Λύσεις. ΘΕΜΑ Α A1. Απόδειξη σελ. 144 Α2. Α. ii. B. iv A3. Ορισμός σελ. 162 Α4. i. Λ ii. Σ iii. Λ iv. Σ v. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Transcript

1 ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σελ. 44 Α. Α. ii. B. iv A3. Ορισμός σελ. 6 Α4. i. Λ ii. Σ iii. Λ iv. Σ v. Σ Λύσεις ΘΕΜΑ Β Β. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν < τότε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου δίνεται από τον τύπο: ff() = (AAAA) (MMMM) με ΑΑΑΑ = και MMMM =, αφού τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΒΕ είναι όμοια και ΑΑΑΑ = ΜΜΜΜ = MMMM MMMM = ΑΑΑΑ ΒΒΒΒ Άρα ff() = =, για < Αν < 3 τότε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου δίνεται από τον τύπο: ff() = (ΑΑΑΑΑΑ) + (ΒΒΒΒΒΒΒΒ) με (ΑΑΑΑΑΑ) = (ΑΑΑΑ) (ΒΒΒΒ) = = και (ΒΒΒΒΒΒΒΒ) = (ΒΒΒΒ) (ΜΜΜΜ) = ( ) Άρα ff() = + =, για < 3 Τελικά ff() =, <, < 3 ΤΕΛΟΣ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

2 ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ Β. Η ff στα διαστήματα, και (,3] είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο σημείο αλλαγής τύπου οο =. ff() = + +( ) = ff() = = ff() = Άρα ff() = + ff() = ff() και η συνάρτηση ff είναι συνεχής και στο οο = Επομένως η ff είναι συνεχής στο, 3 Επίσης η ff είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με ff () = και στο (,3) με ff () = Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα στο σημείο αλλαγής τύπου =. ff() ff() + ff() ff() ff() ff() Άρα + ( ) = = = + + = = ( )(+) = ( + ) = ff() ff() ff() ff() = = = και επομένως ff παραγωγίσιμη και στο οο = με παράγωγο ffʹ() = Τελικά ff παραγωγίσιμη στο, 3 και ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο, 3 Β3. i) Η ff παραγωγίσιμη στο =, άρα έχει εφαπτομένη σ αυτό που δίνεται από τον τύπο: yy ff() = ff ()( ), δηλαδή yy = ( ) yy = ii) Αν ΚΚ οο, ff( οο ) το σημείο επαφής της εφαπτομένης (εε) με τη CC ff. Τότε: (εε): yy ff( οο ) = ff ( οο )( οο ) Όμως ΜΜ, 4 (εε) 4 ff( οο) = ff ( οο )( οο ) 4 + ff( οο) = ff ( οο ) οο Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν < τότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται: 4 + οο = οο οο οο = 4 οο = Άρα (εε): yy ff = ff yy 4 = yy = 4 ΤΕΛΟΣ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

3 ΑΡΧΗ 3 ης ΣΕΛΙΔΑΣ Αν < 3 τότε έχουμε: 4 + οο = οο = 4 Αδύνατο Τελικά η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης CC ff της ff η οποία διέρχεται από το σημείο ΜΜ, 4 είναι η (εε): yy = 4 Β4. Είναι gg() = llllll, με ΑΑ gg = (, + ). Για να ορίζεται η συνάρτηση ffffff πρέπει: ΑΑ gg και gg() ΑΑ ff Δηλαδή: > και < llllll 3 llll < llllll llllee 3 llllll < ee 3. Άρα AA ffffff = (, ee 3 ] και ο τύπος είναι: (ffffff)() = ff gg() = ln, < ee llllll, ee < ee 3 Για το ζητούμενο όριο έχουμε: = + ff gg() + ln ln > κοντά στο. = +, αφού + ln = και Β5. Για (,] ορίζω τη συνάρτηση tt() = ff() h() tt() = ee Είναι: tt() = + +( ee ) = < και επομένως υπάρχει αα >, κοντά στο τέτοιο, ώστε tt(aa) <. H tt είναι συνεχής στο [αα, ] (,] ως διαφορά συνεχών και tt(aa) tt() <, αφού tt(aa) < και tt() = ee >. Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano και θα υπάρχει οο (αα, ) (,) τέτοιο, ώστε: tt( οο ) = ff( οο ) h( οο ) = ff( οο ) = h( οο ). Δηλαδή υπάρχει σημείο ΜΜ( oo, yy oo ) με oo (,) στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ff και h Σημείωση: Την ύπαρξη της ρίζας θα μπορούσαμε να την αποδείξουμε και με το σύνολο τιμών της tt στο διάστημα (,] ΤΕΛΟΣ 3 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Έχουμε ότι ff() = + ηηηη Όμως ηηηη = + + Συνεπώς ff() = = Για < < ηηηη χχ ff () = ff () = ( llllll) ΑΡΧΗ 4 ης ΣΕΛΙΔΑΣ θθθθθθθθθθθθθθ = uu + άρρρρ uu = = ηηηηuu = uu uu Συνεπώς υπάρχει σταθερά CC IIII τέτοια ώστε ff() = llllll + CC Για > : ff () = ff () = (llllll) Συνεπώς υπάρχει σταθερά CC IIII τέτοια ώστε ff() = llllll + CC llllll + CC, γγγγγγ < χχ < Άρα ff() =, γγγγγγ χχ = llllll + CC, γγγγγγ χχ > Όμως ff συνεχής στο (, + ), συνεπώς και στο : ff() = ff() = ff() + ( llllll + CC ) = + (llllll + CC ) = Άρα ff() = llllll για κάθε > CC = CC = Για llllll και η ff() = llllll Άρα gg(llllll + ) = για κάθε Θέτουμε llllll + = uu = ee uu με uu Άρα gg(uu) = (uu )ee uu με uu Δηλ. gg() = ( )ee με ΤΕΛΟΣ 4 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

5 Γ. i. ΑΡΧΗ 5 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ii. Η ff δεν είναι παραγωγίσιμη στο διότι: ff() ff() llllll = ff() ff() llllll = + + = DDDDDD = DDDDDD = + = Άρα το κρίσιμο σημείο είναι το, ff() στο οποίο η ff δεν παραγωγίζεται. Επιπλέον η ff () για κάθε IIII, συνεπώς έχει μοναδικό κρίσιμο σημείο στο. Η ff παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το ff() =, διότι είναι συνεχής και ισχύει ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) iii. Για > : Έστω (ε) η εφαπτομένη στο σημείο, ff( ) Δηλ. yy ff( ) = ff ( )( ) yy llll = ( ) Διέρχεται από το (,) συνεπώς: llll = ( ) llll = = ee Και η εφαπτομένη συνεπώς είναι η : yy ff(ee) = ff (ee)( ee) yy = ee Για << : Έστω (ε) η εφαπτομένη στο σημείο, ff( ) ΤΕΛΟΣ 5 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

6 ΑΡΧΗ 6 ης ΣΕΛΙΔΑΣ Δηλ. yy ff( ) = ff ( )( ) yy + llll = ( ) Διέρχεται από το (,) συνεπώς: llll = ( ) llll = = ee αδύνατο διότι < Γ3. Λύνουμε την εξίσωση: llllll = llll ln = llll = Λύνουμε την εξίσωση: llllll = llll = Χρησιμοποιώντας τις γραφικές παραστάσεις το ζητούμενο εμβαδόν είναι το: ΕΕ(ΩΩ) = / (llll + llllll)dddd + (llll llllll)dddd = = () (llll + llllll)dddd + () (llll llllll)dddd / = = [(llll + llllll)] dddd + [(llll llllll)] ( )dddd = = = ΤΕΛΟΣ 6 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

7 ΑΡΧΗ 7 ης ΣΕΛΙΔΑΣ Γ4. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη για με: gg () = ee + ( )ee = ee > Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς - Από την εξίσωση έχουμε : gg llllee ee + = gg() llll ee ee + = eeeeeeee ee = llllll = ( )ee ff() = gg() Άρα ψάχνουμε να βρούμε τα κοινά σημεία των CC ff, CC gg για Έστω συνάρτηση h() = ff() gg() μμμμ [, + ) Προφανής ρίζα της h είναι το, δηλ. h() = Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη για με: h () = = ee γγγγγγ Έστω συνάρτηση φφ() = ee, φφ () = ee ee = ( + )ee < γγγγγγ κκάθθθθ Άρα η συνάρτηση φ είναι γνησίως φθίνουσα: Για φφ() Συνεπώς η h () = φφ() και μηδενίζεται μόνο για την διακεκριμένη τιμή =. Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) και η μοναδική της ρίζα είναι το = που είναι και η λύση της αρχικής εξίσωσης. Γ5. Αρκεί ν.δ.ο. : 3 gg() ee dddd ee ee < gg() ee dddd 4 3 3ee 3 ee ΤΕΛΟΣ 7 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

8 3 ΑΡΧΗ 8 ης ΣΕΛΙΔΑΣ 4 3 ff gg() gg ()dddd ee < ff gg() gg ()dddd ee 3ee 3 ee Θέτουμε και στα δύο ολοκληρώματα όπου gg() = uu gg ()dddd = dddd Για = uu = ee Για = 3 uu = ee Για = 4 uu = 3ee 3 Οπότε έχουμε: ee ff(uu)dddd ee ee < 3ee 3 ee ff(uu)dddd ee 3ee 3 ee Έστω F μια παράγουσα της f στο (, + ) Η F είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα [ee, ee ] κκκκκκ [ee, 3ee 3 ] H F είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα (ee, ee ) κκκκκκ (ee, 3ee 3 ) με FF () = ff() = llllll εφόσον > Λόγω Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ξξ (ee, ee ) κκκκκκ ξξ (ee, 3ee 3 ) ώστε: FF (ξξ ) = ff(ξξ ) = FF(ee ) FF(ee) ee ee = ee ee ff(uu)dddd ee ee FF (ξξ ) = ff(ξξ ) = FF(3ee3 ) FF(ee ) 3ee 3 ee = 3ee 3 ee ff(uu)dddd 3ee 3 ee Όμως ξξ < ξξ llllll γγγγ.ααύξξξξξξξξξξ ff(ξξ ) < ff(ξξ ) ee ee ff(uu)dddd ee ee < 3ee 3 ee ff(uu)dddd 3ee 3 ee ΘΕΜΑ Δ Δ. α. Για yy έχουμε: ( y) y Λύση h ( ) hy ( ) h ( ) hy ( ) h ( ) hy ( ) y y y y h ( ) hy ( ) y y 8 8 h ( ) h( ) H () για y = δίνει: ΤΕΛΟΣ 8 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ ()

9 ΑΡΧΗ 9 ης ΣΕΛΙΔΑΣ Τότε: = και = 8 8 Οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής: h ( ) h( ) = h ( ) = για εεr. Άρα h () = για εεr. Επομένως η h() είναι σταθερή συνάρτηση με h() = c, cϵr. β. Όμως h() = c =. Τότε h() = για ϵr και έχουμε: e e e h() = f () = f () f () = + e + e + e + f () = (ln( e + ) + )' f() = ln( e + ) + + c Η τελευταία ισότητα για = δίνει: f()=ln +c ln = ln + c c = Επομένως ff() = llll(ee + ) +, R. Δ. α. Έχουμε: e f () = + >, χϵr e + Άρα ff είναι γνησίως αύξουσα στο R, επομένως είναι και -, οπότε είναι αντιστρέψιμη. Επιπλέον: e ( e + ) e e e + e e e f () = = = > ( e + ) ( e + ) ( e + ) Άρα η f είναι κυρτή στο R. β. Αφού η f είναι αντιστρέψιμη ισχύει ότι: f ( f()) =, εεr και επειδή η ff είναι παραγωγίσιμη, η f ( f()) είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Άρα με παραγώγιση της τελευταίας ισότητας παίρνουμε: ( ) f '() > f ( f()) = () ( f ) ( f( )) f () = ( f ) ( f( )) =, εεr. f '( ) Άρα: ΤΕΛΟΣ 9 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

10 ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ e e e Ι = + e f '() + e e + e + e + ( f ) ( f ()) d = d = χ e e + e e e + = d = d e e e ( e ) e = d e + e + e + e e = ln( ) ln( ) ln 3 d = d = e + = e + e + e + Δ3. Έχουμε: f() = (ln( e + ) + ) = διότι: (ln( e + )) = ln = και = Άρρρρ ff (, ) = (, llll) Αφού ϵ ff (, ) και η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, η εξίσωση ff() =, έχει μοναδική ρίζα <. Ακόμα: () = () g d e g d e d ( g () e g () e ) d = g () d e g () d + e d = ( g () e ) + d = Έστω ότι η συνάρτηση gg () ee δεν είναι παντού για εε[,], τότε επειδή (gg () ee ) θα ισχύει: ( ) g () e d > Άτοπο. d Επομένως gg () ee = gg () = ee, [,] () Τότε: gg() = gg () = ee = ΑΑΑΑύνννννννν Άρα g() και g συνεχής στο [,], οπότε η g θα διατηρεί το πρόσημό της στο [,]. Άρα: () g() = e χ g() = e χ, ϵ[,], διότι g() > και e χ <, αφού < και e χ < και g() <. ΤΕΛΟΣ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ

11 Οπότε ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ () () = ( ) ( e (ln( e ) ) = ln( e e ) e) ) ( e ln( e ) ) d ( e ) d f g d d d Ι = τότε: = + ( e ln( e ) ) = (( e ) ln( e ) ) = ( e ) ln( e ) d d d = και ( ) ( ) = ( e+ ) ln( e+ ) ln [] = ( e+ ) ln( e+ ) ln d = d = e e e e e = e e+ = Άρα Ι = (e+)ln(e+) + ln+ = (e+)ln(e+) + ln Δ4. Για > έχουμε: ff ΚΚ() = llllll + llll( ) ff(κκ()) = llll(ee llll( ) + ) + llll( ) ff ΚΚ() = ff(llll( )) KK() = llll( ), για > αφού η ff είναι -. ΤΕΛΟΣ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ Τηλ