Αριθμητικά Συστήματα Η ανάγκη του ανθρώπου για μετρήσεις οδήγησε αρχικά στην επινόηση των αριθμών Κατόπιν, στην επινόηση συμβόλων για τη παράσταση

Transcript

1 Αριθμητικά Συστήματα Η ανάγκη του ανθρώπου για μετρήσεις οδήγησε αρχικά στην επινόηση των αριθμών Κατόπιν, στην επινόηση συμβόλων για τη παράσταση τους Κατόπιν, στην επινόηση συμβόλων για τη παράσταση τους Το Δεκαδικό Σύστημα Αρίθμησης Χρησιμοποιεί τα αραβικά ψηφία 0, 1, 2,,9 Επικράτησε στην καθημερινή ζωή μας. Στο σύστημα αυτό οι μαθηματικές πράξεις γίνονται με μεγάλη ευχέρεια από τον άνθρωπο, επειδή το μαθαίνει από μικρή ηλικία Είδη αριθμητικών συστημάτων Δυαδικό Οκταδικό Δεκαδικό Δεκαεξαδικό Ονομασία Συστήματος Το όνομα ενός συστήματος αρίθμησης προέρχεται από τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιεί για την παράσταση των αριθμών. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται «βάση» του συστήματος Το δεκαδικό σύστημα (βάση 10) χρησιμοποιεί τα ψηφία 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. Το δυαδικό σύστημα (βάση 2) χρησιμοποιεί τα ψηφία 0,1 Το οκταδικό σύστημα (βάση 8) χρησιμοποίει τα ψηφία 0,1,3,4,5,6,7. Το δεκαεξαδικό σύστημα (βάση 16) χρησιμοποιεί τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E και F. Γιατί ο Η/Υ δεν χρησιμοποιεί το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης; Αν θέλαμε να παραστήσουμε τους αριθμούς στον υπολογιστή με το 10δικό σύστημα, θα έπρεπε να κατασκευάσουμε ένα φυσικό μέσο που να παριστάνει 10 διαφορετικές καταστάσεις. Είναι πολύ ακριβότερο (ηλεκτρονικά κυκλώματα). Πολύ πιο δύσκολο (π.χ. να γίνουν αριθμητικές πράξεις σε αυτό). Το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Αποτελεί το πιο διαδεδομένο σύστημα στους υπολογιστές. Τα ψηφία που χρησιμοποιούμε είναι το «0» και το«1». Σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα η αναπαράσταση του ψηφίου 1 μπορεί να είναι περνάει ρεύμα ενώ 0 δεν περνάει ρεύμα. Τι Δηλώνει το 100 σε κάθε Σύστημα Αρίθμησης;

2 Εικόνα 1 Βασικές Πράξεις στο Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Παραδείγματα Δυαδικού (BIN) Εικόνα 2 Παραδείγματα Οκταδικού (OCT) Εικόνα 3

3 Παραδείγματα Δεκαεξαδικού (HEX) Εικόνα 4 Εικόνα 5 Δεκαδικό / Δυαδικό / Οκταδικό / Δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

4 Εικόνα 6 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ 2δικό σε 10δικό Ανάλυση αριθμού ως άθροισμα δυνάμεων με βάση το (2) Παράδειγμα ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ 10δικό σε 2δικό Εικόνα 7

5 Εικόνα 8 Παράδειγμα Εικόνα 9 ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Για να μεταβώ από οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης σε κάποιο άλλο πρέπει πρώτα να γίνει μετατροπή αυτού στο δεκαδικό και στη συνέχεια η γνωστή διαδικασία μετατροπής του αριθμού σε σύστημα της αρεσκείας μας. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ

6 Εικόνα 10 Εικόνα 11 Προσημασμένοι οι δυαδικοί αριθμοί Ανάγκη αναπαράστασης αρνητικών αριθμών. Στο δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιούμε το πρόσημο. Στο δυαδικό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα επιπλέον ψηφίο στην αρχή του αριθμού. 0 : θετικό πρόσημο (+)

7 1 : αρνητικό πρόσημο (-) Παράδειγμα Αποφασίζουμε πρώτα τον μέγιστο αριθμό ψηφίων που χρειαζόμαστε. (-7) 10 = (1111) 2 (-2) 10 = (1010) 2 (+7) 10 = (0111) 2 Έχουμε 4 ψηφία: το πρώτο ορίζει το πρόσημο και τα υπόλοιπα 3 τον αριθμό διάστημα τιμών -7 μέχρι +7 Πως γίνονται τώρα οι αριθμητικές πράξεις; Χρήση της μεθόδου «συμπλήρωμα ως προς δύο (two s complement)» Μπορούν να γίνουν οι αριθμητικές πράξεις όπως και πριν. Το πρώτο ψηφίο σε αυτή τη μέθοδο δεν έχει μόνο πρόσημο, αλλά και την τιμή που του αναλογεί λόγω της θέσης του. Προσοχή: Πρέπει ο αριθμός των ψηφίων που απαιτούνται να προαποφασίζεται και να τηρείται. Μετατροπή δυαδικού αριθμού σε συμπλήρωμα ως προς δύο Άλλαξε όλα τα στοιχεία του δυαδικού αριθμού από 0 σε 1 και αντίστροφα, και πρόσθεσε 1. Παράδειγμα με 4 ψηφία = 1111 = (-1) = 1000 = (-8) = 1011 = (-5) 10 Προσοχή: Να θυμάστε πάντοτε να χρησιμοποιείται το σωστό αριθμό ψηφίων για τον αριθμό που θέλετε να αναπαραστήσετε. π.χ. για το -9, χρησιμοποιήστε τον αριθμό σαν +9 και βρείτε το συμπλήρωμα ως προς δύο: =10111=(-9) 10 Ομαδοποίηση δυαδικών ψηφίων Bit (Binary digit - Δυαδικό ψηφίο) Είναι η μικρότερη ποσότητα πληροφορίας (π.χ. 0101: 4 bits, : 8bits) 1 Byte = 8 bits (μια ακολουθία 8 δυαδικών ψηφίων) 1 kilobyte (kb) = 2 10 Bytes = 1024 Bytes 1 MegaByte (MB) = 2 10 kb = Bytes 1 GigaByte (GB) = 2 10 MB 1 TeraByte (TB) = 2 10 GB Κωδικοποίηση δεδομένων - κώδικας ASCII Οι Η/Υ αναπαριστούν κάθε είδους δεδομένα (γράμματα, αριθμούς, ήχο) μέσω ακολουθιών από δυαδικά ψηφία. Γι αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται κώδικες.

8 -- Το ASCII (American Standard Code for Information Interchange) δημιουργήθηκε για να υπάρχει μια κοινή αναπαράσταση δεδομένων. -- Συμπεριλαμβάνει 128 αλφαριθμητικά στοιχεία 94 στοιχεία που μπορούν να εκτυπωθούν (26 κεφαλαία και 26 μικρά γράμματα, 10 αριθμούς και 32 σύμβολα) 34 στοιχεία που δεν μπορούν να εκτυπωθούν (χαρακτήρες που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο υπολογιστών) -- Χρησιμοποιεί 7 δυαδικά ψηφία. -- Ένα όγδοο ψηφίο χρησιμοποιείται για την ανίχνευση λαθών σε δεδομένα επικοινωνίας και υπολογισμού (ονομάζεται δυαδικό ψηφίο ισοτιμίας, parity bit). Πίνακας ASCII Γράψετε το όνομα του μαθήματος μας σαν σειρά δυαδικών ψηφίων χρησιμοποιώντας τον κώδικα ASCII. H M Y