Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Transcript

1 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο των ακέραιων αριθμών. α ) Το Q =, με α,β Ζ καιβ 0 είναι το σύνολο των ρητών αριθμών. Άρα β ρητός είναι ο αριθμός που μπορεί να γραφεί σαν πηλίκο ακέραιων αριθμών. Π. οι αριθμοί,,0,, κ.λ.π 5 4) Το R είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών και είναι η ένωση των ρητών και των άρρητων αριθμών. N 5 Q 5 Z Q R άρρητος Σ η μ ε ί ω σ η = =. Για το σύνολο Α, συμβολίζουμε με Α το Α { 0}. Π. N Ν {} 0 {,,,... } Β Δυνάμεις ν ) α = α α α α νφορές μ ν μ ν ) α α = α + μ ν μ ν ) α : α = α μ ν μ ν 4) (α ) = α ν ν ν 5) (α β) = α β ν ν ν α α 6) = β β ν 7) α = ν α ν α β ) = β α 0 9) α =, α = α ν 5 = 5 5 5= = = = = 4 4 : = = = = 9 6 () = = = ( y ) = ( ) (y ) = 4 y 4 y (y ) (y ) 4 y = = = 9 9 = = 9 = = = =, =

2 6 yahoo.gr Οι ταυτότητες χρησιμοποιούνται για να βρούμε το ανάπτυγμα μιας παράστασης, ή για να την μετατρέψουμε σε γινόμενο. ) α β = (α+ β)(α β) 5 9 = (5) = (5 + )(5 ) ) (α+ β) = α + αβ + β ( + ) = () + () + = ) (α β) = α αβ + β ( ) = () () + = ) (α+ β) = α + α β+ αβ + β ( + ) = = ) (α β) = α α β+ αβ β ( ) = + = ) α β = (α β)(α + αβ+ β ) = = ( )( + + ) = ( )( + + 4) 7) α + β = (α+ β)(α αβ+ β ) + = () + = ( + ) () () + = ( + )(4 + ) ) Αν α+ β+ γ = 0, ή α = β = γ, τότε α + β + γ = αβγ = 0, άρα ( ) + ( + ) + ( ) = ( )( + )( ) Σ η μ ε ί ω σ η Σε κάποιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται και οι παρακάτω ταυτότητες: 9) (α+ β+ γ) = α + β + γ + αβ + βγ + αγ 0) (α+ β+ γ) = α + β + γ + (α+ β)(β+ γ)(γ+ α) ) α + β + γ αβγ = (α+ β+ γ) (α β) + (β γ) + (γ α) ) α + β = (α+ β) αβ ή α + β = (α β) + αβ ) α + β = (α+ β) αβ(α+ β) 4) Για κάθε ν Ν ν ν ν ν ν ν : y = ( y)( + y y + y ) 5) Για ν περιττό: 6) Για ν άρτιο ισχύει: ν ν ν ν ν ν + y = ( + y)( y +... y + y ) ν ν ν ν ν ν y = ( + y)( y y y )

3 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 7 Α Εξισώσεις ου βαθμού Είναι εξισώσεις της μορφής α + β = 0, όπου α,β R. Στις εξισώσεις αυτές μετά τις πράξεις και τις αναγωγές όμοιων όρων καταλήγουμε στη μορφή α = β. ) Αν α 0, τότε διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου και η εξίσωση έχει β μια λύση, την = α 5 5 ( ) = 6 = = 6 = 5 = = 5 Άρα η εξίσωση έχει μια μόνο λύση, την = ) Αν α = 0 και β 0, η εξίσωση είναι αδύνατη. ( + ) = + 6 = = 6 0 = 7 Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ) Αν α = 0 και β = 0, η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. ( ) (+ ) = 6= + = = 0. Άρα η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Β Εξισώσεις ου βαθμού κλασματικές Είναι εξισώσεις που περιέχουν κλάσματα. Οι εξισώσεις αυτές μετά την απαλοιφή των παρονομαστών καταλήγουν στην προηγούμενη μορφή. + + = = 6( + ) ( ) = = 6+ = 6 9 = 7 = = Γ Εξισώσεις ου βαθμού Είναι εξισώσεις της μορφής Η διακρίνουσα είναι α + β + γ = 0, όπου α,β, γ R και α 0. Δ = β 4 α γ και έχουμε τις περιπτώσεις: ) Αν Δ < 0, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (Αδύνατη στο R). Για την εξίσωση + + = 0, η Δ = 4 = 4 = < 0, επομένως είναι αδύνατη. β ) Αν Δ = 0, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες ρ = α Για την εξίσωση 4+ 4 = 0, η Δ = ( 4) 4 4 = 6 6 = 0, άρα έχει 4 μια ρίζα διπλή ρ = =.

4 yahoo.gr β± Δ ) Αν Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ρ, = α Για την εξίσωση 4 = 0, η Δ = ( 4) 4 ( ) ( ) = 6 = > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: ( 4) ± 4± 4 4± (± ) ± ρ, = = = = = () Επομένως ρ = = και ρ = = Σ η μ ε ί ω σ η Αν λείπει κάποιος όρος, τότε η εξίσωση λέγεται ελλιπής. Την λύνουμε με τον ίδιο τρόπο, αφού συμπληρώσουμε τον όρο που λείπει με μηδέν. Για την εξίσωση = = 0, η Δ = ( ) 4 0 = 4 > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: ( ) ± 4 ± ρ, = = Άρα ρ = = = 0 και ρ = = =. ος τρόπος : = 0 ( ) = 0, άρα = 0 ή = 0 =. Για την εξίσωση = = 0, η Δ = 0 4 ( ) = > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: 0± ± 4 ± ρ, = = = = ±. Άρα ρ = και ρ =. ος τρόπος : = 0 = = ±. Για την εξίσωση + = = 0, η Δ = 0 4 = 4< 0, άρα είναι αδύνατη. ος τρόπος : + = 0 =, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι για κάθε R ισχύει 0. Δ Εξισώσεις ου βαθμού κλασματικές Είναι εξισώσεις που περιέχουν κλάσματα, στα οποία οι αριθμητές και οι παρονομαστές είναι πολυώνυμα. Τρέπουμε τους παρονομαστές σε γινόμενα πολυωνύμων ου βαθμού, βγάζοντας κοινό παράγοντα, χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες, ή για το τριώνυμο ου βαθμού: Αν Δ > 0, τότε α + β + γ = α( ρ )( ρ ) Αν Δ = 0, τότε α + β + γ = α( ρ) Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών, που είναι το γινόμενο του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των αριθμών που εμφανίζονται στους παρονομαστές και των πολυωνύμων με το μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζονται στους παρονομαστές.

5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 9 Γράφουμε ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός και βρίσκουμε τους περιορισμούς που πρέπει να ισχύουν ώστε να έχει λύση η εξίσωση. Μετά την απαλοιφή των παρονομαστών καταλήγουμε σε εξίσωση της προηγούμενης μορφής, οι λύσεις της οποίας καθορίζονται και από τους περιορισμούς που αναφέραμε προηγουμένως = 0 = 0 = 0 4 (+ )( ) Ε.Κ.Π = ( + )( ) 0, άρα πρέπει + 0 και 0. + Είναι ( + )( ) ( + )( ) = ( + )( ) 0 ( + )( ) (+ )( ) = = = 0 Είναι Δ = 4 4 ( 4) = = 64 > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και 4± 64 4± 4 άνισες, ρ, = = Άρα ρ = = =, απορρίπτεται, λόγω του περιορισμού και ρ = = =, δεκτή. 6 6 Ε Εξισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού Τρέπουμε το πολυώνυμο σε γινόμενο πολυωνύμων ου και ου βαθμού, με ένα από τους παρακάτω τρόπους: ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλους τους όρους, αν υπάρχει. + + = 0 ( + + ) = 0 Άρα = 0, ή + + = 0, αδύνατη, διότι Δ = < 0. ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα κατά ομάδες, αν είναι δυνατό. + = 0 ( ) + ( ) = 0 ( )( + ) = 0 Άρα = 0 =, ή + = 0, αδύνατη, διότι Δ = 4< 0. ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες. 4 = 0 ( ) = 0 ( )( + ) = 0 Άρα = 0 = = ± = ±, ή + = 0, αδύνατη, διότι Δ = 4< ος τρόπος : = 0 = = ± 4 = ± 7= 0 = 0 ( )( + + ) = 0 ( )( + + 9) = 0 Άρα = 0 =,ή ος τρόπος : = 0, αδύνατη, διότι Δ = 7 < 0. 7= 0 = 7 = 7 = =

6 0 yahoo.gr + 5 = = 0 ( + 5)( ) = 0 ( + 5)( 5 + 5) = 0 Άρα + 5= 0 = 5, ή 5+ 5= 0, αδύνατη, διότι Δ = 75 < 0. ος τρόπος : + 5 = 0 = 5 = 5 = ( 5) = 5 Είναι = 0, άρα (λόγω της ταυτότητας ) έχουμε: ( ) + ( + ) + ( ) = 0 ( )( + )( ) = 0. Άρα = 0 =, ή + = 0 =, ή = 0 = = 4) Αν ένα πολυώνυμο P() έχει μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα ρ, μπορούμε χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner, αφού προηγουμένως γράψουμε το πολυώνυμο στην πλήρη του μορφή συμπληρώνοντας τους όρους που λείπουν με μηδέν, να το τρέψουμε σε γινόμενο πολυωνύμων ου και ανωτέρου του ου βαθμού. Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου. Το πολυώνυμο στο τέλος γράφεται Ρ() = ( ρ) Q(), όπου Q() πολυώνυ- μο βαθμού κατά ένα μικρότερου από το Ρ(). Για το P() = σταθερός όρος είναι το 6, πιθανές ακέραιες ρίζες οι ±, ±, ±, ± 6 και από το παρακάτω σχήμα το πολυώνυμο γράφεται P() = ( )( 5 + 6). Συντελεστής Συντελεστής Συντελεστής Σταθερός Πιθανή του του του όρος ακέραιη ρίζα (-5) (-6+) (-5) (-6+6) 6 Συντελεστής Συντελεστής Σταθερός του του αριθμός Πολυώνυμο -5+6 Πολυώνυμο - Για την εξίσωση + = = 0 πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±. Άρα, από το σχήμα Ηorner, η εξίσωση γίνεται ( + )( + ) = 0. Επομένως + = 0 =, ή ος τρόπος : ος τρόπος : = 0, αδύνατη, διότι Δ = < 0. + = 0 = = = ( ) = + = 0 + = 0 ( + )( + ) = 0 κ.λ.π

7 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Για πολυώνυμα 4ου βαθμού και άνω, επαναλαμβάνουμε το σχήμα Horner. 4 Για την εξίσωση + + = 0, πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ±. Άρα, από το σχήμα Ηorner η εξίσωση γίνεται ( )( ) = Επομένως = 0 =, ή = 0 - Πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ±. Άρα, από το σχήμα Ηorner η εξίσωση γίνεται ( + )( + ) = Άρα + = 0 =, ή + = 0, αδύνατη διότι Δ = 4 < 0. Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί = και =. To σχήμα Horner χρησιμοποιείται και στα πολυώνυμα ου βαθμού. Για την εξίσωση 6 7 = 0, πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ± 7. Άρα, από το σχήμα Ηorner η εξίσωση γίνεται ( + )( 7) = 0. Άρα + = 0 =, ή 7= 0 = ) Αν η εξίσωση είναι της μορφής α + β + γ = 0 (διτετράγωνη), θέτουμε 4 = y, οπότε = y και η εξίσωση γίνεται αy + βy + γ = 0. Λύνουμε την εξίσωση αυτή και στη συνέχεια από την ισότητα = y βρίσκουμε τις τιμές του. 4 4 Για την εξίσωση = 0, θέτω = y, οπότε = y και η εξίσωση ( ) ± 6 ± 6 γίνεται y y = 0, με Δ = 6 > 0 και ρίζες ρ, = =, οπότε ρ = = =, ρ = = = 4. Από την = y έχουμε =, αδύνατη και = 4 = ± 4 = ±. 4 4 Για την εξίσωση + = 0, θέτω = y, οπότε = y και η εξίσωση γίνεται y y+ = 0, με Δ = 0 και ρίζα ρ = = = διπλή. Από την = yέχουμε = = ± = ±. 4 4 Για την εξίσωση + + = 0, θέτω = y, οπότε = y και η εξίσωση γίνεται y + y+ = 0, με Δ = < 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ΣΤ Εξισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού κλασματικές Λύνονται όπως οι κλασματικές εξισώσεις ου βαθμού.

8 yahoo.gr Α Ανισώσεις ου βαθμού Λύνονται όπως οι εξισώσεις ου βαθμού. Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι αρνητικός αριθμός, όταν διαιρέσουμε με αυτόν, η φορά της ανίσωσης αλλάζει. > > + > > > (, + ) [ 6, + ) 6 6 < 6 < + 6 < < <, 6 6 > ( + ) > > > 7, αδύνατη. 6(+ ) > (+ ) 6+ > > 0> 6 Η παραπάνω ανίσωση ισχύει για κάθε R, άρα έχει άπειρες λύσεις. Β Ανισώσεις ου βαθμού κλασματικές Λύνονται όπως οι κλασματικές εξισώσεις ου βαθμού και μετά την απαλοιφή των παρονομαστών καταλήγουν στην προηγούμενη μορφή. + + < < 6( + ) ( ) < < 4 6+ < < > >, ( ) + +, ( ) ( ) , + 7

9 Γ Ανισώσεις ου βαθμού Για α,β, γ R, και α 0, είναι της μορφής: α + β + γ 0 α + β + γ 0 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις α + β + γ > 0 α + β + γ < 0 Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου, αν έχει και κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων. Για τον πίνακα προσήμων έχουμε τις περιπτώσεις: ) Αν Δ < 0, το τριώνυμο παίρνει το πρόσημο του α (ο συντελεστής του για κάθε R. Για το τριώνυμο f() = + + έχουμε Δ = < 0, άρα δεν έχει ρίζες. Από τον πίνακα προσήμων έχουμε τις λύσεις των ανισώσεων: R, + + > > 0 R Αδύνατη + + < 0 Αδύνατη ) Αν Δ = 0, το τριώνυμο παίρνει το πρόσημο του α (ο συντελεστής του β για κάθε R, εκτός από τη ρίζα του ρ =, όπου μηδενίζεται. α ) ) Για το τριώνυμο f() = έχουμε Δ = 0, άρα έχει μια ρίζα διπλή 4 ρ = =. Από τον πίνακα προσήμων έχουμε τις λύσεις των ανισώσεων: () = + 4 4> 0 Αδύνατη R 4 4 0,, + + < ( ) ( ) ) Αν Δ > 0, το τριώνυμο παίρνει το πρόσημο του α (ο συντελεστής του ), β± Δ εκτός των ριζών και αντίθετο του α ανάμεσα στις ρίζες του ρ, = α Για το τριώνυμο f() = + έχουμε Δ = > 0, άρα έχει δύο ρίζες, τις ( ) ± ± ρ, = = + 4, οπότε ρ = = = και ρ = = =. Από τον πίνακα προσήμων έχουμε τις λύσεις των ανισώσεων: + 0 (,] [, + ) + > 0 (,) (, + ) + 0 [,] + < 0 (,) f() f() f()

10 4 yahoo.gr Δ Ανισώσεις ου βαθμού κλασματικές Οι ανισώσεις αυτές, για α,β, γ,δ,κ R και γ + δ 0, είναι της μορφής: α + β κ α + β κ α + β > κ α + β < κ γ + δ γ + δ γ + δ γ + δ Μεταφέρουμε τον αριθμό κ από το δεύτερο μέλος στο πρώτο και αφού τρέψουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα, οι παραπάνω μορφές καταλήγουν στις: α + β 0 α + β 0 α + β > 0 α + β < 0 γ + δ γ + δ γ + δ γ + δ Οι παραπάνω ανισώσεις έχουν ίδιες λύσεις με τις: (α + β)(γ + δ) 0 (α + β)(γ + δ) 0 (α + β)(γ + δ) > 0 (α + β)(γ + δ) < 0 που είναι ανισώσεις ου βαθμού (ή ου αν α = 0,ή γ = 0 ) αρκεί από τις λύσεις αυτές να εξαιρέσουμε τη ρίζα της εξίσωσης γ + δ = ( + )( ) Η τελευταία ανίσωση είναι ου βαθμού με ρίζες: + = 0 = = 0 = Από τον πίνακα προσήμων προκύπτει (+)(-) - ότι [,] και εφόσον, για την αρχική ανίσωση τελικά [,). Σ η μ ε ί ω σ η Τα πολυώνυμα ου βαθμού, δεξιά από τη ρίζα τους έχουν το πρόσημο που έχει ο συντελεστής του και αριστερά το αντίθετο. Έτσι, στην παραπάνω ανίσωση θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε το διπλανό πίνακα προσήμων. Η λύση της ανίσωσης είναι [,). Για την ανίσωση 0, εφόσον ο αριθμητής είναι θετικός αριθμός, για να ισχύει η ανίσωση, πρέπει < 0 < (,). Σ η μ ε ί ω σ η Τα πρόσημα των πολυωνύμων, στα διαστήματα που καθορίζονται από τις ρίζες τους, μπορούμε να τα βρούμε δίνοντας τιμές στο από κάθε διάστημα στο πολυώνυμο. Π. το πολυώνυμο + στο διάστημα (,) είναι θετικό εφόσον για = 0 (,) γίνεται 0+ = >

11 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ε Ανισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού Είναι ανισώσεις που περιέχουν πολυώνυμα ανωτέρου του ου βαθμού, ή γινόμενα πολυωνύμων ου, ου και ανωτέρου του ου βαθμού. Τρέπουμε τα ανωτέρου του ου βαθμού πολυώνυμα σε γινόμενα πολυωνύμων ου και ου βαθμού, βρίσκουμε τις ρίζες των πολυωνύμων αυτών και στη συνέχεια κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων για τα πολυώνυμα αυτά και το γινόμενό τους. Για την ανίσωση , πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ±, ±, ± 6. Άρα, από το σχήμα Ηorner η ανίσωση γίνεται ( )( 6) = 0 = 6= 0, με Δ = 5 > 0 και ρ=,ρ = Από τον πίνακα προσήμων προκύπτει ότι: [,] [, + ) (-) ( --6) Για την ανίσωση ( )( + )( + + )( + )( 5 + 6) < 0, έχουμε: = 0 = + = 0 = + + = 0 Δ = < 0, αδύνατη + = 0, Δ = 0 = διπλή 5+ 6 = 0 Δ = > 0 και =, = Γινόμενο Από τον πίνακα προσήμων προκύπτει ότι (,) (,). ΣΤ Ανισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού κλασματικές Λύνονται όπως οι κλασματικές ανισώσεις ου βαθμού. ( )( ) ( )( )( )

12 6 yahoo.gr Α Συστήματα εξισώσεων α) Συστήματα εξισώσεων με ένα άγνωστο Λύνουμε την πιο εύκολη από τις εξισώσεις και στη συνέχεια εξετάζουμε ποιες από τις λύσεις που βρήκαμε επαληθεύουν τις υπόλοιπες. Αυτές είναι οι λύσεις του συστήματος. Αν καμία από τις λύσεις δεν επαληθεύει όλες τις εξισώσεις, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. 6 = 0 () 4 = 0 () 5+ 6 = 0 () Από την () έχουμε 6 = 0 = 6 =. Για την τιμή αυτή: Η () επαληθεύεται, διότι 4 = 0 = 0 0 = 0. Η () επαληθεύεται, διότι 5 + 6= = 0 0= 0. Άρα η λύση του συστήματος είναι η =. (Μπορούμε να λύσουμε όλες τις εξισώσεις και να βρούμε την κοινή λύση) β) Συστήματα δύο εξισώσεων ου βαθμού με δύο αγνώστους Η πιο συνηθισμένη μέθοδος λύσης των συστημάτων αυτών είναι η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. Στη μέθοδο αυτή επιλέγουμε ένα άγνωστο και επιδιώκουμε ο άγνωστος στις δύο εξισώσεις να έχει αντίθετους συντελεστές, πολλαπλασιάζοντας, αν χρειαστεί, με κατάλληλο αριθμό τη μια ή και τις δύο εξισώσεις. Τα συστήματα αυτού του είδους έχουν μια λύση, ή είναι αδύνατα, ή έχουν άπειρες λύσεις. α+ β= 0 α+ β= 0 Άρα α =, οπότε + β = β =. α+ β= ( ) α β= α = α β = ( ) α + 4β = 4 α 4β = α 4β = 0 = 5 αδύνατη, άρα το σύστημα είναι αδύνατο. α+ β= () α β =, άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. α + β = α + β = 0 = 0 Έστω β= κ R. Τότε α+ β= α+ κ = α = κ και οι άπειρες λύσεις είναι της μορφής ( α,β) = ( κ,κ ),κ R.

13 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 7 γ) Συστήματα δύο εξισώσεων ου βαθμού και ου βαθμού με δύο αγνώστους Αν έχουμε σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, στο οποίο η μια εξίσωση είναι ου βαθμού και η άλλη ου βαθμού, τότε λύνουμε την πρωτοβάθμια ως προς ένα άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη. y = = y+ = y+ = y+ () + y = (y+ ) + y = y + y+ + y = y + y = 0 () Από την () έχουμε: y + y = 0 y(y + ) = 0. Άρα y = 0, ή y+ = 0 y =. Τότε από την () έχουμε: Για y = 0 είναι = 0+ = και για y = είναι = + = 0. Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: (, y) = (,0) και (,y) = (0, ). Σ η μ ε ί ω σ η Αν η εξίσωση ου βαθμού που προκύπτει κατά τη λύση του συστήματος είναι αδύνατη, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, ενώ αν έχει μια μόνο ρίζα διπλή, τότε το σύστημα έχει μια μόνο λύση. Β Συστήματα ανισώσεων Λύνουμε κάθε μια ανίσωση χωριστά και στη συνέχεια βρίσκουμε τις κοινές λύσεις, αν υπάρχουν. 6 0 () 0 () 6+ 5> 0 () () [, + ) () 0 4 [ 4, + ) () Είναι Δ = 6 > 0 και ρ=, ρ = 5. Άρα (,) ( 5, + ) Από τις (), (), () έχουμε, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, ( 5, + ) Σ η μ ε ί ω σ η Οι κοινές λύσεις βρίσκονται σε εκείνα τα διαστήματα, στα οποία το πλήθος των παράλληλων γραμμών είναι ίσο με το πλήθος των ανισώσεων.

14 yahoo.gr Α Ιδιότητες των ριζών Για κάθε κ, ν Ν,κ,ν και α,β 0, ισχύει: ν ) α = β α = β, ν ) ν α νβ = να β ν ) ν ν β 0 4) = = β = > 5 = 5 μ ν μ α = α ν,α > 0,μ Ζ 5) ν κ α = ν κ α 6) νκ μκ α = ν α μ 7) ν ν α = α 5 5 = 5 = = 6 = = 6 5 = 5 = α = α Β Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ριζών α) Για να προσθέσουμε, ή να αφαιρέσουμε ρίζες, πρέπει να έχουν τον ίδιο δείκτη και την ίδια παράσταση κάτω από τη ρίζα (υπόριζη ποσότητα). Προσθέτουμε τότε, ή αφαιρούμε αντίστοιχα το πλήθος των ριζών αυτών = 4 = β) Για να πολλαπλασιάσουμε, ή να διαιρέσουμε ρίζες, πρέπει να έχουν τον ίδιο δείκτη, όπως φαίνεται στα παραπάνω παραδείγματα των ιδιοτήτων (), (). Αν δεν έχουν τον ίδιο δείκτη, τότε βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεικτών και τους πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλο αριθμό, ώστε οι ρίζες να έχουν τον ίδιο δείκτη. Τον αριθμό αυτό με τον οποίο πολλαπλασιάσαμε, τον βάζουμε εκθέτη στην υπόριζη ποσότητα = 5 = = = 6540 Γ Εισαγωγή αριθμού σε ρίζα Εξαγωγή αριθμού από ρίζα α) Σε γινόμενο αριθμού με ρίζα, για να μπει ο αριθμός μέσα στη ρίζα υψώνεται στον δείκτη της ρίζας και πολλαπλασιάζεται με την υπόριζη ποσότητα. = = = 4 β) Για να βγει ένας αριθμός έξω από τη ρίζα, πρέπει ο αριθμός αυτός να είναι δύναμη με εκθέτη το δείκτη της ρίζας και η υπόριζη ποσότητα να είναι γινόμενο. Τότε ο αριθμός βγαίνει έξω από τη ρίζα χωρίς τον εκθέτη του. 0 = 4 5 = 5 = 5

15 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 9 Δ Μετατροπή άρρητου παρονομαστή σε ρητό. α) Ο άρρητος παρονομαστής ενός κλάσματος μετατρέπεται σε ρητό, αν πολλαπλασιάσουμε με κατάλληλη ρίζα τον αριθμητή και τον παρονομαστή, έτσι ώστε ο παρονομαστής να γίνει δύναμη με εκθέτη το δείκτη της ρίζας = = = = = = ( ) β) Αν ο παρονομαστής του κλάσματος είναι άθροισμα ή διαφορά δύο τετραγωνικών ριζών, τότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή = = = = + ( )( + ) ( ) ( ) = = = = 5 + ( 5 + )( 5 ) ( 5) ( ) 5 Ε Εύρεση ή απλοποίηση ρίζας Για να βρούμε, αν υπάρχει, ή για να απλοποιήσουμε, εφόσον απλοποιείται, μια ρίζα, πρέπει να γράψουμε τον αριθμό στην υπόριζη ποσότητα σαν γινόμενο δυνάμεων. Αυτό γίνεται τρέποντας τον αριθμό αυτό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν μοναδικό διαιρέτη τον εαυτό τους και τη μονάδα, με εξαίρεση το, δηλαδή οι αριθμοί,, 5, 7,,, Διαιρούμε τον αριθμό στην υπόριζη ποσότητα με τον μικρότερο πρώτο αριθμό εφόσον διαιρείται ακριβώς. Αν δεν διαιρείται, δοκιμάζουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό, κ.λ.π. Τους διαιρέτες τους γράφουμε δεξιά, ενώ τα πηλίκα της διαίρεσης αριστερά. Το γινόμενο των διαιρετών είναι ίσο με τον αριθμό που αναλύσαμε. 4 4 = = = 4 00 = 5 = 5 = 0 69 = = 4 = 7 = 7 = 4 ΣΤ Εξισώσεις με ρίζες Για να λύσουμε εξισώσεις αυτής της μορφής, απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της εξίσωσης και υψώνουμε και τα δύο μέλη στον δείκτη της ρίζας. Αν η εξίσωση περιέχει δύο ρίζες, τότε φροντίζουμε σε κάθε μέλος να υπάρχει μια ρίζα και στη συνέχεια υψώνουμε στον δείκτη της ρίζας

16 0 yahoo.gr Στο τέλος πρέπει να ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς και επαληθεύουν την εξίσωση. = = + = () 0, άρα και 0 Εφόσον για κάθε R ισχύει, + (α) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η, πρέπει 0± ± 4 ± ± Είναι Δ = > 0 και ρ, = = = = Άρα,, + (β) - Από την () έχουμε = ( ) = ( ) = = = = 0. Είναι Δ = 6 > 0 και ρ, 6± 6 6± 4 = = () Άρα ρ = = = 5 και ρ = = =. Από τις τιμές αυτές μόνο η τιμή = 5 ικανοποιεί τους περιορισμούς (α), (β), ενώ η τιμή = δεν ικανοποιεί τον περιορισμό (α), διότι, +. Παρατηρούμε ότι για = 5 η αρχική εξίσωση = 5 5= = 7 5= = επαληθεύεται. Επομένως, η λύση της εξίσωσης είναι η = 5.

17 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Α Ιδιότητες των απολύτων τιμών Για τις απόλυτες τιμές ισχύουν τα παρακάτω: ) αν > 0 = 0 αν = 0 αν < 0 Π. = διότι > 0 0 = 0 = ( ) = διότι < 0 ν ν ) Για κάθε R και ν άρτιο, ισχύει =. Π. = ) Για κάθε R ισχύει 0 και. 4) Για κάθε α R, με α 0, ισχύει φ() = α φ() = ± α. 5) Για κάθε α R, με α > 0, ισχύει: φ() α α φ() α φ() [ α,α] φ() α { φ() αήφ() α} φ() (, α] [ α, + ) Β Εξισώσεις με απόλυτες τιμές Λύνονται όπως όλες οι εξισώσεις και στο τέλος χρησιμοποιούμε της ιδιότητα 4. 6= 0 = 6 = = ± = = ±, άρα: = = + = και = = + = 4 = 0 = 0 = + =, αδύνατη διότι για κάθε R, ισχύει = = και θέτοντας = y 0, η εξίσωση γίνεται: y y = 0, που έχει Δ = 9> 0 και ρ=, ρ =. Άρα = αδύνατη και = = ±. Γ Ανισώσεις με απόλυτες τιμές Λύνονται όπως όλες οι ανισώσεις και στο τέλος χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Άρα + και + Επομένως [,]. (Από την, μπορούμε να λύσουμε τη διπλή ανίσωση προσθέτοντας το σε όλα τα μέλη της ανίσωσης, δηλαδή )

18 yahoo.gr { ή } { + ή + } { ή } (,] [, + ) Σ η μ ε ί ω σ η Υπάρχουν και οι παρακάτω ειδικές περιπτώσεις ανισώσεων: 0 R > 0 R { } 0 = < 0 αδύνατη R, > > R αδύνατη < αδύνατη Δ Απαλοιφή του συμβόλου της απόλυτης τιμής Για την απαλοιφή του συμβόλου της απόλυτης τιμής σε μια συνάρτηση, βρίσκουμε τις ρίζες της παράστασης που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή και το πρόσημό της. Αν σε ένα διάστημα η παράσταση είναι θετική, τότε η απόλυτη τιμή της είναι η ίδια η παράσταση και αν είναι αρνητική, η απόλυτη τιμή της είναι η αντίθετη από την παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή. Για την f() = είναι = 0 =. +, (,] f() = +, (, + ) Για την f() = + είναι = 0 = και = 0 =. Αν (,], τότε: f() = + + = + 4 Αν (,), τότε: f() = + = Αν [, + ), τότε: f() = + = 4 ( ] ( ) [ ) + 4,, f() =,, 4,, + Για την f() = + είναι + = 0, με Δ = > 0 και ρ=, ρ =. +, (,) (, + ) f() = +, [,] f() f() - -

19 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Α Εκθετικές εξισώσεις g() α Οι εκθετικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής = β, α,β R με α > 0. Μετατρέπουμε τον αριθμό β > 0 σε δύναμη με βάση τον αριθμό α και η εξίσωση γίνεται α = α, οπότε g() = κ, με κ R, δηλαδή γνωστή εξίσωση. g() κ Η περίπτωση ο αριθμός β να μην μπορεί να γίνει δύναμη με βάση τον αριθμό α, θα εξεταστεί στους λογαρίθμους. 4 = 6 = = 4 5 = 0 αδύνατη 5 = αδύνατη = = 7 = = = 5 = 5 = 5 = 5 = + = Είναι Δ = > 0 και ρ=, ρ =. Άρα = και =. = 7 = = = ± = = 0 = 6 = = εξίσωση γίνεται Άρα = 0 (5 ) = 0 και αν θέσουμε όπου y 6y+ 5= 0, που έχει Δ = 5 = 5 = 0 και Β Εκθετικές ανισώσεις 5 = 5 =. = > και ρ=, ρ = 5. 5 = y > 0, η Η εκθετική συνάρτηση f() = α, α R, α > 0 έχει πεδίο ορισμού το A = R. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: α) Αν α > είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για, A με < ισχύει α < α. Η ανίσωση 0 e < e < e < 0, διότι η συνάρτηση f() = e είναι γνησίως αύξουσα εφόσον έχει βάση τον αριθμό e,7>. β) Αν 0 < α < είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε για, A με < ισχύει α > α. < < > είναι γνησίως φθίνουσα εφόσον έχει βάση το και 0< <. Η ανίσωση, διότι η συνάρτηση f() =

20 4 yahoo.gr Α Εισαγωγικές έννοιες α) Λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ με βάση το θετικό αριθμό α, α, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον αριθμό α για να βρούμε το θ. Δηλαδή Iogαθ = α = θ, όπου θ > 0 και 0 < α. β) Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ με βάση το 0 λέγεται δεκαδικός λογάριθμος του θετικού αριθμού θ και συμβολίζεται με logθ και όχι lοg0θ. Δηλαδή Iogθ = 0 = θ, όπου θ > 0. γ) Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ με βάση τον άρρητο αριθμό e,7 λέγεται φυσικός ή νεπέρειος λογάριθμος του θετικού αριθμού θ και συμβολίζεται με lnθ και όχι lne θ. Δηλαδή Inθ = e = θ, όπου θ > 0. Β Ιδιότητες των λογαρίθμων θ ) Iog α(θ θ ) = Iogαθ + Iogαθ ) Iog Iog θ Iog θ θ = κ α α α κ α = κ ) Iogαθ = κ Iogαθ 4) Iog α 5) Iogα = 0 6) Iogαα = 7) Αν θ >, τότε Iogαθ > 0 ) Αν 0 < θ <, τότε Iogαθ < 0 logβ θ 9) logα θ = (Τύπος για την αλλαγή της βάσης ενός λογάριθμου) log β α 6 log + log4 log = log + log4 log = log( 6) log = log = = log4 = log = log = log0 = log = log 5 = log 5 = lne log5 > 0 log 0 < lne > 0 log 5 log7 ln7 log 5 = log 7 = log 7 = log log ln Γ Λογαριθμικές Εξισώσεις Ομάδα Α Για να βρούμε τους λογάριθμους κάποιων αριθμών, εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογάριθμου και καταλήγουμε σε εκθετική εξίσωση. 0 log = 0 = 0 = 0 = 0, άρα log = 0.

21 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 log00 = 0 = 00 0 = 0 =, άρα log00 =. 0 ln = e = e = e = 0, άρα ln = 0. lne = e = e =, άρα lne =. log 4 = = 4 = =, log 4 =. Ομάδα Β Οι παρακάτω εξισώσεις λύνονται εφαρμόζοντας τον ορισμό του λογάριθμου, ή αντικαθιστώντας τον αριθμό με λογάριθμο, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 4. Για την εξίσωση log = πρέπει > 0. Είναι log = = 0 = 0 > 0, δεκτή. ος τρόπος : log = log = log0 = 0 > 0 Για την εξίσωση log( ) =, πρέπει > 0 >. Είναι log( ) = = 0 = 0+ = > δεκτή. ος τρόπος : log( ) = log( ) = log0 = 0 = 0+ = > Για την εξίσωση ln =, πρέπει > 0. Είναι ln = = e > 0 δεκτή ( e,7). ος τρόπος : ln = ln = lne = e > 0 Για την εξίσωση log log + = 0, πρέπει > 0. Θέτω log y =, y =, άρα: = y, οπότε η εξίσωση γίνεται y y+ = 0. Είναι Δ = > 0 και log = = > 0 δεκτή και log = = = 9 > 0 δεκτή. ος τρόπος : Με την ίδια διαδικασία και καταλήγουμε στις εξισώσεις: log = log = log = > 0 log = log = log = = 9 > 0 Ομάδα Γ Στις εξισώσεις αυτές, άγνωστος είναι η βάση α του λογάριθμου, για την οποία έχουμε τον περιορισμό 0 < α. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό καταλήγουμε σε γνωστές εξισώσεις. Για την εξίσωση log = πρέπει 0<. Είναι log = = > 0 και =, άρα δεκτή. Για την εξίσωση log 5 =, πρέπει > 0 > και. Είναι log 5 = = 5 = 5 + = 7 > και = 7, άρα δεκτή. Για την εξίσωση log = πρέπει 0<. Είναι log = = = = = > 0 και =, άρα δεκτή.

22 6 yahoo.gr Σ η μ ε ί ω σ η Στις εκθετικές εξισώσεις υπάρχει μια περίπτωση που πρέπει να αναφερθεί εδώ. g() Αν για την εκθετική εξίσωση α = β, α,β R με α > 0, είναι β > 0 και ο α- ριθμός β δεν μπορεί να γίνει δύναμη με βάση τον αριθμό α, τότε παίρνουμε τους λογαρίθμους και των δύο μελών της εξίσωσης, οπότε σύμφωνα με την ιδιότητα () των λογαρίθμων η εξίσωση γίνεται: g() logβ logα = logβ g() logα = logβ g() =, οπότε καταλήγουμε σε γνωστές εξισώσεις. logα log = log = log log = log = log Δ Λογαριθμικές Ανισώσεις Η λογαριθμική συνάρτηση f() = logα, 0 < α έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = ( 0, + ). Στις λογαριθμικές ανισώσεις χρησιμοποιούμε την ιδιότητα 4 και τα παρακάτω: α) Αν α > είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για, A με < ισχύει logα < logα. Για την ανίσωση log >, πρέπει > 0. Είναι log > log > log0 > 0, διότι η συνάρτηση f() = log είναι γνησίως αύξουσα εφόσον έχει βάση τον αριθμό 0 >. Άρα > 0. Για την ανίσωση ln <, πρέπει > 0. Είναι ln < ln < lne < e, διότι η συνάρτηση f() = ln είναι γνησίως αύξουσα εφόσον έχει βάση τον αριθμό e>. Επομένως 0< < e. β) Αν 0 < α < είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε για, A με < ισχύει logα > logα. Για την ανίσωση log > 0, πρέπει > 0. Είναι log > log > log < <, διότι η συνάρτηση f() = log είναι γνησίως φθίνουσα εφόσον έχει βάση το και είναι 0< <. Σ η μ ε ί ω σ η Γενικά ασχολούμαστε μόνο με τους δεκαδικούς λογάριθμους, που έχουν βάση το 0 και τους φυσικούς λογάριθμους, που έχουν βάση το e.

23 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 7 Α Βασικοί τύποι της τριγωνομετρίας ημ + συν = ημ = συν συν = ημ ημ συν εφ = σφ = εφ = σφ = συν ημ σφ εφ ημ(α+ β) = ημα συνβ + ημβ συνα ημ(α β) = ημα συνβ ημβ συνα συν(α+ β) = συνα συνβ ημα ημβ συν(α β) = συνα συνβ + ημα ημβ ημ = ημ συν συν = συν ημ = ημ = συν Β Γνωστοί τριγωνομετρικοί αριθμοί Ημίτονο Συνημίτονο 45 (π /4) 60 (π /) Εφαπτομένη Συνεφαπτομένη 0 (π /6) 0 60 (π) π 90 Γ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών 0 (π) π 70 Ημίτονο Συνημίτονο 0-0 Εφαπτομένη Συνεφαπτομένη π π/ ο ο ο 4ο π/ 0 π ο ο ο 4ο Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Συνεφαπτομένη

24 yahoo.gr Δ Κανόνες α) Αντίθετες γωνίες ημ( ) = ημ συν( ) = συν εφ( ) = εφ σφ( ) = σφ β) Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο Οι παρακάτω (πρακτικοί) κανόνες είναι πολύ χρήσιμοι όταν θέλουμε να βρούμε κάποιους τριγωνομετρικούς αριθμούς που δεν αναφέρονται στους προηγούμενους πίνακες. ) Σε γωνίες με μορφή 90 ± α, ή 70 ± α, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εναλλάσσονται, δηλαδή το ημίτονο γίνεται συνημίτονο, η εφαπτομένη γίνεται συνεφαπτομένη και το αντίστροφο. Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας. ημ5 = ημ( ) = συν45 = (ο τεταρτημόριο) συν( 40 ) = συν40 = συν(70 0 ) = ημ0 = (ο τεταρτημόριο) ) Σε γωνίες με μορφή 0 ± α, ή 60 ± α, ή 60 κ± α, (κ Ζ) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί δεν αλλάζουν. Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας. εφ( 5 ) = εφ5 = εφ( ) = εφ45 = (ο τεταρτημόριο) συν70 = συν( ) = συν60 = (ο τεταρτημόριο) Σ η μ ε ί ω σ η Για το πρόσημο ενός τριγωνομετρικού αριθμού, στους παραπάνω πρακτικούς κανόνες, θα θεωρούμε ότι η γωνία α είναι μικρότερη από 90, ώστε στον τριγωνομετρικό κύκλο να αλλάζουμε ένα τεταρτημόριο κάθε φορά. Π. ημ0 = ημ( ) = συν0 = συν(0 60 ) = συν60 = Στην πρώτη περίπτωση, η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (θεωρούμε ότι η γωνία 0 είναι μικρότερη από 90 ), όπου το ημίτονο είναι θετικό και όχι στο ο τεταρτημόριο ( = 0 ), όπου το ημίτονο είναι αρνητικό. Ε Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με τους παρακάτω τύπους: = κπ + α εφ = εφα ) ημ = ημα (κ Ζ) ) = κπ + α (κ Ζ) = κπ + π α σφ = σφα ) συν = συνα = κπ ± α (κ Ζ) Γενικά ισχύει: ημ,συν

25 Σ η μ ε ί ω σ η Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 9 Είναι χρήσιμες και οι παρακάτω ειδικές περιπτώσεις: ημ = 0 = κπ (κ Ζ) π συν = 0 = κπ + (κ Ζ) Ομάδα Α Αντικαθιστούμε στην εξίσωση τον αριθμό που εμφανίζεται με τον αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό, από τους τριγωνομετρικούς πίνακες (Β). Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων. π = κπ + (κ Ζ) π ημ = ημ = ημ 4 4 π 4π π π = κπ + π = κπ + = κπ + (κ Ζ) π π συν = συν = συν = κπ ± (κ Ζ) συν = αδύνατη, διότι γενικά ισχύει συν. π π εφ = εφ = εφ = κπ + (κ Ζ) 6 6 π π σφ = σφ = σφ = κπ + (κ Ζ) 4 4 Ομάδα Β Στις περιπτώσεις που έχουμε αρνητικό αριθμό και δεν είναι ίσος με κανένα τριγωνομετρικό αριθμό, χρησιμοποιούμε τον κανόνα των αντίθετων γωνιών για να βάλουμε το μείον μέσα στη γωνία στο ημίτονο, στην εφαπτομένη και στην συνεφαπτομένη, ενώ για το συνημίτονο γράφουμε: συν = κ συν = συνα συν = συν ( π α), όπου συνα = κ. π π ημ = ημ = ημ ημ = ημ 4 4 π π = κπ + = κπ (κ Ζ) 4 4 π π 4π+ π 5π = κπ + π = κπ + π + = κπ + = κπ + (κ Ζ) π π π π συν = συν = συν συν = συν π συν = συν π π συν = συν = κπ ± (κ Ζ) π π π εφ = εφ = εφ εφ = εφ = κπ (κ Ζ) π π π σφ = σφ = σφ σφ = σφ = κπ (κ Ζ) 4 4 4

26 0 yahoo.gr Ομάδα Γ Υπάρχουν εξισώσεις οι οποίες καταλήγουν στις προηγούμενες, αφού προηγουμένως εφαρμόσουμε σε αυτές τύπους της τριγωνομετρίας. π = κπ + (κ Ζ) π ημσυν = ημ = ημ π π = κπ + π = κπ + (κ Ζ) π π = κπ + = κπ + (κ Ζ) 4 ημ + συν ημ = 0 ημ + ημ ημ = 0 ημ ημ = 0 ημ(ημ ) = 0 Άρα ημ = 0 = κπ (κ Ζ) ή ημ = 0 ημ = > αδύνατη, διότι γενικά ισχύει ημ. Σ η μ ε ί ω σ η Σε κάποιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, θέλουμε οι λύσεις να ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Στις περιπτώσεις αυτές δίνουμε τιμές στο κ από το σύνολο των ακέραιων αριθμών, στις λύσεις της εξίσωσης για να βρούμε ποιες από αυτές ανήκουν στο διάστημα αυτό. Για την εξίσωση εφ =, [ 0,π], έχουμε: π π εφ = εφ = εφ = κπ + (κ Ζ) () 4 4 Για κ = 0, από την () έχουμε π π = 0 π + = [ 0, π] 4 4 Για κ =, από την () έχουμε = π+ π = π+ π = 5π [ 0, π] Για κ =, από την () έχουμε = ( ) π+ π = π+ π = π [ 0, π] Γενικά, μόνο για κ = 0 η εξίσωση έχει λύση στο διάστημα [ 0, π ]. π Άρα η λύση της εξίσωσης είναι η = 4 Ένας άλλος τρόπος είναι να βρούμε για ποιες ακέραιες τιμές του κ, οι λύσεις θα ανήκουν στο διάστημα που δόθηκε. π π π π π [ 0,π] 0 π 0 κπ + π κπ + π π 4π π π κπ π κπ κ, άρα κ = π π 4π 4 4

27 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Δίνουμε παρακάτω εισαγωγικές έννοιες, τύπους και απλές εφαρμογές για τις αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους. Α Αριθμητική Πρόοδος Είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε αριθμός προκύπτει από τον προηγούμενο, με την πρόσθεση πάντα του ίδιου αριθμού που ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου και συμβολίζεται με ω. Αν α ο πρώτος όρος και ω η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου (α ν), τότε: ) ω = αν+ αν Για την αριθμητική πρόοδο, 4, 6, είναι ω = 4 =. ) αν = α + (ν ) ω, ο νιοστός όρος (ή όρος τάξεως ν) της προόδου. Η αριθμητική πρόοδος με α = και ω =, έχει α5 = α+ 4ω = + 4 =. ) Οι αριθμοί α,β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β = α+ γ. α+ γ Ο αριθμός β = λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. Οι αριθμοί, 4, 6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου διότι ισχύει: 4 = ) Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου δίνεται από τους (α τύπους + α ν)ν [ α + (ν ) ων ] Sν =, ή Sν = Η αριθμητική πρόοδος με α = και ω =, έχει α5 = α+ 4ω = + 4 = και το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της είναι: (α+ α 5)5 ( + )5 70 S5 = = = = 5 Το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου με α = και ω =, είναι [ + ] [ + ] α (6 )ω 6 56 S6 = = = 7 = 5. 5) α) Αν ω > 0, η αριθμητική πρόοδος λέγεται γνησίως αύξουσα. Η αριθμητική πρόοδος, 4, 6, είναι γνησίως αύξουσα διότι ω = > 0. β) Αν ω < 0, η αριθμητική πρόοδος λέγεται γνησίως φθίνουσα. Η αριθμητική πρόοδος 4,,0,..είναι γνησίως φθίνουσα διότι ω = < 0.

28 yahoo.gr Β Γεωμετρική Πρόοδος Είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε αριθμός προκύπτει από τον προηγούμενο, με τον πολλαπλασιασμό πάντα του ίδιου αριθμού που ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου και συμβολίζεται με λ. Αν α ο πρώτος όρος και λ ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου (α ν), τότε: α ) λ = ν+ αν 4 Για την γεωμετρική πρόοδο, 4,, είναι λ = =. ν ) α = α λ, ο νιοστός όρος (ή όρος τάξεως ν) της προόδου. ν Η γεωμετρική πρόοδος με α = και λ =, έχει α = α λ = = 4. ) Οι αριθμοί α,β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β = α γ Ο αριθμός β = α γ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Οι αριθμοί, 4, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου διότι ισχύει: 4 =. 4) Το άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο S ν α (λ ) ν = λ Το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου με α = και λ =, είναι α (λ ) ( ) 7 S = = = = 7. λ 5) α) Αν λ >, η γεωμετρική πρόοδος λέγεται απολύτως αύξουσα. Η γεωμετρική πρόοδος, 4,, είναι απολύτως αύξουσα διότι: λ = = >. β) Αν λ <, η γεωμετρική πρόοδος λέγεται απολύτως φθίνουσα. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα των απείρων όρων της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο S α = λ Η γεωμετρική πρόοδος,,,.. είναι απολύτως φθίνουσα διότι: 4 λ = = < και το άθροισμα των απείρων όρων της είναι: α S = λ = = = =