ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ τον αριθμό που αντιστοιχεί στο ίχνος της καθέτου προς τον x x και τεταγμένη του Μ τον αριθμό που αντιστοιχεί στο ίχνος της καθέτου προς τον y y. Δηλαδή στο σημείο Μ αντιστοιχίζουμε το ζεύγος (3,4). Το 3 ονομάζεται τετμημένη του σημείου Μ, ενώ το 4 ονομάζεται τεταγμένη του Μ. Οι δύο αριθμοί μαζί λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και γράφουμε Μ (3,4). Παρατηρούμε ότι: Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου. Οι άξονες x x και y y ονομάζονται σύστημα ορθογωνίων αξόνων ή πιο απλά σύστημα αξόνων. Παρατηρήσεις Σχόλια Όταν οι μονάδες μέτρησης στους άξονες έχουν το ίδιο μήκος, τότε το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες επιβάλλεται να χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές μονάδες μέτρησης στους άξονες x x και y y. Ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ορθοκανονικό. Κάθε σημείο του άξονα x x έχει τεταγμένη μηδέν ενώ κάθε σημείο του άξονα y y έχει τετμημένη μηδέν. Το σύστημα αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε 4 γωνίες, που κάθε μια ονομάζεται τεταρτημόριο. Στο διπλανό σχήμα σημειώνονται τα πρόσημα της τετμημένης και της τεταγμένης σε κάθε τεταρτημόριο. Συμμετρικά σημεία α) Δύο σημεία Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα χχ, όταν έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. β) Δύο σημεία Γ και Δ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y, όταν έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. γ) Δύο σημεία Ε και Ζ είναι συμμετρικά ως προς την αρχή 0(0, 0) των αξόνων, όταν έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Παράδειγμα : Δίνεται το σημείο Μ( 4,5).Το συμμετρικό του Μ ως προς: α) τον άξονα x x, είναι το σημείο Κ ( - 4, -5 ) β) τον άξονα y y, είναι το σημείο Λ ( 4, 5 ) γ) την αρχή 0 των αξόνων, είναι το σημείο Ν ( 4,- 5 ) - 1 -

2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 ο 1. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων του παρακάτω σχήματος Απάντηση : A (...,...), B (...,...), Γ (...,...), Δ (...,...), Ε (...,...), Ζ (...,...), Η (...,...), Θ (...,...), Ι (...,...) 2. Να βρεθεί το σημείο M( 5,6) στο επίπεδο των αξόνων και να σχεδιάσετε τα συμμετρικά του ως : α) τον άξονα x x β) τον άξονα y y, γ) την αρχή 0 των αξόνων. Απάντηση: α) χ χ :... β) y y :... γ) την αρχή 0 των αξόνων:

3 3.α) Να βρείτε τα παρακάτω σημεία στο επίπεδο των αξόνων: A( 1, 4), Β ( 5,4), ( 2, 3) Δ ( 2,0), Ε( 12, 5) και Ζ ( 4,7) β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις : ΑΒ, ΓΔ και ΕΖ Γ, Λύση:... 4.α) Να βρείτε τα σημεία στο επίπεδο των αξόνων: A( 3, 1), Β( 2,1) και ( 5, 4) β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Γ, Λύση

4 Ερωτήσεις κατανόησης Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. 1. α) Για να οργανώσουμε και να μελετήσουμε καλύτερα έναν επίπεδο χώρο, χρησιμοποιούμε δύο κάθετους άξονες χ χ και y y με κοινή αρχή ένα σημείο Ο. Λέμε ότι έχουμε ένα... Αν στους άξονες χρησιμοποιήσουμε την ίδια μονάδα μέτρησης, τότε λέμε ότι έχουμε ένα... β) Κάθε σημείο Μ του επιπέδου καθορίζεται από ένα μοναδικό ζεύγος αριθμών (α, β) που ονομάζονται...του σημείου Μ. Ο αριθμός α ειδικότερα λέγεται... του σημείου Μ, ενώ ο αριθμός β λέγεται... του σημείου Μ. 2. α) Αν ένα σημείο ανήκει στον άξονα χ χ, τότε έχει...ίση με 0. β) Αν ένα σημείο ανήκει στον άξονα y y, τότε έχει...ίση με 0. γ) Η αρχή των αξόνων Ο έχει συντεταγμένες... δ) Για να υπολογίσουμε την απόσταση δύο σημείων Α και Β του επιπέδου, χρησιμοποιούμε το... σ ένα τρίγωνο με υποτείνουσα την ΑΒ. 3. α) Το συμμετρικό ενός σημείου (α, β) ως προς τον άξονα χ χ έχει συντεταγμένες... β) Το συμμετρικό ενός σημείου (α, β) ως προς τον άξονα y y έχει συντεταγμένες... γ) Το συμμετρικό ενός σημείου (α, β) ως προς την αρχή Ο των αξόνων έχει συντεταγμένες α) Ένα σύστημα ορθογώνιων αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερις γωνίες που λέγονται... β) Μπορούμε να καταλάβουμε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται ένα σημείο Μ(α, β) από τα πρόσημα των αριθμών α και β. Ειδικότερα: ί) Στο 1ο τεταρτημόριο το α είναι... και το β... ii) Στο 2ο τεταρτημόριο το α είναι...και το β... iii) Στο 3 ο τεταρτημόριο το α είναι.. και το β ίν) Στο 4 ο τεταρτημόριο το α είναι..και το β Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 5. α) Τα σημεία Α ( - 3, 5) και B (3, 5) είναι συμμετρικά ως προς: β) Τα σημεία Α (2, - 4) και Β (2, 4) είναι συμμετρικά ως προς: γ) Τα σημεία Α (1, - 2) και Β ( - 1, 2) είναι συμμετρικά ως προς: δ) Τα σημεία Α (- 4, 7) και Β (7, - 4) είναι συμμετρικά ως προς: Ερωτήσεις τύπου «Σωστό Λάθος» 6. α. Το σημείο Μ(3, -4) έχει τετμημένη 3 και τεταγμένη - 4. β. Το σημείο Α(- 2, 2) έχει τεταγμένη - 2 και τετμημένη 2. γ. Το σημείο Β( - 1, 3) έχει τεταγμένη 3 και τετμημένη - 1. δ. Το σημείο Ν(4, - 5) έχει τετμημένη - 5 και τεταγμένη 4. ε. Το σημείο Α (-3, 0) είναι σημείο του άξονα χ χ στ. Το σημείο Α (0, 2 ) είναι σημείο του άξονα y y - 4 -

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ 1. Να βρείτε τα συμμετρικά του σημείων Α(5,-4 ), Β(-2,-1) και Γ(-7,13) ως προς: i. Τον άξονα χ χ ii. Τον άξονα y y iii. Την αρχή των αξόνων Ο(0,0) 2. Να βρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σημείων: i. Α(1,3) και Β(4,7) ii. Α(-2,-3) και Β(4,5) iii. Α(-4,2) και Β(8,7) iv. Α(-4,-1) και (2,-9) 3. Δίνονται τα σημεία Α(2,4), Β(3,2) και Γ(6,6). ii. Να βρείτε τις αποστάσεις ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ iii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 4. Δίνονται τα σημεία Α(-2,2), Β(-2,-3) και Γ(1,1). ii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 5. Δίνονται τα σημεία Α(-5,3), Β(-1,-2) και Γ(4,2). ii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. μ 2 6. Δίνεται το σημείο A 5, 1 5. Να βρείτε τον αριθμό μ, ώστε το σημείο Α να είναι σημείο του άξονα χ χ. 7. Δίνεται το σημείο του άξονα y y. α 1 A + 3, 2 2. Να βρείτε τον αριθμό α, ώστε το σημείο Α να είναι σημείο ( ) λ 3 2 λ 1 8. Δίνεται το σημείο A 1, 4. Να βρείτε τον αριθμό λ, ώστε το σημείο Α να 4 3 είναι σημείο α) του άξονα y y και β) του άξονα χ χ - 5 -