ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Β. ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής Τηλ:

2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1) Π.-Χ. Γ. Βασιλείου Εφαρμοσμένος Μαθηματικός Προγραμματισμός, Εκδ Ζήτη, ) Γ. Πραστάκος, Διοικητική Επιστήμη: Λήψη επιχειρησιακών αποφάσεων στην κοινωνία της πληροφορίας, Εκδ. Σταμούλη, Hillier F.S., Lieberman G.J., Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Τεύχη 1 & 2, Εκδ. Παπαζήση, Γ. Πραστάκος, Διοικητική Επιστήμη: Λήψη επιχειρησιακών αποφάσεων στην κοινωνία της πληροφορίας, Εκδ. Σταμούλη, Winston W., Operations Research Applications and Algorithms, 3rd Edition, Duxbury Press, F. S. Hillier M. S. Hillier, Introduction to Management Science, 2nd edition, McGraw Hill, E.V. Denardo, Dynamic programming : models and applications, Englewood Cliffs, N.J. :Prentice-Hall, c1982,2003

3 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Η συνεισφορά της επιχειρησιακής έρευνας είναι η μαθηματική τυποποίηση προβλημάτων διοίκησης με σκοπό τη βελτιστοποίηση της διαδικασίας λήψης αποφάσεων υποκείμενης σε ρεαλιστικούς περιορισμούς Το μάθημα αυτό αναλύει την περιοχή του μαθηματικού προγραμματισμού με σκοπό να παρουσιάσει τεχνικές και μοντέλα που τυποποιούν προβλήματα παραγωγής, διαχείρισης - κατανομής πόρων, βελτιστοποίησης επενδυτικών αποφάσεων, προγραμματισμού εργασιών, διαχείρισης εφοδιαστικής αλυσίδας, κτλ.

4 ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή στο δυναμικό προγραμματισμό Στοιχειώδη προβλήματα διαδρομής- αντικατάστασης εργαλείων Στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Στοχαστικά προβλήματα αντικατάστασης και συντήρησης εργαλείων Κατανομή υλικού Γενικό πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής Το πρόβλημα του βέλτιστου φορτίου Το πρόβλημα του πλανόδιου εμπόρου Εισαγωγή στον ακέραιο προγραμματισμό Μέθοδος κλάδου και φραγής Μέθοδοι περιορισμού του εφικτού χώρου Προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού χωρίς περιορισμούς Προβλήματα μη γραμμικού προγραμματισμού με εξισωτικούς περιορισμούς Συνθήκες Kuhn-Tucker

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Τεχνική λήψης αποφάσεων στην οικονομία ή την διοίκηση επιχειρήσεων ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ : Η άριστη κατανομή περιορισμένων πόρων μεταξύ διαφόρων ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων κάτω από ορισμένες συνθήκες

6 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Μία βέλτιστη πολιτική έχει την ιδιότητα: οποιαδήποτε και αν είναι η αρχική κατάσταση και η αρχική απόφαση, οι υπόλοιπες αποφάσεις πρέπει να αποτελούν μια βέλτιστη πολιτική, σε σχέση με την κατάσταση η οποία προκύπτει από την πρώτη απόφαση

7 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Μ.Π. Ανάλυση Στόχος Διατύπωση Μοντέλου Επίλυση Ανάλυση (ευαισθησίας) της λύσης

8 ΜΟΝΤΕΛΟ Μ.Π. «Αντικειμενική Συνάρτηση» εκφράζει τον στόχο που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε Σύνολο Περιορισμών περιορισμοί δυναμικότητας, διαθεσιμότητας πόρων, τεχνολογίας κ.λ.π, οι οποίοι εκφράζουν τους περιορισμούς του περιβάλλοντος μέσα στο οποίο θα κινηθούμε

9 ΤΕΧΝΙΚΕΣ Μ.Π. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

10 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραμμικές αντικειμενικές συναρτήσεις Γραμμικοί περιορισμοί Οι μεταβλητές αποφάσεων να μπορούν να πάρουν όχι μόνο ακέραιες αλλά και δεκαδικές τιμές

11 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενδεικτικό Πρόβλημα Μία επιχείρηση τροφίμων κατασκευάζει δύο ειδών προϊόντα: τροφή για σκύλους, που αποτελείται από 1 κιλό δημητριακά για 1,5 κιλό κρέας ανά πακέτο, και τροφή για γάτες, που αποτελείται από 2 κιλά δημητριακά για 1 κιλό κρέας ανά πακέτο. Η τροφή για σκύλους παράγει κέρδος 0,56 το πακέτο, ενώ η τροφή για γάτες παράγει ένα κέρδος 0,42 το πακέτο. Η επιχείρηση αναζητεί να μεγιστοποιήσει το κέρδος της για το επόμενο μήνα γνωρίζοντας ότι θα έχει στην διάθεση της κιλά δημητριακά, κιλά κρέας και ότι δεν θα μπορέσει να παράγει πάνω από πακέτα τροφής για σκύλους.

12 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προσφέρει εναλλακτικό τρόπο επίλυσης προβλημάτων όταν το σύστημα εξελίσσεται χρονικά

13 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η μέθοδος του Δυναμικού Προγραμματισμού αναπτύχθηκε στις αρχές της δεκαετίας 1950 από τον εξέχοντα αμερικανό μαθηματικό R.E. Bellman Ο Δυναμικός Προγραμματισμός βασίζεται στην λεγόμενη Αρχή του Βέλτιστου που δεν είναι παρά μια απλούστατη και εύκολα κατανοητή ιδιότητα της λύσης προβλημάτων βέλτιστου ελέγχου. Οι συνέπειες όμως της ιδιότητας αυτής είναι σημαντικές και οδήγησαν σε μια οικογένεια αλγορίθμων για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής, αλλά και συνδυαστικής βελτιστοποίησης, τόσο αιτιοκρατικών, όσο και στοχαστικών.

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Δ.Π. Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής Πρόβλημα επενδύσεων Αντικατάσταση εργαλέιων Πρόβλημα αποφάσεων υπό συνθήκες αβεβαιότητας (διαδρομής,αντικατάστασης εργαλείων) Κατανομή υλικού Βέλτιστο φορτίο Πρόβλημα παραγωγής αποθεμάτων Χωροταξικό πρόβλημα

15 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενδεικτικό Πρόβλημα Έστω ότι διαθέτουμε ένα εργαλείο(π.χ. αυτοκίνητο) ηλικίας 2 χρόνων και έστω ότι θέλουμε να διαθέτουμε το εργαλείο αυτό για τα επόμενα Τ = 4 χρόνια. Μας δίνονται τα εξής στοιχεία k(t) το κόστος της χρήσης του εργαλείου για ένα χρόνο, όταν αυτό είναι ηλικίας t στην αρχή του χρόνου α(t) η τιμή αντικατάστασης που λαμβάνεται όταν ανταλλάσσουμε το εργαλείο, ηλικίας t στην αρχή του χρόνου με ένα καινούργιο την στιγμή που αρχίζει ο νέος χρόνος π(t) η τιμή πώλησης του εργαλείου στο τέλος του χρόνου Τ, όταν αυτό είναι ηλικίας t A η τιμή αγοράς ενός νέου εργαλείου Πόσες φορές και πότε, στην χρονική περίοδο Τ πρέπει να αντικαταστήσουμε το εργαλείο έτσι ώστε το συνολικό κόστος να είναι ελάχιστο ; Τα απαραίτητα δεδομένα του προβλήματος δίνονται στον παρακάτω πίνακα. t k(t) α(t) π(t) Α

16 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εφαρμόζεται όταν οι μεταβλητές αποφάσεων του προβλήματος μπορούν να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές ή όταν οι μεταβλητές αυτές αναπαριστούν αποφάσεις λογικής και όχι φυσικά μεγέθη

17 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Το μαθηματικό μοντέλο του ακέραιου προγραμματισμού είναι ακριβώς το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού µε τον επιπρόσθετο περιορισμό ότι όλες (γνήσιος ακέραιος προγραμματισμός) ή κάποιες (μικτός ακέραιος προγραμματισμός) μεταβλητές πρέπει να έχουν ακέραιες τιμές. Ο ακέραιος προγραμματισμός έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές και αποτελεί ένα ισχυρό πλαίσιο μοντελοποίησης που παρέχει μεγάλη ευελιξία στην έκφραση διακριτών προβλημάτων βελτιστοποίησης. Στον αντίποδα έχουμε το γεγονός ότι ο ακέραιος προγραμματισμός είναι ένα πολύ πιο δύσκολο πρόβλημα απ ότι ο γραμμικός.

18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Α.Π. Επιλογή επενδύσεων (λογικές μεταβλητές) Πρόβλημα με σταθερό κόστος ή/και εκπτώσεις Πρόβλημα διαχείρισης αποθεμάτων Προγραμματισμός παραγωγής με σταθερό κόστος Προβλήματα διαχείρισης εφοδιαστικής αλυσίδας Προβλήματα διανομών Πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων Προβλήματα διανομών και Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήματα Μεθοδολογία Διαδοχικών Προσεγγίσεων

19 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενδεικτικό Πρόβλημα Μία αυτοκινητοβιομηχανία θέλει να κατασκευάσει 3 διαφορετικούς τύπους αυτοκινήτων : μικρού, μεσαίου και μεγάλου μεγέθους. Οι πόροι (πρώτες ύλες και εργατοώρες) που απαιτούνται για την κατασκευή κάθε τύπου, καθώς και το κέρδος που προκύπτει από την κατασκευή τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Την συγκεκριμένη περίοδο η αυτοκινητοβιομηχανία έχει στην διάθεση της 6000 τόνους ατσάλι και εργατοώρες. Για την παραγωγή ενός τύπου αυτοκινήτου έτσι ώστε αυτή να είναι οικονομικά συμφέρουσα, πρέπει να κατασκευαστούν τουλάχιστον 1000 αυτοκίνητα αυτού του τύπου. Να κατασκευαστεί ένα πρόβλημα Ακεραίου Προγραμματισμού με σκοπό την αύξηση του κέρδους της αυτοκινητοβιομηχανίας από την παραγωγή των τριών τύπων αυτοκινήτων. ΠΌΡΟΙ ΤΎΠΟΣ ΑΥΤΟΚΙΝΉΤΟΥ ΜΙΚΡΟ ΜΕΣΑΙΟ ΜΕΓΑΛΟ Ατσάλι 1,5 τόνοι 3 τόνοι 5 τόνοι Εργατοώρες 30 ώρες 25 ώρες 40 ώρες Κέρδος ( )

20 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κάποιες από τις συναρτήσεις του προβλήματος, είτε οι αντικειμενικές συναρτήσεις είτε οι περιορισμοί είναι μη γραμμικές

21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μ.Γ.Π. Γενικό πρόβλημα Μ.Γ.Π. Πρόβλημα Μ.Γ.Π. χωρίς περιορισμούς Πρόβλημα Μ.Γ.Π. με περιορισμούς Πρόβλημα Μ.Γ.Π. με εξισωτικούς περιορισμούς Μέθοδος Lagrange Συνθήκες Kuhn Tucker Τετραγωνικός Προγραμματισμός

22 ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενδεικτικό Πρόβλημα Μια βιοτεχνία ξυλείας παράγει δύο διαφορετικά είδη ξύλινων δοκαριών (είδος Α και είδος Β). Για την παραγωγή του είδους Α χρειάζεται 1 ανθρωποώρα ημερησίως, ενώ για την παραγωγή του είδους Β χρειάζονται 4 ανθρωποώρες ημερησίως. Η δυναμικότητα της βιοτεχνίας ημερησίως είναι 40 ανθρωποώρες. Ο ιδιοκτήτης της βιοτεχνίας έχει υπολογίσει ότι το ημερήσιο 2 2 κέρδος της βιοτεχνίας δίνεται από την σχέση: 25x1 0.5x 30x2 x όπου x 1 και x 2 οι ποσότητες από κάθε είδος που παράγονται ημερησίως. Να βρεθούν οι ποσότητες x 1 και x 2 (x 1, x 2 0) που μεγιστοποιούν το ημερήσιο κέρδος της βιοτεχνίας όταν χρησιμοποιούνται ακριβώς όλες οι ανθρωποώρες. 1 2

23 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

24 ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα προβλήματα στα οποία ο ΔΠ έχει βρει μεγάλη εφαρμογή είναι εκείνα των οποίων η λύση παρουσιάζεται σαν ένα σύνολο από αλληλοεξαρτώμενες αποφάσεις Συχνά οι αποφάσεις αυτές είναι χρονικά συνεχόμενες, εκφράζοντας την ίδια πολιτική ή αποβλέποντας στον ίδιο στόχο Ακόμα και όταν οι αποφάσεις δεν είναι χρονικά συνεχόμενες, ο ΔΠ διευκολύνει την εύρεση λύσης αν μεταχειριστούμε το πρόβλημα σαν να ήταν χρονικά συνεχόμενες οι αποφάσεις Ο ΔΠ δεν είναι μία συγκεκριμένη μέθοδος που μπορεί να εφαρμοστεί ακολουθώντας ορισμένα βήματα Είναι μία γενική αρχή, ένας τρόπος αντιμετώπισης προβλημάτων Προβλήματα στα οποία συνεισφέρει σημαντικά η μέθοδος του ΔΠ: a) Συνδυαστικά προβλήματα ΑΠ b) Προβλήματα με μη γραμμική αντικειμενική συνάρτηση c) Προβλήματα με πιθανοτικά αποτελέσματα

25 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Το πρόβλημα διαιρείται σε στάδια και στο κάθε στάδιο λαμβάνεται μία απόφαση Σε κάθε στάδιο αντιστοιχεί ένας αριθμός καταστάσεων Το αποτέλεσμα της απόφασης σε κάθε στάδιο είναι η μετατροπή της τρέχουσας κατάστασης σε μία κατάσταση συνδεδεμένη με το επόμενο στάδιο Με δεδομένη την τρέχουσα κατάσταση μία άριστη (βέλτιστη) πολιτική για τα υπόλοιπα στάδια είναι ανεξάρτητη της πολιτικής που υιοθετήθηκε στα προηγούμενα στάδια

26 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Η διαδικασία επίλυσης αρχίζει με την εύρεση της βέλτιστης πολιτικής για κάθε κατάσταση του τελευταίου σταδίου (ή του πρώτου σταδίου) Υπάρχει μία αναδρομική σχέση που προσδιορίζει την βέλτιστη πολιτική για κάθε κατάσταση σε κάποιο στάδιο ν, με δεδομένη την βέλτιστη πολιτική για κάθε κατάσταση στο στάδιο ν + 1 (ή με δεδομένη την βέλτιστη πολιτική για κάθε κατάσταση στο στάδιο ν - 1 ) Χρησιμοποιώντας την αναδρομική σχέση, η διαδικασία επίλυσης προχωράει προς τα πίσω (ή προς τα εμπρός) στάδιο με στάδιο, κάθε φορά βρίσκοντας την βέλτιστη πολιτική για κάθε κατάσταση του σταδίου μέχρι να βρεθεί η βέλτιστη πολιτική για το αρχικό στάδιο (ή για το τελικό στάδιο )

27 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Δ.Π. Στα προσδιοριστικά μοντέλα η κατάσταση του επόμενου σταδίου προσδιορίζεται πλήρως από την κατάσταση και την πολιτική του τρέχοντος σταδίου. Στάδιο ν Στάδιο ν + 1 Κατάσταση : Σ ν Σ ν+1 (, x ) Συνεισφορά της πολιτικής x ν 1 1 ( )

28 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Δ.Π. Η κατάσταση στο επόμενο στάδιο δεν προσδιορίζεται πλήρως από την κατάσταση στο τρέχον στάδιο. Υπάρχει μια κατανομή πιθανότητας για το τι θα είναι η επόμενη κατάσταση. Ωστόσο αυτή η κατανομή πιθανότητας προσδιορίζεται πλήρως από την κατάσταση και την απόφαση στο τρέχον στάδιο

29 ... ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Δ.Π. Στάδιο Στάδιο ν Πιθανότητα Συνεισφορά από το στάδιο ν ν C 1 1 (1) Κατάσταση : Σ ν Απόφαση (, x ) x ν p 1 p 2 p n C 2... C n (2) N ( N) 1

30 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Στοιχειώδη Προβλήματα Διαδρομής Κλασσικές εφαρμογές της μεθοδολογίας του Δ.Π. Εύρεση της βέλτιστης διαδρομής Α 2 4 Β 6 C E F H 3 J D G 3 I 4

31 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Αντικατάσταση Εργαλείων Έστω ένα αυτοκίνητο το οποίο χάνει την λειτουργικότητα του με τον καιρό και έστω ότι πρέπει να το διατηρήσουμε στην κατοχή μας για τις επόμενες Τ χρονικές στιγμές Εάν στο ενδιάμεσο διάστημα το αντικαταστήσουμε θα λάβουμε την αξία του ανάλογα με την ηλικία του Μετά από Τ χρονικές στιγμές το πουλάμε και παίρνουμε την αξία του ανάλογα με την ηλικία του Έστω ότι κόστος λειτουργίας = f(ηλικίας) Πρόβλημα: αν και ποιά χρονική στιγμή πρέπει να το αντικαταστήσουμε έτσι ώστε το ολικό κόστος να είναι ελάχιστο

32 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Στοχαστικά Προβλήματα Διαδρομής Δεν υπάρχει βεβαιότητα για την εξέλιξη του προβλήματος Έστω ότι θέλουμε να φτάσουμε από το Α στην ευθεία Β Αν δώσουμε σε κάποιον τις οδηγίες για το ποια είναι η βέλτιστη διαδρομή, τότε για οποιανδήποτε λόγο, σε κάθε κόμβο είτε ακολουθεί την σωστή κατεύθυνση με πιθανότητα p είτε την λανθασμένη με πιθανότητα 1-p Πρόβλημα: ποια είναι η πολιτική που πρέπει να προτιμηθεί έτσι ώστε το αναμενόμενο κόστος να είναι ελάχιστο ; Α Β

33 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Στοχαστικά Προβλήματα Αντικατάστασης Εργαλείων Το προηγούμενο πρόβλημα γίνεται στοχαστικό αν : (i) Ο χρόνος χρήσης του εργαλείου, έστω Τ είναι μια τ.μ. (ii) Το κόστος χρήσης σε κάθε περίοδο είναι επίσης μία τ.μ. (iii) Υπάρχει το ενδεχόμενο καταστροφής του εργαλείου και κατά συνέπεια αντικατάστασης του Πρόβλημα: ποια είναι η πολιτική που πρέπει να προτιμηθεί έτσι ώστε το αναμενόμενο κόστος να είναι ελάχιστο ;

34 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Προβλήματα Κατανομής Υλικού Έστω Υ μονάδες από κάποιο υλικό και έστω ότι έχουμε να το μοιράσουμε σε Κ δραστηριότητες Για κάθε ποσότητα y = 1,2,,Y που τοποθετείται στην δραστηριότητα i έχουμε σαν επιστροφή f i (y) μια γνωστή αύξουσα συνάρτηση Πρόβλημα: να μοιράσουμε το υλικό στις διάφορες δραστηριότητες έτσι ώστε η επιστροφή να είναι μέγιστη 1 2 k max F( y) F( y, y,..., y ) f ( y ) k i i i 1 y i Y

35 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Δ.Π. Προβλήματα Βέλτιστου Φορτίου Έστω W το μέγιστο δυνατό φορτίο που μπορεί να μεταφέρει ένα μεταφορικό μέσο Έστω n είδη αντικειμένων τα οποία θέλουμε να μεταφέρουμε Έστω u i η αξία του ενός κομματιού από το είδος i και w i το βάρος του Έστω ακόμα x i (i = 1,2,,n) τα κομμάτια του είδους i που θα πρέπει να φορτώσουμε x i ακέραιοι ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα Πρόβλημα: να επιλέξουμε τα x i έτσι ώστε η αξία του φορτίου να είναι μέγιστη max x, x,..., x 1 2 n i 1 i n x w i n i 1 W xu i i

36 Α 1 0 C D ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ Δ.Π H E L F G y = I J 4 2 K M N O P x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 x = B Κατάσταση y = 2 y = 1 y = 0 y = -1 y = -2 y = -3 φάση

37 ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ Δ.Π. Θα λύσουμε το πρόβλημα με την μέθοδο του Δ.Π. Ορίζουμε f(x,y) = {η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μεταξύ του κόμβου (x,y) και του κόμβου (6,0) } Η μεθοδολογία του Δ.Π. βασίζεται στην αρχή (αξίωμα) της βελτιστοποίησης Αρχή Βελτιστοποίησης Μια βέλτιστη πολιτική έχει την ιδιότητα, οποιαδήποτε και αν είναι η αρχική κατάσταση και η αρχική απόφαση, οι υπόλοιπες αποφάσεις πρέπει να αποτελούν μια βέλτιστη πολιτική, σε σχέση με την κατάσταση η οποία προκύπτει από την πρώτη απόφαση

38 ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ Δ.Π. Τι σημαίνει η αρχή της βελτιστοποίησης ; Σε ποιους υπολογισμούς ανάγεται η όλη διαδικασία; Πρέπει να ορίσουμε την αντικειμενική συνάρτηση Πρέπει να ορίσουμε αρχικές συνθήκες Πρέπει να ορίσουμε στάδια και καταστάσεις Πρέπει να ορίσουμε την συνάρτηση βέλτιστης πολιτικής για κάθε κατάσταση Καταλήγουμε στην βέλτιστη πολιτική για το συγκεκριμένο πρόβλημα

39 ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ Δ.Π. Σε πόσα στάδια χωρίζεται το πρόβλημα ; x = 6, 5, 4, 3, 2, 1 Ποιες είναι οι καταστάσεις του προβλήματος ; κάθε κόμβος (x,y) Ποιες είναι οι αρχικές συνθήκες του προβλήματος και τι εκφράζουν ; f(6,0) = 0 Συμβολισμοί α(x,y) κίνηση αριστερά δ(x,y) κίνηση δεξιά ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( x, y) min{ a( x, y) f ( x 1, y 1), (x,y) + f ( x 1, y 1) }

40 ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ Δ.Π. Επίλυση Αρχικές Συνθήκες Αρχικές Συνθήκες : f (6, 0) 0 - Για x = 5 - Για x 5 f (5,1) 2 f (5, 1) 1 π(5,1) = (6,0) π(5,-1) = (6,0) - Για x = 4 - Για x 4 f(4, 2) 5 f(5,1) 7 π(4,2) = (5,1) f (4, 0) min{2 f (5,1), 8 f ( 5, 1)} 4 π(4,0) = (5,1) f(4, 2) 4 f(5, 1) 5 π(4,-2) = (5,-1) - Για x = 3 - Για x 3 f(3, 3) 3 f(4, 2) 10 π(3,3) = (4,2) f (3,1) min{3 f (4,2),4 f (4,0)} 8 π(3,1) = (4,0) f (3, 1) min{2 f (4,0),2 f (4, 2)} 6 π(3,-1) = (4,0) f(3, 3) 2 f(4, 2) 7 π(3,-3) = (4,-2)

41 ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ Δ.Π. - - Για xx = 2 f (2,2) min{2 f (3,3),1 f (3,1)} 9 π(2,2) = (3,1) f (2,0) min{1 f (3,1),2 f (3, 1)} 8 π(2,0) = (3,-1) f (2, 2) min{5 f (3, 1),4 f (3, 3)} 11 π(2,-2) = (3,-1) ή (3,-3) - Για - Για xx = 1 f (1,1) min{5 f (2, 2), 4 f (2, 0 )} 12 π(1,1) = (2,0) f (1, 1) min{7 f (2,0),3 f (2, 2)} 14 π(1,-1) = (2,-2) - Γ - ι Για α x x = 0 f (0, 0) min{1 f (1,1), 0 f (1, 1)} 13 Βέλτιστο Κόστος f(0,0) = 13 Βέλτιστη Πολιτική π(0,0) = (1,1) (0,0) (1,1) (2,0) (3,-1) (4,0) (5,1) (6,0)