Zbirka testova za polaganje maturskog i stručnog ispita iz MATEMATIKE. Zavod za udžbenike i nastavna sredstva PODGORICA

Transcript

1 Zbirka testova za polaganje maturskog i stručnog ispita iz MATEMATIKE Zavod za udžbenike i nastavna sredstva PODGORICA

2

3 Zbirka testova za polaganje maturskog i stručnog ispita iz MATEMATIKE Zavod za udžbenike i nastavna sredstva PODGORICA

4 Zbirka testova za polaganje maturskog i stručnog ispita iz MATEMATIKE Izdavač: ISPITNI CENTAR PODGORICA Zavod za udžbenike i nastavna sredstva Podgorica Za izdavača: dr željko jaćimović Nebojša Dragović

5 PREDGOVOR Pred vama je zbirka zadataka nastala objedinjavnjem testova koji su u Ispitnom centru pripremljeni za potrebe pilota maturskog i stručnog ispita, kao i testova koje su kandidati/kandidatkinje rješavali od juna 0. do avgusta 0. godine na eksternim maturskim i stručnim ispitima iz matematike. Testovi su sastavljeni tako da je dio zadataka bio isti za kandidate iz gimnazije i za kandidate iz stručnih škola. Zajednički zadaci su po pravilu oni manje zahtjevni u testu za maturski ispit. Razlog je manji fond časova matematike u stručnim školama. Razdvajanje u zbirci nije izvršeno. Može se uočiti da u malom broju slučajeva postoje dvije varijante skoro istog zadatka. Jednostavnija varijanta zadatka je bila na stručnom, a složenija na maturskom ispitu. Cilj je da svaka grupacija kandidata dobije za rješavanje zahtjeve odgovarajuće težine. Zadaci u Zbirci su sadržajno podijeljeni po oblastima u skladu sa Ispitnim katalogom. Zadaci otvorenog tipa su dati sa detaljnim rješenjem i bodovanjem kojeg su se pridržavali i ocjenjivači u svom radu. Zadatke višestrukog izbora prati tačan odgovor, a gdje se smatralo da je potrebno, dato je uputstvo ili kompletno rješenje. Zbog postupnosti i specifičnosti koje su pratile uvođenje eksternog ispita iz matematike u naš obrazovni sistem, djelovi ispitnog programa nijesu adekvatno zastupljeni. To će se nadoknaditi u rokovima koji slijede. Zbirka je namijenjena svima koji polažu maturski ili stručni ispit iz matemati ke, a može koristiti i nastavnicima tokom redovne nastave ili tokom spremanja učenika/ učenica za ispit. Stoga se nadamo se da će vam ovaj materijal uz preporučenu literaturu olakšati pripreme. Tatjana Vujošević, savjetnik za matematiku u Ispitnom centru

6 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA PRAVILA ZA RJEŠAVANJE TESTA NA MATURSKOM I STRUČNOM ISPITU Vrijeme rješavanja testa na maturskom ispitu je 50 minuta. Vrijeme rješavanja testa na stručnom ispitu je 0 minuta. Na ispitu se rješava 0 zadataka. Spisak osnovnih formula je naveden u testu. Pri ocjenjivanju zadatak se vrednuje sa 0 bodova ako je: netačan zaokruženo više ponuđenih odgovora nečitko i nejasno napisan rješenje napisano grafitnom olovkom Grafici i geometrijske slike se mogu crtati grafitnom olovkom.

7 iz MATEMATIKE BROJEVI; RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI. Vrijednost izraza + + ( ) je: A. 8 B. 0 C. 6 D. 6. Koji od datih brojeva je vrijednost izraza 0,5 5 0, ? A. 0 B. C. 0 D. 00. Broj je djeljiv sa ako je A. zbir njegovih cifara djeljiv sa B. proizvod njegovih cifara djeljiv sa C. djeljiv sa i sa 6 D. djeljiv sa i sa. Zbir svaka tri uzastopna prirodna broja je A. paran broj B. neparan broj C. broj djeljiv sa D. broj djeljiv sa 5. Ako je zadnja cifra nekog prirodnog broja 0, onda je suma prirodnih brojeva sa kojima je taj broj sigurno djeljiv: A. 7 B. 8 C. 7 D Neka su a i b realni brojevi. Od tvrđenja I) ako je a < b i ab 0, tada je II) ako je a < b, tada je a < b III) ako je a < b, tada je a < a + b > a b IV) ako je a < b, tada je a > b tačna su A. samo I i III B. samo III i IV C. samo II, III i IV D. sva četiri 7. Čemu je jednako 5 8? 5 A. 8 B. 5 8 C. 5 ( 8) 5

8 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 8. Vrijednost izraza 5 je: A. B. C. 5 D Koliko iznosi vrijednost izraza 7 + 8? 6 6 A. 9 8 B. 9 8 C. D. 0. Na kojoj slici je predstavljen skup ( ] ( 0, + ),? A. B. C. D.. Tri investitora su uložila novac u izgradnju tržnog centra. Prvi je uložio, a 5 drugi ukupnog kapitala. Koliko je, u procentima, uložio treći investitor? A. 0% B. 5% C. 5% D. 55%. Petru je ostalo 77 nakon što je dao 6% za porez. Koliko je Petar imao novca? A. 5 B. 00 C. 76 D U fabrici se testira 7% od ukupnog broja sijalica koje se proizvedu u toku dana. Ako je u srijedu testirano 8 sijalica, koliko ih je ukupno proizvedeno tog dana? 6 A. 0 B. 0 C. 00 D. 00

9 iz MATEMATIKE. 0 g sira sadrži 80 kalorija. Miloš je pojeo 70 g. Koliko je bilo kalorija u pojedenom siru? A. 60 B. 85 C. 5 D Markov otac je od Nikšića do Žabljaka vozio brzinom od 0 km, a od Žabljaka h do Nikšića brzinom od 60 km h. Prosječna brzina je: A. 6 km B. 8 km C. 50 km D. h h h 5 km h 6. Čemu je jednak zbir brojeva 9 i 6+ 5 izražen u najjednostavnijem obliku a+ bi? A. + i B. + i C. + 6i D. i 7. Koliko iznosi vrijednost izraza: i (5 i)? A. 5 + i B. 5 + i C. 5i D. 5 i + 8. Im 5 i i = A. 5 B. C. D Za koju vrijednost realnog parametra p je kompleksan broj z = ( + 5 p) + i( p 7) realan? A. B. 5 C. 7 D. 7 7

10 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 0. Ako je dat kompleksan broj z = 5 + i tada je z i jednako: A. + 5i B. + 5i C. 5i D. 5i. Proizvod kompleksnog broja ( + i) i njemu konjugovanog broja je: A. 5 B. 7 C. 6 i D. 7 8i k k. Neka je W skup svih brojeva z k definisanih sa zk = i + i, k N, N je skup prirodnih brojeva, i je imaginarna jedinica. Koliko elemenata ima skup W? A. B. C. D.. ( + )( ) = A. 6 B. + 6 C. 6 D ( 5 ) ( + ) = A. 0 7 B C D Šta je tačno? ( ) = A. ( )( + ) B. ( )( + ) C. ( + )( + ) D. ( + )( + ) 6. Koja od sljedećih jednakosti NIJE tačna? A. ( a b) = ab a b B. ( a b) = a + ab+ b C. ( a b) = a ab+ b D. ( a b) = a b 8

11 7. Koji od ponuđenih izraza NIJE jednak sa preostala tri? iz MATEMATIKE A. B. ( )( ) C. ( )( + )( + ) D. ( )( + )( + ) 8. Koji od ponuđenih polinoma se NE MOŽE napisati u obliku kvadrata binoma? A. + B , C. + + D. + 05, 9. Rastavljanjem polinoma y + z + yz + z na proste činioce dobija se: A. ( + y+ z) z B. + ( + y+ z) z C. ( z)( y z) D. ( + z)( y+ z) 0. Razlika a b iznosi: A. a b B. a b C. a b. Rezultat sabiranja + + je: A. B. ( )( + ) C. + ( )( + ) D Za koje sve vrijednosti razlomak NIJE definisan? 7 A. 7 i 5 B. 7 i 0 C. i 5 D. i 7. Koji izraz se ne može skratiti? A. a a B. a 9 a C. 6 a 6 D. a 0 a + 5 a 5 9

12 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA a 8a. Skraćivanjem razlomka a 6 dobija se: A. a ( a) B. a ( a ) C. a ( a ) D. a ( a) 5. Ako je a = 9, 9 i b = 0, tada je vrijednost izraza a b a + ab + b jednaka broju: A. 0,98 B. 0,99 C. 9,80 D. 9,99 6. Vrijednost izraza + + je: A. B. C. D. 7. Izračunati vrijednost izraza: boda 7 ( 5+ 6 ( )) + ( ) Izračunati vrijednost izraza. boda 0 0, ( + 8 6) + ( 5). 9. Izračunati (0,5 ) : +. boda 5 0. Napisati broj 905 kao proizvod dva trocifrena broja. boda. Nađi bar jedan razlomak koji je veći od 7 i manji od 7. bod. Broj 7ab gdje su a i b dvije nepoznate cifre 5-tocifrenog broja je djeljiv sa i 5. Odrediti koje sve vrijednosti mogu imati cifre a i b. boda 0

13 iz MATEMATIKE. Izračunati 0 ( + ) ako je =. boda 5 5 b b 8. Uprostiti izraz : a 6, a zatim izračunati njegovu vrijednost a a za a = i b =. boda 5. Geografska karta Crne Gore je izrađena u razmjeri : Koliko je rastojanje vazdušnom linijom između Herceg Novog i Sutomora ako je na karti njihova udaljenost 0 cm? boda 6. Odrediti Re i i i Im i. boda i 7. Kompleksni broj 0 z = i ( + i ) zapisati u obliku a+ bi a b R,,. boda 8. Naći broj a za koji je a i ( i) = + i. + boda 5 9. Rastaviti na činioce polinom y+ 6y. boda 50. Rastaviti na proste činioce boda 5. Rastaviti na činioce polinom 6y y + a. boda 5. Izvršiti naznačene operacije sa razlomcima. 8 boda 5. Uprostiti izraz + +. boda a a + a 5. Uprostiti izraz : + +, 0. boda

14 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 55. Uprostiti izraz + y y y y y + + y. boda ELEMENTARNE FUNKCIJE; JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Koliko prirodnih brojeva je rješenje nejednačine? A. B. C. 57. Koja od datih funkcija A. f ( ) = + B. f ( ) = C. f( )= D. f ( ) = ima vrijednosti prikazane tabelom? f () Koja od datih linearnih funkcija je predstavljena grafikom sa slike? y A. y = + B. y = + C. y = D. y = Koja je od datih funkcija opadajuća i ima grafik koji sadrži koordinantni početak? A. f ( ) = + B. f ( ) = 5 C. f ( ) = D. f ( ) =

15 iz MATEMATIKE 60. Ako je funkcija f( )= a + b opadajuća i njen grafik sadrži koordinantni početak tada je: A. a = 0 i b < 0 B. a = 0 i b > 0 C. a < 0 i b = 0 D. a > 0 i b = 0 6. Ako je A. f ( ) = tada je f jednako: C. 5 5 B. 6. Koja od sljedećih funkcija ima inverznu funkciju na skupu R? 5 D. 5 A. f ( ) = + B. f ( ) = sin C. f ( ) = Koja od datih jednačina nema rješenja u skupu realnih brojeva? A. = 0 B. + = 0 C. = 0 D. + = 0 6. Koji od datih brojeva je diskriminanta jednačine + = 0? A. B. C. 6 D. 65. Koja jednačina ima rješenja = i? A. 6 = 0 B = 0 C. + 6 = 0 D. + 6 = 0 = 66. Jednačina m ( ) = 0 ima dvostruko rješenje ako je m jednako: A. 7 8 B. 5 8 C. 9 D. 67. Skup 8, je rješenje nejednačine: A. ( )( 5+ 8) < 0 B. ( + )( 5 8) < 0 C. ( + )( 5 8) > 0 D. ( )( 5+ 8) > 0

16 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 68. Koordinate presjeka funkcije f( )= sa - osom su: A. (6,0) i (, 0) B. (6,0) i (, 0) C. ( 6,0) i (, 0) D. ( 6,0) i (, 0) 69. Na kojem od datih intervala funkcija y = + 6 vrijednost: 8 dostiže najmanju A. [, + ) B. (, + ) C. (, ) (, + ) D. (, ) 70. Za grafik funkcije f( )= a + b + c y, prikazane na slici, važi: A. a > 0, c > 0 i D > 0 B. a > 0, c = 0 i D = 0 0 C. a > 0, c > 0 i D = 0 D. a < 0, c < 0 i D > 0 7. Na kojoj slici je prikazan grafik funkcije y A. y ) = (? B. y C. y D. y

17 iz MATEMATIKE 7. Na slici su dati grafici eksponencijalnih funkcija. y y = a y = a y = a y = a Kod koje funkcije osnova stepena ima najveću vrijednost? A. = B. y = a C. y = a D. y a y = a 7. Vrijednost izraza 0 log 0 je: A. B. 6 C Za koje vrijednosti je definisan izraz log 5 ( + )? A. (, ) B. (, ) C. (, + ) D. (, + ) 75. Koji od datih brojeva je pozitivan? 9 A. log5 B. log C. 0 5 log 5 D. log Jednačina log + log( + 5) = log( + ) + log( + ) A. ima dva rješenja istog znaka B. ima dva rješenja različitog znaka C. ima jedno rješenje D. nema rješenja 5

18 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 77. Za funkciju f ( ) a ( + b) = log čiji je grafik prikazan na slici važi: y A. a > b > 0 B. a > b < 0 C. 0 < a < b > D. 0 < a < b < Kojim kvadrantima može pripadati ugao α ako je tgα < 0? A. I i II B. II i III C. I i III D. II i IV sin( 90 )cos Vrijednost izraza je: sin90 cos( 60 ) o A. B. C. tg 0 D. tg 0 o 80. Na kojoj slici za odgovarajuće uglove α podebljanog luka važi A. y B. y sin α >? - C. y D. y - 6

19 iz MATEMATIKE 8. Koji od sljedećih grafika odgovara funkciji y = cos? A. y B. y ϖ - 0 ϖ - - -ϖ - ϖ ϖ - 0 ϖ - - -ϖ - ϖ C. y D. y ϖ - 0 ϖ - - -ϖ - ϖ ϖ - 0 ϖ - - -ϖ - ϖ Koja od datih funkcija odgovara grafiku sa slike? y ϖ ϖ 0 5ϖ ϖ - 6 ϖ 7ϖ - ϖ 6 6 π A. y = cos B. π y = sin + π C. y = sin π D. y = cos + 7

20 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 8. Ako je tg( α π ) =, onda je tgα jednako: A. 7 B. C. 7 7 D Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 7, da bi se dobio razlomak jednak? boda 85. Riješiti jednačinu 7 9 = +. boda Riješiti jednačinu =. boda Riješiti nejednačinu > boda Odrediti najveći cijeli broj koji je rješenje nejednačine Odrediti najveći cijeli broj koji je rješenje nejednačine boda < +. boda Katarina je odlučila da počne sa vježbanjem u teretani. Učlanjenje košta 7 eura, a mjesečna članarina je 5 eura. Katarina ne želi da za godinu potroši više od 00 eura na vježbanje. Koliko najviše mjeseci Katarina može da plaća članarinu? boda 9. Riješiti sistem jednačina. boda 8 ( + y+ ) = ( + 5) + 6y. + y =

21 iz MATEMATIKE 9. Ulaznicu za muzej djeca plaćaju eura, a odrasli 5 eura. Ukupno je prodato 800 ulaznica i primljeno 960 eura. Koliko je među posjetiocima bilo djece? boda 9. U prvom polugodištu je za kupovinu košarkaške i 5 odbojkaških lopti iz školskog budžeta potrošeno 60 eura. U toku drugog polugodišta su po istim cijenama nabavljene košarkaške i odbojkaške lopte za 98 eura. Koliko košta jedna košarkaška i jedna odbojkaška lopta? boda 9. U apoteci je 50l sirupa sipano u bočice od l i l. Ako je upotrijebljeno 8 ukupno 80 bočica, koliko je bilo bočica od l, a koliko od 8 l? boda nn ( + ) 95. Zbir (S) prvih n prirodnih brojeva računa se po formuli S =. Koliko uzastopnih prirodnih brojeva treba sabrati, počev od broja, da bi se dobio zbir 08? (napomena: 69 = 57 ) boda 96. Za koje realne vrijednosti parametra k je trinom ( k ) + k pozitivan za svako realno? 5 bodova 97. Data je jednačina p + ( p + ) + q = 0. Odrediti koeficjente p i q tako da = i = budu rješenja date jednačine. boda 98. Odrediti vrijednost parametra m u jednačini ( m ) ( m + ) + m = 0 ako je poznato da je jedno rješenje, a zatim naći drugo rješenje jednačine. boda 99. Sastaviti kvadratnu jednačinu čija su rješenja = i = 7 7. boda 9

22 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 00. Ako su i rješenja jednačine = 0, pomoću Vietovih pravila odrediti koliko je +. boda 0. Neka su i rješenja jednačine jednačinu čija su rješenja z = i 0= 0. Formirati novu kvaratnu z =. boda Uvođenjem smjene riješiti jednačinu = bodova 0. Riješiti sistem jednačina. ( + ) + ( y+ ) = ( + ) + ( y+ ) + y = boda 0. Jedan radnik završi posao 9 dana ranije nego drugi radnik, a oba radnika zajedno bi ga završila za 0 dana. Koliko dana treba svakom od radnika da sam završi posao? 5 bodova 05. Riješiti nejednačinu 7+ > 0. boda 06. Riješiti nejednačinu boda Data je kvadratna funkcija f ( ) = + 6. Odrediti koordinate tjemena parabole i presjek sa y osom. boda 08. Data je funkcije f ( ) = 6 +, 5. Odrediti: 0. nule funkcije boda. tjeme funkcije. boda. U dati kooordinantni sistem nacrtati grafik date funkcije boda

23 iz MATEMATIKE y Napisati kvadratnu funkciju čiji je grafik dat na slici. boda y Na osnovu datih podataka sa slike odrediti kvadratnu funkciju. boda y A(-,0) B(,0) C(0,-) -

24 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA. Odrediti koeficijent m kvadratne funkcije f( )= + + m grafik prikazan na slici. y čiji je boda,5 0. Naći dva broja takva da je njihov zbir 0, a zbir njihovih kvadrata, najmanji. boda +. Data je funkcija f ( ) =. boda Odrediti nulu funkcije. Odrediti presjek sa y osom. U datom koordinantnom sistemu skicirati grafik date funkcije. y

25 . Na duži AB, AB =0, bira se tačka C i nad duži AC konstruiše se jednakostranični trougao, a nad duži CB kvadrat. Gdje treba odabrati tačku C tako da zbir površina trougla i kvadrata bude minimalan? iz MATEMATIKE 5 bodova A C B + 5. Riješiti eksponencijalnu jednačinu: 7 = 0 boda 6. Odrediti rješenje jednačine 9 7 =. boda + 7. Riješiti jednačinu = 05. boda Riješiti jednačinu =. boda 9. Riješiti jednačinu 8 =. boda 9 0. Riješiti jednačinu ( ) = ( ) ( ) boda + +. Riješiti jednačinu + = +. boda. Odrediti rješenja date jednačine 7 + = 7. boda. Riješiti nejednačinu. boda + +. Odrediti rješenja nejednačine < 6. boda 5. Riješiti nejednačinu >. boda

26 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA Riješiti nejednačinu + 5 > 5 +. boda + 7. Riješiti nejednačinu > + 8. boda 8. Izračunati: log 9+ log 8 log boda Izračunati log+ log 5+ log 6 log 9. boda 7 7 lo g 0. Da li su funkcije f( )= 5 5 i g ( )= log 5 jednake? 5 Obrazložiti odgovor. boda. a) U datom koordinantnom sistemu nacrtati grafik funkcije y = log. b) U istom koordinantnom sistemu nacrtati grafik funkcije koji je simetričan grafiku funkcije y = log u odnosu na y - osu. c) Zapisati u obliku y = f () funkciju koja je dobijena. boda y

27 iz MATEMATIKE. Riješiti jednačinu log ( 5) =. boda. Riješiti jednačinu log ( ) =. boda. Riješiti jednačinu log 5+ log ( + )= log ( + ). boda 5. Riješiti nejednačinu log ( ) >. boda 8π 5π 8π 5π π 6. Izračunati vrijednost izraza cos cos sin sin + sin. boda 7. Dokazati da važi jednakost: cos α ( tgα + )( tg α + ) 5sinαcosα =. boda 8. Riješiti jednačinu cos sin =. boda 9. Riješiti jednačinu + (sin cos ) = sin. boda 0. Nacrtati grafik funkcije f( ) = cos. boda. Dokazati trigonometrijsku identičnost tgα = sinα + sinα cosα. boda. Data je funkcija f( ) = + cos+ cos. Dokazati da je f( ) 0. boda. Riješiti jednačinu sin = 0. boda 5

28 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA GEOMETRIJA. Koja od sledećih trojki brojeva predstavlja mjerne brojeve stranica trougla? A.,, B., 5, 6 C., 7, 5. Biciklista je vozio 6km sjeverno i nakon toga 8km zapadno. Za koliko kilometara bi put bio kraći da se bicilista kretao najkraćim rastojanjem od starta do krajnje tačke? 8 km A. B. 0 6 km C. start 6. Koji od sljedećih četvorouglova ima tačno jednu osu simetrije? A. nejednakokraki trapez B. pravougaonik C. romb D. deltoid 7. Koja od sledećih mjera ugla α sa slike je tačna? A A. 0 ס B. 0 ס C. 5 ס α 0 70 o D. 5 ס B C 8. Dužina hipotenuze pravouglog trougla je cm. Koliko centimetara je rastojanje između težišta i centra opisane kružne linije tog trougla? A. B. C. 6 D. 8 6

29 iz MATEMATIKE 9. Kolika je dužina stranice? A. 0 B. 0 0 C. 0 D o 50. Data je kocka ABCDEFGH i tačke M i N, koje se nalaze redom, na ivicama EF i EH, pri čemu se ne poklapaju sa tjemenima kocke. Ravan koja sadrži tačke M i N, a paralelna je ivici kocke AE dijeli kocku na dva dijela. Jedan od tih dijelova je prava trostrana prizma, a drugi je: H G A. prava trostrana prizma E F B. prava trostrana piramida C. prava četvorostrana prizma D. prava petostrana prizma D C A B 5. Dati su vektori a i b kao na slici. a b Koji od ponuđenih vektora odgovara vektoru = a + b? A. B. C. D. 7

30 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 5. Tačka D je središte duži AB trougla ABC. Kojem od navedenih vektora je jednak vektor AD + CD? A. BC C B. AC C. CB D. CA A D B 5. Stranice b i c trougla ABC zaklapaju oštar ugao α. C Koja od datih formula se koristi b a za izračunavanje visine h c? A. h = c b sin α B. h = b c sinα A C. h c = bcosα c B 5. Ako je u trouglu naspram stranice a ugao α i ako za stranice trougla važi jednakost a = b bc + c, koje mjere je ugao α? A. 0º B. 60º C. 0º D. 50º 55. Neka su a i b stranice trougla i α = 60º ugao naspram stranice a. Koje od datih vrijednosti za a i b NE MOGU biti dužine stranica tog trougla? A. a = i b = B. a = i b = C. a = i b = D. a = i b = 56. Prava na slici ima jednačinu: A. y 8 = 0 B. y + 8 = 0 C. y + 8 = 0 D. + y 8 = 0 8 y 8 6 0

31 57. Koeficjent pravca prave prikazane na slici je: A. B. C y iz MATEMATIKE D Kojoj pravoj sa slike, odgovara jednačina y =? y a A. a d c b B. b C. c - 0 D. d Jednačina kružne linije sa slike je: A. + y = B. + y = 9 C. + y = D. y = 9 9 y - 0-9

32 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 60. Na osnovu podataka sa skice odrediti dužinu duži AE. boda D cm E cm C cm B cm A 6. Na osnovu podataka sa slike odrediti mjeru ugla δ. boda C a a δ A 0 o B 6. Na slici je dat ugao CAB=ε, gdje je tačka O centar kružne linije. D boda A ε O B C Naći: a) COB b) CDB c) DBC 0

33 iz MATEMATIKE 6. Date su duži OA = OC =, OB = i BC AD (kao na slici). Naći duž OD. boda C D O A B 6. Ugao pri vrhu jednakokrakog trougla je 5 o, a poluprečnik opisanog kruga je 5 cm. Izračunati dužinu osnovice tog trougla. boda 65. Na najdužoj stranici AC trougla ABC date su tačke E i D takve da o o je BAD = CBE = 0 i ABD = BCE = 5. Izračunati mjeru unutrašnjih uglova trougla BDE. boda C E 5 o D 0 o A 0 o 5 o B 66. Izračunati unutrašnje uglove jednakokrakog trougla ako mu simetrala ugla na osnovici i visina konstruisana iz istog tjemena grade (zahvataju) ugao od 8º. boda 67. U trouglu ABC ugao β je dva puta veći od ugla α. Dokazati da između stranica ovog trougla postoji relacija b = a + a c. 7 bodova 68. U jednakokraki trougao osnovice 8 cm i kraka 7cm upisana je kružnica. Izračunati rastojanje dodirnih tačaka na kracima. 5 bodova

34 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 69. Visina koja odgovara kraku jednakokrakog trpeza jednaka je polovini veće osnovice trapeza. Izračunati uglove trapeza. boda 70. Date su tri metalne kocke ivica dm, dm i 5 dm. Ako ove kocke pretopimo i od dobijenog materijala napravimo jednu kocku, kolika će biti ivica jedne kocke? boda 7. Površine strana kvadra su 6dm, dm i 8dm. Izračunati zapreminu kvadra. boda 7. Pravougli trougao, čija je hipotenuza 0cm, a jedna kateta 6cm, rotira oko duže katete. Odrediti površinu nastalog tijela. boda 7. Pravougaonik stranica a = 8 cm i b= 6 cm rotira oko manje stranice. Koliko iznosi površina nastalog tijela? boda 7. Romb čije su dijagonale 8 cm i 6 cm rotira oko veće dijagonale. Izračunati površinu dobijenog obrtnog tijela. boda 75. Pravougaonik predstavlja omotač valjka. Dijagonala pravougaonika je dužine d = 5 cm, a stranica pravougaonika koja je jednaka obimu osnove valjka je cm. Izračunati zapreminu valjka. boda 76. Pravougaonik predstavlja omotač valjka. Dijagonala pravougaonika, dužine d = cm, sa stranicom pravougaonika, koja je jednaka obimu osnove valjka, obrazuje ugao od 0 o. Izračunati zapreminu valjka. boda 77. Jednakokraki trapez visine h = cm i dijagonale d = 5 cm je osnova prave prizme. Ako je visina prizme H = 7 cm odrediti njenu zapreminu. boda

35 iz MATEMATIKE 78. Na kocki ABCDEFGH zadate su tačke M, K i L koje pripadaju, redom, ivicama EA, EF i EH, tako da je EM = cm, EK = cm i EL = cm. Odrediti zapreminu piramide koju od date kocke odsijeca ravan određena tačkama M, K i L. H G boda E F D C A 79. Pravougli trapez, čiji je duži krak jednak kraćoj dijagonali, visine h= cm i veće osnovice a = 6 cm, rotira oko kraćeg kraka. Koliko cm iznosi površina nastalog tijela. boda 80. Izračunati površinu paralelograma konstruisanog na vektorima a i b boda zadatih kao a = i + k i b = i + j k. B 8. Naći visinu trougla h c, ako je stranica b = i α = 0 o. boda 8. Padobranac je na visini od 000 m iskočio iz aviona i spušta se na teren pod stalnim uglom spuštanja od 0 o u odnosu na horizont. Koliki je put prešao padobranac od kada je iskočio iz aviona do mjesta na koje se spustio? boda 8. Dužine stranica trougla su a =, b = 5 i c = 7. Koliko iznosi najveći ugao tog trougla? boda 8. Ako su a i b stranice, a d i d dijagonale paralelograma, dokazati da važi d + d = ( a + ). boda b 85. Dat je jednakostranični trougao ABC čije su stranice dužine a =5 cm. Ako se tačka D nalazi na stranici BC tako da je BD = a i tačka E na stranici AB tako da je AE = DE, izračunati koliko iznosi dužina duži CE. boda

36 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 86. Dva broda su isplovila iz luke pod uglom od 60 o kao na slici. Koliko milja su brodovi udaljeni jedan od drugog ako je jedan brod plovio 8, a drugi 5 milja? boda 60 o 87. U koordinantnom sistemu su date tačke A i B. Odrediti rastojanje između njih. y boda A B 88. U datom koordinatnom sistemu označiti tačke M (, ) i N (,), a zatim izračunati koordinate tačke S koja je podjednako udaljena od tačaka M i N. y - boda

37 iz MATEMATIKE 89. Tačke presjeka prave, čija je jednačina + y = 0, sa koordinantnim osama i tačka C (,) su tjemena trougla. Odrediti površinu tog trougla. boda 90. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (, 6), a na koordinatnim osama odsijeca duži jednakih dužina. boda 9. Odrediti vrijednost parametra p tako da su prave ( p 6) py + p = 0 i y = + paralelne. boda 9. Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz presjek pravih + y = 0 i + y = 8, a normalna je na pravoj + y + = 0. boda 9. Za koju vrijednost parametra λ je rastojanje tačke P (,6) od prave λ λy + = 0 jednako 0? boda 9. Za koju vrijednost parametra λ je rastojanje tačke P (, ) od prave ( ) y( ) + λ + λ + λ = 0 jednako 0. boda 95. Odrediti jednačinu kružne linije koja dodiruje y osu, sadrži tačku M (, ), a centar joj leži na osi. boda 5

38 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 96. Na slici je data elipsa i prava + y + = 0 koja je siječe. Odrediti jednačine tangenti elipse koje su paralelne datoj pravoj. boda y Poluose hiperbole su a = i b =. boda a) Napisati njenu jednačinu b) U dati koordinatni sistem skicirati dobijenu hiperbolu i njene asimptote. y

39 iz MATEMATIKE ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE 98. Treći član geometrijskog niza čiji je količnik iznosi 8. Kako glasi šesti član niza? A. 7 B. 86 C. 79 D. 87 6n n 99. Granična vrijednost niza čiji je opšti član + n A. B. C. D. 00. Izvod funkcije f ( ) = arcsin + arccos u proizvoljnoj tački je: A. B. 0 C. je: 0. Koja od navedenih funkcija je inverzna funkciji f ( ) = +? A. f ( ) = B. f ( ) = + C. f ( ) = D. f ( ) = + 0. Izračunati peti član geometrijskog niza kod koga je q = i S 8 = 785. boda 0. U geometrijskom nizu je a a = 5 a a = 0 S n = 5. Odrediti n. boda 0. Suma prvih 8 članova aritmetičkog niza je 7, a razlika je. Kako glasi peti član tog niza? boda 05. Izračunati a i d kod aritmetičkog niza ako je poznato da je razlika devetog i sedmog člana tog niza, a zbir četvrtog i osmog člana 8. boda 7

40 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA n 5n 06. Izračunati lim n. n + 7 boda n 8n+ 07. Izračunati lim n 5+ 6n 9n boda n 08. Izračunati lim n n n n boda 09. Odrediti graničnu vrijednost funkcije lim 9. boda 9 0. Odrediti oblast definisanosti funkcije y =. boda +. Odrediti domen funkcije y = 7. boda. Odrediti domen funkcije 5 f ( ) = log. boda + 5. Data je funkcija y =. Odrediti domen, nule funkcije i izračunati f (). boda. Naći funkciju koja je inverzna funkciji f ( ) = ln( + 5). boda 5. Pokazati da funkcija y = e zadovoljava jednačinu y = ( y ). boda 6. Data je funkcija y = ln ctg. Dokazati da je y = 7. Odrediti interval monotonosti funkcije ( ) y e sin. boda = +. boda 8. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije f ( ) =. boda 9. Ispitati konveksnost, odnosno konkavnost funkcije 8 y = e. boda

41 iz MATEMATIKE 0. Na slici je prikazan grafik funkcije f ( ) =. Za koje vrijednosti data funkcija ima pozitivan znak? Navesti nule date funkcije. Odrediti f. boda y KOMBINATORIKA I VJEROVATNOĆA. Koliko se prirodnih brojeva većih od može napisati pomoću cifara,,, 5 i 7 bez njihovog ponavljanja? A. 8 B. 8 C. 8 D. 58. Stranice pravougaonika podijeljene su sa 7 odnosno sa tačke, tako da je pravougaonik podijeljen na kvadrata (vidi sliku). Koliko se pravougaonika može obrazovati od ovih kvadrata? (i kvadrat smatramo pravougaonikom) A. 80 B. 60 C. 70 D. 0 9

42 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA. Koliko ima petocifrenih brojeva koji se završavaju sa dvije jedinice? A. 70 B. 79 C. 900 D Na 6 jednakih kartica napisana su slova A, C, E, N, R i T. Na slučajan način karte su poređane jedna pored druge. Vjerovatnoća da se dobije riječ CENTAR je: A. manja od 0,% B. veća od 0,% C. tačno 0,% 5. U ravni je dato 5 tačaka obilježenih sa A, 5 obilježenih sa B, a četiri tačke su obilježene sa C. Pri tome ne postoje tri tačke koje leže na istoj pravoj. Koliko ima trouglova čija su tjemena označene tačke, ako sva tjemena moraju biti označena različitim slovima? A. B. C. 00 D. 6 RJEŠENJA BROJEVI; RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI. Tačan odgovor: B. Tačan odgovor: B ( 0 ) ( 0 ) 0 = 0 =. Tačan odgovor: D. Tačan odgovor: C n+ ( n+ ) + ( n+ ) = ( n+ ) 5. Tačan odgovor: D Broj je sigurno djeljiv sa,, 5 i 0, tj. suma je Tačan odgovor: B 7. Tačan odgovor: B 8. Tačan odgovor: C 9. Tačan odgovor: D 0. Tačan odgovor: B. Tačan odgovor: D. Tačan odgovor: B Uputstvo: 8 =

43 . Tačan odgovor: C. Tačan odgovor: C Uputstvo: npr. 0 : 70 = 80 : iz MATEMATIKE 5. Tačan odgovor: B Označimo sa s rastojanje od Nikšića do Žabljaka, sa v prosječnu brzinu, a sa t vrijeme za koje se prevali ukupan put. Imamo 6. Tačan odgovor: B 7. Tačan odgovor: A 8. Tačan odgovor: A s s v = = = t s s Tačan odgovor: D Uputstvo: p 7 = 0 0. Tačan odgovor: B z 5 + i i = = + 5i i i i. Tačan odgovor: B Uputstvo: ( + i)( i) = i. Tačan odgovor: C = 8 km h z = i + = i i = 0, z = i + =, z = i + = 0, z = i + =. i i i i. Tačan odgovor: C. Tačan odgovor: A 5. Tačan odgovor: C 6. Tačan odgovor: D 7. Tačan odgovor: D 8. Tačan odgovor: C 9. Tačan odgovor: D y + z + yz + z = ( y+ z) + z( y+ z) = ( + z)( y+ z) 0. Tačan odgovor: C. Tačan odgovor: C. Tačan odgovor: B Uputstvo: ( 7) 0. Tačan odgovor: C. Tačan odgovor: C 5. Tačan odgovor: A a b a + ab+ b a b 98 = 098 a+ b =, 0 =,

44 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 6. Tačan odgovor: D Uputstvo: + + = Ukupno boda Izračunata vrijednost izraza u zagradi 9... bod Izračunata vrijednost cijelog izraza... bod 8. Ukupno boda 0, = 0... bod 0 ( 5) =... bod... bod 9. Ukupno boda (, 05 ) = 0, 5 ili (, 05 ) =... bod + 5 =... bod 0,5 ili... bod 8 0. Ukupno boda Pravilno rastavljanje na proizvod prostih činilaca. Ukupno bod 905 = bod 905 = 5... bod 7 =, 7 6 = i može se izabrati 5... bod. Ukupno boda b = 0 ili b = 5... bod Ako je b = 0 tada je a =,, 7... bod Ako je b = 5 tada je a =, 5, 8... bod Dakle rješenja su parovi ( b, a) iz skupa {(0,),(0,),(0,7), (5,), (5,5), (5,8)}. Ako skupu rješenja nedostaju najviše dva uređena para, dodjeljuju se boda. Ako su navedena ili rješenja, dodjeljuje se bod.. Uklupno boda 0 =... bod Primjena pravila n = n... bod Konačan rezultat 9... bod

45 iz MATEMATIKE. Ukupno boda za izračunato b 0... bod za izračunato a... bod... bod 5. Ukupno boda : = 0cm : ili = cm... bod = cm ili = m ili = 55 km... bod 6. Ukupno boda i i... bod i i Re( Im( i ) =... bod i i ) =... bod i 0 7. Ukupno boda i = i... bod i + i z =... bod i + i z = + i.... bod 8. Ukupno boda 6 Prvi način: a + 5 i ai + = 5 + i... bod 6 a + = ili a =... bod 5 5 a =... bod 5 + i + i Drugi način: a + i =... bod 5 i + i i a+ i = +... bod 5 0 a = 5... bod

46 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 9. Ukupno boda ( y+ 6y)... bod ( y+ ( y))... bod ( y)( + )... bod 50. Ukupno boda ( ) 8( ) ili ( 8) ( 8)... bod ( )( )( + + ) ili ( 8)( )( + )... bod ( )( + )( )( + + )... bod 5. Ukupno boda ( y y + a )... bod ( )... bod ( a + y) ( a+ y)... bod (( a) y ) 5. Ukupno boda 8 ( )... bod ( )... bod 5. Ukupno boda NZS( a, a+, a ) = a... bod a+ + a +... bod ( a )( a+ )... bod a 5. Ukupno boda + + :... bod ( )( + + ) + + :... bod... bod 55. Ukupno boda ili y y ili y ili y y y y... bod... bod ili y... bod

47 iz MATEMATIKE ELEMENTARNE FUNKCIJE; JEDNAČINE I NEJEDNAČINE 56. Tačan odgovor: B Uputstvo: Rješenja koja pripadaju skupu N su i. 57. Tačan odgovor: A 58. Tačan odgovor: D Tačke (, 0 ) i (,) 0 su nule funkcije y = Tačan odgovor: C 60. Tačan odgovor: C 6. Tačan odgovor: B 6. Tačan odgovor: A 6. Tačan odgovor: B Uputstvo: = i, = i 6. Tačan odgovor: C 65. Tačan odgovor: A 66. Tačan odgovor: A D= 0 ( ) ( ( m )) = 0 m = 67. Tačan odgovor: B 68. Tačan odgovor: B b 69. Tačan odgovor: A α = =, + [ ) a 70. Tačan odgovor: C Data funkcija dostiže minimum (a > 0), siječe y osu na pozitivnom dijelu (c > 0) i dodiruje osu (D = 0). 7. Tačan odgovor: C 7. Tačan odgovor: D 7. Tačan odgovor: C 7. Tačan odgovor: C 75. Tačan odgovor: D Funkcija y = log ( 0, ) ima pozitivan znak. 76. Tačan odgovor: D log ( + 5)= log( + ) je jedina od datih koja na intervalu ( ) + 5 = = = D = ( 0, + ) Dakle, nije rješenje jednačine. 5

48 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 77. Tačan odgovor: A 78. Tačan odgovor: D 79. Tačan odgovor: A 80. Tačan odgovor: A 8. Tačan odgovor: D 8. Tačan odgovor: C 8. Tačan odgovor: D Uputstvo: Primjena adicione formule 8. Ukupno boda 6 tgα tgβ tg( α β) = + tgα tgβ =... bod ( + )= 7 ( + )... bod = 5... bod 85. Ukupno boda 5 ( 7) = bod =... bod 86. Ukupno boda = bod =... bod 87. Ukupno boda ( + 5) ( ) > ( 6 ) bod > ili (, + )... bod 88. Ukupno boda 0 0 ( ) + 5( + 5)... bod... bod Traženi broj... bod 89. Ukupno boda ( 7) + 0< 7+ + ( 6 )... bod <... bod Traženi broj je 0... bod 90. Ukupno boda Tačno postavljena nejednačina bod 6,... bod Odgovor: 6 mjeseci... bod

49 iz MATEMATIKE 9. Ukupno boda y =... bod + y = =... bod y =... bod 9. Ukupno boda broj djece, y broj odraslih + 5y = y = bod Tačan postupak rješavanja... bod = bod 9. Ukupno boda cijena košarkaške lopte, y cijena odbojkaške lopte + 5y = 60 + y = bod = 5... bod y =... bod 9. Ukupno boda - broj bočica od l, y - broj bočica od l 8 + y = 80 + y = bod 8 =0... bod y =60... bod 95. Ukupno boda n + n 66 = 0... bod 66 n, = ± +... bod a Izdvojeno tačno rješenje n = bod 96. Ukupno 5 bodova a = > 0 D < 0... bod [ ( k )] k D =... bod D= k 0k bod 7

50 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA k =, k = 9... bod < k < 9... bod 97. Ukupno boda = p+ p+ 8+ q = 0... bod = p p 8+ q = 0 ili p + = 0 p... bod q = p 8 p =... bod q = 6... bod 98. Ukupno boda ( m ) 6 ( m+ ) + m = 0... bod m =... bod = 0... bod = 0... bod 99. Ukupno boda + =... bod =... bod Na osnovu Vietovih pravila tražena jednačina je ( + ) + =, tj. + = 0... bod Ukupno boda + = 0... bod = 9... bod + 0 =... bod 9 0. Ukupno boda = i = 5... bod b z+ z = = 9... bod a

51 iz MATEMATIKE c z z = = bod a z 9z+ 00 = 0... bod Ukupno 5 bodova t = t = 0... bod t t + 5t + = 0... bod t =, t =... bod 5 ± = 0,, =... bod + 5 = 0, = 6... bod, ± 0. Ukupno boda y =... bod + y = =... bod 5 y = 5... bod 0. Ukupno 5 bodova broj dana bržeg radnika, y broj dana sporijeg radnika Jednačina + =... bod y 0 Jednačina y = 9... bod Tačan postupak rješavanja sistema, npr. 0( + 9) + 0= ( + 9)... bod = 6... bod y = 5... bod 05. Ukupno boda =,... bod = (, ) (, + )... bod 9

52 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 06. Ukupno boda I način ( )( ) 0... bod ( )( ) bod [ ] 7 +, (, )... bod II način ( > 0) ( < 0)... bod y bod [, ] (7, + )... bod 07. Ukupno boda α =... bod β = 8... bod (0, 6)... bod 50

53 iz MATEMATIKE 08.. Ukupno boda 6 +,5 = 0, 6 6 0, = ±... bod =, 5 =... bod. Ukupno boda = b 6 α a =... bod ac b β = a =... bod. Ukupno boda Tačno nacrtan grafik... boda y Nepotpuna slika (nedostaju koordinantne ose, nije označeno tjeme ) ali je nacrtan grafik kvadratne funkcije koja ima dvije nule i minimum... bod 09. Ukupno boda c =... bod b Na osnovu α = = i = formiran sistem b = a a b + = 0 a Ili Na osnovu =, = formiran sistem a b + = 0 9a + b + = 0 Ili c b Na osnovu =, = uočeno =, + =... bod a a a = ili b =... bod f ( ) = bod 5

54 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 0. Ukupno boda c =... bod ac b. Ukupno boda β = a a b + c = 0 9a + b + c = 0... bod a = ili b =... bod y =... bod... bod m 9, 5 =... bod m = 8... bod. Ukupno boda Neka su brojevi i 0 Ako sa S() označimo zbir kvadrata, imaćemo Funkcija f( )= a + b + c S ( ) = + ( 0 ) = 0+ 00, R.... bod, a > 0 minimum dostiže za b =... bod a 0 = = bod. Ukupno boda Nula funkcije ( 0, )... bod Presjek sa y- osom ( 0, )... bod Nacrtan grafik funkcije... boda y

55 iz MATEMATIKE. Ukupno 5 bodova Neka je AC =, tada je CB = 0... bod Zbir površina je P ( ) = + ( 0 ), bod P ( ) = , bod Ova funkcija minimum dostiže za 5. Ukupno boda Svođenje na istu osnovu b =... bod a 0 Tačan krajnji rezultat: =... bod + + =... bod =... bod 6. Ukupno boda 5 = =... bod... bod =... bod 5 7. Ukupno boda 7 ( + 7 ) = bod 7 5= bod =... bod 8. Ukupno boda + 0 = 0 ili + 0 = 0... bod ± ( ) 0... bod, = = 5, = 8... bod 9. Ukupno boda ( 8) =... bod = bod =... bod 5

56 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 0. Ukupno boda Jedan bod za oslobađanje korijena i jedan bod za svođenje na istu osnovu ( ) = ( ) ( )... boda 5 = bod 7 = 6 0 =... bod. Ukupno boda + = +... bod (8 + ) = ( + ) ili ( + ) = ( + )... bod 5 ( ) = ( ) ili =... bod =... bod. Ukupno boda 7 ( + ) = 7... bod 9 8 = bod 9 =... bod. Ukupno boda. Ukupno boda... bod... bod (+ ) 6 + <... bod ( + ) < bod <... bod 5 5. Ukupno boda ( ) > ( )... bod >... bod > 8 ili > 8 ili < ili 6 <... bod <... bod

57 iz MATEMATIKE 6. Ukupno boda > bod < 5 ili 5 >... bod 5 < ili >... bod 5 > 0... bod 7. Ukupno boda = t, t t 8 > 0... bod t =, t =... bod t (, ) (, + )... bod (, + )... bod 8. Ukupno boda log6 9 8 log6... bod 9 8 log 6... bod log6 6 =... bod 9. Ukupno boda log+ log 5 = log00... bod log 6 log 9= log 7... bod Konačan rezultat... bod 0. Ukupno boda Tačan odgovor bez obrazloženja... bod Tačan odgovor i tačno obrazloženje: ne, jer je funkcija f definisana za > 0, a funkcija g za svako R... boda. Ukupno boda y

58 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA Nacrtan grafik funkcije y = log... boda ( bod za obilježenu nulu funkcije i bod za pravilno nacrtano granično ponašanje funkcije kad 0 ).. Ukupno boda Nacrtan grafik funkcije y = log ( ) Napisana tražena funkcija, y = log ( )... bod... bod 5 5 > 0, >... bod 5 =... bod 56 =... bod. Ukupno boda > 0 tj. >... bod. Ukupno boda Domen: (, ) =... bod =... bod... bod 5 ( + ) = +... bod =... bod 5. Ukupno boda > 0 tj. >... bod log ( ) > log... bod <... bod < <... bod

59 iz MATEMATIKE 6. Ukupno boda cos 8 π 5π + ili cos π... bod Konačan rezultat + = 0... bod 7. Ukupno boda cos ( sin α sinα α + )( + ) 5sinαcosα =... bod cosα cosα = sin α + sinα cosα + sinα cosα + cos α 5sinα cosα =... bod = (sin α + cos α ) = =... bod 8. Ukupno boda cos sin =... bod sin = 0 ili cos = ili cos =... bod = kπ, k Z... bod 9. Ukupno boda + sin sin cos + cos = sin... bod sin cos = sin... bod sin =... bod π = + kπ, k Z... bod π π 0. Ukupno boda Tačno određene nule funkcije y = cos, npr.,. bod Pravilno nacrtan grafik funkcije y = cos na osnovnom periodu... bod Pravilno nacrtan grafik funkcije y = cos na osnovnom periodu... bod y

60 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA. Ukupno boda sinα α = tg... bod ( sin α)( + sin α) cosα sinα α = tg... bod cos α cosα sinα α = tg... bod cosα cosα cosα. Ukupno boda y = + cos+ cos sin = + cos + cos + cos = = cos + cos + = (cos + cos + ) = (cos + ) > 0 Primjena formule za dvostruki ugao cos = cos sin... bod Primjena osnovnog identiteta sin = cos... bod cos + cos +... bod > Zaključak (cos + ) 0... bod. Ukupno boda Prvi način sin = sin =... bod π 5π sin = = + kπ, k Z = + kπ, k Z... bod 6 6 π 7π sin = = + kπ, k Z = + kπ, k Z... bod 6 6 Drugi način sin = sin =... bod π = ± + kπ, k Z... boda 6 58

61 iz MATEMATIKE GEOMETRIJA. Tačan odgovor: B Uputstvo: Dužina bilo koje stranice trougla manja je od zbira, a veća od razlike dužina ostale dvije stranice. 5. Tačan odgovor: A 6. Tačan odgovor: D 7. Tačan odgovor: C 8. Tačan odgovor: A Kako je centar O opisane kružnice kod pravouglog trougla na sredini hipotenuze to je težišna duž OC koja odgovara hipotenuzi takođe jednaka poluprečniku pa je dugačka 6 cm. Pošto težište dijeli težišnu duž u odnosu : od T do O je cm. 9. Tačan odgovor: A 50. Tačan odgovor: D 5. Tačan odgovor: B 5. Tačan odgovor: C 5. Tačan odgovor: A 5. Tačan odgovor: B Uputstvo: Primjena kosinusne teoreme. 55. Tačan odgovor: C Na osnovu sinusne teoreme a b b = sin β = sinα sin β a Uvrštavanjem ponuđenih vrijednosti za a i b dobijamo da je sin β, sem u slučaju C gdje dobijamo sin β = što je nemoguće. 56. Tačan odgovor: D 57. Tačan odgovor: B 58. Tačan odgovor: B 59. Tačan odgovor: B 60. Ukupno boda AC = ( cm) + ( cm) = 8 cm... bod AD AE = cm... bod = cm... bod 59

62 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 6. Ukupno boda ABC = BAC = o bod o bod δ = 50 o... bod 6. Ukupno boda COB=ε... bod CDB = ε... bod DBC = bod 6. Ukupno boda Pozivanje na Talesovu teoremu ili uočavanje sličnosti trouglova OAD i OBC... bod Na osnovu toga napisana proporcija OB : OA = OC : OD... bod 6. Ukupno boda Tačno izračunato OD C =... bod O A B o o ACB= 5 AOB = bod AOB pravougli i jednakokraki: OA = OB = 5 cm. bod AB = 50 = 5... bod 65. Ukupno boda ADB = BEC = bod BDE = BED = bod DBE = bod 60

63 66. Ukupno boda C iz MATEMATIKE M α - ugao na osnovici 8 o A A B I način MAA : MAA o o o = 8, AA M = 90 slijedi AMA = 7... bod II način ΔMAB: α + α o + 7 = 80 o... bod α = 7 o... bod β = 6 o... bod o AAB = α 8... bod ΔA AB: α 8 α 90 o + = o... bod α = 7 o... bod β = 6 o... bod 67. Ukupno 7 bodova C α b a b А α c β B a α E Produžetak stranice AB preko tjemena B za dužinu BC... bod Zaključak da je trougao BEC jednakokraki... bod Uočavanje da je β spoljašnji ugao trougla BEC koji je jednak zbiru dva nesusjedna unutrašnja ugla i zaključak da su uglovi trougla BEC na osnovici jednaki α... bod 6

64 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA CE = AC = b... bod Trouglovi AEC i ECB su slični... bod Na osnovu sličnosti postavljena proporcija AE : EC = EC : BE... bod Izvedena relacija ( a+ c): b= b: a b = a + ac... bod 68. Ukupno 5 bodova Na osnovu jednakosti tangentnih duži CE = CD... bod E C D ECD je sličan ABC... bod Zaključak da je F sredina osnovice tj. AF = 9... bod Iz uslova AF = AE izračuna se stranica CE = 7 9 = bod Iz pomenute sličnosti: AB : ED = AC : CE 8: ED = 7 : 8 ED =. A F B... bod 69. Ukupno boda Skica: E je podnožje normale iz tjemena B na krak AD i AB = BE. E D C ABE : sin EAB = BE = EAB = bod AB ABC = bod A B BCD= ADC = bod 70. Ukupno boda V = 6 dm... bod 6 a = 6... bod a = 6 dm... bod 7. Ukupno boda Formiran sistem npr. ab = 6dm bc = dm ac = 8dm... bod ( abc) = 6dm dm 8dm... bod V = 6dm... bod 7. Ukupno boda H = 8 cm... bod r = 6cml, = 0cm... bod P= rπ( r+ l) = 6π( 6+ 0) = 96π cm... bod

65 iz MATEMATIKE 7. Ukupno boda a= 8cm= r, b= 6cm= H... bod P = 8 π ( 8+ 6)... bod P= π cm... bod 7. Ukupno boda P= M kupe... bod H = cmr, = cm... bod l = 5 cm... bod P = 0π cm... bod 75. Ukupno boda H = cm... bod r = cm... bod π V = π cm... bod 76. Ukupno boda H d o H = = cm ili sin0 = H = cm... bod d D d C H r = π cm... bod A 0 o rϖ B V = 6 π cm... bod 77. Ukupno boda AF = d h = 6, AF =... bod D b C a b a+ b= AF + EB =8 ili AF = +... bod d h h B= cm... bod A E a F B V = 8 cm... bod 78. Ukupno boda H Uočeno da je baza piramide jedan od tri pravougla trougla, npr. EML... bod E M A L D K F B G C H = EK = cm... bod B H V = = = cm... bod 6

66 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 79. Ukupno boda D b C A a E h d B 80. Ukupno boda b = cm... bod AD = 5 cm... bod Nastalo tijelo je zarubljena kupa kod koje je r = 6cm, r = cm, izvodnica l = 5 cm... bod P r = π( + r + ( r+ r) l)= π( )= 90 π... bod a b = i + j + k... bod ab = ( ) + + =... bod 8. Ukupno boda C b α A h c a c B sinα = h c ili h b c = b sinα... bod h c =... bod 8. Ukupno boda Skicirana slika... bod 0 o 000 m 000 cos60 o =... bod = 000 m... bod 6

67 8. Ukupno boda Prvi način iz MATEMATIKE Nedvosmisleno označen ugao naspram stranice c kao nepoznata u zadatku... bod 9 = cosγ... bod cosγ = -... bod γ = bod Drugi način Nedvosmisleno označen ugao naspram stranice c kao nepoznata u zadatku... bod sin ( )( )( 7) = γ... bod = sinγ... bod γ =0 o... bod 8. Ukupno boda d = a + b ab cos β... bod d = a + b ab cosα... bod α = 80 o β cosα = cos β... bod d + d = ( a + b ) ab(cosα + cos β ) tj. d + d = ( a + b )... bod 85. Ukupno boda o Iz trougla ΔEBD: = 5 + ( 5 ) 5 ( 5 ) cos bod C = 7 cm... bod Primjena kosinusne teoreme na trougao AEC A E 5- B a = 5 B o CE = AC + AE AC AE cos bod CE = cm... bod 65

68 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 86. Ukupno boda d = a + b ab cos 60 o... bod d = bod d = 7... bod 87. Ukupno boda A (, ) i B (, 5)... bod d ( A, B) = ( ( ) + ( 5 )... bod d( A, B) =0... bod 88. Ukupno boda Tačno unijete obje tačke... bod ( + ) + ( y + ) = ( ) + ( y )... bod 8 S,, R... bod Ukupno boda Presjeci sa koordinantnim osama: A(0,) i B(6,0)... bod P ABC = 0 ( 0 ) + 6 ( ) + ( 0)... bod P ABC = 7... bod y y 90. Ukupno boda + = ili =... bod a a a a = ili =... bod a a a a + y 9 = 0 ili y + = 0... bod p 6 9. Ukupno boda y = + p ili p p 6 = p p 6 k =... bod p... bod p = 6... bod 66

69 9. Ukupno boda Presječna tačka (, ) iz MATEMATIKE 6... bod Koeficjent pravca tražene prave k =... bod y = + 8 ili + y 8 = 0... bod 6λ 6λ+ 9. Ukupno boda 0 =... bod 9λ + λ 0 λ =... bod λ =, λ 5 = 5... bod 9. Ukupno boda 0 = 0 = ( ) ( ) + λ λ + λ... bod ( + λ) + ( λ) 5+ 5λ... bod 5+ 5λ ( λ) ( λ ) + = +... bod λ =... bod 95. Ukupno boda (, b) ( R, 0) R + y = R... bod a = ili ( ) ( ) R R + =... bod ( ) y + =... bod 96. Ukupno boda + y = ili a= i b=... bod 9 k =... bod ( ) + = n... bod y = bod y = 5 67

70 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 97. Ukupno boda a) y 6 9 =... bod y b)... boda Skicirana hiperbola bez asimptota (grane su simetrične i tjemena su u tačkama (, 0), (, 0)... bod ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE 98. Tačan odgovor: B 99. Tačan odgovor: B 00. Tačan odgovor: B 0. Tačan odgovor: D a q = 8 a = a 6 = = 5 86 b 8 ( ) 0. Ukupno boda = bod b = 7... bod b = 5... bod 68

71 iz MATEMATIKE 0. Ukupno boda a aq = aq aq = 5... bod 0 q =... bod a = 5... bod n =... bod 8 0. Ukupno boda 7 = ( a 7 + )... bod a =... bod a 5 = 0... bod 05. Ukupno boda a + 8d ( a + 6d) = a + d + a + 7d = 8... bod d =... bod a =... bod Ukupno boda lim n n 7... bod + n bod Ukupno boda lim n n... bod n n n... bod n n 08. Ukupno boda lim ili lim + n n n n... bod n = t... bod 6 ili e 6 e... bod 69

72 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 09. Ukupno boda lim... bod 9 lim +... bod... bod 6 0. Ukupno boda + > 0... bod = i = 6... bod ( 6..., ) bod. Ukupno boda bod 7 ( 0 7 > 0) ( 0 7 < 0)... bod [ 0,7)... bod 5. Ukupno boda > 0... bod + 5 ( 5 > > 0) ( 5 < < 0)... bod 5, ( 5, + )... bod. Ukupno boda Domen: (0, + )... bod Nula funkcije: =... bod f ( ) =... bod. Ukupno boda f ( f ( )) = tj. f ( ln( + 5)) =... bod t + e 5 ln( + 5) = t =... bod t + e 5 f ( t) = tj. f e ( ) = bod 70

73 iz MATEMATIKE 5. Ukupno boda y = e e... bod y = e ( ) = y( )... bod 6. Ukupno boda 7. Ukupno boda, y =... bod ctg sin y, sin = =... bod cos sin sin cos y, =... bod sin y ' ) = e + ( + e... bod y' = e ( + ) 0... bod ( R) y... bod 8. Ukupno boda y, =... bod, y = 0 za = ili =... bod y = ma za =... bod y = min za =... bod 9. Ukupno boda y = e... bod y = e +... bod y > 0 za + > 0, y < 0 za + < 0... bod, + funkcija je konveksna,, funkcija je konkavna... bod 7

74 ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA 0. Ukupno boda (,0) (, + )... bod f ( ) = 0 za =, = 0 i =... bod 5 f =... bod 8 KOMBINATORIKA I VJEROVATNOĆA. Tačan odgovor: C Na osnovu pravila množenja dobijamo da je traženi odgovor = 8, jer se cifra desetica hiljada može birati samo između 5 i 7, kako je jedna cifra iskorištena skup za biranje cifre hiljada je smanjen na, cifre stotina na, analogno se cifra desetica može izabrati na dva načina i cifra jedinica na jedan.. Tačan odgovor: B Dvije horizontale i dvije vertikale definišu pravougaonik. Vertikale biramo na 98 = 6 načina, a dvije horizontale na 5 = 0 načina. Ukupan broj pravougaonika jednak je 6 0 = 60.. Tačan odgovor: C. Tačan odgovor: A Posmatraju se permutacije skupa slova A, C, E, N, R i T. Ukupno ih je 6! = 70. Povoljna je samo jedna mogućnost. Dakle, tražene vjerovatnoća je < 0,% Tačan odgovor: C 7

75 iz MATEMATIKE 7

76 Sadržaj Predgovor Pravila za rješavanje testa na maturskom i stručnom ispitu... Brojevi; Racionalni algebarski izrazi...5 Elementarne funkcije; Jednačine i nejednačine Geometrija...6 Elementi matematičke analize...7 Kombinatorika i vjerovatnoća...9 Rješenja...0 Brojevi; Racionalni algebarski izrazi...0 Elementarne funkcije; Jednačine i nejednačine...5 Geometrija...59 Elementi matematičke analize...68 Kombinatorika i vjerovatnoća...7

77

78