Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους

Transcript

1 Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους 8-9 Θέμα Α Α Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια i) limf ii) limf iii) lim 3 6 f iv) lim f Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν lim f τότε και α) Είναι αληθής, ή ψευδής η πρόταση; β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α v) lim f f 8 lim f» μονάδες μονάδες 5 μονάδες μονάδες +3 A3 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση : Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : α,β, αν ισχύει f αf β, τότε: α) η εξίσωση f δεν έχει λύση στο α,β β) η εξίσωση f έχει ακριβώς μια λύση στο α,β γ) η εξίσωση f έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο α,β δ) δεν μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f στο μονάδες Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας α) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι -, τότε και η συνάρτηση f + g, εφόσον ορίζεται, είναι επίσης - β) Αν ισχύει ότι f m για κάθε Df τότε το m είναι η ελάχιστη τιμή της f γ) Αν δύο συναρτήσεις f,g : δεν είναι συνεχείς στο τότε και η f g δεν είναι συνεχής α,β

2 στο δ) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f : α,β που είναι συνεχής και μη σταθερή, είναι κλειστό διάστημα ε) Έστω αντιστρέψιμη συνάρτηση f : A Ισχύει ότι f f για κάθε A Θέμα Β μονάδες 5 ln Δίνεται η συνάρτηση f ln Β Να βρείτε το πεδίο ορισμού της μονάδες 4 Β Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της μονάδες 6 Β3 Να δείξετε ότι η Cf βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα e, μονάδες 6 Β4 Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim f β) f γ) lim f Θέμα Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f,g :, με γραφική παράσταση της f να φαίνεται στο διπλανό σχήμα Γ Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα Γ Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f α, α Γ3 Να δείξετε ότι f 4 f f Γ4 Να λύσετε την εξίσωση g f και τη μονάδες 4 μονάδες 5 μονάδες 6 f f μονάδες 5 Γ5 Να δείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως φθίνουσα και συνεχής h :, h συνάρτηση για την οποία να ισχύει ότι f και Θέμα Δ h 3 μονάδες 33 μονάδες 5 Έστω συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f e για κάθε και της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, f Δ Να δείξετε ότι lim μονάδες 6 Δ Να δείξετε ότι lim f μονάδες 6 Δ3 Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον θετικό ημιάξονα Ο τουλάχιστον μια φορά μονάδες 6 Δ4 Να δείξετε ότι η Cf τέμνει κάθε ευθεία που προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση προς τα πάνω από την ευθεία,τουλάχιστον μια φορά μονάδες 7 Καλή Επιτυχία! Στέλιος Μιχαήλογλου

3 Θέμα Α Λύσεις Α α) Α,5 5,9, f A,5 f β) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια lim f lim f i) 3 ii) Είναι lim f, lim f iii) Επειδή iv) Είναι Επειδή v) Θέτουμε f 3 Επειδή lim f lim f δεν υπάρχει το limf f για κάθε 5,6 6,7 f lim lim, f lim lim f f, lim f 5 8 γ) Επειδή δεν υπάρχει το limf 3 Επειδή δεν υπάρχει το limf Α α) Αληθής Α3 δ) f, είναι: lim lim 6 f f lim lim f, δεν υπάρχει το lim f lim f f lim f 3 8 5, η f δεν είναι συνεχής στο 3, η f δεν είναι συνεχής στο 7 β) Από τις ιδιότητες απολύτων ισχύει ότι f f f για κάθε Επειδή lim f, lim f, από το κριτήριο παρεμβολής είναι και Α4 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ 3 lim f Θέμα Β Β Η f ορίζεται όταν ln ln e, άρα A, e e, f Β Έστω, A f f f, τότε: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln f με ln f ln ln ln ln ln () ln Αν τότε η () είναι αδύνατη, οπότε για είναι ln e Αν,e τότε e ισχύει e e e e 3

4 f Α, Αν e, τότε Όταν A,e η f έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το e e Όταν A e, η f έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το f Α, Επειδή f Α f Α η f αντιστρέφεται με f e, άρα Β3 Για κάθε e είναι ln lne ln Όμως f e για κάθε e Β4 α) άρα, άρα f f f, e ln ln ln ln ln lim f lim lim lim lim f lim lim lim ln β) lim lim f e lim f lim e lime e, άρα lim e f γ) Είναι Θέμα Γ f e, Γ Από το σχήμα παρατηρούμε ότι f, f Έστω,, με f f g g g, Από Γ f α f α g α (3) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι και lim f lim f, lim g lim f, οπότε: lim g lim f Επειδή η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A, Επειδή αga υπάρχει A, τέτοιο, ώστε g φθίνουσα, το είναι μοναδικό έχει σύνολο τιμών το g A α και επειδή η g είναι γνησίως Γ3 f 4 f f f f f g g g g g Είναι g g, g g ζητούμενο Γ4 g και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το f f f f g g ή 4

5 Γ5 ος τρόπος: Είναι h 3 f άτοπο αφού h f ος τρόπος: Είναι lim h lim f στο διάστημα Δ, 3 lim h Θέμα Δ 5 Αν η h ήταν γνησίως φθίνουσα τότε επειδή είναι συνεχής θα είχε σύνολο τιμών το h Δ 3, lim h f e e f e e f e Δ e f e που είναι άτοπο αφού Για είναι e Είναι lim lim και e e lim lim, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι e f και lim f Δ Έστω g f g Είναι lim f lim g ή lim e, άρα e f e f e ή lim f lim e lim e οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι lim f Δ3 Επειδή lim f είναι f θετικός αριθμός α, τέτοιος ώστε f α Είναι f, f α, δηλαδή f για πολύ μεγάλες τιμές του, άρα υπάρχει πολύ μεγάλος f f α και επειδή η f είναι συνεχής, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση,α Επειδή η ρίζα βρίσκεται στο διάστημα,α, είναι θετικός αριθμός, οπότε η Cf τέμνει τον θετικό ημιάξονα Ο τουλάχιστον μια φορά έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Δ4 Οι ευθείες που είναι παράλληλες στην και προκύπτουν από παράλληλη μετατόπισή της προς τα πάνω έχουν εξίσωση της μορφής β με β έχει τουλάχιστον μια ρίζα g f β Θεωρούμε τη συνάρτηση Για είναι g f β β Είναι β β Επομένως αρκεί η εξίσωση g, άρα β f β, να f Είναι lim g lim f β lim, οπότε υπάρχει γ g γ,γ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και τέτοιος ώστε Επειδή η g είναι συνεχής στο ggγ,σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση g έχει τουλάχιστον μια ρίζα

6 στο,γ 6