Matematika I i II. Tin Perkov. ak. god. 2017/18.

Transcript

1 Matematika I i II Tin Perkov ak. god. 2017/18. Uvodne informacije tin.perkov@ufzg.hr internet-stranica kolegija: nastava: predavanja i seminari termini konzultacija i druge obavijesti: na stranici kolegija i na panou kod sobe 325 ispit: pismeni i usmeni samo na predroku pismeni dio zamjenjuju dva kolokvija uvjet za izlazak na usmeni: najmanje 45% bodova na kolokvijima (kumulativno) ili najmanje 45% bodova na pismenom moguće je slušati Matematiku II i pisati kolokvije i ako nije položena Matematika I nije moguće izaći na pismeni ni usmeni dio ispita iz Matematike II ako nije položena Matematika I literatura: S. Mintaković, F. Ćurić: Matematika, Školska knjiga, Zagreb stranica kolegija (predavanja, zbirka zadataka, kolokviji, ispiti) sadržaj kolegija: skupovi, relacije, funkcije brojevi (prirodni, cijeli, racionalni, realni, kompleksni) geometrija 1

2 1 Uvod Pojmovi i definicije Gotovo svi pojmovi koje susrećemo u matematici precizno su definirani. Izlaganje matematičke teorije je sistematsko u definicijama se koristimo pojmovima koji su nam već poznati. Pojmovi se mogu odnositi na objekte, njihova svojstva ili relacije medu njima. Primjer 1. Paralelepiped je prizma čije baze su paralelogrami. Time smo definirali pojam paralelepipeda pomoću od ranije poznatih pojmova: prizma, baza prizme, paralelogram. Obično u definiciji koristimo riječi zovemo, kažemo i sl. kako bismo istaknuli pojam koji se definira. Dodatno ga ističemo pisanjem u kurzivu ili (u rukom pisanom tekstu) podcrtano. U tom stilu naš primjer bi glasio: Prizma čije baze su paralelogrami zove se paralelepiped. Primjer 2. Kažemo da je broj paran ako je djeljiv brojem 2. Ovo je primjer definicije pojma koji se odnosi na svojstvo objekta (parnost je svojstvo broja). Primjer 3. Kažemo da su pravci okomiti ako zatvaraju pravi kut. Ovo je primjer definicije pojma koji se odnosi na relaciju medu objektima (okomitost je relacija medu pravcima). Kako se u definiciji nužno koristimo pojmovima, na samom početku izlaganja moramo se osloniti na neke nedefinirane pojmove koje smatramo na neki način intuitivno poznatima. Zovemo ih osnovni pojmovi. U kolegijima Matematika I i II upoznat ćemo se s temeljnim disciplinama elementarne matematike: aritmetikom i geometrijom. Osnovni pojmovi ovih disciplina su: broj, točka, pravac, ravnina. Takoder, u osnovne pojmove spadaju i neke relacije medu matematičkim objektima, kao što su jednakost (koju označavamo simbolom =) i pripadanje (npr. s istim značenjem govorimo da točka pripada pravcu ili da točka leži na pravcu, pravac prolazi kroz točku i sl.). Pažljivom analizom možemo utvrditi da se čak i ovi temeljni matematički pojmovi mogu definirati pomoću samo jednog osnovnog pojma skupa i s njim povezanog pojma koji se odnosi na relaciju medu objektima: biti element skupa. Naime, govorimo o skupovima brojeva, pravac i ravninu promatramo kao skupove točaka itd. Ipak, u kolegijima Matematika I i II nećemo susresti definicije broja, točke, pravca i ravnine, nego ćemo ih smatrati osnovnim pojmovima. 2

3 Sudovi, aksiomi i teoremi U logici, sud je misao koja je ili istinita ili neistinita. Kao što u izgradnji teorije polazimo od osnovnih pojmova i definiramo sve ostale, tako polazimo i od nekih osnovnih sudova koje smatramo istinitima, a sve ostale dokazujemo pomoću polaznih i već dokazanih. Polazni sudovi zovu se aksiomi, a dokazani sudovi teoremi ili poučci. Primjer 4. Za svake dvije različite točke postoji jedinstven pravac kojem one pripadaju. To je jedan od aksioma geometrije. Primjer 5. Zbroj kutova trokuta jednak je 180. To je primjer teorema u geometriji. Dokazuje se pomoću aksioma i ranije dokazanih teorema. Operacije sa sudovima Od jednostavnijih sudova dobivamo složenije koristeći se veznicima. Kako se u matematičkom izlaganju, za razliku od svakodnevnog govora, zahtijeva puna preciznost, potrebno je točno definirati značenje veznika u složenim sudovima. Neka su A i B sudovi. Sud A i B zovemo konjunkcija. On je istinit ako su oba suda A i B istinita, a u svim drugim slučajevima je neistinit. Konjunkcija se označava s A B. Sud A ili B zovemo disjunkcija. Taj sud je istinit ako je barem jedan od sudova istinit (što uključuje i mogućnost da su oba suda A i B istinita). Disjunkcija je neistinita samo ako su oba suda neistinita. Disjunkcija se označava s A B. Sud ako A, onda B zovemo implikacija. Implikacija je istinita ako vrijedi: ako je istinit sud A, onda je istinit i sud B (što uključuje i mogućnost da je sud A neistinit). Implikacija je neistinita samo ako je sud A istinit, a B neistinit. Implikaciju označavamo s A B i često kažemo A povlači B ili iz A slijedi B i slično. Ako je implikacija A B istinita, kažemo i da je A dovoljan uvjet za B (naime, dovoljno je da vrijedi A da bismo bili sigurni da mora vrijediti B), odnosno da je B nužan uvjet za A (ako vrijedi A, nužno vrijedi i B). Sud A ako i samo ako B zovemo ekvivalencija. On je istinit ako su oba suda A i B istinita ili su oba neistinita, a inače je neistinit. Drugim riječima, ekvivalencija je istinita ako su obje implikacije A B 3

4 i B A istinite. Ekvivalenciju označavamo s A B i još kažemo da su A i B ekvivalentni ili da je A nužan i dovoljan uvjet za B i sl. Sud ne A zovemo negacija. On je istinit ako je sud A neistinit, a neistinit je ako je A istinit. Negacija se označava s A. Primjer 6. Konjunkcija 2 je paran i prost broj je istinita jer su istiniti sudovi 2 je paran broj i 2 je prost broj. Disjunkcija 2 je paran ili prost broj takoder je istinita. Konjunkcija 3 je paran i prost broj nije istinita, ali disjunkcija 3 je paran ili prost broj je istinita. Sud 3 je paran broj je neistinit, pa je njegova negacija 3 nije paran broj istinita. Primjer 7. Implikacija ako je trokut ABC jednakostraničan, onda ima jednake kutove je istinita. Uočimo da je ta implikacija istinita i ako trokut ABC koji promatramo nije jednakostraničan. Možemo reći da je jednakost stranica trokuta dovoljan uvjet za jednakost kutova. Uočimo da to ne vrijedi za četverokute: implikacija ako četverokut ABCD ima jednake stranice, onda ima i jednake kutove nije istinita ako je promatrani četverokut romb koji nije kvadrat. Primjer 8. Vrijedi i obrat implikacije iz prethodnog primjera. Drugim riječima, trokut ABC je jednakostraničan ako i samo ako ima jednake kutove. To je primjer istinite ekvivalencije. Primjer 9. Ako je broj djeljiv s 4, onda je on paran. Ovo je još jedan primjer istinite implikacije. No, u ovom primjeru obratna implikacija ne vrijedi. Drugim riječima, parnost je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za djeljivost s 4. Varijable i kvantifikatori Ako pažljivo promotrimo prethodni primjer, možemo uočiti da se riječ broj ne odnosi na neki konkretni broj. Sud iz tog primjera je istinit za bilo koji prirodan broj. U takvim slučajevima matematičke objekte označavamo varijablama (najčešće slovima latinične abecede i grčkog alfabeta). Tako u našem primjeru govorimo: Ako je x djeljiv s 4, onda je x paran. Uočimo da rečenicu koja sadrži varijable ne možemo smatrati sudom. Naime, sud mora biti ili istinit ili neistinit, a za izjavu poput x je paran ne možemo znati je li istinita ili neistinita dok ne znamo što je točno x. Takve rečenice postaju sudovi kada se varijable zamijene konkretnim objektima. Ipak, koristeći kvantifikatore, možemo formulirati i sudove koji sadrže varijable. 4

5 Primjer 10. U prethodnom primjeru imali smo rečenicu koja je istinita za bilo koji prirodan broj x. To se u preciznom matematičkom izlaganju obično i naglasi na sljedeći način: Za svaki x, ako je x djeljiv s 4, onda je x paran. Već smo komentirali da obrat ne vrijedi. Drugim riječima: Postoji x koji je paran i nije djeljiv s 4. Izraz za svaki zovemo univerzalni kvantifikator i označavamo ga simbolom. Sud oblika xa (čitamo: za svaki x vrijedi A ) je istinit ako je za bilo koji konkretni objekt kojim zamijenimo varijablu x u A dobiveni sud uvijek istinit. Izraz postoji zovemo egzistencijalni kvantifikator i označavamo simbolom. Sud oblika xa (čitamo: postoji x tako da vrijedi A ) je istinit ako postoji barem jedan objekt (ili više njih) koji možemo uvrstiti u A umjesto varijable x tako da dobiveni sud bude istinit. Ako postoji točno jedan takav objekt, to često naglašavamo tako da kažemo: postoji jedinstven x tako da vrijedi A (v. primjer 4). Sada sudove iz prethodnog primjera možemo pregledno zapisati ovako: x x djeljiv s 4 x paran, x x paran x nije djeljiv s 4. Ipak, u kolegijima Matematika I i II češće ćemo koristiti riječi i, ili, ako... onda, ako i samo ako, ne, za svaki i postoji, nego simbole,,,,, i. Bitno je samo da smo pritom svjesni preciznog značenja tih riječi. 5

6 2 Skupovi Pojam skupa Kao što je već napomenuto, skup je osnovni pojam. Dakle, skup nećemo definirati, nego ćemo se osloniti na intuitivno razumijevanje tog pojma. Navest ćemo na koji način se skupovi mogu zadati i kako se može provjeriti jesu li skupovi jednaki, što će u nedostatku definicije pomoći preciznijem razumijevanju pojma skupa. Suvremena teorija skupova je aksiomatska, kao i druge matematičke teorije, no ovdje se samo ukratko izlažu njene osnove, a samo neke od aksioma ćemo izričito spomenuti. Skup je potpuno odreden svojim elementima. Da bi skup bio zadan, potrebno je za svaki objekt znati pripada li tom skupu ili ne. To znači da skup možemo zadati na dva načina: nabrajanjem elemenata (pišemo ih u vitičastim zagradama) ili navodenjem kriterija po kojem za svaki objekt možemo provjeriti pripada li tom skupu ili ne (što takoder bilježimo u vitičastim zagradama). Primjer 11. Skup A = {1,2,3} zadan je nabrajanjem elemenata. Primjer 12. Skup B = {n N : n 3} zadan je uvjetom koji trebaju zadovoljavati elementi skupa. Pripadnost skupu označava se simbolom, a nepripadnost simbolom /. Primjer 13. Pišemo 2 A i čitamo: 2 je element skupa A. Pišemo 4 / A i čitamo: 4 nije element skupa A. Skupovi su jednaki ako imaju iste elemente. Preciznije, skupovi A i B su jednaki ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B i obrnuto. To je jedan od aksioma teorije skupova. Uvjet jednakosti skupova A i B pomoću logičkih simbola možemo napisati ovako: x x A x B. Primjer 14. Skupovi A i B iz primjera 11 i 12 su jednaki. Uočimo da kod zadavanja skupova nije važan redoslijed nabrajanja elemenata, kao niti jesu li neki elementi navedeni više puta. Primjer 15. Vrijedi: {1,2,3} = {2,1,3}. Takoder, {3,1,2,3} = {2,2,1,3}. Dakako, nije uobičajeno u nabrajanju elemenata skupa navoditi neki element više puta. No, to se često dogada kod drugog načina zadavanja skupa. 6

7 Primjer 16. Skup racionalnih brojeva možemo zadati kao { a } Q = b : a Z,b N. Pritom uočimo npr. 2 3 = 4 6. Jedan od aksioma teorije skupova kaže da postoji skup bez elemenata. Zovemo ga prazan skup i označavamo s. Podskup Već smo vidjeli jedan primjer podskupa: skup B = {n N : n 3} zapravo je zadan kao podskup skupa N kojem pripadaju oni elementi skupa N koji zadovoljavaju uvjet n 3. Definicija 1. Kažemo da je skup A podskup skupa B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Pritom pišemo A B. Koristimo i oznaku B A i pritom kažemo da je B nadskup skupa A. Kažemo da je skup A pravi podskup skupa B i pišemo A B ako je A B i pritom A B. Drugim riječima, svaki element skupa A ujedno je i element skupa B i pritom postoji barem jedan element skupa B koji nije element skupa A. Koristimo i oznaku B A i kažemo da je B pravi nadskup skupa A. Uvjet da skup A bude podskup skupa B, tj. da vrijedi A B, pomoću logičkih simbola možemo zapisati ovako: x x A x B. Biti podskup je relacija medu skupovima. Zovemo je i relacija inkluzije. Uočimo da je prazan skup podskup svakog skupa. Operacije sa skupovima Različitim operacijama od postojećih skupova možemo dobiti nove skupove. Neka su A i B skupovi. Skup koji čine svi elementi koji pripadaju skupu A ili skupu B, drugim riječima elementi koji pripadaju barem jednom od tih skupova, zovemo unija skupova A i B i označavamo s A B. Pomoću uvedenih oznaka možemo pisati: A B = {x : x A x B}. 7

8 Skup koji čine svi elementi koji pripadaju skupu A i skupu B zovemo presjek skupova A i B i označavamo s A B, tj. A B = {x : x A x B}. Kažemo da su skupovi A i B disjunktni ako nemaju zajedničkih elemenata, tj. ako je A B =. Skup koji čine svi elementi koji pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B, zovemo razlika skupova A i B i označavamo s A \ B (čitamo: A bez B ), tj. A \ B = {x A : x / B}. Ako je pritom B A, onda kažemo da je skup A\B komplement skupa B s obzirom na skup A. Skup {(a,b) : a A, b B} zovemo Kartezijev produkt skupova A i B i označavamo s A B. Elemente Kartezijevog produkta zovemo uredeni parovi. Napomena 1. Uredeni parovi bitno su različiti od dvočlanih skupova. Već smo naglasili da je skup odreden isključivo svojim elementima, pa nije bitan njihov redoslijed u nabrajanju i nije bitno ponavlja li se neki element ili ne, tj. suvišno je pisati neki element više puta. Za uredene parove bitan je redoslijed, te prvi i drugi element mogu biti jednaki. Za uredene parove vrijedi (a,b) = (c,d) ako i samo ako je a = c i b = d. Primjer 17. Vrijedi {1,2} = {2,1}, ali (1,2) (2,1). Takoder, {1,1} = {1}, ali (1,1) {1}. Primjer 18. Zadani su skupovi A = {1,2,3,4} i B = {3,4,5,6}. Vrijedi: A B = {1,2,3,4,5,6} A B = {3,4} A \ B = {1,2} B \ A = {5,6} Primjer 19. Neka je A = {1,2} i B = {a,b,c}. Tada je A B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}. Primjer 20. Neka je S = {1,2,3}. Tada je S S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}. 8

9 Skupove, njihove medusobne odnose i skupovne operacije često grafički prikazujemo Vennovim dijagramima. Skupove prikazujemo kao likove u ravnini omedene krivuljama, a po potrebi neke njihove elemente prikazujemo kao istaknute točke. Kartezijev produkt R R grafički prikazujemo kao pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Na sličan način možemo grafički prikazati i Kartezijeve produkte drugih skupova. Relacije i funkcije Definicija 2. Neka su A i B skupovi. Svaki podskup R A B zovemo relacija izmedu A i B. Drugim riječima, relacija je skup nekih uredenih parova elemenata iz A i B. Pritom za a A i b B takve da je uredeni par (a,b) u relaciji R obično pišemo arb. Primjer 21. Relacija je podskup skupa R R. Npr. uredeni par (1,2) je u relaciji, što standardno zapisujemo kao 1 2. Koristeći grafički prikaz Kartezijevog produkta, relacije možemo prikazati naglašavajući točke pridružene uredenim parovima elemenata koji su u relaciji. Relacije možemo grafički prikazati i Vennovim dijagramima sa strelicama koje povezuju elemente koji su u relaciji. Definicija 3. Neka su A i B skupovi. Relaciju f A B zovemo funkcija ako za svaki element x A postoji točno jedan element y B takav da je uredeni par (x,y) u f. Pritom x zovemo varijabla, a f(x) vrijednost funkcije i pišemo f(x) = y. Skup A zovemo domena, a skup B kodomena funkcije. Drugim riječima, funkcija svakom elementu domene pridružuje točno jedan element kodomene. Ako je f funkcija s domenom A i kodomenom B, pišemo f : A B i čitamo f je funkcija s A u B. Funkciju možemo zadati tablicom vrijednosti ili formulom, što ćemo vidjeti u primjerima. Primjer 22. Kvadriranje realnih brojeva je funkcija f : R R, pri čemu je f(x) = x 2 za svaki x R. Definicija 4. Za funkciju f : A B kažemo da je injekcija ako različite elemente skupa A preslikava u različite elemente skupa B, tj. za sve x 1,x 2 A takve da je x 1 x 2 vrijedi f(x 1 ) f(x 2 ). 9

10 Za funkciju f : A B kažemo da je surjekcija ako je svaki element kodomene vrijednost funkcije za neki element domene, tj. za svaki y B postoji x A takav da je f(x) = y. Za funkciju kažemo da je bijekcija ako je injekcija i surjekcija. Kažemo da su skupovi A i B ekvipotentni (ili jednakobrojni) ako postoji bijekcija f : A B. Primjer 23. Funkcija f(x) = x 2 nije ni injekcija ni surjekcija. Primjer 24. Skupovi A = {1,2,3} i B = {a,b,c} su ekvipotentni. Naime, funkcija f : A B zadana tablicom je bijekcija. x f(x) a b c 10

11 3 Prirodni brojevi Peanova aritmetika Skup prirodnih brojeva je N = {1,2,3,...,n,n + 1,... }. Ovo nije definicija skupa prirodnih brojeva, jer se u razumijevanju što dolazi na mjestu trotočki služimo intuitivnim shvaćanjem pojma prirodnog broja. Pojam broja je jedan od osnovnih matematičkih pojmova. Pojam prirodnog broja odredit ćemo preko aksioma koji ističu njegova osnovna svojstva. Teorija utemeljena na tim aksiomima zove se Peanova aritmetika. Aksiomi Peanove aritmetike 1. Jedan je prirodan broj, tj. 1 N. 2. Svaki prirodan broj ima sljedbenika, tj. za svaki n N postoji prirodan broj koji zovemo sljedbenik broja n i označavamo ga s n Broj 1 nije sljedbenik niti jednog prirodnog broja, tj. za svaki n N vrijedi n Različiti prirodni brojevi imaju različite sljedbenike, tj. za sve n,m N vrijedi: ako je n m, onda je n + 1 m Neka je S N takav da vrijedi: 1 S, za svaki n N, ako je n S, onda je i n + 1 S. Tada je S = N. Posljednji aksiom zovemo aksiom matematičke indukcije. Napomena 2. Prva dva aksioma osiguravaju postojanje broja 1, zatim broja koji zovemo 2, zatim koji zovemo 3, te da takvo nizanje brojeva nikad ne završava. Sljedeća dva aksioma osiguravaju da je, počevši od broja 1, svaki sljedeći sljedbenik novi broj, tj. da se nizanjem sljedbenika brojevi neće početi ponavljati. Aksiom matematičke indukcije osigurava da nema drugih prirodnih brojeva osim onih čije postojanje osiguravaju prva četiri aksioma ili, drugim riječima, da se svaki prirodni broj može dobiti nizanjem sljedbenika počevši od broja 1. 11

12 Prirodne brojeve grafički prikazujemo na brojevnom pravcu. Konačni i beskonačni skupovi Pojam prirodnog broja potreban nam je za definiciju pojma konačnog skupa. Definicija 5. Kažemo da je skup S konačan ako je S = ili postoji k N takav da je S ekvipotentan skupu {1,2,...,k} N. Pritom kažemo da je k broj elemenata ili kardinalni broj skupa S. Kažemo da je skup beskonačan ako nije konačan. Dakle, prirodne brojeve možemo promatrati kao kardinalne brojeve nepraznih konačnih skupova. Primjer 25. U primjeru 24 zadana je bijekcija izmedu skupa {1,2,3} i skupa B. Možemo reći da smo zadavanjem takve bijekcije zapravo prebrojali elemente skupa B i utvrdili da ih ima 3. Primjer 26. Skup N je beskonačan. Operacije s prirodnim brojevima Računske operacije s prirodnim brojevima su zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, potenciranje i korjenovanje. Neka su a i b prirodni brojevi. Neka je A neki skup s a elemenata i B neki skup s b elemenata i neka su A i B disjunktni, tj. A B =. Kardinalni broj unije A B zovemo zbroj ili suma brojeva a i b i označavamo s a + b. Pritom brojeve a i b zovemo pribrojnici. Broj x N takav da vrijedi x + b = a, ako postoji, zovemo razlika ili diferencija brojeva a i b i označavamo s a b. Pritom a zovemo umanjenik, a b umanjitelj. Zbroj a pribrojnika jednakih b, tj. broj b + b b }{{} a puta zovemo umnožak ili produkt brojeva a i b i označavamo s a b ili ab. Brojeve a i b zovemo faktori. 12

13 Broj x N takav da vrijedi x b = a, ako postoji, zovemo količnik ili kvocijent brojeva a i b i označavamo s a : b ili a. Pritom a zovemo b djeljenik, a b djelitelj. Izraz a b brojnik, a b nazivnik. zovemo i razlomak, pri čemu a zovemo Neka je n N. Umnožak n faktora jednakih a, tj. broj a a... a }{{} n puta zovemo n-ta potencija broja a i označavamo s a n. Pritom a zovemo baza, a n eksponent. Potenciranje eksponentom 2 zovemo kvadriranje, a potenciranje eksponentom 3 kubiranje. Neka je n N. Broj x N takav da vrijedi x n = a, ako postoji, zovemo n-ti korijen broja a i označavamo s n a. Drugi korijen zovemo i kvadratni korijen i umjesto 2 a pišemo a. Redoslijed računskih operacija u složenijim izrazima odreduje se prema sljedećim prioritetima: 1. izrazi u zagradama, pod korijenima, u brojnicima i nazivnicima, 2. potenciranje i korjenovanje, 3. množenje i dijeljenje, 4. zbrajanje i oduzimanje, 5. slijeva nadesno. Primjer 27. Usporedimo redoslijed računskih operacija u sljedećim izrazima: = = (1 + 4) (3 1) = = = 1, : (1 + 4) (3 1) 2 = : 5 4 = =

14 Svojstva zbrajanja i množenja Neka su a,b,c N. Tada vrijedi: 1. a + b = b + a, a b = b a (komutativnost) 2. (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) (asocijativnost) 3. a (b + c) = a b + a c (distributivnost) Napomena 3. Svojstva zbrajanja i množenja mogu se dokazati iz aksioma Peanove aritmetike, no nećemo navoditi dokaz. Teorem 1 (svojstva potenciranja). Za svaki a N i za sve m,n N vrijedi: 1. a m a n = a m+n, 2. (a m ) n = a mn. Dokaz. Dokažimo prvu tvrdnju: a m a n = a } a {{... a} m puta a a... a }{{} n puta Slično se dokazuje i druga tvrdnja: (a m ) n = a m a m... a m }{{} n puta = a } a {{... a} = a mn. n m puta = a } a {{... a} } a a {{... a} m puta = a } a {{... a} = a m+n. m+n puta m puta... a a... a }{{} m puta } {{ } n puta = Skup N 0 Već smo istaknuli da su prirodni brojevi kardinalni brojevi nepraznih konačnih skupova. Kako je i prazan skup konačan, a njegov kardinalni broj je nula, često se smatra da je i nula prirodan broj. Mi ćemo umjesto toga koristiti posebnu oznaku N 0, kojom ćemo označavati skup N {0}. Na zbrajanje elemenata iz skupa N 0 i dalje možemo gledati kao na kardinalni broj unije disjunktnih konačnih skupova, s tim da sada jedan od njih (ili oba) može biti i prazan. Pritom za svaki a N 0 vrijedi: a + 0 = a. 14

15 Uočimo da slično vrijedi za broj 1 i operaciju množenja: za svaki a je 1 a = a. Stoga kažemo da je 0 neutralni element za zbrajanje, a 1 za množenje. Promotrimo kako izgledaju ostale računske operacije s nulom: Oduzimanje u skupu N 0 definira se pomoću veze sa zbrajanjem, na isti način kao u skupu N. To znači da za svaki a N 0 vrijedi a 0 = a i a a = 0, jer je a + 0 = a. Množenje nulom definiramo tako da se sačuva svojstvo distributivnosti. Za svaki a N 0 želimo da vrijedi a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0, dakle a 0 = 0. Naravno, zbog komutativnosti je i 0 a = 0. Dijeljenje želimo definirati koristeći vezu s množenjem. To znači da za svaki b N definiramo 0 : b = 0 jer je 0 b = 0. Medutim, nije moguće na isti način definirati dijeljenje nulom, tj. dijeljenje u kojem je djelitelj 0. Naime, ako za a N želimo a : 0 = x, to znači x 0 = a, što je nemoguće jer je uvijek x 0 = 0. Stoga se dijeljenje nulom ne definira. Ne definira se ni kvocijent 0 : 0, iako bi 0 : 0 = x značilo x 0 = 0, što je istina, medutim takav x nije jednoznačno odreden, jer x 0 = 0 vrijedi za svaki x. Potenciranje baze 0 eksponentom n N možemo definirati kao i dosad, kao množenje jednakih faktora, tj. 0 n = } 0 0 {{... 0} = 0. n puta Potenciranje baze a N eksponentom 0 definiramo tako da se sačuvaju svojstva potenciranja. Tako npr. želimo da za sve m,n N 0 vrijedi a m a n = a m+n. Dakle, i za m = 0 treba vrijediti a 0 a n = a 0+n = a n. To znači da mora biti a 0 = 1. To smo dobili dijeljenjem prethodne jednakosti s a n. To uvijek možemo napraviti za a N, ali ne i ako je a = 0. Stoga se 0 0 ne definira. Korjenovanje definiramo pomoću veze s potenciranjem, dakle za svaki n N je n 0 = 0, jer je 0 n = 0. 15

16 Usporedivanje prirodnih brojeva Definicija 6. Neka su a,b N. Kažemo da je a manji od b i pišemo a < b ako postoji k N takav da vrijedi a + k = b. Pritom kažemo i da je b veći od a i pišemo b > a. Pišemo a b ako je a < b ili a = b. Tada pišemo i b a. Napomena 4. Usporedimo definiciju oduzimanja i usporedivanja. Možemo reći da vrijedi a < b ako je b a prirodan broj. Djeljivost Definicija 7. Neka su a,b N. Kažemo da je broj a djeljiv brojem b ako postoji x N takav da je x b = a. Kažemo i da je a višekratnik broja b. Napomena 5. Usporedimo definiciju dijeljenja i djeljivosti. Možemo reći da je a djeljiv s b ako je a : b prirodan broj. Definicija 8. Kažemo da je prirodni broj paran ako je djeljiv brojem 2. U suprotnom kažemo da je neparan. Napomena 6. Već smo istaknuli da je N beskonačan skup. I neki njegovi podskupovi su beskonačni, npr. skupovi svih parnih prirodnih brojeva i svih neparnih prirodnih brojeva, skup svih višekratnika broja 3 i sl. Dijeljenje s ostatkom Neka su a,b N. Broj r N 0 takav da vrijedi a = q b + r, pri čemu je q N 0 i r < b zovemo ostatak pri dijeljenju broja a brojem b. Pritom: ako je a < b, onda je q = 0 i r = a ako je a djeljiv s b, onda je q = a : b i r = 0 ako je a > b i a nije djeljiv s b, onda je q > 0 i 0 < r < b Prosti i složeni brojevi Definicija 9. Za prirodni broj n kažemo da je prost ako je n > 1 i n je djeljiv samo brojem 1 i samim sobom. Za prirodni broj n kažemo da je složen ako je djeljiv nekim brojem različitim od 1 i n. Napomena 7. Svaki složeni broj možemo prikazati kao umnožak dva ili više prostih brojeva. Naime, po definiciji se složeni broj može prikazati kao umnožak dva broja veća od 1. Svaki od tih brojeva, ako je složen, možemo 16

17 dalje prikazati kao umnožak brojeva većih od 1. Postupak nastavimo dok ne preostanu samo prosti faktori. Pritom kažemo da smo broj rastavili na proste faktore. Primjer 28. Rastavimo brojeve 210 i 8 na proste faktore: 210 = = , 8 = 2 4 = Često koristimo postupak u kojem broj dijelimo prostim brojevima redom od manjeg prema većem. U prvom primjeru bismo tako imali 210 = = = Uočimo da se radi o istom rastavu, osim što je promijenjen redoslijed prostih faktora, što zbog komutativnosti i asocijativnosti množenja nije bitno. Teorem 2 (Osnovni teorem aritmetike). Neka je n > 1 prirodan broj. Rastav broja n na proste faktore je jedinstven do na poredak faktora. Dokaz. Pretpostavimo da postoje dva rastava na proste faktore n = p 1 p 2... i n = q 1 q 2... i dokažimo da su oni nužno jednaki, osim možda po poretku faktora. Podijelimo lijevu i desnu stranu jednakosti p 1 p 2 = q 1 q 2... sa svim faktorima koji su im zajednički. Tvrdimo da smo time dobili 1 = 1, što znači da su svi faktori bili zajednički, tj. radilo se o jednakim rastavima. Naime, ako bi nakon dijeljenja na jednoj strani preostao neki prosti broj p kojeg nema na drugoj strani, to bi značilo da je jedna strana jednakosti djeljiva s p, a druga nije, što je nemoguće. Napomena 8. Po definiciji, broj 1 nije ni prost ni složen. Iako je i 1 djeljiv samo brojem 1 i samim sobom, ne smatramo ga prostim brojem. Jedan od razloga je što u suprotnom ne bi vrijedio osnovni teorem aritmetike. Npr. kad bi i 1 bio prost broj, 6 = 2 3 i 6 = bi bili različiti rastavi broja 6 na proste faktore. Teorem 3. Skup svih prostih brojeva je beskonačan. Dokaz. Neka je n N. Neka je m umnožak prvih n prostih brojeva. Tada m + 1 daje ostatak 1 pri dijeljenju s bilo kojim od prvih n prostih brojeva, pa nije djeljiv ni s jednim od njih. Dakle, prosti faktori broja m + 1 nisu jednaki niti jednom od prvih n prostih brojeva. Dakle, postoji više od n prostih brojeva. Time smo dokazali da za svaki n N postoji više od n prostih brojeva, što znači da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. 17

18 Eratostenovo sito Proste brojeve od 2 do nekog broja n možemo odrediti tako da ispišemo sve brojeve od 2 do n i zatim ponavljamo sljedeće korake: zaokružimo prvi nezaokruženi i neprecrtani broj, prectajmo sve višekratnike zaokruženog broja (osim njega samog). Postupak ponavljamo dok svaki ispisani broj ne bude zaokružen ili precrtan. Svi zaokruženi brojevi su prosti, a precrtani su složeni. Napomena 9. Eratostenovo sito ne bi funkcioniralo kad bi se i broj 1 smatrao prostim. Naime, postupak bi onda počeo zaokruživanjem broja 1 i prectavanjem svih njegovih višekratnika, što bi značilo da bismo odmah prectali sve ostale brojeve, medu njima i proste. Najveća zajednička mjera i najmanji zajednički višekratnik Definicija 10. Neka su a,b N. Za svaki broj kojim su djeljivi i a i b kažemo da je njihova zajednička mjera ili zajednički djelitelj. Kažemo da su a i b relativno prosti ako nemaju zajedničkih djelitelja osim jedinice. Za svaki broj koji je djeljiv i brojem a i brojem b kažemo da je njihov zajednički višekratnik. Za sve a,b N postoji najveća zajednička mjera i najmanji zajednički višekratnik. Naime, zajednička mjera ne može biti veća od brojeva a i b, a zajednički višekratnik ne može biti manji od njih. Primjer 29. Neka je a = 90 i b = 75. faktore. Dobivamo: Rastavimo te brojeve na proste a = , b = Njihova najveća zajednička mjera je 3 5 = 15 (umnožak zajedničkih prostih faktora), a najmanji zajednički višekratnik = 450 (umnožak svih prostih faktora, pri čemu se zajednički uzimaju po jednom). 18

19 4 Cijeli brojevi Operacije s cijelim brojevima Skup cijelih brojeva je Z = N {0} { n : n N}. Prirodne brojeve u kontekstu skupa Z zovemo pozitivni brojevi, a brojeve n, gdje je n N, zovemo negativni brojevi. Za n i n kažemo da su suprotni brojevi. Primjer 30. Negativni brojevi se koriste kao mjerni brojevi temperatura ispod ledišta vode na Celzijevoj skali. Takoder, koriste se za izražavanje novčanog duga. Napomena 10. Simbol ovdje ne označava oduzimanje. Zovemo ga negativni predznak. Za pozitivne brojeve kažemo i da imaju pozitivan predznak i ponekad pišemo +n kad to želimo istaknuti, no pozitivan predznak se obično ne piše. Simbol ponekad pišemo i ispred negativnih brojeva i nule, pri čemu definiramo: ( n) = n, 0 = 0. Nulu ne smatramo ni pozitivnim ni negativnim brojem. Definicija 11. Neka je a Z. Broj a, ako je a pozitivan a = 0, ako je a = 0 a, ako je a negativan zovemo apsolutna vrijednost ili modul broja a. Računske operacije koje smo definirali za prirodne brojeve i proširili na skup N 0, sada proširujemo na sve cijele brojeve. Neka su a,b Z. Zbrajanje: ako su a i b istog predznaka, apsolutne vrijednosti im se zbrajaju, a predznak se zadržava. Ako su a i b suprotnog predznaka, apsolutne vrijednosti im se oduzimaju (manja od veće), a predznak razlike jednak je predznaku broja koji ima veću apsolutnu vrijednost. Za suprotne brojeve vrijedi a + ( a) = 0. Nula je i dalje neutralni element za zbrajanje, tj. za svaki a Z vrijedi a + 0 = 0 + a = a. 19

20 Oduzimanje sada možemo definirati kao zbrajanje sa suprotnim brojem: a b = a + ( b). Kod množenja se apsolutne vrijednosti množe. Stoga za svaki a Z i dalje vrijedi a 0 = 0. Predznak umnoška je pozitivan ako su predznaci faktora jednaki, a negativan ako su predznaci faktora suprotni. Dijeljenje se definira kao i do sada, tj. a : b = x ako je x b = a, ako takav x postoji, te b 0. Potenciranje negativnog broja pozitivnim eksponentom možemo definirati kao množenje jednakih faktora. Takoder, za svaki a Z, a 0, definiramo a 0 = 1, iz istih razloga kao prije. Potenciranje negativnim eksponentom definirat ćemo kasnije, jer nam za to trebaju racionalni brojevi. Korjenovanje se definira kao i dosad, tj. za n N i a Z je n a = x ako je x n = a, ako takav x postoji. Primjer 31. Kako je ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8, to je 3 8 = 2. No, 4 ne možemo definirati u skupu Z, jer ne postoji cijeli broj x takav da je x 2 = 4. Napomena 11. Može se dokazati da zbrajanje i množenje cijelih brojeva i dalje imaju svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Usporedivanje cijelih brojeva Usporedivanje cijelih brojeva možemo definirati slično kao usporedivanje prirodnih brojeva. Definicija 12. Neka su a,b Z. Kažemo da je a manji od b i pišemo a < b ako postoji k N takav da vrijedi a + k = b. Oznake >, i takoder koristimo s istim značenjima kakva imaju i kod prirodnih brojeva. 20

21 5 Racionalni brojevi Razlomci Skup racionalnih brojeva je { a } Q = b : a Z,b Z \ {0}, pri čemu je a b = c d ako i samo ako je ad = bc. Primjer 32. Vrijedi 6 10 = 3, jer je 6 5 = Možemo reći da više razlomaka predstavlja isti racionalni broj. Za a b Q, a zovemo brojnik, a b nazivnik. Podsjetimo se, ako je a djeljiv s b, onda s a b označavamo kvocijent a : b. Primjer 33. Vrijedi 2 1 = 2. To znači da skup Q sadrži i sve cijele brojeve. Napomena 12. Uočimo a b = a b i a b = a a. Umjesto ponekad pišemo b b a. To znači da svaki racionalni broj različit od nule možemo prikazati kao b pozitivan ili negativan razlomak u kojem su i brojnik i nazivnik prirodni brojevi. U tom smislu možemo koristiti pojmove koje smo definirali za prirodne brojeve, kao što su relativno prosti brojevi, najmanji zajednički višekratnik i sl. Za k Z \ {0} vrijedi ak bk = a. Pritom kažemo: b a b je dobiven od ak bk skraćivanjem ak bk je dobiven od a b proširivanjem Ako su brojnik i nazivnik relativno prosti, kažemo da je razlomak do kraja skraćen. Primjer 34. Vrijedi = = 6 9 = = 2 3 ili odmah = = 2 3. Primjer 35. Razlomak 5 16 je do kraja skraćen. 21

22 Svaka dva racionalna broja a b i c mogu se prikazati kao razlomci s jednakim nazivnikom, i to bilo kojim zajedničkim višekratnikom nazivnika b d i d, npr. bd. Naime, proširivanjem dobivamo a b = ad bd i c d = bc bd. Najmanji zajednički višekratnik nazivnika b i d zovemo najmanji zajednički nazivnik. 1 Primjer 36. Brojevi 10 i 3 35 najmanji zajednički nazivnik, nego 70: Operacije s racionalnim brojevima imaju zajednički nazivnik 350, ali to nije 1 10 = 7 70 i 3 35 = Neka su a b, c Q. Računske operacije s cijelim brojevima proširujemo na d racionalne brojeve: a b + c d = ad + bc bd a b c ad bc = d bd a b c d = ac bd a b : c d = a b d, uz uvjet c 0 c ( a ) n a n ( a ) 0 = b b, n N, te = 0, uz uvjet a 0 (potenciranje n b negativnim i razlomljenim eksponentima definirat ćemo kasnije) n a b = n a n b, n N. Kvocijent a b : c d zapisan kao a b c d zovemo dvojni razlomak. Primjer 37. Zbrojimo i pomnožimo brojeve iz prethodnog primjera: = = = 13, ali koristeći svodenje na najmanji zajednički nazivnik može i odmah = = =

23 Primjer 38. Vrijedi 1 3 : 2 5 = = 5 6. Napomena 13. Ovako definirano zbrajanje i množenje zadržavaju sva svojstva (komutativnost, asocijativnost, distributivnost, postojanje neutralnog elementa za zbrajanje i množenje, postojanje suprotnog elementa). Dodatno, za svaki racionalni broj različit od nule postoji njegov recipročni broj s kojim kao umnožak daje jedinicu: a b b a = 1, a 0. Ako je brojnik po apsolutnoj vrijednosti manji od nazivnika, kažemo da je razlomak pravi, a ako je brojnik po apsolutnoj vrijednosti veći od nazivnika, kažemo da je razlomak nepravi. Nepravi razlomak možemo prikazati kao zbroj cijelog broja i pravog razlomka. Takav zapis zovemo mješoviti broj i ponekad ga pišemo i izostavljajući znak zbrajanja. Primjer 39. Broj 1 3 je pravi razlomak, a 7 3 je nepravi razlomak. Pritom je 7 3 = Usporedivanje racionalnih brojeva Definicija 13. Neka su a b, c d Q, pri čemu su b,d N. Kažemo da je a b manji od c d i pišemo a b < c d ako vrijedi ad < bc. Uočimo da su ad i bc brojnici koji se dobiju ako brojeve koje usporedujemo svedemo na zajednički nazivnik bd. Značenje ostalih znakova nejednakosti (<,, ) definiramo na uobičajeni način. Primjer 40. Vrijedi 4 7 < 3, jer je 4 5 < Napomena 14. Za razliku od cijelih brojeva, izmedu svaka dva različita racionalna broja a i b postoji racionalan broj različit od a i b, npr. njihova aritmetička sredina a + b 2 i a + b a + b. Kako onda opet izmedu a i, te izmedu b 2 postoje racionalni brojevi itd., možemo zaključiti da izmedu svaka 2 dva različita racionalna broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva. Kažemo da je skup racionalnih brojeva gust. Ipak, kao što ćemo vidjeti, racionalnim brojevima nisu pridružene sve točke brojevnog pravca. 23

24 6 Realni brojevi Iracionalni brojevi Primjer 41. Broj 2 možemo konstruirati kao dijagonalu kvadrata stranice 1 i tako nanijeti na brojevni pravac. Medutim, 2 nije racionalni broj. Da bismo to dokazali, pretpostavimo da 2 jest racionalni broj. To znači da se 2 može prikazati u obliku do kraja skraćenog razlomka, tj. da postoje relativno prosti a,b N takvi da je 2 = a b. Kvadriranjem lijeve i desne strane dobivamo 2 = a2 b 2. Stoga je 2b 2 = a 2 paran broj. Ali onda i a mora biti paran broj, pa ga možemo prikazati kao a = 2k za neki k N. No, sada je 2b 2 = a 2 = (2k) 2 = 4k 2, pa je b 2 = 2k 2. Stoga je i b 2 paran broj, pa je i b paran broj. To znači da se razlomak a može skratiti s 2, no mi smo pretpostavili da je taj razlomak do kraja b skraćen. To znači da smo iz pretpostavke da je 2 racionalan broj valjanim zaključivanjem došli do proturječnosti ili kontradikcije. Valjanim zaključivanjem iz istinitih pretpostavki dobivamo istinite zaključke. Valjanim zaključivanjem moguće je dobiti proturječan zaključak samo ako je pretpostavka bila pogrešna. Dakle, 2 nije racionalni broj. Brojeve kojima možemo pridružiti točke brojevnog pravca, a nisu racionalni, zovemo iracionalni brojevi. Brojevni sustavi Svaki prirodni broj a možemo zapisati u obliku a = a n 10 n + a n 1 10 n a a a 0, pri čemu su a 0,...,a n {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, te a n > 0. Pritom pišemo a = a n a n 1... a 2 a 1 a 0 i kažemo da je broj a zapisan u dekadskom sustavu ili sustavu s bazom 10. Brojeve a 0,... a n zovemo znamenke broja a. 24

25 Ako umjesto baze 10 koristimo neku drugu bazu b N, pri čemu mora biti b > 1, onda kažemo da je broj zapisan u sustavu s bazom b. Osobito je važan sustav s bazom 2 ili binarni sustav, u kojem su sve znamenke nule i jedinice. Za broj a zapisan u sustavu s bazom b pišemo a = (a n a n 1... a 2 a 1 a 0 ) b. Primjer 42. Vrijedi: (1000) 2 = = 8 23 = = = (10111) 2 Decimalni brojevi Razlomak koji možemo proširiti tako da nazivnik bude jednak 10 n za neki n N, zapisujemo u obliku decimalnog broja s n znamenaka iza decimalnog zareza ili točke, koje zovemo decimale, a radi se o znamenkama brojnika u tako proširenom razlomku. Primjer 43. Vrijedi: 2 5 = 4 10 = 0, = = 0, = = 2 + 0,73 = 2,73 Ako se racionalni broj ne može zapisati u obliku razlomka čiji nazivnik je potencija broja 10, onda se on ne može zapisati kao decimalni broj s konačno mnogo decimala, ali se može zapisati kao periodički decimalni broj. Primjer 44. Vrijedi: 1 3 = 0, = 0, = 1, = 1,18 = 0, = 0, Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični decimalni brojevi. To znači da ih ne možemo zapisati točno, nego samo približno, zaokruživanjem na onoliko decimala koliku točnost želimo. 25

26 Primjer 45. Vrijedi: 2 = 1, ,41 3 = 1, ,73 π = 3, ,14 e = 2, ,72 Skup realnih brojeva Skup realnih brojeva R je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva. Svakom realnom broju pridružena je točka brojevnog pravca, i obrnuto. Sve računske operacije mogu se proširiti s Q na R tako da i dalje vrijede sva svojstva koja smo navodili. Dodatno, za svaki pozitivni realni broj i nulu postoji realan n-ti korijen, a ako je n neparan, onda je n-ti korijen svakog realnog broja realni broj. Takoder, usporedivanje brojeva možemo proširiti s Q na R. Apsolutna vrijednost ili modul realnog broja definira se na isti način kao za cijele brojeve. Omjeri, razmjeri, proporcionalnost Mjeru fizikalnih i drugih veličina kao što su duljina, površina, volumen, masa, vrijeme, brzina, temperatura i sl. izražavamo realnim brojevima i odgovarajućim mjernim jedinicama. Npr. duljina dijagonale kvadrata stranice 1 m je 2 m, a opseg kružnice promjera 1 cm je π cm. Kvocijent dvije veličine zovemo omjer. Jednakost dva omjera zovemo razmjer ili proporcija. Kažemo da su veličine a i b proporcionalne ako im je omjer konstantan, tj. ako je a : b uvijek jednak nekom konstantnom k R. Drugim riječima, ako se jedna od veličina poveća ili smanji x puta, onda se i druga poveća, odnosno smanji, x puta. Primjer 46. Duljina dijagonale i stranice kvadrata su proporcionalne veličine, jer je njihov omjer uvijek jednak 2. Opseg i promjer kružnice su proporcionalne veličine, jer je njihov omjer uvijek jednak π. Kažemo da su veličine a i b obrnuto proporcionalne ako im je umnožak konstantan, tj. ako je a b uvijek jednak nekom konstantnom k R. Drugim riječima, ako se jedna od veličina poveća x puta, onda se druga smanji x puta. 26

27 Primjer 47. Pretpostavimo da tijelo prevali put s jednolikom brzinom. Tada su brzina i vrijeme obrnuto proporcionalne veličine (njihov umnožak je s). Pravilo trojno je metoda nalaženja četvrte vrijednosti proporcionalnih ili obrnuto proporcionalnih veličina, ako su poznate tri. Primjer 48. Ako je cijena 3 kg mandarina 20 kn, odredimo cijenu 4 kg mandarina. Masa i cijena su proporcionalne, pa je omjer cijena jednak omjeru masa, tj. x : 20 = 4 : 3, gdje je x tražena cijena. Dakle x = 26, 6, odnosno zaokruženo na postojeće novčane jedinice 26 kn i 67 lp. Primjer 49. Ako automobil prevali neki put prosječnom brzinom 75 km/h za 2 sata, odredimo kolika prosječna brzina mu je potrebna da isti put prevali za 1,5 sati. Prosječna brzina i vrijeme su obrnuto proporcionalni: što je brzina veća, automobilu treba manje vremena da prevali dani put. Stoga je omjer brzina obrnut (recipročan) omjeru vremena, tj. x : 75 = 2 : 1,5, gdje je x tražena prosječna brzina. Dakle, x = 100 km/h. Postoci Za a R, umjesto a ponekad pišemo a% i čitamo a posto. Tako za 100 a broj x kažemo da je a% od x. 100 Primjer 50. Cijena cipela u rasprodaji je snižena s 300 kn za 25%. To znači da je cijena umanjena za 25% od 300, dakle za = 75, pa je nova 100 cijena = 225. Za originalnu cijenu od 300 kn, odredimo cijenu bez PDV-a, ako znamo da se PDV zaračunava 25% na cijenu bez PDV-a. To znači x+0,25 x = 300, gdje je x cijena bez PDV-a. Dobivamo x = 240. Uočimo razliku: iako se radi o istom postotku, u prvom slučaju je riječ o 25% od 300, a u drugom slučaju 25% od

28 7 Kompleksni brojevi Operacije s kompleksnim brojevima Skup kompleksnih brojeva je C = {a + bi : a,b R} i pritom vrijedi a+bi = c+di ako i samo ako je a = c i b = d. Broj a zovemo realni dio, a b imaginarni dio kompleksnog broja a+bi. Ako je b = 0, umjesto a + 0i pišemo a i na taj način smatramo da je R C. Slično, ako je a = 0, onda umjesto 0 + bi pišemo bi, te ako je b = 1, umjesto 1i pišemo i. Neka su a + bi i c + di kompleksni brojevi. Računske operacije s realnim brojevima proširujemo na kompleksne brojeve: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Pomoću zbrajanja i množenja mogu se na isti način kao prije definirati oduzimanje, dijeljenje, potenciranje i korjenovanje. Lako se dokazuje da zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva zadržavaju sva svojstva (komutativnost, asocijativnost, distributivnost, neutralne, suprotne i recipročne elemente). Osim toga, sada je moguće korjenovati bilo koji kompleksni broj, uključujući i negativne realne brojeve. Primjer 51. Izračunajmo i 2. Po definiciji potencije, to je i i. Po definiciji množenja, kako je ovdje a = c = 0 i b = d = 1, to je i i = 1 + 0i, tj. i 2 = 1. Stoga je po definiciji korijena 1 = i. Broj i zovemo imaginarna jedinica. Primjer 52. Vrijedi 16 = 16 ( 1) = 16 1 = 4i. Uočimo da nije potrebno pamtiti formulu za množenje kompleksnih brojeva: dovoljno je izmnožiti zagrade i primijeniti i 2 = 1. Primjer 53. (2 + 3i) (5 7i) = 10 14i + 15i 21i 2 = 10 + i + 21 = 31 + i. 28

29 Konjugirano-kompleksni brojevi Za brojeve a + bi i a bi kažemo da su konjugirano-kompleksni. Oni se pojavljuju kao rješenja kvadratne jednadžbe koja nema realna rješenja, a koriste se i prilikom dijeljenja kompleksnih brojeva. Primjer 54. Vrijedi 2 + 3i 5 7i = 2 + 3i 5 7i 5 + 7i 5 + 7i = i 74 = i. Sjetimo se da je i = 1 i uočimo da smo ovdje zapravo racionalizirali nazivnik i na taj način izračunali kvocijent. Modul kompleksnog broja Kompleksne brojeve prikazujemo u koordinatnom sustavu u ravnini. Broju a + bi pridružujemo točku (a,b). Tako je svakom kompleksnom broju pridružena jedna točka ravnine i obrnuto. U ishodištu je nula, a koordinatne osi zovemo realna i imaginarna os. Ravninu čijim točkama su na taj način pridruženi kompleksni brojevi zovemo Gaussova ravnina. Definicija 14. Neka je a + bi C. Pozitivnu vrijednost korijena a 2 + b 2 zovemo modul broja a + bi i pišemo a + bi = a 2 + b 2. Uočimo da za b = 0 dobivamo uobičajenu apsolutnu vrijednost realnog broja. Takoder, uočimo da je modul jednak udaljenosti broja od nule u Gaussovoj ravnini, slično kao što je modul realnog broja jednak udaljenosti broja od nule na brojevnom pravcu. Primjer 55. Vrijedi 3 + 4i = = 25 = 5. 29

30 8 Linearna funkcija Graf funkcije Podsjetimo se, funkcija f : A B svakom elementu skupa A (domene) pridružuje točno jedan element skupa B (kodomene). Za funkciju f : S R, pri čemu je S R kažemo da je realna funkcija realne varijable. Do kraja semestra ćemo se pobliže baviti samo takvim funkcijama. Stoga ćemo u nastavku, kad kažemo funkcija, uvijek podrazumijevati da se radi o realnoj funkciji realne varijable. Graf funkcije f : A B je {(x,f(x)) : x A}. Grafove realnih funkcija realne varijable prikazujemo u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Pritom je graf funkcije prikazan kao skup točaka (x,y) čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu y = f(x). Definicija 15. Neka su a,b R. Funkciju f : R R definiranu formulom zovemo linearna funkcija. f(x) = a x + b Ako je a = 0, radi se o funkciji f(x) = b, koju zovemo konstanta. Ako je b = 0, linearna funkcija f(x) = ax opisuje odnos proporcionalnih veličina. Naime, ako su x i y proporcionalne veličine, onda je njihov omjer y : x jednak nekoj konstanti a, dakle y = ax. Primjer 56. Za jednoliko gibanje po pravcu vrijedi s = v t, pri čemu je brzina v konstanta, pa su put s i vrijeme t proporcionalni. Za jednoliko ubrzano gibanje vrijedi v = a t, pri čemu je akceleracija a konstanta, pa su brzina v i vrijeme t proporcionalni. Za jednoliko ubrzano gibanje s akceleracijom a i početnom brzinom v 0 vrijedi v = at + v 0. Dakle, ovisnost brzine o vremenu opisana je linearnom funkcijom (pritom je b = v 0 ). Graf funkcije f(x) = ax je pravac koji prolazi kroz ishodište. Ako je a > 0, pravac leži u prvom i trećem kvadrantu, a ako je a < 0, pravac leži u drugom i četvrtom kvadrantu. Ako je a = 0, radi se o funkciji f(x) = 0 čiji graf je os x. Graf funkcije f(x) = ax + b je pravac paralelan s pravcem y = ax, koji siječe os y u točki (0,b). Broj a zovemo koeficijent smjera, a b odsječak na osi y. 30

31 Rast i pad funkcije Definicija 16. Za funkciju f kažemo da raste ako iz x 1 x 2 uvijek slijedi f(x 1 ) f(x 2 ), a da pada ako iz x 1 x 2 uvijek slijedi f(x 1 ) f(x 2 ). Linearna funkcija raste ako je a > 0, a pada ako je a < 0. Naime, ako nejednakost x 1 x 2 pomnožimo pozitivnim brojem a, onda vrijedi ax 1 ax 2. Medutim, ako je pomnožimo negativnim brojem a, onda se znak nejednakosti mijenja u suprotan, tj. vrijedi ax 1 ax 2. Dodavanjem bilo kojeg b R lijevoj i desnoj strani nejednadžbe znak nejednakosti se ne mijenja. Primjer 57. Funkcija f(x) = 2x 3 raste. Funkcija g(x) = 1 3 x + 2 pada. Nultočka funkcije Definicija 17. Neka je f funkcija. Broj x za koji vrijedi f(x) = 0 zovemo nultočka funkcije f. Primjer 58. Linearna funkcija f(x) = 2x 6 ima nultočku 3. Uočimo da se nultočka odreduje rješavanjem jednadžbe 2x 6 = 0. Linearna jednadžba Odredivanje nultočki linearne funkcije svodi se na rješavanje jednadžbe oblika ax + b = 0, koja se zove linearna jednadžba s jednom nepoznanicom. Primjer 59. Riješimo jednadžbu 2x x 2 2 = 5. Uočimo da to zaista jest linearna jednadžba, jer sredivanjem dobivamo 5x + 8 = 30. Rješenje je x =

32 9 Kvadratna funkcija i kvadratna jednadžba Kvadratna funkcija Definicija 18. Neka su a,b,c R i pritom a 0. Funkciju f : R R definiranu formulom f(x) = ax 2 + bx + c zovemo kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije je krivulja koju zovemo parabola. Uočimo da za a = 0 formula opisuje afinu funkciju, čiji graf je pravac. Zbog toga u definiciji kvadratne funkcije zahtijevamo a 0. Kvadratna funkcija nije ni rastuća ni padajuća na cijeloj domeni, nego mijenja rast u pad, odnosno pad u rast, u točki koju zovemo tjeme parabole. Primjer 60. Graf funkcije f(x) = x 2 je parabola s tjemenom u ishodištu. Ta funkcija pada za x < 0, a raste za x > 0. Graf funkcije g(x) = x 2 takoder ima tjeme u ishodištu, ali raste za x < 0, a pada za x > 0. Općenito, ako je a > 0, onda kvadratna funkcija pada do tjemena, a zatim raste (parabola je okrenuta prema gore ). Dakle, funkcija ima najmanju vrijednost u tjemenu. Ako je a < 0, onda vrijedi obratno (parabola je okrenuta prema dolje ). U ovom slučaju funkcija ima najveću vrijednost u tjemenu. Primjer 61. Odredimo najmanju vrijednost funkcije f(x) = 2x 2 + 3x + 5. Vrijedi f(x) = 2 (x ) ( x + 5 = 2 x + 3 ) 2 9 ( = 2 x + 3 ) Funkcija ima najmanju vrijednost kad je izraz u zagradi jednak nuli, dakle za x = 3 ( 4. Dakle, najmanja vrijednost funkcije je f 3 ) = Graf ( funkcije f je parabola s tjemenom 3 ) 4,31. 8 Kvadratna jednadžba Nultočke kvadratne funkcije odredujemo rješavanjem jednadžbe oblika ax 2 + bx + c = 0, 32

33 koju zovemo kvadratna jednadžba. Rješenja kvadratne jednadžbe dana su formulom x 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a Izraz D = b 2 4ac zovemo diskriminanta kvadratne jednadžbe. Ovisno o predznaku diskriminante, kvadratna jednadžba može imati dva različita realna rješenja, jedno (dvostruko) realno rješenje ili dva konjugirano-kompleksna rješenja. Drugim riječima, kvadratna funkcija može imati dvije nultočke, jednu nultočku (i to u tjemenu parabole) ili niti jednu nultočku (ako su rješenja konjugirano-kompleksna). Primjer 62. Odredimo nultočke funkcije iz prethodnog primjera, tj. riješimo jednadžbu 2x 2 + 3x + 5 = 0. Prema formuli, x 1,2 = 3 ± = 3 ± 31 4 = 3 4 ± 31 4 i. Rješenja su konjugirano-kompleksna, dakle funkcija nema nultočki. 33

34 10 Potencije i polinomi Potencije Definicija 19. Neka je n N. Funkciju f : R R definiranu formulom zovemo potencija. f(x) = x n Primjer 63. Potencija f(x) = x 3 je rastuća funkcija. Njezin graf je simetričan u odnosu na ishodište. Općenito, sve neparne potencije su rastuće funkcije. Parne potencije (npr. f(x) = x 2 ) padaju za x < 0, a rastu za x > 0. Polinomi Definicija 20. Neka su a 0,a 1,a 2,...,a n R. Funkciju f : R R definiranu formulom f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 zovemo polinom. Ako je a n 0, broj n zovemo stupanj polinoma. Funkciju f(x) = 0 zovemo nulpolinom i za nju ne definiramo stupanj. Brojevi a 0,a 1,...,a n zovu se koeficijenti polinoma. Primjer 64. Linearne funkcije (osim konstanti) su polinomi prvog stupnja. Kvadratne funkcije su polinomi drugog stupnja. Konstante su polinomi nultog stupnja, osim nulpolinoma za kojeg se stupanj ne definira. Potencije su polinomi (pritom je a n = 1 i a k = 0 za k < n). Napomena 15. Neka je f polinom stupnja n i g polinom stupnja m. Tada je u umnošku polinoma f i g najviša potencija x n x m = x n+m, dakle umnožak je polinom stupnja n + m. Ova tvrdnja vrijedi i za konstante, ali ne i za nulpolinom, jer je umnožak bilo kojeg polinoma s nulpolinomom jednak nulpolinomu. To je razlog zbog kojeg se stupanj nulpolinoma ne definira. Zbroj, razlika i umnožak dva polinoma je polinom. Medutim, dijeljenje polinoma nije uvijek moguće. Definicija 21. Kažemo da je polinom f djeljiv polinomom g ako postoji polinom q takav da vrijedi f(x) = q(x) g(x) za svaki x R. 34