Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
|
|
- Κύριλλος Μαυρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema esu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
2 Niz brojeva Definicija: Neka je S neki skup brojeva. Funkciju a : N S zovemo nizom brojeva iz S. Umjesto da se piše a(n), što je uobičajeno kod funkcija, piše se a n. Elementi a, a,, a n, se zovu članovi niza. Element a n se zove opći član niza. Primjer: Napisati prvih pet članova niza čiji je opći član 4 5 Rješenje:,,,, Primjer: Naći opći član niza, čiji su članovi,,,, n a n. n Rješenje: Prvi član ima u brojniku, drugi član ima u brojniku 4, treći član ima u brojniku 6, itd. U nazivniku je broj za jedan manji nego u brojniku.
3 n Prema tome a n. n Primjer: Naći opći član niza,,, Rješenje: a, a, a, a,... Tako je n. 4 Definicija: Kažemo da niz realnih brojeva (a n ) raste ako je a n a n, za svaki n N, strogo raste ako je a n > a n, za svaki n N, pada ako je a n a n, za svaki n N, strogo pada ako je a n < a n, za svaki n N. Niz zovemo monotonim ako raste ili pada. 7 8 Primjer: Dokazati da strogo pada niza čiji je opći član a n, n n. 5 a n n
4 Definicija: Kažemo da je niz realnih brojeva (a n ) ograničen odozgor ako postoji M R, takav da je a n M, za svaki n N, ograničen odozdol ako postoji m R, takav da je a n m, za svaki n N, ograničen ako je ograničen odozdol i odozgor, neograničen ako nije ograničen. n Primjer: Ispitati ograničenost niza čiji je opći član a n, n. n Rješenje: Budući da je brojnik veći od nazivnika, svaki član niza je veći od. Niz strogo pada, pa je prema tome a najveći element. Dakle niz je ograničen i odozgo i odozdo.
5 Limes niza. Konvergentni nizovi. Definicija: Kažemo da niz (a n ) realnih brojeva konvergira k L, ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N tako da n > n 0 a n L < ε. U tom slučaju kažemo takoñer da niz ima es a 0, i pišemo a n n L. Za niz koji ima es kažemo da je konvergentan. Za niz, koji nema es tj. koji ne konvergira, kažemo da divergira ira, odnosno da je divergentan. Prema ovoj definiciji, u proizvoljno maloj okolini esa nalaze se svi članovi niza osim njih konačno mnogo. Dakle vrijedi sljedeca tvrdnja Tvrdnja: Ako niz konvergira, onda je on ograničen. Prema tome neograničen niz nema es. Primjer: Ispitati konvergenciju niza a n. n
6 Rješenje enje: Niz konvergira i 0. n n Primjer: Ispitati konvergenciju niza: n n a q. Rješenje enje: Ako je q >, onda je niz a n q neograničen, pa divergira. Ako je q 0, onda je svaki član niza jednak 0, pa niz konvergira, i es mu je 0. Ako n n je 0 < q <, niz a q konvergira i q 0. Ako je q, onda niz n n konvergira i es je, a ako je q -, onda imamo niz -,,-,,-,,... Unutar proizvoljno male okoline oko se doduše nalazi beskonačno mnogo članova niza, no i izvan nje se nalazi beskonačno mnogo članova. Tako nije es. Sličnim razmatranjem zaključujemo da niti - ne može biti es. Neki drugi broj ne moze biti es jer postoji interval oko njega u kojem se ne nalazi niti jedan član niza. Tvrdnja: Monoton i ograničen niz realnih brojeva konvergira. n Tvrdnja: Neka su nizovi (a n ) i (b n ) konvergentni, i neka je a n a0 b n b 0. Tada vrijedi sljedeće: n n i
7 . Niz (a n ± b n ) konvergira i n. Niz (a n b n ) konvergira i n. Niz ( λ a n ) konvergira i ( an ± bn ) an ± bn a0 ± b0 n n ( an bn ) an bn a0 b0 n n n ( an ) λ an λ a0 λ. n 4. Ako je b n 0 za svaki n N i b 0 0, niz (a n / b n ) konvergira i n a b n n n n a b n n a b
8 Neki važni nizovi Razmotrit ćemo sada neke važne ese. Primjer: Može se dokazati da vrijede sljedeći esi: n n n. n n a n 0 n a, za a > 0. n!, za a R. Broj e: e. n n n
9 Limes funkcije U daljnjem tekstu koristimo i podrazumijevamo sljedeće oznake i pretpostavke: Neka je funkcije f: D(f) R R. Kada govorimo o esu funkcije yf() u točki a, tada za domenu D(f) podrazumijevamo sljedeće: ako je a R tada postoji barem jedan realan broj δ>0 takav da je skup (a-δ,aδ) \ {a} sadržan u domeni D(f); ako je a tada postoji barem jedan realan broj M>0 takav da je interval (M, ) sadržan u domeni D(f); ako je a - tada postoji barem jedan realan broj m<0 takav da je interval (-,m) sadržan u domeni D(f). Kada pišemo a, a ne navedemo da je a R, tada podrazumijevamo da točka a može biti i ±.
10 Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, -a < δ f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad a. a Ako nejednakosti -a < δ, f()-l < ε napišemo u intervalnom obliku, tada definiciju esa možemo napisati u drugom obliku: Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, (a-δ, aδ) f() (L-ε, Lε). Ako točka a nije konačna, odnosno, ako je a±, tada za es funkcije imamo sljedeće definicije:
11 Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki, ako za svaki ε > 0 postoji M > 0 tako da vrijedi: D(f), > M f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki -, ako za svaki ε > 0 postoji m < 0 tako da vrijedi: D(f), < m f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad -. Tvrdnja A: Realan broj L je es funkcije yf() u točki a, ako i samo ako za svaki niz ( n ) iz D(f), takav da n a i n a, vrijedi f ( ) L. n n a
12 Primjer: Neki osnovni esi su a) za sve p > 0, 0; p fhl ê,ê fhl 5, 4,, 50 b) za sve p > 0, 0; 0 p c) e ±
13 Tvrdnja B: Ako za funkciju yf() postoji es u točki a, tada je on jedinstven. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. neka funkcija yf() ima dva esa L f ( ), L f ( ). Tada po definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > a a 0 i δ > 0 takvi da vrijedi D(f), a, -a < δ f()-l < ε / i -a < δ f()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: L - L L f() f() - L f()-l f()-l < ε/ ε/ ε, odakle zbog toga što je ε > 0 proizvoljan slijedi da je L L. Q.E.D. Navest ćemo jedan primjer nepostojanja esa dane funkcije u točki a. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi
14 sin, ( ) 5 za za 0, f Tada ne postoji es ove funkcije u točki 0. Zaista, neka su (a n ) i (b n ) dva niza definirana na sljedeći način: a n π n π i b n π n, π nε N Nije teško provjeriti da je f(a n ) i f(b n ) -, n N, odnosno da vrijedi a n 0, f(a n ) i b n 0, f(b n ) -, kad n.
15 Ako bi postojao es L funkcije yf() u točki 0 tada bi po TvrdnjiA istovremeno imati da je L i L-, što po TvrdnjiB nije moguće.
16 Primjer: Sljedeće funkcije nemaju es u točki a: - f ( ) u točki ; f ) tg ( u točki π/; f ( ) cos u točki 0; f ) cth ( u točki 0;
17 Ako je funkcija yf() definirana u točki a, odnosno, ako je a D(f), te ako postoji es L f ( ) tada se postavlja pitanje da li je L jednako f(a)? O a tome govori sljedeći primjer. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi f ( ), za za 0, 0. Tada vrijedi f (0) f ( ). Zaista, nije teško vidjeti da postoji f ( ) i da je f ( ) 0. S druge strane, iz definicije ove funkcije znamo da je f(0), pa zaključujemo da je f (0) f ( ). 0
18 Računanje esa U nastavku ćemo prezentirati neke metode računanja esa, a koje se temelje na svojstvima esa funkcija s obzirom na algebarske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja funkcija. Ova svojstva su iskazana u sljedećem rezultatu. Tvrdnja C: Neka postoje esi funkcija yf() i yg() u točki a. Tada su istinite sljedeće jednakosti:. [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g( ), a a a. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ), a a a f ( ) f ( ) a., ako je g( ) 0, a g( ) g( ) a a
19 [ g( ) ] 4. f ( ) a a a f ( ) g( ), ako desna strana nije oblika 0 Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA i svojstava konvergentnih nizova, ali ove jednakosti možemo dokazati direktno. Neka je L f ( ), L g( ). Tada po a a definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > 0 i δ > 0 takvi da vrijedi -a < δ f()-l < ε / i -a < δ g()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: [f() g()] [L L ] [f() L ] [g() L ] f()-l g()-l < ε/ ε/ ε, odakle slijedi da postoji es funkcije fg u točki a i da je jednak L L. Time je dokazana prva jednakost u ovoj tvrdnji. Q.E.D. 0. Primjer:.
20 Uvijek treba uvrstiti broj kojem teži u funkciju čiji es računamo. Ako dobijemo kao rezultat realan broj, onda je upravo taj broj es. Uvrštavanjem možemo dobiti ili - kao jedan od članova. U tom slučaju imamo ova pravila:, ± a, - - -, - ± a -,, ± a 0,, a, ako je a ako je a > < 0, 0. Neodreñeni oblici Ako pri računanju esa dobijemo jedan od izraza: 0, 0,, 0, onda ne možemo ništa reći. Tada moramo raznim metodama svesti podintegralnu funkciju na oblik koji će nakon uvrštavanja dati realan broj ili jedan od gore rješenih izraza. Ako se tom prilikom kao es dobije ili, onda to znači da es ne postoji i da vrijednost funkcije postaje sve veća ili sve manja kada se nezavisna varijabla približava točki u kojoj računamo es. 0, 0 0,,
21 0 Neodreñeni oblici i 0 Kod računanja esa racionalnih funkcija možemo dobiti izraz f ( a) g( a) ili f ( a) g( a) 0 0. f ( ) g( ) (f() i g() su polinomi), Kod neodreñenog oblika, brojnik i nazivnik dijeo s najvećom potencijom. Na taj način od beskonačno velikih veličina, koje su se pojavile u brojniku i nazivniku, prelazimo na konačne i beskonačno male veličine, pa možemo primjeniti jedno od svojstava iz TvrdnjeC. Primjeri: 5 ( 5) / / 5 /. 4 ( 4) / / 4 /
22 Funkcija 5 5 ) ( 4 f nema es u točki. Zaista,. 5 / / / / / 5 5) / ( ) / ( / / / 4 / / ) / ( ) / 4 ( Kod neodreñenog oblika 0 0, potrebno je brojnik i nazivnik skratiti. Primjer Primjer Primjer Primjeri: 9 ) ( ) )( ( ,. cos cos sin sin 0 0 sin sin 0 0 0
23 Neodreñeni oblik Kod računanja esa razlike funkcija f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je razliku funkcija f() g() transformirati u racionalnu funkciju. Primjeri: ( ) ( ) / / / 00, ( ) 00 ( ) / ( ) /
24 Neodreñeni oblik Kod računanja esa funkcije oblika f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je primjeniti transformaciju oblika: f ( a) g( a) ln g ( a) ( f ( a) ) g( a)lnf ( a) e e. Primjeri: 4 4 4
25 , 4 4) ( 4 e. Imamo: / /,. Prema tome je 0. e e.
26 Na kraju navodimo rezultat o supstituciji u esu. Stavak D: Neka postoji es funkcije yf() u točki a i neka je L f ( ). a Nadalje, neka je f(d(f)) D(g) i neka funkcija yg() ima es u točki L takav da je g( L) g( y ). Tada vrijedi: Primjeri: 0 y L ( ) ln y 6 y ln 0 a ( g f )( ) g( y ) o. y y y y L y 0 y y ( )( ) y y y, ( y )( y ) y ( ) ln ln e y e e y y prema prethodnom primjeru. 0 0 y 0 y 0ln( y ) y,
27 Jednostrani esi Kao što smo vidjeli u prethodnom predavanju, domena neke funkcije je nerijetko bila unija disjunktnih otvorenih intervala D(f) (a,b ) «(a,b ) ««(a m,b m ). Pri tome se točke a k i b k, za k,,,m, nazivaju rubne točke domene D(f). Primjeri: Funkcija f ( ) ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arctg ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arcth ima za domenu skup D(f) (,-) «(, ). Točke - i su rubna točke domene D(f).
28 Postavlja se pitanje kakvo je ponašanje funkcije yf() blizu rubnih točaka domene D(f)? Prije toga definirajmo pojmove jednostranih esa. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je desni es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), > a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a Definicija: Za realan broj L R kažemo da je lijevi es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), < a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a
29 Primjeri: Jednostrani esi funkcija iz prethodnog primjera u rubnim točkama njihovih domena su:, 0 0. arctg arctg arctg( ) 0 arctg arctg arctg 0 ( ) π, π. 0 arcth ln ln ln 0, arcth ln ln ln. 0
30 Limes i jednostrani esi funkcije yf() mogu biti povezani na sljedeći način: Tvrdnja D: Neka je a R. a) a) Ako postoji es funkcije yf() u točki a, tada postoje i jednostrani esi f ( ) i f ( ), te vrijedi: b) a a a f ( ) f ( ) f ( ). a b) Ako postoje jednostrani esi f ( ) c) a a i f ( ) a i jednaki su, odnosno f ( ) f ( ), tada postoji i es funkcije yf() u točki a, koji je a a jednak tim esima. c) Ako ne postoji jedan od jednostranih esa f ( ) a i f ( ) a ili ako oba postoje ali su različiti, odnosno f ( ) f ( ), tada ne postoji es funkcije yf() u točki a. a a Dokaz: slijedi neposredno iz definicije esa i jednostranih esa.
31 Na kraju promatramo usporedni kriterij za ese funkcija: Tvrdnja E: Pretpostavimo da postoji δ > 0 takav da vrijedi: f() g() h(), (a,aδ), te da je a f ( ) u točki a i vrijedi a h( ) g( ) L. a L R. Tada postoji i desni es funkcije yg() Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA. Analogno se iskazuje usporedni kriterij za lijeve ese. sin Primjer: Jedan od važnih esa je. Zaista, 0 vrijedi da je P óoaa P kružnog isječkaoaa P óobb, odnosno sin cos tg.
32 sin Slijedi cos za sve 0, π. Primjenom usporednog kriterija i cos sin parnosti funkcije slijedi traženi es. Primjeri: sin 0 sin sin y y 0 y tg 0 sin cos 0 cos 0 arcsin 0 0 y 0 sin y 0 y., sin,
33 Asimptote Neka se točka T neprekinuto giba po grafu Γ f funkcije f tako da barem jedna od njezinih koordinata teži u ili. Ako pri tom njena udaljenost do pravca p teži k nuli, onda se taj pravac naziva asimptota funkcije. Postoje dva osnovna načina na koji se može ostvariti ovakva situacija: (a) varijabla teži prema konačnom broju c (s lijeve ili s desne strane), a funkcijska vrijednost teži u ili ; (b) varijabla teži u ili.
34 Vertikalne asimptote Ako za funkciju f vrijedi c f ( ) ± ili c f ( ) ± onda je pravac c njezina vertikalna asimptota. Horizontalne asimptote Drugi tip asimptota javlja se pri proučavanju ponašanja funkcije f kad ±. Slijede dvije interesantne mogućnosti.
35 Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva desna horizontalna asimptota funkcije f. Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva lijeva horizontalna asimptota funkcije f. Primjeri: Prisjetimo se:. Funkcija f ( ) arctg ima desnu π horizontalnu asimptotu y, π a lijevu horizontalnu asimptotu y. y π/ y y - π/
36 . Eksponencijalna funkcija f ( ) ima lijevu horizontalnu asimptotu y 0, a desnu horizontalnu asimptotu nema. y Funkcija f ( ) ima horizontalnu asimptotu (istovremeno lijevu i desnu) y0. Vertikalna asimptota je pravac y Funkcija f ( ) ima vertikalnu asimptotu 0, a horizontalnu y y -00
37 Kose asimptote Desna kosa asimptota funkcije f je pravac y k l za koji vrijedi [ f ( ) k l] 0. ( ) Ako ovakav es postoji kada asimptoti., onda govorimo o lijevoj kosoj Ako kosa asimptota postoji tada vrijedi ( ), pa pogotovo vrijedi: f ( ) l 0 [ f ( ) k l] k. f ( ) Tako dobivamo da je: k. Koeficijen l računamo iz ( ): l [ f ( ) k].
38 Horizontalne asimptote su poseban slučaj kosih, s k0. Zato, ukoliko nije odmah vidljivo ponašanje funkcije, pri traženju asimptota najprije ispitujemo postoje li kose asimptote. Primjeri: Odredi asimptote funkcije y. Vertikalnih asimptota nema, jer je nazivnik razlomka uvijek pozitivan. Odredimo kose asimptote: y k, ± ± ( ) y Kosa asimptota l ± ± ± ( y k ) Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..
39 Odredi asimptote funkcije y. Nule nazivnika su ±. U tim točkama funkcija nije definirana. Imamo,, 0 0,. 0 0 dakle, vertikalne asimptote su - i. y y Odredimo kose asimptote: k, ± ± ( ) l ± ± ± ± ( y k ) 0 Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..
40 Neprekinute funkcije i esi Ovdje ćemo promatrati pojmove neprekinutosti i prekinutosti realne funkcije realne varijable, te njihov odnos prema esu funkcije. Definicija: Neka je a R. Funkcija yf() je neprekinuta u točki a ako je a D(f) i ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), -a < δ f()-f(a) < ε. Ako funkcija yf() nije neprekinuta u točki a tada kažemo da je yf() prekinuta u točki a. Definicija: Neka je skup I otvoren interval ili unija otvorenih intervala ili I R. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na skupu I ako je ona neprekinuta u svakoj točki tog skupa. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na segmentu [a,b] ako je neprekinuta na intervalu (a,b).
41 Funkcija f neprekinuta u točki a Funkcija f prekinuta u točki a Primjeri: Konstanta f() c je neprekinuta funkcija na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za proizvoljan δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) c c 0 < ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R.
42 Funkcija f() je neprekinuta na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za ε δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) a < δ ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R. U nastavku ćemo dokazati da su elementarne funkcije neprekinute funkcije na svojim domenama. Slijedi tvrdnja o operacijama s neprekinutim funkcijama. Tvrdnja F: (i) Neka su y f() i y g() neprekinute funkcije u točki a, tada je u toj točki neprekinuta i funkcija: f() ± g(), f() g(), f()/g() (uz uvjet da je g(a) 0). (ii) Neka su y f() i y g() dvije funkcije za koje je f(d(f)) D(g). Ako je funkcija y f() neprekinuta u točki a, a funkcija y g() neprekinuta u točki f(a), tada je funkcija y g(f()) neprekinuta u točki a.
43 Primjer: Iz TvrdnjeF slijedi da su potencije neprekinute funkcije na R. Zaista, iz neprekinutosti funkcije f (), slijedi da je neprekinuta funkcija f (), jer je f () f () f (). Nadalje je neprekinuta i funkcija funkcija f () f () itd. Polinomi su neprekinute funkcije na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Budući da su racionalne funkcije kvocijenti neprekinutih funkcija (polinoma), one su neprekinute funkcije u točkama u kojima je nazivnik različit od nule. Slijedi da je svaka racionalna funkcija neprekinuta na svojoj prirodnoj domeni Slijedi tvrdnja o neprekinutosti monotonih funkcija. Tvrdnja G: Neka je f strogo monotona funkcija definirana na konačnom ili beskonačnom otvorenom intervalu I, i neka je njezina slika konačan ili beskonačan otvoreni interval. Tada je f neprekinuta funkcija na I. Zatim postoji inverzna funkcija f - i ona je neprekinuta na svojoj domeni (slici funkcije f). Primjer: Na temelju TvrdnjeG imamo sljedeće zaključke: Eksponencijalne funkcije su neprekinute na R, jer su definirane na beskonačnom otvorenom intervalu (, ), i slika im je beskonačan otvoreni interval (0, ) i strogo su monotone.
44 Logaritamske funkcije, kao inverzne od eksponencijalnih, su neprekinute. Funkcija sinus je strogo monotona na(π/, π/), taj otvoreni interval preslikava na (,), pa je neprekinuta na (π/, π/). Kosinus je na isti način neprekinuta funkcija na (0, π). Funkcije sinus i kosinus su neprekinute na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Funkcije tangens i kotangens su kvocijenti neprekinutih funkcija, pa su i same neprekinute na svojim domenama. Arkus funkcije su inverzne od strogo monotonih, pa su neprekinute. Da su arcsin i arccos neprekinute i na rubovima segmenta [-,] dokazuje se posebno. Funkcije dobivene od gore navedenih pomoću konačno mnogo operacija zbrajanja, množenja, dijeljenja, komponiranja, invertiranja zovu se elementarne funkcije. Tako imamo važan zaključak: elementarne funkcije su neprekinute na svojim domenama.
45 Svojstva neprekinutosti i prekinutosti funkcija mogu se izraziti pomoću esa, lijevog i desnog esa kako slijedi. Tvrdnja H: Neka je a R. i) Neka je yf() neprekinuta funkcija u točki a. Tada postoji es funkcije yf() u točki a i vrijedi f ( a) f ( ). a ii) Neka postoji es funkcije yf() u točki a, te neka je a D(f) i f ( a) f ( ). Tada je yf() neprekinuta funkcija u točki a. a iii) Ako ne postoji es funkcije yf() u točki a, tada je yf() prekinuta funkcija u točki a. iv) Neka je yf() prekinuta funkcija u točki a, te neka postoje i neka su konačni jednostrani esi f ( ) i f ( ). Tada za veličinu prekida a a (skoka) S(a) funkcije yf() u točki a vrijedi:
46 S( a) f ( ) f ( ) > 0. a a Primjeri: Funkcija f ( ) sin 0,, za za 0, 0, je neprekinuta na R. Takozvana Heavisideova funkcija (čitaj Hevisajdova) f ( ), 0, za za < 0, 0, je prekinuta u točki 0.
47 Svojstva neprekinutih funkcija Na kraju, bez dokaza iznosimo neke važne rezultate o neprekinutim funkcijama. Tvrdnja K (nultočke neprekinutih funkcija): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka za dvije proizvoljne dane točke a I i b I, a < b, vrijedi: f(a) f(b) < 0 ( odnosno f(a) > 0 i f(b) < 0 ili f(a) < 0 i f(b) > 0 ). Tada postoji točka c (a,b), takva da je f(c) 0. Tvrdnja L (Rolleov teorem za neprekinute funkcije): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka postoje dvije točke a I i b I, a < b, takve da vrijedi: f(a) f(b) 0. Tada u intervalu [a,b] postoji barem jedna točka lokalnog ekstrema za funkciju
48 yf(), to jest postoji točka lokalnog maksimuma M [a,b] (za koju vrijedi f( M ) f() za sve [a,b]) ili lokalnog minimuma m [a,b] (za koju vrijedi f( m ) f() za sve [a,b]). Tvrdnja M (Postojanje točaka lokalnog maksimuma i lokalnog minimuma): Neka je funkcija yf() neprekinuta na zatvorenom intervalu [a,b], f: [a,b] R. Tada u intervalu [a,b] postoje točke lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma za funkciju yf(), odnosno postoje M [a,b] i m [a,b] takvi da je f( M ) f() i f( m ) f() za sve [a,b].
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραSeminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne
Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραx M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.
1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα