10 ο Μάθημα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης. Δυναμική περιστροφής γύρω από ακλόνητο άξονα Περιστροφή γύρω από κινούμενο άξονα

Transcript

1 10 ο Μάθημα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Δυναμική περιστροφής γύρω από ακλόνητο άξονα Περιστροφή γύρω από κινούμενο άξονα

2 1 ος τρόπος: Δυναμική περιστροφικής κίνησης τ = Iα γ Αβαρές μη εκτατό σκοινί τυλίγεται γύρω από κύλινδρο μάζας 50kgr και διαμέτρου 1cm που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο άξονα. Αν τραβήξουμε το σκοινί με σταθερή δύναμη 9Ν για m χωρίς αυτό να ολισθαίνει στον κύλινδρο βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου αν αυτός αρχικά ηρεμούσε και την ταχύτητα του σκοινιού (0,06 ) 0,09 I = MR I = kgr m I = kgr m o = R F = RF sin(90 ) = 0, 06m9N = 0,54Nm τ τ τ τ τ 0,54Nm α γ = α 6 rad / s I γ = α 0,09kgr m γ = ϑ = s m R = 0,06m = 33,3rad o ω = ω + αϑ ω= αϑ ω= 0 rad / s υ = ωr = (0 rad / s)0, 06m = 1, m / s γ γ

3 ος τρόπος: Περιστροφική κίνηση Θεώρημα έργου ενέργειας 1 Fs K = WF Iω 0 = Fs ω = Αλλά I 1 1 I = MR I = 50 kgr (0,06 m ) I = 0,09 kgr m Fs 9 N m ω = = = 0 rad / s I 0,09kgr m Αβαρές μη εκτατό σκοινί τυλίγεται γύρω από κύλινδρο μάζας 50kgr και διαμέτρου 1cm που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο άξονα. Αν τραβήξουμε το σκοινί με σταθερή δύναμη 9Ν για m χωρίς αυτό να ολισθαίνει στον κύλινδρο βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου αν αυτός αρχικά ηρεμούσε και την ταχύτητα του σκοινιού. υ = ωr = (0 rad / s)0, 06m = 1, m / s

4 Αφήνουμε το διπλανό σύστημα από ισορροπία. Το σκοινί δε γλιστρά και δεν υπάρχουν τριβές κατά την περιστροφή της τροχαλίας. Αν m 1 >m βρείτε ποια η σχέση των δύο τάσεων του νήματος. τ mg T > T 1 1 > mg συν = Iαγ οπότε τ1 > τ TR 1 > TR T1 > T

5 Τροχαλία Δύναμη F T =15N ασκείται σε σκοινί τυλιγμένο σε τροχαλία μάζας 4kgr και ακτίνας 33cm. Η τροχαλία επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση από ηρεμία σε 30rad/s σε 3s. Αν η ροπή των τριβών στον άξονα περιστροφής είναι 1,1Nm βρείτε τη ροπή αδράνειας της τροχαλίας. Συνισταμένη ροπή όλων των δυνάμεων: τσυν = F R τ = 15N0,33m 1,1Nm = 3,85Nm T fr τ συν = Iα ω ωo 30 rad / s 0 ω = ωo + α γ t α γ = α 10 rad / s t γ = α 3s γ = τσυν 3,85Nm I = I = I = 0,385kgr m α 10 rad / s γ γ

6 Δυναμική περιστροφικής κίνησης Γνωρίζουμε τις μάζες m 1 και m καθώς και την μάζα M της τροχαλίας και την ακτίνα της R. Βρείτε την επιτάχυνση της m 1 καθώς και τις τάσεις Τ 1 και Τ. T = ma Αλλά a1 = a T = ma mg T= ma 1 mg T = ma

7 Δυναμική περιστροφικής κίνησης Γνωρίζουμε τις μάζες m 1 και m καθώς και την μάζα M της τροχαλίας και την ακτίνα της R. Βρείτε την επιτάχυνση της m 1 καθώς και τις τάσεις Τ 1 και Τ. 1 = αγ 1 = αγ 1 = αγ T R T R I T R T R MR T T MR Αλλά a1 = a = α γ R οπότε T T1 = Ma1 T = ma mg T = ma 1 T T1 = Ma1 Προσθέτοντας κατά μέλη

8 Δυναμική περιστροφικής κίνησης Γνωρίζουμε τις μάζες m 1 και m καθώς και την μάζα M της τροχαλίας και την ακτίνα της R. Βρείτε την επιτάχυνση της m 1 καθώς και τις τάσεις Τ 1 και Τ. Αν Μ=0 και m 1 >>>m a 1 = mg m 1 T1 = T = mg

9 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Για συνεχή κατανομή μάζας έχουμε: I = r dm

10 Περιστροφή γύρω από κινούμενο άξονα Μεταφορά + περιστροφή σώματος γύρω από άξονα συμμετρίας που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Πρακτικά έχουμε συνδυασμό δύο κινήσεων: Μεταφορά κέντρου μάζας (ξέρουμε να περιγράφουμε κίνηση υλικού σημείου) Περιστροφή σώματος γύρω από άξονα (ξέρουμε να περιγράφουμε περιστροφική κίνηση γύρω από ακλόνητο άξονα περιστροφής)

11 Περιστροφή γύρω από κινούμενο άξονα Μεταφορά + περιστροφή σώματος γύρω από άξονα συμμετρίας που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Μεταφορική κίνηση: Περιστροφική κίνηση: F συν = τ συν ma cm = Iα γ

12 Κύλιση χωρίς ολίσθηση κινητική ενέργεια Έστω κύλινδρος που κυλά χωρίς να ολισθαίνει.

13 Κύλιση χωρίς ολίσθηση κινητική ενέργεια Έστω κύλινδρος που κυλά χωρίς να ολισθαίνει. 1 K = I(1) ω K = I + MR K = I + M I = I + MR (1) cm cmω ω cmω υcm

14 Γιο γιο (Υο Υο) ένα αρχαίο παιχνίδι 500π.χ.

15 Περιστροφική κίνηση Για το γιο γιο του σχήματος βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του στη θέση. (θεωρήστε το κυλινδρικό). Λόγω διατήρησης της μηχανικής ενέργειας: U1+ K1 = U + K U1 = Mgh U = 0 K 1 = υ 3 K = Mυ + I ω = Mυ + MR = Mυ R 4 Άρα: cm cm cm cm ( )( ) cm 3 4 Mgh = Mυcm υcm = gh 4 3

16 Περιστροφική κίνηση Αφού το νήμα ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση: Παραγωγίζοντας: Mg T = Ma cm 1 TR = MRα cm Πλήρης ανάλυση κίνησης για το γιο γιο του σχήματος με τη βοήθεια δυνάμεων (θεωρήστε το κυλινδρικό). Βρείτε την τάση του νήματος και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας. F Ma Mg T Ma συν = cm = cm 1 συν = I γ TR = MR γ τ α α υ = ωr cm dυcm d( ωr) = acm = dt dt acm = g 3 1 T = Mg 3 Rα γ

17 Περιστροφική κίνηση Πλήρης ανάλυση κίνησης για το γιο γιο του σχήματος με τη βοήθεια δυνάμεων (θεωρήστε το κυλινδρικό). acm = g 3 T 1 = Mg 3 Όταν κατέβει απόσταση h ποια θα είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας; 4 cm = cm _ o + cm cm = υ υ a h υ gh 3 Ποια θα είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του; 4 gh υcm 3 ω = ω = R R

18 Ανταγωνισμός κυλιόμενων σωμάτων β Αν τα σώματα δεν περιστρέφονταν αλλά απλά γλιστρούσαν και η τριβή ήταν αμελητέα; Με ποια ταχύτητα θα έφταναν στο κάτω μέρος; υ = gh Ποια θα ήταν η επιτάχυνσή τους; Σε πόσο χρόνο θα έφταναν; a = g sin β υ t = g sin β β η γωνία του κεκλιμένου επιπέδου

19 Ανταγωνισμός κυλιόμενων σωμάτων I cm = fmr

20 Ανταγωνισμός κυλιόμενων σωμάτων U1 U1+ K1 = U + K = Mgh K = U = υ 1 K = Mυ + I ω = Mυ + fmr = + f Mυ R cm cm cm cm ( ) (1 ) cm υ = cm gh 1+ f

21 Ανταγωνισμός κυλιόμενων σωμάτων f=1 f=0.5 υ = cm gh 1+ f Δεν εξαρτάται ούτε από μάζα ούτε από ακτίνα σώματος!!!!!!!!!!!!!!! f=0.4 f=0.7

22 Περιστροφική κίνηση Αφού η μπάλα κυλά χωρίς ολίσθηση: Παραγωγίζοντας: Μπάλα μποουλινγκ μάζας Μ κατεβαίνει χωρίς να ολισθαίνει ράμπα κλίσης β. Ποια η επιτάχυνσή της και ποια η δύναμη τριβής; F = Ma Mg sin( β ) f = Ma συν _ x cm _ x cm _ x τ α α 5 συν = Icm γ fr = MR γ a υ cm _ x cm = = ωr Rα γ Mg f Ma sin( β ) = cm _ x fr = MRα cm _ x 5 5 acm _ x = g sin( β ) 7 f = Mg sin( β ) 7 Η μπάλα έχει τα 5/7 της επιτάχυνσης που θα είχε αν κινιόταν ολισθαίνοντας πάνω στην επιφάνεια.