Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 8 η Διάλεξη Επιπεδότητα (ή επιπεδικότητα γράφων) Βασικές εννοιες και ιδιότητες Θεώρημα Kuratowski Δυαδικότητα (Δυϊκότητα) επίπεδων γράφων Αλγόριθμοι ελέγχου επιπεδότητας

2 Βασικές Εννοιες (1) Είναι δυνατό να συνδεθούν τρεις κατοικίες με ΔΕΗ, ΟΤΕ και ΕΥΑΘ χωρίς να διασταυρωθούν οι γραμμές παροχής? Κ 3,3 Ένας γράφος G λέγεται επίπεδος αν δύο οποιεσδήποτε ακμές του G συναντώνται μόνο σε προσκείμενες τερματικές κορυφές. Ένας γράφος G λέγεται επιπεδικός ή ενσωματώσιμος στο επίπεδο αν είναι ισομορφικός προς έναν επίπεδο γράφο.

3 Βασικές Εννοιες (2) Ενσωμάτωση στο επίπεδο: Ένα διάγραμμα του γράφου G στο επίπεδο S είναι μία εικόνα στο επίπεδο μιας συνεχούς συνάρτησης του μοντέλου του G στον ευκλείδιο χώρο R 3, έτσι ώστε: - να μην συμπίπτουν δύο κορυφές στο ίδιο σημείο του επιπέδου - για κάθε ακμή του G υπάρχει κάποια 1-1 αντιστοιχία με το μονοπάτι μεταξύ των εικόνων των τερματικών σημείων στο επίπεδο - οι εικόνες των ακμών στο επίπεδο δε διασταυρώνονται με άλλες κορυφές εκτός από τις τερματικές Μία ενσωμάτωση του γράφου G στο επίπεδο S είναι ένα διάγραμμα του G χωρίς ακμές που τέμνονται. Γράφος K 4 : επιπεδικός και επίπεδοι (ενσωματώσεις στο επίπεδο)

4 Βασικές Εννοιες (3) Καμπύλη Jordan: Μία συνεχής γραμμή στο επίπεδο που δεν τέμνει τον εαυτό της. Κλειστή καμπύλη Jordan: Μία καμπύλη Jordan της οποίας τα δύο άκρα συμπίπτουν Θεώρημα Jordan: Δοθείσης μιας κλειστής καμπύλης Jordan L και δύο σημείων της, τότε κάθε καμπύλη Jordan που ενώνει τα σημεία αυτά, είτε βρίσκεται εντός της L, είτε εκτός, είτε τέμνει την L. Δοθέντος ενός επίπεδου γράφου G και ενός σημείου x, ονομάζουμε περιοχή του G γύρω από το x, το σύνολο των σημείων του επιπέδου που μπορούν να ενωθούν με το x μέσω μιας καμπύλης Jordan που δεν τέμνει τις ακμές του G. r είναι το πλήθος των περιοχών ενός επίπεδου γράφου Εξωτερική, άπειρη, απεριόριστη περιοχή Αν ένας γράφος παρασταθεί με διαφορετικό τρόπο, τότε μπορεί κάποια άλλη περιοχή να καταστεί εξωτερική. Εξωτερικός επιπεδικός λέγεται ένας γράφος αν όλες του οι κορυφές βρίσκονται σε μία περιοχή.

5 Θεωρήματα Euler & Kuratowski (1) Θεωρήματα Euler (1752) Αν G είναι ένας συνδεδεμένος επίπεδος γράφος, τότε ισχύει: n-q+r = 2 (επαγωγή) Πόρισμα: Αν G είναι ένας επίπεδος γράφος με k-συνιστώσες, τότε ισχύει, n-q+r=k+1 Μέγιστος (τριγωνοποιημένος) επίπεδος γράφος (=εισάγοντας μία νέα ακμή γίνεται μη επίπεδος) Όσο υπάρχουν περιοχές που περικλείονται από κύκλο μήκους περισσότερο από τρία, μπορούν να εισαχθούν νέες ακμές.

6 Θεωρήματα Euler & Kuratowski (2) Πόρισμα:Για κάθε μέγιστο επίπεδο γράφο με n>=3 ισχύει: q=3n-6 Πόρισμα: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο γράφο με n>=3 ισχύει: q<=3n-6 Πόρισμα: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο διμερή γράφο με n>=3, ισχύει: q<=2n-4 Πόρισμα: Κάθε επίπεδος γράφος περιέχει τουλάχιστο μία κορυφή v με d(v)<=5 Θεώρημα: Ο γράφος Κ 5 δεν είναι επίπεδος Θεώρημα: Ο διγράφος Κ 3,3 δεν είναι επίπεδος

7 Θεώρημα Ε.1 Τύπος Euler για επίπεδους γράφους. Εάν ο G είναι ένας συνεκτικός επίπεδος γράφος με n κορυφές, q ακμές και r περιοχές, τότε ισχύει: n q + r = 2 Απόδειξη: Θα το αποδείξουμε με επαγωγή στο q.για q=0 το αποτέλεσμα είναι προφανές αφού είναι: n=1 και r=1. Έστω ότι το αποτέλεσμα είναι αληθινό για όλους τους επίπεδους συνεκτικούς γράφους με λιγότερες από q ακμές με q 1 και r=1. Άρα ισχύει ο τύπος του Euler. Αν ο G δεν είναι δέντρο, έστω e μια ακμή που ανήκει σε ένα κύκλο του G. Θεωρούμε το γράφο G-e, ο οποίος είναι επίπεδος συνεκτικός γράφος με n κορυφές, q-1 ακμές και r-1 περιοχές. Άρα έχουμε: n (q-1) + (r-1) = 2 => n q + r = 2 Που είναι και το ζητούμενο.

8 Συμπέρασμα Ε.1 Εάν ο G είναι ο μέγιστος (maximal) επίπεδος γράφος με n 3, τότε q = 3n - 6 Απόδειξη: Έστω r ο αριθμός των περιοχών του G. Στο G κάθε περιοχή είναι τρίγωνο και κάθε ακμή είναι σύνορα δύο περιοχών. Επομένως, 3r = 2q και με βάση τον τύπο του Euler έχουμε ότι q =3n 6.

9 Συμπέρασμα Ε.2 Εάν G είναι ένας επίπεδος γράφος στον οποίο ισχύει n 3, τότε q 3n - 6 Απόδειξη: Προσθέτουμε στο G ακμές μέχρις ότου να προκύψει ο maximal επίπεδος γράφος G (n,q ). Από το Συμπέρασμα E.1 έχουμε q = 3n -6 και αφού q q, έχουμε ότι q 3n-6.

10 Θεώρημα Ε.2 Οι γράφοι Κ 5 και Κ 3,3 δεν είναι επίπεδοι. Απόδειξη: Έστω ότι ο Κ 5 είναι ένας επίπεδος γράφος. Αφού ο Κ 5 έχει n=5 κορυφές και q=10 ακμές έχουμε ότι 10 = q > 3n 6 = 9, το οποίο αντιβαίνει στο Συμπέρασμα E.2. Όμοια για τον Κ 3,3, με την υπόδειξη ότι σε αυτό το γράφο επειδή είναι διμερής, οι περιοχές του θα φράσσονται με τουλάχιστον 4 ακμές.

11 Θεώρημα Ε.3 (Kuratowski) Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνο αν δεν περιέχει υπογράφο ο οποίος να είναι ομοιομορφικός με κάποιον από τους Κ 5 και Κ 3,3.

12 Απόδειξη Θεωρήματος Kuratowski Θεωρούμε συνεκτικούς γράφους. Εάν ένας γράφος G έχει υπογράφο ομοιομορφικό είτε με τον Κ 5 είτε με τον Κ 3,3, τότε από το Θεώρημα E.2 έπεται ότι δεν είναι επίπεδος. Αντίστροφα Υποθέτουμε ότι υπάρχει γράφος G ο οποίος δεν είναι επίπεδος, και παρόλα αυτά, δεν περιέχει έναν υπογράφο ομοιομορφικό είτε με τον Κ 3,3 είτε με τον Κ 5 και ότι ο γράφος είναι ο μικρότερος δυνατός (σε ακμές) που έχει την ιδιότητα αυτή.

13 Θεωρήματα Euler & Kuratowski (συν). Ο Κ 5 είναι ο μη επίπεδος γράφος με το μικρότερο αριθμό κορυφών και ο Κ 3,3 ο μη επίπεδος γράφος με το μικρότερο αριθμό ακμών. Δύο γράφοι λέγονται ομοιομορφικοί αν ο ένας μπορεί να προκύψει από τον άλλο με μία ή περισσότερες υποδιαιρέσεις ακμών. Θεώρημα Kuratowski (1930): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν δεν περιέχει υπογράφο ομοιομορφικό προς τους Κ 5 και Κ 3,3 Θεώρημα: Ένας γράφος είναι ενσωματώσιμος στην επιφάνεια σφαίρας, αν είναι ενσωματώσιμος στο επίπεδο.

14 Άσκηση 1η Δείξτε ότι οι γράφοι Kuratowski,δηλαδή ο Κ 5 και ο Κ 3,3 δεν είναι επίπεδοι γράφοι. Λύση: Έστω ο γράφος Κ 5, δηλαδή ο πλήρης γράφος 5 κορυφών, που καλείται και αστέρας. Ας υποθέσουμε ότι είναι επίπεδος γράφος. Αφού n=5 και e = (5 2) = 10, σύμφωνα με το Συμπέρασμα Ε.2, θα είναι 10 3 * 5 6 => 10 9, άτοπο. Συνεπώς ο Κ 5 δεν είναι επίπεδος.

15 Άσκηση 1 η -συνέχεια Έστω ο Κ 3,3 δηλαδή ο πλήρης διμερής γράφος με 6 κορυφές, στον οποίο κάθε ένα από τα ξένα μεταξύ τους υποσύνολα κορυφών περιέχει 3 κορυφές. Ας υποθέσουμε ότι ο Κ 3,3 είναι επίπεδος. Τότε ο τύπος του Euler δίνει r = e n + 2 => r = = 5. Αφού κάθε περιοχή σ αυτό το γράφο περικλείεται από 4 τουλάχιστον ακμές, θα έχουμε 2e 4r. Όμως αφού r = 5 και e = 9, έχουμε που είναι άτοπο. Συνεπώς ο Κ 3,3 δεν μπορεί να είναι επίπεδος.

16 Άσκηση 2 η Δείξτε ότι σε ένα επίπεδο γράφο με 6 κορυφές και 12 ακμές κάθε μια από τις περιοχές του περικλείεται από 3 ακμές. Λύση: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει περιοχή του δοθέντος γράφου (περικλείεται από περισσότερες από 3 ακμές), που να περικλείεται από τουλάχιστον 4 ακμές. Τότε 2e > 3r => r < 2e/3 Όμως σύμφωνα με τον τύπο του Euler r = e n + 2 => e n + 2 < 2e/3 => e < 3n 6 Και αφού e=12 και n=6 θα έχουμε 12<12, που είναι άτοπο. Έτσι όλες οι περιοχές του δοθέντος γράφου περικλείονται από 3 ακριβώς ακμές.

17 Ασκηση 3 η Εάν ο G είναι ένας (p,q) επίπεδος γράφος, στον οποίο κάθε περιοχή είναι n-κύκλος, τότε να δειχθεί ότι: q = n(p-2)/(n-2) Λύση: Αφού κάθε περιοχή του G είναι ένας n-κύκλος και κάθε πλευρά του G είναι πάνω στο σύνορο δυο περιοχών, θα έχουμε τη σχέση n*r=2q, όπου r ο αριθμός των περιοχών του G. Από το θεώρημα του Euler θα έχουμε επίσης q p + 2 = r. Συνδυάζοντας τις δυο προηγούμενες σχέσεις παίρνουμε q p + 2 = 2q/n => nq np + 2n = 2q => (n-2)q = n(p-2) Και τελικά q = n(p-2)/(n-2) Και έτσι αποδείχθηκε το ζητούμενο.

18 Άσκηση 4 η Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε (n,q) γράφο G, με n 11, είτε ο G είτε ο Ğ είναι μη επίπεδος γράφος. Λύση: Είναι γνωστό ότι εάν ο (n,q) γράφος G είναι επίπεδος θα ισχύει q 3n 6 => q 27 Όμως ο πλήρης γράφος Κ 11 έχει (11 2) = 55 ακμές. Άρα ο G ή ο Ğ θα έχει τουλάχιστον 28 ακμές και συνεπώς θα είναι μη επίπεδος. Ένας γράφος με n>11 nκορυφές θα έχει υπογράφο Ğ με 11 κορυφές και έτσι είτε ο G είτε ο Ğ θα είναι μη επίπεδος με αποτέλεσμα είτε ο G είτε ο Ğ αντίστοιχα να είναι μη επίπεδος.

19 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (1) Εκτός από το Θεώρημα Euler και το Θεώρημα Kuratowski υπάρχουν άλλα δύο κριτήρια Πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S (complete set of basic circuits) είναι ένα σύνολο κύκλων όπου: Κάθε κύκλος του συνόλου S μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου μερικών ή όλων των κύκλων του συνόλου S, και Κανείς κύκλος του συνόλου S δεν μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου άλλων κύκλων εκτός S Θεώρημα (MacLane 1937): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνον αν υπάρχει ένα πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S, τέτοιο ώστε καμιά ακμή του γράφου να μην εμφανίζεται σε περισσότερους από δύο κύκλους του S

20 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (2) Τα τρία θεωρήματα δεν δίνουν αποτελεσματικούς αλγόριθμους ελέγχου, ούτε επίπεδες αναπαραστάσεις Έστω γράφος G και υπογράφος G 1. Ένα κομμάτι (piece) P ονομάζεται σχετικό (relative) προς το γράφο G 1 αν είναι: Μια ακμή e που δεν ανήκει στον G 1 αλλά ανήκουν οι κορυφές της Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του G-G 1 συν οποιεσδήποτε ακμές προσπίπτουσες σε κορυφές της συνιστώσας Ένα κομμάτι με δύο ή περισσότερες κοινές κορυφές με τον G 1 λέγεται τμήμα (segment). Δύο τμήματα είναι ασύμβατα (incompatible) αν τέμνονται ενσωματούμενα στην ίδια περιοχή του G 1

21 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (3) Ο βοηθητικός (auxiliary) γράφος έχει κορυφές που αντιστοιχούν σε κάθε τμήμα του γράφου που είναι σχετικό προς τον υπογράφο G 1 και ακμές που ενώνουν τις κορυφές αν τα τμήματα είναι ασύμβατα

22 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (4) κύκλος κομμάτια και τμήματα ασύμβατα

23 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (5) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι επίπεδος, αν για κάθε κύκλο C του G ο βοηθητικός γράφος P(C) είναι διμερής K 5 A Β Γ A Β Γ K 3,3

24 Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας (1) Demoucron, Malgrange, Peruiset 1964 Προεπεξεργασία: 1. Αν n<5, q<9, τότε ο γράφος είναι επίπεδος 2. Αν q>3n-6, τότε ο γράφος δεν είναι επίπεδος 3. Θεωρούμε συνδεδεμένους γράφους 4. Θεωρούμε 2-συνδεδεμένους γράφους (block) 5. Θεωρούμε απλούς γράφους 6. Παράγουμε ομοιομορφικούς γράφους χωρίς κορυφές βαθμού 2

25 Δυαδικότητα (1) Σε κάθε περιοχή του G (διακεκομμένη) τοποθετείται μία κορυφή του G* (λευκή κουκίδα). Δύο κορυφές του G* ενώνονται με μία ακμή για κάθε κοινή ακμή που έχουν οι αντίστοιχες περιοχές του G. Για κάθε γέφυρα του G εισάγεται στο G* ένας βρόχος στην κορυφή που αντιστοιχεί στην περιοχή που περικλείει τη γέφυρα. Έτσι, κάθε ακμή του G* διασταυρώνεται μόνο με μία αντίστοιχη ακμή του G χωρίς να τέμνει καμία άλλη του G. Γεωμετρικός δυαδικός

26 Δυαδικότητα (2) Ο γεωμετρικός δυαδικός ενός γράφου G δεν είναι μοναδικός, γιατί από μία διαφορετική ενσωμάτωση του G στο επίπεδο θα παραχθεί διαφορετικός γεωμετρικός δυαδικός. Ένας γράφος G λέγεται συνδυαστικός δυαδικός ενός γράφου G αν και μόνο αν υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των ακμών τους, έτσι ώστε οι ακμές ενός κύκλου του G να αντιστοιχούν σε έναν κύκλο αποκοπτουσών ακμών του G. Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος έχει έναν αντίστοιχο επίπεδο συνδυαστικό δυαδικό γράφο. Άρα, ο γεωμετρικός δυαδικός ενός επίπεδου γράφου ταυτίζεται με το συνδυαστικό δυαδικό του. Θεώρημα: Ο γεωμετρικός του γεωμετρικού είναι ο αρχικός (G*)*=G

27 Δυαδικότητα (3) Θεώρημα (Whitney): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνο αν έχει συνδυαστικό δυαδικό. Αυτοδυαδικός Κ 4 (ομοιομορφικός προς το δυαδικό του)