Σύστημα αρίθμησης. Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R

Transcript

1 Συστήματα αρίθμησης

2 Σύστημα αρίθμησης Τρόπος αναπαράστασης αριθμών Κάθε σύστημα αρίθμησης έχει μία βάση R Η βάση δείχνει πόσες μονάδες μιας τάξης φτιάχνουν μια μονάδα της επόμενης τάξης Μπορεί να είναι R = 2, 3,, 8,, 10, 16, κοκ

3 Δυαδικό Σύστημα αρίθμησης και ηλεκτρονικοί υπολογιστές Περνάει ρεύμα (1) Δεν περνάει ρεύμα (0) {0,1} Bits Οκταδικό 8 bits = 1 Byte Δεκαεξαδικό 1 δεκαεξαδικό ψηφίο = 2 Bytes

4 Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης R = 10 1 εκατοντάδα 10 δεκάδες 1 δεκάδα 10 μονάδες

5 Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης R = χιλιάδα 10 εκατοντάδες

6 Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης R = 10 Χρησιμοποιούνται 10 ψηφία Από 0 έως 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ο αριθμός μεγαλώνει οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 10 k -άδων 1*10 3 5*10 2 6*10 1 8*10 0

7 Δυαδικό σύστημα αρίθμησης R = 2 1 τετράδα 2 δυάδες 1 δυάδα 2 μονάδες

8 Δυαδικό σύστημα αρίθμησης R = οκτάδα 2 τετράδες

9 Δυαδικό σύστημα αρίθμησης R = 2 Χρησιμοποιούνται 2 ψηφία Από 0 έως 1 (0,1) ο αριθμός μεγαλώνει οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 2 k -άδων 1*2 3 1*2 2 0*2 1 1*2 0

10 Οκταδικό σύστημα αρίθμησης R = 8 1 εξηντατετράδα 8 οκτάδες 1 οκτάδα 8 μονάδες

11 Οκταδικό σύστημα αρίθμησης R = πεντακοσιοδωδεκάδα 8 εξηντατετράδες

12 Οκταδικό σύστημα αρίθμησης R = 8 Χρησιμοποιούνται 8 ψηφία Από 0 έως 7 (0,1,2,3,4,5,6,7) ο αριθμός μεγαλώνει οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 8 k -άδων 1*8 3 5*8 2 6*8 1 7*8 0

13 Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης R = 16 1 διακοσιοπενηνταεξάδα 16 δεκαεξάδες 1 δεκαεξάδα 16 μονάδες

14 Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης R = άδα 16 Διακοσιοπενηντα εξάδες

15 Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης R = 16 Χρησιμοποιούνται 16 ψηφία Από 0 έως Ε (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Α,Β,C,D,E) ο αριθμός μεγαλώνει οι θέσεις αριθμούνται ξεκινώντας από το 0 Κάθε θέση k εκφράζει πλήθος 16 k -άδων 1*16 3 5*16 2 6*16 1 7*16 0

16 Μετατροπές Από Δυαδικό Οκταδικό Δεκαεξαδικό Σε δεκαδικό Από δεκαδικό Σε Δυαδικό Οκταδικό Δεκαεξαδικό

17 Από δυαδικό σε δεκαδικό Αλγόριθμος: Αριθμούμε τις θέσεις του δοσμένου αριθμού από αριστερά προς τα δεξιά ξεκινώντας από το 0 Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο σε κάθε θέση k με το 2 k Το ζητούμενο προκύπτει αθροίζοντας τα γινόμενα Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

18 Από δυαδικό σε δεκαδικό Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 Θέση x 2 5 x 2 4 x 2 3 x 2 2 x 2 1 x = =41 10

19 Από οκταδικό σε δεκαδικό Αλγόριθμος: Αριθμούμε τις θέσεις του δοσμένου αριθμού από αριστερά προς τα δεξιά ξεκινώντας από το 0 Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο σε κάθε θέση k με το 8 k Το ζητούμενο προκύπτει αθροίζοντας τα γινόμενα Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

20 Από οκταδικό σε δεκαδικό Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 Θέση x 8 5 x 8 4 x 8 3 x 8 2 x 8 1 x = =

21 Από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό Αλγόριθμος: Αριθμούμε τις θέσεις του δοσμένου αριθμού από αριστερά προς τα δεξιά ξεκινώντας από το 0 Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο σε κάθε θέση k με το 16 k Το ζητούμενο προκύπτει αθροίζοντας τα γινόμενα Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

22 Από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 Θέση Β C A x 16 5 x 16 4 x 16 3 x 16 2 x 16 1 x = BCA 16 =

23 Διαίρεση Διαιρετέος (αυτός που πρέπει να διαιρεθεί) 15 4 Διαιρέτης 3 Υπόλοιπο 3 Πηλίκο

24 Από δεκαδικό σε δυαδικό Αλγόριθμος: Διαιρούμε τον αριθμό με 2 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

25 Από δεκαδικό σε δυαδικό = : 2 = 77 και υπόλοιπο 1 77: 2 = 38 και υπόλοιπο 1 38: 2 = 19 και υπόλοιπο 0 19: 2 = 9 και υπόλοιπο 1 9: 2 = 4 και υπόλοιπο 1 4: 2 = 2 και υπόλοιπο 0 2: 2 = 1 και υπόλοιπο 0 1: 2 = 0 και υπόλοιπο 1 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ

26 Από δεκαδικό σε οκταδικό Αλγόριθμος: Διαιρούμε τον αριθμό με 8 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

27 Από δεκαδικό σε οκταδικό = : 8 = 19 και υπόλοιπο 3 19: 8 = 2 και υπόλοιπο 3 2: 8 = 0 και υπόλοιπο 2 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ

28 Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό Αλγόριθμος: Διαιρούμε τον αριθμό με 16 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

29 Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό = 9Β : 16 = 9 και υπόλοιπο 11 (= Β) 9: 16 = 0 και υπόλοιπο 9 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ

30 Από δεκαδικό σε δυαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος Αλγόριθμος: Για το ακέραιο μέρος (ό,τι και πριν) Διαιρούμε τον αριθμό με 2 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Για το κλασματικό μέρος Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με 2 και από το γινόμενο κρατάμε το ακέραιο μέρος (απομακρύνοντάς το) μέχρι το κλασματικό μέρος να γίνει 0 για όσα ψηφία μας επιτρέπεται Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα ακέραια μέρη από την αρχή στο τέλος Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

31 Από δεκαδικό σε δυαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος 155,16 10 = , : 2 = 77 και υπόλοιπο 1 77: 2 = 38 και υπόλοιπο 1 38: 2 = 19 και υπόλοιπο 0 19: 2 = 9 και υπόλοιπο 1 9: 2 = 4 και υπόλοιπο 1 4: 2 = 2 και υπόλοιπο 0 2: 2 = 1 και υπόλοιπο 0 1: 2 = 0 και υπόλοιπο 1 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ = ,16 * 2 = 0,32 ακέραιο μέρος 0 0,32 * 2 = 0,64 ακέραιο μέρος 0 0,64 * 2 = 1,28 ακέραιο μέρος 1 0,28 * 2 = 0,56 ακέραιο μέρος 0 0,56 * 2 = 1,12 ακέραιο μέρος 1 0,12 * 2 = 0,24 ακέραιο μέρος 0 0,24 * 2 = 0,48 ακέραιο μέρος 0 0,48 * 2 = 0,96 ακέραιο μέρος 0 0,96 * 2 = 1,92 ακέραιο μέρος 1 0,16 10 =0,

32 Από δεκαδικό σε οκταδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος Αλγόριθμος: Για το ακέραιο μέρος (ό,τι και πριν) Διαιρούμε τον αριθμό με 8 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Για το κλασματικό μέρος Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με 8 και από το γινόμενο κρατάμε το ακέραιο μέρος (απομακρύνοντάς το) μέχρι το κλασματικό μέρος να γίνει 0 για όσα ψηφία μας επιτρέπεται Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα ακέραια μέρη από την αρχή στο τέλος Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

33 Από δεκαδικό σε οκταδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος 155,16 10 = 233, : 8 = 19 και υπόλοιπο 3 19: 8 = 2 και υπόλοιπο 3 2: 8 = 0 και υπόλοιπο 2 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ = ,16 * 8 = 0,02 ακέραιο μέρος 0 0,02 * 8 = 0,16 ακέραιο μέρος 0 0,16 * 8 = 1,28 ακέραιο μέρος 1 0,28 * 8 = 2,24 ακέραιο μέρος 2 0,24 * 8 = 1,92 ακέραιο μέρος 1 0,92 * 8 = 7,36 ακέραιο μέρος 7 0,36 * 8 = 2,88 ακέραιο μέρος 2 0,88 * 8 = 7,04 ακέραιο μέρος 7 0,04 * 8 = 0,32 ακέραιο μέρος 0 0,16 10 =0,

34 Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος Αλγόριθμος: Για το ακέραιο μέρος (ό,τι και πριν) Διαιρούμε τον αριθμό με 16 και κρατάμε τα υπόλοιπα μέχρι το πηλίκο να γίνει 0 Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα υπόλοιπα από το τέλος στην αρχή Για το κλασματικό μέρος Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος με 16 και από το γινόμενο κρατάμε το ακέραιο μέρος (απομακρύνοντάς το) μέχρι το κλασματικό μέρος να γίνει 0 για όσα ψηφία μας επιτρέπεται Το ζητούμενο προκύπτει διαβάζοντας τα ακέραια μέρη από την αρχή στο τέλος Όλες οι πράξεις γίνονται στο δεκαδικό σύστημα

35 Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό & υπάρχει και κλασματικό μέρος 155,16 10 = 9Β,28E5C28E5C : 16 = 9 και υπόλοιπο 11 (= Β) 9: 16 = 0 και υπόλοιπο 9 ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ =9Β 16 0,16 * 16 = 2,56 ακέραιο μέρος 2 0,56 * 16 = 8,96 ακέραιο μέρος 8 0,96 * 16 = 15,36 ακέραιο μέρος 15 = Ε 0,36 * 16 = 5,76 ακέραιο μέρος 5 0,76 * 16 = 12,16 ακέραιο μέρος 12 = C 0,16 * 16 = 2,56 ακέραιο μέρος 2 0,56 * 16 = 8,96 ακέραιο μέρος 8 0,96 * 16 = 15,36 ακέραιο μέρος 15 = Ε 0,36 * 16 = 5,76 ακέραιο μέρος 5 0,76 * 16 = 12,16 ακέραιο μέρος 12 = C 0,16 10 =0,28E5C28E5C 16