Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο

Transcript

1 Όταν υπάρχει ΑΚΙΝΗΤΟ σηµείο ) Οµογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R φέρει λεπτή εγκοπή βάθους είναι τυλιγµένο νήµα αµελητέου πάχους. R r=, στην οποία Το άλλο άκρο του νήµατος έχει δεθεί σε οροφή όπως στο σχήµα. Κάποια στιγµή αφήνουµε τον κύλινδρο να κινηθεί. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του δίνεται από τη σχέση I = mr, ενώ g είναι το µέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Ι) Όταν ο άξονας του κυλίνδρου έχει µετατοπιστεί κατά Δy τότε έχει ξετυλιχθεί νήµα µήκους: α) L= y β) L= y γ) L= y ΙΙ) Η τάση του νήµατος έχει µέτρο: α) = mg β) = mg γ) = mg ) Τροχαλία µάζας M και ακτίνας R συγκρατείται στον αέρα υπό την επίδραση κατακόρυφης δύναµης F που διέρχεται από τον άξονά της. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγµένο πολλές φορές ιδανικό νήµα στο άλλο άκρο του οποίου είναι δεµένο σώµα µάζας M m=. Το νήµα είναι κατακόρυφο και µπορεί να ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας.

2 F Κάποια στιγµή το µέτρο της δύναµης F γίνεται ίσο µε F=Mg, οπότε ο άξονας της τροχαλίας αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Το σώµα µάζας m παραµένει στο οριζόντιο δάπεδο, χωρίς να χάσει την επαφή του µε αυτό. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της δίνεται από τη σχέση επιτάχυνσης της βαρύτητας. I = MR, ενώ g είναι το µέτρο της Ι) Όταν ο άξονας της τροχαλίας έχει µετατοπιστεί κατά Δy τότε έχει ξετυλιχθεί νήµα µήκους: α) L= y β) L= y γ) L= y ΙΙ) Η τάση του νήµατος έχει µέτρο: α) = Mg β) = Mg γ) = Mg ) Η τροχαλία του σχήµατος έχει µάζα Μ, ακτίνα R και ηρεµεί όπως στο σχήµα, όπου ένα αβαρές νήµα έχει περαστεί στο αυλάκι της. Το ένα άκρο του νήµατος έχει δεθεί σε οροφή, ενώ στο άλλο του άκρο Α ασκείται κατακόρυφη δύναµη F. Κάποια στιγµή ασκούµε κατακόρυφη δύναµη F, µέτρου F = W, οπότε η τροχαλία κινείται προς τα πάνω µε σταθερή επιτάχυνση κέντρου µάζας a cm

3 Δίνεται η ροπή αδράνεια της τροχαλίας ως προς τον άξονά της: Ι= ½ MR και η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Αν το άκρο Α του νήµατος ανέβει κατά h το κέντρο µάζας (Ο) της κινητής τροχαλίας θα ανέβει κατά: α) y= h β) h y= γ) y= h 4) Ο αρχικά ακίνητος οµογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R φέρει λεπτή εγκοπή βάθους R r=, στην οποία είναι τυλιγµένο νήµα αµελητέου πάχους. Για τη γωνία κλίσης ξέρουµε ότι ηµθ=0,6 και συνθ=0,8 r ϑ Κάποια στιγµή ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος. Αν ο συντελεστής οριακής τριβής είναι ίσος µε το συντελεστή τριβής ολίσθησης µ s = µ = = 0, τότε: Ι) Ο κύλινδρος: α) Θα παραµείνει ακίνητος β) Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση η οποία µπορεί να θεωρηθεί επαλληλία µεταφορικής και αριστερόστροφης περιστροφικής γύρω από τον άξονά του

4 γ) Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση η οποία µπορεί να θεωρηθεί επαλληλία µεταφορικής και δεξιόστροφης περιστροφικής γύρω από τον άξονά του ΙΙ) Όταν ο άξονας του κυλίνδρου έχει µετατοπιστεί κατά Δχ έχει ξετυλιχθεί νήµα µήκους: α) L= x β) L= x γ) L= x ΙΙΙ) Η επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου έχει µέτρο: α) a= 0, 08g β) a= 0, 04g γ) a= 0,g ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Σε όλες τις παραπάνω εφαρµογές υπάρχει σηµείο του στερεού µε µηδενική ταχύτητα ) I) Όταν ο άξονας του κυλίνδρου έχει µετατοπιστεί κατά Δy τότε έχει ξετυλιχθεί νήµα µήκους: α) L = y Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι όλα τα σηµεία του κατακόρυφου τµήµατος του σχοινιού έχουν την ίδια ταχύτητα µε το σηµείο (Γ), δηλαδή µηδενική. Έτσι όταν ο άξονας του κυλίνδρου µετατοπίζεται κατά dy ξετυλίγεται νήµα µήκους dl=rdφ=dy, αφού: dυ dω υγ = υα = υ ωr= 0 υ = ωr = r a= aγων r dt dt w II) Η τάση του νήµατος έχει µέτρο: α) = mg 4

5 Ισχύει: mg = ma Οπότε: και g ma= mg a= και r= mr aγων = m( raγων ) = ma = mg ) Ι) Όταν ο άξονας της τροχαλίας έχει µετατοπιστεί κατά Δy τότε έχει ξετυλιχθεί νήµα µήκους: α) L= y Η τάση του τεντωµένου κατακόρυφου νήµατος δηµιουργεί ροπή ως προς τον άξονα της τροχαλίας. Έτσι η τροχαλία θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση, η οποία εξετάζεται ως επαλληλία µιας µεταφορικής και µιας περιστροφικής κίνησης γύρω από τον άξονά της. Κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης είναι δυνατόν το σώµα να µην ανασηκώνεται από το οριζόντιο δάπεδο. Αυτό θα συµβαίνει αν η µετατόπιση Δy του κέντρου Ο της τροχαλίας είναι ίση µε το µήκος του νήµατος που ξετυλίγεται: Δy=ΔL=RΔφ ΙΙ) Η τάση του νήµατος έχει µέτρο: β) = Mg Το σηµείο Α στο οποίο το νήµα συναντάει την τροχαλία θεωρούµε ότι συµµετέχει στις δύο υποθετικές κινήσεις. Θεωρούµε λοιπόν, ότι έχει και µεταφορική επιτάχυνση a cm και επιτρόχια επιτάχυνση: d( ωr) dω aε = = R = Raγων. dt dt Όµως, εφόσον το σώµα µάζας m παραµένει στο έδαφος όλα τα σηµεία του κατακόρυφου νήµατος θα έχουν µηδενική ταχύτητα και µηδενική επιτάχυνση a = a + a a = a a = a a R= 0 a = a R() A cm ε A cm ε cm γων cm γων Άρα: Σ F = Ma () cm F Mg = Macm και = Ma cm () Διαιρώντας κατά µέλη τις () και () έχουµε:

6 F Mg = F Mg= F Mg Mg Mg = = = Mg ) Αν το άκρο Α του νήµατος ανέβει κατά h το κέντρο µάζας (Ο) της κινητής τροχαλίας θα ανέβει κατά: β) h y= Το σηµείο Γ στο οποίο το νήµα συναντάει την τροχαλία έχει µηδενική ταχύτητα. Θεωρούµε ότι συµµετέχει σε δύο υποθετικές κινήσεις: υ = 0 υ = Γ cm ω = cm R a a R γων Το άκρο Α όπως και το σηµείο Δ έχει διπλάσια επιτάχυνση από το κέντρο µάζας Ο της τροχαλίας, αφού: h aa = a = acm+ aε = acm Οπότε: h= yo yo = Δ) Για να παραµείνει ο κύλινδρος ακίνητος θα πρέπει: Σ τ = 0 r= r = και mgηµθ = = mgηµθ Πρέπει: ορ mgηµθ µ smgσυνθ µ s = 0, 4 Όµως µ s = µ = = 0, άρα ο κύλινδρος αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο 6

7 w ϑ Το σηµείο Α όπως και το ακλόνητο Κ όµως έχει µηδενική ταχύτητα ϑ Για να συµβαίνει αυτό θα πρέπει να έχει γραµµική ταχύτητα αντίθετη της µεταφορικής, δηλαδή ο κύλινδρος να στρέφεται αριστερόστροφα: υ = 0 υ = ωr Α α = α γων r Κ α γων Τ Α r N α Τ Γ w ϑ 7

8 Η τριβή λοιπόν θα είναι τριβή ολίσθησης: = µ smgσυνθ = mgσυνθ Θα ισχύει: mgηµθ mgσυνθ = ma και r mgσυνθ r= m4r aγων mgσυνθ = ma Από τις δύο παραπάνω σχέσεις: a= 0, 04g 8