Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Transcript

1

2 Τυπολόγιο Μαθηματικών

3 Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα Γεωμετρία Λυκείου Άλγεβρα Γεωμετρία Κατεύθυνση Γ Λυκείου Επιλογή Κατεύθυνση Παραρτήματα,, Γ, Δ, Ε Φιλοδοξούμε να γίνει το βασικό εργαλείο στη μελέτη σας αφού κάθε στιγμή θα μπορείτε εύκολα και γρήγορα να βρείτε με εγκυρότητα, αυτό που θέλετε. Πιστεύουμε ότι θα σας βοηθήσει και στην επανάληψή σας πριν τις Πανελλήνιες εξετάσεις! Γατσινάρης. Μαθηματικός Πληροφορίες Τυπολόγιο Μαθηματικών

4 φιερώνεται σε όλους τους μαθητές που μοχθούν για την επίτευξη των στόχων τους! παγορεύεται η αναπαραγωγή και δημοσίευση του παρόντος έργου με οποιονδήποτε τρόπο, χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη ο οποίος παρακρατεί αποκλειστικά την κυριότητα,νομή και κατοχή. Τυπολόγιο Μαθηματικών

5 Το παρόν τεύχος αποτελεί ένα βοήθημα στα, για κάθε μαθητή. Θα βρείτε όλες τις βασικές εισαγωγικές έννοιες των μαθηματικών. Στόχος μας είναι μέσα από σύγχρονα προγράμματα σπουδών και σημερινές εκπαιδευτικές αντιλήψεις να σε στηρίξουμε στην προσπάθειά σου για την κατάκτηση των στόχων σου και την εκπλήρωση των προσδοκιών σου.

6 Το πρόγραμμα αποτελεί τη σύγχρονη αντίληψη βοηθημάτων στο ελληνικό χώρο. Εκατοντάδες μαθητές σε όλη την Ελλάδα διαβάζουν υπερ μ α θ η μ α τ ι κ ά

7 Τυπολόγιο 10 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εξίσωση πρώτου βαθμού ου Εξίσωση 1 βαθμού με ένα άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής α + β = 0 Επίλυση Έστω η εξίσωση α + β = 0, με α, β R β ν α 0, η εξίσωση α + β = 0 έχει μοναδική λύση την = α ν α = 0, η εξίσωση α + β = 0 γίνεται 0 = -β και αν β 0 δεν έχει λύση. (αδύνατη) αν β = 0 κάθε αριθμός είναι λύση της. (ταυτότητα ή αόριστη) Σε μια εξίσωση μπορούμε να μεταφέρουμε όρους από το ένα μέλος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημό τους. άλγεβρα

8 Τυπολόγιο 11 Εξίσωση δευτέρου βαθμού Εξίσωση δευτέρου βαθμού λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής α 2 + β + γ = 0, με α 0 Διακρίνουσα καλείται η παράσταση Δ = β 2 4αγ Επίλυση εξίσωσης δευτέρου βαθμού Έστω η εξίσωση α 2 + β + γ = 0 με α 0 ν Δ > 0 τότε έχει δύο άνισες λύσεις τις, 2 β = 2α 1 ± Δ ν Δ = 0 τότε έχει μια διπλή ρίζα την ν Δ < 0 τότε δεν έχει λύση. (δύνατη) = β 2α Παργοντοποίηση τριωνύμου ν ρ 1, ρ2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης α 2 + β + γ = 0, α 0 τότε το τριώνυμο α 2 + β + γ παραγοντοποιείται 2 σύμφωνα με τον τύπο α + β + γ = α( ρ1)( ρ2 ) άλγεβρα

9 Τυπολόγιο 12 Διάταξη πραγματικών αριθμών α > β α β > 0 α < β α β < 0 α = β α β = 0 νισότητα καλείται κάθε σχέση της μορφής Ιδιότητες διάταξης α > β α ± γ > β ± γ α > β ή α < β ν γ > 0, τότε α > β αγ > βγ ν γ > 0, τότε α > β α β > γ γ ν γ < 0, τότε α > β αγ < βγ ν γ < 0, τότε α > β αν αν α β < γ γ α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ α > β και β > γ τότε α > γ αν α,β, γ,δ > 0 με α > β και γ > δ τότε αγ > βδ α α β = 0 + α = β = 0 άλγεβρα

10 Τυπολόγιο 13 νίσωση καλείται η ανισότητα που περιέχει έναν άγνωστο. Επίλυση ανίσωσης πρώτου βαθμού Έστω η ανίσωση α + β > 0 ν α > 0 τότε η ανίσωση γίνεται ν α < 0 τότε η ανίσωση γίνεται α + β > 0 > α + β > 0 < ν α = 0 τότε η ανίσωση γίνεται 0 > β β - α β - α ν β > 0 η ανίσωση αληθεύει για κάθε R ν β < 0 η ανίσωση είναι αδύνατη ν β = 0 η ανίσωση είναι αδύνατη Γραμμική εξίσωση καλείται κάθε εξίσωση της μορφής Λύση μιας εξίσωσης α + β = λέγεται κάθε ζεύγος (,) που την επαληθεύει. γ α + β = γ Η εξίσωση = k, k 0 παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον στο ( 0,k) (0,k) = k άλγεβρα

11 Τυπολόγιο 14 Η εξίσωση = 0 παριστάνει τον άξονα = 0 = k Η εξίσωση = k, k 0 παριστάνει ευθεία παράλληλη στον και τέμνει τον στο ( k,0) (k,0) = 0 Η εξίσωση = 0 παριστάνει τον άξονα Η εξίσωση α + β = γ με α 0, β 0 παριστάνει ευθεία που τέμνει και τους δύο άξονες. Η εξίσωση α + β = γ παριστάνει ευθεία αν α 0 ή β 0 Η εξίσωση = α παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. α > 0 α < 0 Ο λόγος = α λέγεται κλίση της ευθείας = α Τα, λέγονται μεγέθη ανάλογα. άλγεβρα

12 Τυπολόγιο 15 Άξονας πραγματικών αριθμών Ορθογώνιο σύστημα αξόνων Κάθε σημείο M του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων ( α, β) β Μ(α,β) α Κάθε ζεύγος αριθμών ( α, β) αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο Μ του επιπέδου. A(1,1) πόσταση δύο σημείων. 2 ( ) + ( ) 2 ( AB) = B(2,2) ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση 2 = α Έχει κορυφή το (0,0) Έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ν α > 0 βρίσκεται από τον άξονα και πάνω και παίρνει ελάχιστη τιμή = 0, όταν = 0 ν α < 0 βρίσκεται από τον άξονα και κάτω παίρνει μέγιστη τιμή = 0, όταν = 0 άλγεβρα

13 Τυπολόγιο 16 Η συνάρτηση = α Έχει κορυφή το Κ 2 + β + γ β 2α, Δ 4α Έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση = β 2α ν α > 0 παίρνει ελάχιστη τιμή όταν = β 2α ν α < 0 παίρνει μέγιστη τιμή όταν = β 2α = = Δ 4α Δ 4α f(0) β 2α Δ ρ1 ρ2 4α Δ 4α ρ1 ρ2 β 2α f(0) α Η συνάρτηση = Έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Έχει άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων δηλαδή τις ευθείες με εξισώσεις = και = ν α > 0 είναι στο Ι, ΙΙΙ τεταρτημόριο. ν α < 0 είναι στο ΙΙ, Ι V τεταρτημόριο. άλγεβρα

14 Τυπολόγιο 17 γεωμετρία

15 Τυπολόγιο 18 Ευθύγραμμο τμήμα Ευθεία ν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα AB τότε το νέο σχήμα που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, λέγεται ευθεία. ( ε) πό ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες. πό δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. ( ε) Ημιευθεία ν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα AB πέρα από το ένα μόνο άκρο του π.χ. το B τότε το νέο σχήμα που έχει αρχή το A αλλά δεν έχει τέλος, λέγεται ημιευθεία. ντικείμενες ημιευθείες ν είναι ένα σημείο της ευθείας τότε με αρχή το ορίζονται δύο ημιευθείες και οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες. γεωμετρία

16 Τυπολόγιο 19 Επίπεδο Είναι μια επιφάνεια πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή. ε Π πό 3 μη συνευθειακά σημεία, διέρχεται μοναδικό επίπεδο. πό 1 ή 2 σημεία, διέρχονται άπειρα επίπεδα. Ημιεπίπεδο Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει αυτό σε δύο ημιεπίπεδα. Π 2 ε Π 1 πόσταση σημείων πόσταση δύο σημείων A, B λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος AB που τα ενώνει. πόσταση σημείου από ευθεία πόσταση του σημείου A από την ευθεία ( ε) λέγεται το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος AB από το σημείο A προς την ευθεία ( ε) B (ε) πόσταση παραλλήλων ευθειών πόσταση δύο παραλλήλων ευθειών λέγεται το μήκος οποιουδήποτε τμήματος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σε αυτές. A ( ε 2 ) ( ε 1) Μέσο ευθυγράμμου τμήματος Μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος AB ονομάζουμε το σημείο M τμήματος που απέχει εξίσου από τα άκρα του. γεωμετρία

17 Τυπολόγιο 20 Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. z Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας, ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. και κάθε σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας είναι σημείο της διχοτόμου της. Μ δ Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του τμήματος Σ ε Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. και κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος. Μ Σ ε γεωμετρία

18 Τυπολόγιο 21 Είδη γωνιών Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι o 90 Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των o 90 μβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μεγαλύτερο των o και μικρότερο των 180 o 90 Ευθεία γωνία o λέγεται η γωνία με μέτρο 180 Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία o με μέτρο μεγαλύτερο των 180 o και μικρότερο των 360 Ο Μηδενική γωνία λέγεται η γωνία με μέτρο Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία με μέτρο o 0 o 360 γεωμετρία

19 Τυπολόγιο 22 Εφεξής γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, μια κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Ο z Διαδοχικές γωνίες λέγονται περισσότερες από δύο γωνίες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεμιά από αυτές είναι εφεξής γωνία με την προηγούμενη ή την επόμενή της. z Ο ω δ Συμπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες με άθροισμα o 90 δ Παραπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες με άθροισμα o 180 Κατακορυφήν γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες. ω φ φ ω γεωμετρία

20 Τυπολόγιο 23 Κάθετες ευθείες Δύο ευθείες είναι κάθετες όταν οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές τεμνόμενες, είναι ορθές. Παράλληλες ευθείες Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες αν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο όσο και αν προεκταθούν. ε 1 // ε 2 ε 1 ε 2 Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό ονομάζονται τεμνόμενες και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο τομής των δύο ευθειών. ε 1 Ο ε 2 Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση ακτίνα ( ρ) από ένα σταθερό σημείο Ο Μ Χορδή κύκλου λέγεται το ευθύγραμμό τμήμα AB που συνδέει δύο σημεία A και B του κύκλου. Ο Διάμετρος κύκλου Η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάμετρος ( Δ) του κύκλου. Ο Δ = 2 ρ γεωμετρία

21 Τυπολόγιο 24 Τόξο κύκλου Δύο σημεία A και B του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο μέρη που το καθένα λέγεται τόξο του κύκλου με άκρα τα A και B Ο Επίκεντρη γωνία λέγεται η γωνία της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. A Ο B Κυκλικός δίσκος είναι ο κύκλος μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Ο Θέσεις ευθείας και κύκλου Έστω ο κύκλος ( Ο,ρ) και η ευθεία ( ε) και έστω ότι d d(,ε) Η ευθεία είναι εφαπτόμενη, αν d = ρ ε d ρ Ο ε ρ d Ο Η ευθεία είναι τέμνουσα, αν d < ρ Η ευθεία είναι εξωτερική, αν d > ρ ε ρ d Ο γεωμετρία

22 Τυπολόγιο 25 Άθροισμα γωνιών τριγώνου To άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ο Δηλαδή A + B+ Γ = 180 o 180 Γ Διάκριση τριγώνων ως προς τις γωνίες Οξυγώνιο όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες. Γ Γ μβλυγώνιο όταν έχει μία γωνία αμβλεία. Γ Ορθογώνιο όταν έχει μία γωνία ορθή. Διάκριση τριγώνων ως προς τις πλευρές Ένα τρίγωνο λέγεται Σκαληνό όταν έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες. Γ Ισοσκελές όταν έχει δύο πλευρές ίσες. Οι προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου γωνίες, είναι ίσες. Γ Ισόπλευρο όταν έχει και τις 3 πλευρές του ίσες. o Όλες οι γωνίες ισόπλευρου είναι ίσες με 60 Γ γεωμετρία

23 Τυπολόγιο 26 Ίσα τρίγωνα ν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες τότε είναι ίσα. Γ Γ Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1 ο κριτήριο ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση τότε είναι ίσα. Γ Γ 2 ο κριτήριο ν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Γ Γ 3 ο κριτήριο ν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Γ Γ Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. γεωμετρία

24 Τυπολόγιο 27 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων 1 ο κριτήριο ν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Γ Γ 2 ο κριτήριο ν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση τότε είναι ίσα. Γ Γ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών ν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει. ε 1 ε 2 ε 3 ε ε Ειδικότερα αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Μ Ν Γ γεωμετρία

25 Τυπολόγιο 28 Θεώρημα του Θαλή ν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη. Γ Γ Δηλαδή αν ε 1 // ε2 // ε3, τότε = = Γ Γ ε 1 B B ε 2 Γ Γ ε 3 ε ε Ειδικότερα για δύο σημεία ενός τριγώνου Γ Δ, Ε των πλευρών, Γ είναι: ν ν ΔΕ // Γ τότε Δ = Δ Ε ΕΓ Δ Ε = τότε ΔΕ // Γ Δ ΕΓ Δ ( ε ) Ε Γ Όμοια πολύγωνα ν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. Όμοια τρίγωνα Δύο τρίγωνα Γ, ΔΕΖ είναι όμοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Δηλαδή AB Γ Γ αν = = και = Δ, = Ε,Γ = Ζ ΔΕ ΔΖ ΕΖ Γ Ε Δ Ζ Κριτήριο ομοιότητας ν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία τότε είναι όμοια. γεωμετρία

26 ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗ Ετοιμάσαμε μία πλήρη σειρά για τα της Γ Λυκείου τη σειρά ΘΕΜ κατάλληλη και για την εκμάθηση στη διάρκεια της χρονιάς όσο και για την επανάληψη σε πρωτότυπο στυλ και με όλα τα θέματα όλων των εξετάσεων των παρελθόντων ετών! Σύντομα θα κυκλοφορήσει μία πλήρης σειρά βοηθημάτων μαθηματικών για το γυμνάσιο και το λύκειο. Τα πάντα γύρω από τα

27 Τα πάντα γύρω από τα