ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

Transcript

1 ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : 1 Η Διδακτική ώρα : Εισαγωγή στην έννοια της ταυτότητας, τετράγωνο αθροίσματος (απόδειξη και γεωμετρική ερμηνεία, χορήγηση φύλλου εργασίας, ερωτήσεις κατανόησης προτεινόμενες ασκήσεις ) Η Διδακτική ώρα : τετράγωνο διαφοράς - χορήγηση φύλλου εργασίας,ερωτήσεις κατανόησης, προτεινόμενες ασκήσεις Η Διδακτική ώρα : κύβος αθροίσματος διαφοράς,χορήγηση φύλλου εργασίας, ερωτήσεις κατανόησης προτεινόμενες ασκήσεις τρίγωνο Pascal 4 Η Διδακτική ώρα : γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά - χορήγηση φύλλου εργασίας ερωτήσεις κατανόησης προτεινόμενες ασκήσεις 5 Η 6 Η Διδακτική ώρα : Επανάληψη Πυθαγόρειες τριάδες ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ : Οι μαθητές πρέπει: Να γνωρίζουν πότε μια ισότητα λέγεται ταυτότητα. Να γνωρίζουν τις βασικές ταυτότητες, να μπορούν να τις αποδεικνύουν και να τις εφαρμόζουν. Να μπορούν να τις διατυπώνουν (μεταφράζουν) τις αλγεβρικές ισότητες στην καθομιλουμένη γλώσσα και αντίστροφα. Να εξασκηθούν στην αποδεικτική διαδικασία. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ: Τα φύλλα εργασίας θα δοθούν στους μαθητές στην τάξη και με αυτενέργειά τους και καθοδήγηση του καθηγητή, όπου αυτό κρίνεται απαραίτητο, θα οδηγηθούμε στην επίτευξη των προαναφερθέντων στόχων. ΧΩΡΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ: Tο σχέδιο μαθήματος προτείνεται να διεξαχθεί εναλλάξ στην τάξη και στο εργαστήριο υπολογιστών (ή διαφορετικά κάνοντας χρήση του διαδραστικού πίνακα) ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ: Οι μαθητές πρέπει να έχουν στη διάθεσή τους φύλλα εργασίας, το σχολικό βιβλίο της Γ Γυμνασίου και το τετράδιο σημειώσεων.

2 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η : ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Ο Να συμπληρώσετε την ισότητα : ( α+β ) =... ( χρόνος min για αυτενέργεια) Να γίνουν οι πράξεις : ( + 5 ) =... και + 5 =... Η ισότητα : ( ) + 5 = + 5 είναι σωστή ή λάθος ; ( κυκλώστε ) Άρα γενικά η ισότητα : ( ) α+β =α +β είναι σωστή ή λάθος ; ( κυκλώστε ) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Η : Άρα : ( + 5 ) =... και =... τι παρατηρείτε; ( )

3 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Η : Αλγεβρική απόδειξη της ταυτότητας ( ) α +β =α + α β+β Απόδειξη: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ «ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ» παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι: ( ) x+ y 1 = x + y + xy x y Απόδειξη: ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 Η : εφαρμογές της ταυτότητας ( ) α +β =α + α β+β ΟΡΙΣΜΟΣ: Το α + αβ+β ονομάζεται ανάπτυγμα του ( α+β ) 1. να υπολογισθεί το ανάπτυγμα : ( x + y ) =.... να υπολογισθεί το ανάπτυγμα : ( ). να υπολογισθεί το ανάπτυγμα: ( ) 4. Να γίνουν οι πράξεις : ( ) ( ) x + =... x + x = x + 6 x 1 x = =...= να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) ( ) x+ 1 x+ = Απόδειξη:

4 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ο ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5 Η : Απόδειξη της ταυτότητας ( α β ) =... Αφού ( ) α+β =α β, μπορείτε να μαντέψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας ( α β ) =... Αλγεβρική απόδειξη : ( ) ( ) ( ) α β = α β α β =... =... Γεωμετρική απόδειξη : (γίνεται σχολιασμός από τους μαθητές παρατηρώντας τα σχήματα ).. α β =α αβ+β ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6 Η : Εφαρμογές της ταυτότητας ( ) Το α αβ+β ονομάζεται του ( α β ) 1. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : ( x 5y) Λύση : ( x 5y ) =.... Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : Λύση : 1 x y 1 x y =.... Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : ( 4x 9y 4 ) 4 Λύση : ( ) 4x 9y = Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : ( x 5 + y ) 5 Λύση :( ) x + y =

5 7. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : 1 4 x y 1 4 Λύση : x y = Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. 4α = (. -.) β. 1-10χ +.. = (. -.) γ. α = (. -.) δ. 9α -6α +.. = (. -.) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7 Η : «ΠΡΑΞΕΙΣ» Να γίνουν οι πράξεις : ( ) ( ) x x+ 7 x 1 =.... ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 8 Η : «ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ». 1. Να αποδείξετε ότι : ( α β ) + 4α β = ( α + β ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ :. α β α+ β = αβ ΑΠΟΔΕΙΞΗ :. ( x 1) x( x ) = ( x + 1) x( x+ ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ : - 5 -

6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ο ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 9 Η : Απόδειξη της ταυτότητας ( ) α+β =α + α β+ αβ +β... Αλγεβρική απόδειξη : ( ) ( ) ( ) α+β = α+β α+β =... =. =. Γεωμετρική απόδειξη : ( σχολιάζεται από τους μαθητές βλέποντας το παρακάτω σχέδιο ) ΟΡΙΣΜΟΣ : το α + α β+ αβ +β λέγεται...του ( α+β ) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 10 Η : Εφαρμογές της ταυτότητας: ( ) α+β =α + α β+ αβ +β 1. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : ( 4x + 1) Λύση : ( 4x + 1) = =. x + y. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : ( ) x + y =. = Λύση : ( ). Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : Λύση : 5x 1 + y 5 5x 1 + y 5 = = - 6 -

7 α β =α α β+ αβ β ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 11 Η : Απόδειξη της ταυτότητας ( )... Αλγεβρική απόδειξη : ( ) ( ) ( ) α β = α β α β =... =. =. ΟΡΙΣΜΟΣ : το α α β+ αβ β λέγεται... του ( α β ) α β =α α β+ αβ β ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η : Εφαρμογές της ταυτότητας: ( ) x y 1. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : ( ) x y Λύση : ( ) = =.. Να υπολογιστεί το ανάπτυγμα : x x 1 Λύση : x 1 x =. = ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η : Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. 8x = (.. - ) β χ ψ = ( +..) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 14 Η : Να αποδείξετε ότι: 1. α + β = ( α + β ) αβ ( α + β ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ : α β = ( α β ) + αβ ( α β ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ :

8 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Ο ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 15 Η : Απόδειξη της ταυτότητας ( ) ( ) α +β α β =α β ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: ( α+β) ( α β ) =... =... ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Με την βοήθεια των εμβαδών στο παρακάτω σχήμα να δείξετε την ταυτότητα: ( ) ( ) α +β α β =α β ΑΠΟΔΕΙΞΗ : ( οι μαθητές μπορούν να συνεργαστούν σε ομάδες ) ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 16 Η : Εφαρμογές της ταυτότητας: ( α +β) ( α β ) =α β 1. Να κάνετε τις πράξεις: α. (x + 4)(x -4) =...=... γ. (x - 5y)(x + 5y) = =... ε. 5 5 x y x y =...=.... Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) ( x...) (......) y = 5x... + = β) ( ) ( ). Με τη βοήθεια της ταυτότητας α β =(α β)(α + β) να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = = Β = =... Γ = 47 4 =... Δ = 7,55,45 =.... Να υπολογίσετε με τον συντομότερο τρόπο το γινόμενο: Σ = (x-y) )(x+y)(9x +4y ) =

9 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ο (επανάληψη στις ταυτότητες ) 1. Να γίνουν οι πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις : ( ) ( 4 5)( 5 4 ) A= x x+ x B = ( x y) ( y x)( x y) + ( y x ) Γ= χ (χ+) - (χ+)(χ-) (χ+) Δ= (χ-1) (χ+1) (χ-1)(χ+). Να αποδείξετε ότι : α) (x +1)(y +1)-(xy+1) =(x-y), β) γ) ( α + ) α α + 9 = 4 x + y x y = xy, δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 5 x 1 1+ x = 6 x 1 + x 8x Eαν x+y=6 και xy=8, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων α) x +y β) x +y γ) (x+y)(x-y) δ) (x-y) ε) x 4 + y Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, να δείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με το τρίγωνο ΒΔΓ 5. Αν P( x) = x x 5 τότε 1. Να υπολογίσετε τα P( x 1) και P( x ). Να αποδείξετε ότι : P( x 1) + ( x 1) ( x+ 1) = P( x) 6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) α+ β α β = 4αβ 7. α) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) β) Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού : ΘΕΜΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ Με τα τέσσερα παρακάτω κομμάτια μπορείτε να σχηματίσετε ένα τετράγωνο ; Υπολογίστε στη συνέχεια το εμβαδόν του καθενός κομματιού. Επαληθεύσατε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων κομματιών είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου που σχηματίζεται από αυτά