, a takod e je i x β jer je β kao infimum skupa B njegova najveća donja granica. Prema tome, x [α, β]. Iz.36) i.37) sledi da važi: [a n, b n ] = [α, β]..38) n N Definicija.58. Neka je [a n, b n ]) niz umetnutih odsečaka. Reći ćemo da dužina odsečaka teži 0 ako za svako ɛ > 0 postoji n N tako da je b n a n < ɛ. Primetimo da ako je b n a n < ɛ za neko n N, onda je i b m a m < ɛ za svako m N, m n zbog [a m, b m ] [a n, b n ] je b m a m b n a n ). Teorema.59. Neka je [a n, b n ]) niz umetnutih odsečaka čija dužina teži 0. Tada postoji jedinstvena tačka ξ koja pripada svim odsečcima, i pritom je ξ = sup{a n : n N} = inf{b n : n N}..39) Dokaz. Neka je ɛ > 0 proizvoljno, α = sup{a n : n N} i β = inf{b n : n N}. Budući da dužina odsečaka teži 0, to postoji n N tako da je b n a n < ɛ. Iz nejednakosti.35) sledi da je β α b n a n, pa je 0 β α < ɛ. Odavde sledi da je α = β. Zaista ako bi β > α, tada bi, budući da je β α < ɛ za svako ɛ > 0, uzimajući da je u ovoj nejednakosti ɛ = β α, dobili β α < β α, što je nemoguće. Neka je ξ = α = β. Iz.38) sledi [a n, b n ] = {ξ}..40) n N