Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
|
|
- Φωσφόρος Λαμπρόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno odredena jednim brojem (na primjer: masa, temperatura, vrijeme, površina geometrijske figure, zapremina tijela, itd.). Vektorskom veličinom ili vektrorom naziva se svaka veličina koja je definisana: intenzitetom, pravcem i smjerom. Geometrijski, vektori se predstavljaju orjentisanim dužima u ravni ili prostoru. Vektore najčešće obilježavamo malim slovima latinice sa strelicom iznad slova, na primjer: a, b, c, d, e,... Ako želimo naglasiti koja je početna, a koja krajnja tačka vektora tada vektore obilježavamo sa dva velika slova i strelicom iznad njih, na primjer: AB, PQ, CD,..., gdje prvo slovo označava početak, a drugo slovo kraj vektora. a B A P Q Dužina vektora a naziva se intenzitet ili modul vektora a i obilježava se sa a. Vektor čiji je intenzitet jednak nuli naziva se nula-vektor i označavamo ga sa 0. Vektor čiji je intenzitet jednak jedinici naziva se jedinični vektor ili 1
2 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA ort. Jedinični vektor vektora a označava se sa ort a ili a 0. Za dva vektora a i b kažemo da su kolinearna ako pripadaju istim ili paralelnim pravim. Posmatrajmo dva vektora a i b, zbir vektora a + b računamo po pravilu paralelograma, na način prikazan na sljedećoj slici. D a C b a + b b A a B Za sabiranje vektora važe sljedeća svojstva: 1. a + b = b + a (zakon komutacije) 2. ( a + b) + c = a + ( b + c) (zakon asocijacije) 3. a + 0 = 0 + a = a (zakon identiteta) 4. a + ( a) = 0 (zakon inverzije) Proizvod vektora a i skalara λ je vektor λ a istog pravca kao i vektor a, intenzitet mu je λ a, a smjer mu je isti kao i vektora a, ako je λ > 0, odnosno suprotan smejru vektora a, ako je λ < 0. Neka su i, j jedinični vektori x i y ose redom, kao na slici b y y b a y j a b x i a x x Elvis Baraković 2 Edis Mekić
3 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA Tada vektor a mozemo zapisati na sljedeći način a = a x i + a y j = (a x, a y ). M 3 z M k O i j M 2 y x M 1 M Pošto su M 1, M 2, M 3 ortogonalne projekcije tačke M na koordinatne ose, onda je kao što se i vidi sa predhodne slike jer je: te je: OM = OM 1 + OM 2 + OM 3 M 1 M = OM 2 OM 1 = x i, i OM 2 = y j, M M = OM 3, OM 3 = z k, gdje su x, y i z tri realna broja koji potpuno odreduju položaj tačke M, ili pravougle koordinate vektora OM. Prema tome vektor OM možemo zapisati pomoću pravouglih koordinata u obliku: OM = x i + y j + z k, a njegov intenzitet računamo po formuli OM = x 2 + y 2 + z 2. Ako se vektor projektuje ortogonalno na koordinatne ose dobit ćemo: x = OM cosα, y = OM cosβ, z = OM cos γ, (1) Elvis Baraković 3 Edis Mekić
4 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA gdje su α, β i γ uglovi koje vektor OM zaklapa sa koordinatnim osama. Kvadriranjem a zatim sabiranjem jednakosti (1) i imajući uvidu da je OM 2 = x 2 + y 2 + z 2, dobit ćemo da je: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Linearna kombinacija vektora a i (i = 1, 2, 3,..., n) je vektor oblika α 1 a 1 + α 2 a α n a n = n α i a i. (2) i=1 Za vektore a i (i = 1, 2, 3,..., n) kažemo da su linearno nezavisni ako iz n α i a i slijedi α i = 0 za svako i = 1, 2, 3,..., n, ako je bar jedan od brojeva i=1 α i različit od nule tada za vektore a i (i = 1, 2, 3,..., n) kažemo da su linearno zavisni. Za dva vektora a = a x i + a y j + a z k i b = bx i + b y j + b z k kažemo da su kolinearna ako vrijedi a = λ b, odakle se dobije da je a x b x = a y b y = a z b z = λ. Jedinični vektor vektora a racunamo po formuli a 0 = a a. Primjer 1.1 Ako stranice jednakostraničnog trougla uzmemo za vektore, da li su ti vektori jednaki? Rješenje: Nisu, jer iako vektori strana imaju iste intenzitete, oni nemaju isti pravac i smjer, pa nisu ispunjeni uslovi jednakosti vektora. Primjer 1.2 Ispitati linearnu nezavisnost vektora a = 2 i + j + 4 k, b = 7 i + 5 j k i c = 2 i + j. Rješenje: Formirajmo linearnu kombinaciju vektora a, b i c, α a + β b + γ c = 0. Nakon zamjene vektora a, b i c dobijamo α( 2 i + j + 4 k) + β(7 i + 5 j k) + γ(2 i + j) = 0. Elvis Baraković 4 Edis Mekić
5 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje 1 ANALITIČKA vektora GEOMETRIJA Nakon sredivanja dobijamo ( 2α + 7β + 2γ) i + (α + 5β + γ) j + (4α β) k = 0. Da bi posljednja jednakost bila zadovoljena mora biti 2α + 7β + 2γ = 0 α + 5β + γ = 0 4α β = 0 Dobijeni sistem je homogeni, izračunajmo njegovu determinantu D = = Kako je determinanta sistema različita od nule to posljednji sistem ima samo trivijalno rješenje (α, β, γ) = (0, 0, 0). Odnosno dati vektori su linearno nezavisni. Primjer 1.3 Razložiti vektor a u pravcu vektora b i c, ako je: a = 3 p 2 q, b = 2 p + q, c = 7 p 4 q, Rješenje: Razložen vektor a u pravcu vektora b i c glasi: a = α b + β c, gdje su α i β realni parametri koje treba odredit. 3 p 2 q = α( 2 p + q) + β(7 p 4 q) = 2α p + α q + 7β p 4β q = ( 2α + 7β) p + (α 4β) q. Da bi posljednja relacija bila identički jednaka moraju odgovarajući koeficijenti biti jednaki, tj. 2α + 7β = 3 α 4β = 2. Rješavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo da je α = 2 i β = 1, pa razložen vektor a u pravcu vektora b i c glasi: a = 2 b + c. Elvis Baraković 5 Edis Mekić
6 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Primjer 1.4 Dati su vektori u = ( 1, 9, 5), v = (0, 4, 6) i w = (1, 3, 0). Razložiti vektor a = (2, 3, 1) u pravcu vektora u, v i w. Rješenje: Razložen vektor a u pravcu vektora u, v i w glasi: a = α u + β v + γ w, gdje su α, β i γ realni parametri koje treba odredit. (2, 3, 1) = α( 1, 9, 5) + β(0, 4, 6) + γ(1, 3, 0) = ( α, 9α, 5α) + (0, 4β, 6β) + (γ, 3γ, 0) = ( α + γ, 9α 4β + 3γ, 5α + 6β) Da bi posljednja relacija bila identički jednaka moraju odgovarajući koeficijenti biti jednaki, tj α + γ = 2 9α 4β + 3γ = 3 5α + 6β = 1 Rješavanjem dobijenog sistema jednačina dobijamo da je α = 11 8, β = i γ = 27 pa razložen vektor a u pravcu vektora u, v i w glasi: 8 a = Proizvod vektora u v w. Definicija 1.1 Skalarnim ili unutrašnjim proizvodom vektora a i b, u oznaci a b, nazivamo skalar koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa ugla koji oni zaklapaju: a b = a b cos ( a, b). (3) Iz formule (3) slijedi da je kosinus ugla izmedu vektora a i b dat formulom cos ( a, b) = a b a b. Teorem 1.1 Skalarni proizvod dva vektora a = (a x, a y, a z ) i b = (b x, b y, b z ), jednak je zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata tj. a b = a x b x + a y b y + a z b z. Elvis Baraković 6 Edis Mekić
7 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Teorem 1.2 Dva vektora a = (a x, a y, a z ) i b = (bx, b y, b z ) su ortogonalna ako i samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli: a b = 0 a x b x + a y b y + a z b z = 0. Definicija 1.2 Vektorski proizvod dva vektora a i b, koji obilježavamo sa a b, je vektor definisan na sljedeći način: 1. vektor c = a b okomit (normalan) je na ravan koju odreduju vektori a i b, 2. smjer vektora c = a b je takav da uredena trojka ( a, b, c) obrazuje triedar desne orjentacije, 3. intenzitet a b vektora a b jednak je mjernom broju površine paralelograma konstruisanog nad vektorima a i b : a b = a b sin ( a, b). c b a Uslov kolinearnosti dva vektor a i b je a b = 0. Vektorski proizvod vektora a = a x i+a y j +a z k = (ax, a y, a z ) i b = b x i+b y j + b z k = (bx, b y, b z ), možemo izračunati na sljedeći način a i j k b = a x a y a z b x b y b z. Osobine vektroskog proizvoda: Elvis Baraković 7 Edis Mekić
8 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA 1. a b = ( b a), 2. (λ a) (µ b) = λµ( a b), 3. i i = j j = k k = 0, i j = k, j k = i, k i = j, j i = k, k j = i, i k = j, k i + j 4. ( a + b) c = a c + b c. Definicija 1.3 Mješoviti proizvod tri vektora a = a x i+a y j+a z k = (ax, a y, a z ), b = bx i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ), i c = c x i + c y j + c z k = (cx, c y, c z ) je broj koji je jednak skalarnom proizvodu vektora a i b c. Računamo ga na sljedeći način: a ( b c) = a x a y a z b x b y b z c x c y c z Apsolutna vrijednost mješovitog proizvoda tri nekomplanarna vektora jednaka je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima, tj. V = a ( b c).. a c b Elvis Baraković 8 Edis Mekić
9 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Vektori a = a x i + a y j + a z k = (ax, a y, a z ), b = b x i + b y j + b z k = (bx, b y, b z ), i c = c x i + c y j + c z k = (cx, c y, c z ) su komplanarni (pripadaju istoj ravni) ako i samo ako je a ( b c) = 0. Primjer 1.5 Odredti skalarni proizvod vektora a = 2 i 3 j + 3 k i b = 3 i + j 4 k gdje su i, j i k medusobno okomiti ortovi. Rješenje: a b = (2 i 3 j + 3 k) ( 3 i + j 4 k) = 2 ( 3) + ( 3) ( 4) = 21. Primjer 1.6 Odrediti skalarni proizvod vektora a = 2 m 3 n i b = m+2 n, ako je m = 2, n = 3 i ugao izmedu vektora m i n, ( m, n) = π 3. Rješenje: a b = (2 m 3 n) ( m + 2 n) = 2 m m n + 3 n m 6 n 2 = m n = m n = m n cos ( m, n) = cos π 3 = = 41. Primjer 1.7 Odrediti parametar m tako da intenziteti vektora a = (2λ m, m, m 1) gdje je λ 0 i b = (m + 1, m 2, 0) budu jednaki, zatim naći sinus ugla izmedu njih. Rješenje: Po uslovu zadatka mora biti a = b a 2 = b 2 (2λ m ) 2 + m 2 + (m 1) 2 = (m + 1) 2 + (m 2) 2. Odnosno nakon sredivanja 4λ 2m = 4 λ 2m = 1 m = 0. Za ovu vrijednost parametra m dati vektori imaju oblik a = (2, 0, 1) b = (1, 2, 0). Elvis Baraković 9 Edis Mekić
10 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Odrdimo prvo pomoću skalarnog proizvoda kosinus ugla izmedu ova dva vektora: a b = a a b b cosα cosα = a b. Kako je to je a b = (2, 0, 1) (1, 2, 0) = ( 2) + ( 1) 0 = 2, a = ( 1) 2 = 5, b = ( 2) = 5, Odavde i iz cosα = 2 5. sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α = 1 cos 2 α = 1 ( ) = 5 5. Primjer 1.8 Odrediti realni parametar λ tako da vektori a = 2 i 3 j i b = λ i + 4 j budu medusobno okomiti. Rješenje: Uslov okomitosti vektora a i b je a b = 0. Odavde je a b = 0 (2 i 3 j) (λ i + 4 j) = 0 2λ 12 = 0 λ = 6. Primjer 1.9 Dati su vektori a = λ p + 17 q i b = 3 p q, gdje je p = 2, q = 5, a ugao izmedu p i q je ϕ = 2π. Odrediti koeficijent λ tako da vektori 3 a i b budu medusobno okomiti. Rješenje: Zbog uslova okomotosti vektora a i b je a b = 0. Skalarni proizvod vektora a i b dat je sa a b = (λ p + 17 q) (3 p q) = 3λ p p + (51 λ) p q 17 q q = 0. Kako je p p = p p cos(0) = p 2 = 4, ( ) ( 2π p q = p q cos = ) = 5, 3 2 Elvis Baraković 10 Edis Mekić
11 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA q q = q q cos(0) = q 2 = 25, to je a b = 12λ + (51 λ) ( 5) = 17λ 680 = 0. Odavde dobijamo da je λ = 40. Primjer 1.10 U trouglu ABC čije su stranice BC = 5, CA = 6 i AB = 7, naći skalarni proizvod vektora BA i BC. Rješenje: C 6 5 β B Po definiciji skalarnog proizvoda je Primjenom kosinusne teoreme imamo A 7 BA BC = BA BC cosβ. cosβ = AB2 + BC 2 CA 2 2 AB BC = = 19 35, pa je traženi skalarni proizvod 19 BA BC = = 19. Primjer 1.11 Naći brojnu vrijednost izraza: a a b 2 b c + 1, ako je: a = 4 m n, b = m + 2 n i c = 2 m 3 n, gdje je: m 2 = 4, n 2 = 1 i ( m, n) = π 2. Elvis Baraković 11 Edis Mekić
12 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Rješenje: Pošto je ( m, n) = π 2 to slijedi da je m n = 0, pa će biti: a 2 = = a a = (4 m n) ( m + 2 n) = 16 m 2 8 m n + n 2 = 65 a b = (4 m n) ( m + 2 n) = 4 m m n 2 n 2 = 14 b c = ( m + 2 n) (2 m 3 n) = 2 m 2 + m n 6 n 2 = 2. Prema tome imamo da je: a a b 2 b c + 1 = = 104. Primjer 1.12 U jednoj tački djeluju sile F 1 i F 2 pod uglom od 120 pri čemu su intenziteti sila F 1 = 7 i F 2 = 4. Izračunati intenzitet rezultujuće sile F. Rješenje: F 1 F = F1 + F 2 F 1 F = F 1 + F 2. F 2 = F F = ( F 1 + F 2 ) ( F 1 + F 2 ) = F F 1 F 2 + F 2 2 = F 1 F 2 cos ( = ) + 16 = Odnosno, intenzitet rezultujuće sile F je F = 37. Primjer 1.13 Koji ugao obrazuju jedinični vektori p i q, ako se zna da su vektori a = p + 2 q i b = 5 p 4 q uzajamno okomiti? Rješenje: Iz uslova okomitosti vektora a i b je: a b = ( p + 2 q) (5 p 4 q) = 0, Elvis Baraković 12 Edis Mekić
13 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA ili nakon sredivanja 5 p p q 8 q 2 = 0. (4) Kako su p i q jedinični vektori, to vrijedi: p 2 = q 2 = 1 i p q = p q cosα = cosα (α ugao izmedu vektora p i q). Zbog toga jednačina (4) postaje cosα = 1 2, a odavde je traženi ugao α = π 3. Primjer 1.14 Dati su vektori u = (6, 1, 1), v = (0, 3, 1) i w = ( 2, 3, 5). Odrediti parametar t tako da vektori u + t v i w budu medusosbno okomiti. Rješenje: Da bi dva vektora bila medusobno okomita, njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli. Zato je ( u + t v) w = 0. Skalarni proizvod vektora je distributivan u odnosu na zbir, zato posljednja jednačina postaje Kako je to je u w u w + t v w = 0 t = v w. u w = (6, 1, 1) ( 2, 3, 5) = = 4, v w = (0, 3, 1) ( 2, 3, 5) = = 4, t = 4 4 = 1. Primjer 1.15 Izračunati komponente m i n tako da vektori budu kolinearni. a = (m, 5, 1) i b = (3, 1, n) Elvis Baraković 13 Edis Mekić
14 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Rješenje: Uslov kolinearnosti vektora a i b možemo izraziti u obliku: gdje je λ proizvoljan realan broj. Iz odnosno a = λ b, a = λ b (a x, a y, a z ) = (λb x, λb y, λb z ), Eliminacijom parametra λ dobijamo a x = λb x, a y = λb y, a z = λb z. a x b x = a y b y = a z b z, što znači da su komponente kolinearnih vektora proporcionalne. Za date vektore taj uslov glasi: Odavdje slijedi m 3 = 5 1 = 1 n. m 3 = 5 m = 15, 1 n = 5 n = 1 5. Primjer 1.16 Odrediti vektorski proizvod vektora a = i+ j i b = 2 i+ j, gdje su i i j medusobno okomiti ortovi. Rješenje: Primjer 1.17 Odrediti visinu h b spuštenu iz vrha B trougla ABC sa vrhovima A(1, 2, 8), B(0, 0, 4) i C(6, 2, 0). Rješenje: B a h b c C b A Elvis Baraković 14 Edis Mekić
15 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Vektori AB i AC su AB = (0 1) i + (0 ( 2)) j + (4 8) k = i + 2 j 4 k, AC = (6 1) i + (2 ( 2)) j + (0 8) k = 5 i + 4 j 8 k. Površinu trougla možemo računati po formuli P = b h b 2 = AC h b. (5) 2 Medutim, površinu trougla možemo izračunati primjenom vektora na sljedeći način P = 1 2 AB AC = 1 2 i j k = j 14 k = 7 2 j+ k = 7 5. Sada je na osnovu formule (5) h b = 2P AC = ( 8) = Primjer 1.18 Dati su vektori a = (8, 4, 1) i b = (2, 2, 1). Naći: (a) Vektorski proizvod c = a b. (b) Površinu paralelograma odredenog vektorima a i b. (c) Visinu paralelograma koja odgovara stranici koju odreduje vektor a. (d) Površinu trougla odredenog vektorima a i b. Rješenje: (a) Vektorski proizvod vektora a i b računamo pomoću determinante: c = a i j i b = a x a y a z b x b y b z = i j i = (b) = i(4 + 2) j(8 2) + k( 16 8) = = 6 i 6 j 24 k. Elvis Baraković 15 Edis Mekić
16 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA D C b h a A a B Površina paralelograma konstruisanog nad vektorima a i b jednaka je intenzitetu vektorskog proizvoda a b, znači: P = a b = ( 6) 2 + ( 24) 2 = (c) Iz (b) znamo da je P = a b = 18 2, a sa druge strane znamo da površinu paralelograma možemo računati i po formuli P = a h a = a h a. Dakle, imamo P = a b = a h a h a = a b a = = 2 2. (d) Površina trougla jednaka je polovini površine paralelograma konstruisanog nad istim vektorima: P = 1 2 a b = = 9 2. Primjer 1.19 Neka je a b = c d i a c = b d. Pokazati da su vektori a d i b c kolinearni. Rješenje: Kolinearnost vektora a d i b c pokazat ćemo tako što ćemo dokazati da je njihov vektorski proizvod jednak nuli. Imamo: ( a d) ( b c) = a b a c d b + d c. Iskoristimo li uslove date u zadatku imamo: Kako je slijedi ( a d) ( b c) = c d b d d b + d c. c d = d c i d b = b d, ( a d) ( b c) = d c + d b d b + d c = 0, što dokazuje kolinearnost vektora a d i b c. Elvis Baraković 16 Edis Mekić
17 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Primjer 1.20 Dokazati da je ( a b) ( a + b) = 2( a b) i objasniti geometrijsko značenje tog identiteta. Rješenje: Kako je to je ( a b) ( a + b) = a a + a b b a b b. a a = b b = 0 i a b = b a, ( a b) ( a + b) = 2( a b). Intenzitet lijeve strane dokazanog identiteta je površina paralelograma konstruisanog nad dijagonalama datog paralelograma. Ova površina je dva puta veća od površine datog paralelograma. D C b a + b a b A a B Primjer 1.21 Neka je a = b = 5 i ugao izmedu vektora a i b jednak π 4. Naći površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima: 2 b a i 3 a + 2 b. Rješenje: Površina paralelograma je intenzitet vektorskog prozvoda (2 b a) (3 a + 2 b) = 6 b a + 4 b b 3 a a 2 a b. Kako je to je b b = 0, a a = 0 i b a = a b, (2 b a) (3 a + 2 b) = 8 ( b a). Elvis Baraković 17 Edis Mekić
18 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Dakle P = (2 b a) (3 a + 2 b) = 8 ( b a) = = 8 b a sin( b, a) = sin π 4 = 2 2. = 200 = Primjer 1.22 Dati su vektori a = (1, 1, 1), b = (1, 1, 0) i c = (1, 1, 0). Odrediti vektor x iz uslova: x b = c i x a = 3. Rješenje: Neka je Tada je x b = i Pa dati uslovi glase x = x 1 i + x 2 j + x 3 k. i j k x 1 x 2 x = x 3i + x 3 j + (x 1 x 2 ) k x a = x 1 + x 2 + x 3. x 3 i + x 3 j + (x 1 x 2 ) k = i j, x 1 + x 2 + x 3 = 3. Iz prvog uslova izjednačavajući odgovarajuće komponente dobijamo x 3 = 1 i x 1 = x 2. Ako ovo uvrstimo u drugi uslov dobijamo 2x 1 1 = 3 x 1 = 2, x 2 = 2. Prema tome traženi vektor x je x = 2 i + 2 j k = (2, 2, 1). Primjer 1.23 Izračunati zapreminu paralelopipeda kojeg obrazuju vektori a = i 3 j + k, b = 2 i + j 3 k i c = i + 2 j + k. Elvis Baraković 18 Edis Mekić
19 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Rješenje: Zapremina paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a, b i c jednaka je mješovitom proizvodu tih vektora. c b a V = a x a y a z b x b y b z c x c y c z = = 25. Primjer 1.24 Odrediti parametar t tako da zapremina paralelopipeda obrazovanog vektorima a = (8, 4, 1), b = (2, 3, 6) i c = (t, 2, 1) bude jednaka 150. Rješenje: Zapremina paralelopipeda obrazovanog vektorima a, b i c jednaka je mješovitom proizvodu ovih vektora. V = a ( b c) = a x a y a z = b x b y b z c x c y c z = = 21t Kako je po uslovu zadatka V = 150, to je t t = 150 t = 2. = Primjer 1.25 Izračunati visinu paralelopipeda kojeg obrazuju vektori a = 3 i + 2 j 5 k, b = i j + 4 k i c = i 3 j + k. Rješenje: Zapreminu paralelopipeda razapetog vektorima a, b i c možemo izračunati pomoću mješovitog proizvoda V = ( a b) c. (6) S druge starne znamo da je V = B H, gdje je B površina osnove paralelopipeda, a H njegova visina. Budući da je u našem slučaju osnova paralelopipeda paralelogram odreden vektorima a i b, to je B = a b. Tada je V = B H = a b H. (7) Elvis Baraković 19 Edis Mekić
20 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Iz jednačina (6) i (7) slijedi Kako je i odnosno ( a b) c = a b = H = ( a b) c a. (8) b i j k = 49, = 3 i 17 j 5 k, a b = ( 17) 2 + ( 5) 2 = 323. Uvrštavanjem dobijenih rezultata u (8) dobijamo H = Primjer 1.26 Odrediti parametar α tako da zapremina tetraedra konstruisanog nad vektorima a, b i α c iznosi 2, gdje je 3 a = i + j 2 k, b = 2 i + j k, c = i 1 3 k Rješenje: Zapreminu tetraedra konstruisanog nad vektorima a, b i α c računamo po formuli V = 1 6 ( a b) α c (9) Kako je ( a b) α c = Sada uvrštavanjem u (9) imamo 2 3 = α 0 α α, = 4 3 α. odnosno α = 3 a 1 = 3 i a 2 = 3. Elvis Baraković 20 Edis Mekić
21 1.2 Proizvod vektora 1 ANALITIČKA GEOMETRIJA Primjer 1.27 Pokazati da su vektori a = i + 3 j + 2 k, b = 2 i 3 j 4 k, c = 3 i + 12 j + 6 k komplanarni i napisati vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i b. Rješenje: Kako je a ( b c) = = 0, to slijedi da su vektori a, b i c komplanarni. Od tri komplanarna vektora bilo koji može biti predstavljen kao linearna kombinacija druga dva vektora. Napišimo vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i b, tj. c = α a + β b. Ista relacija mora da vrijedi i za odgovarajuće komponente: 3 = α + 2β 12 = 3α 3β 6 = 2α 4β Dati sistem od tri jednačine sa dvije nepoznate je saglasan zbog komplanarnosti vektora, a njegovo jedinstveno rješenje je Odakle dobijamo da je c = 5 a + b. α = 5 i β = 1. Primjer 1.28 Izračunati zapreminu tetraedra čiji su vrhovi tačke A(0, 0, 0), B(3, 4, 1), C(2, 3, 5) i D(6, 0, 3). Rješenje: D C A B Elvis Baraković 21 Edis Mekić
22 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Zapreminu tetraedra možemo izračunati koristeći formulu V = 1 AD ( AB AC). 6 Formirajmo vektore koji čine ivice tetraedra: sada je tražena zapremina AB = (3 0, 4 0, 1 0) = (3, 4, 1) AC = (2 0, 3 0, 5 0) = (3, 2, 5) AD = (6 0, 0 0, 3 0) = (6, 0, 3), V = 1 AD ( AB AC) 6 = = = Prva i ravan u prostoru 2.1 Ravan u prostoru Položaj ravni π u odnosu na prostorni koordinatni sistem najčešće se odreduje na sljedeći način. Povučemo kroz koordinatni početak O normalu n = OP, gdje je P podnožje normale na π. Sa n 0 = {cosα, cosβ, cosγ} označimo jedinični vektor normale n, a vektor položaja proizvoljne tačke M(x, y, z) koja pripada ravni π sa r = {x, y, z}. Projekcija vektora položaja r proizvoljne čatke M ravni π na vektor n 0 biće p jer je OMP pravougli. Elvis Baraković 22 Edis Mekić
23 O 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU z π M(x, y, z) n r n 0 p P y x Prema tome za svaku tačku ravni π vrijedi r n 0 = p. (10) Dobijena jednačina ravni napisana u vektorskom obliku zove se normalni oblik jednačine ravni jer u njoj dolazi od izražaja ort n 0 normale n. U skalarnom obliku ta jednačina ravni glasi: Opšti oblik jednačine ravni glasi: x cosα + y cosβ + z cosγ p = 0. (11) gdje je n = (A, B, C) vektor normale ravni. Ako su ravni: Ax + By + Cz + D = 0, (12) A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 paralelne onda su im vektori normale n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) i n 2 = (A 2, B 2, C 2 ) kolinearni, pa su im odgovarajuće koordinate proporcionalne tj. A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = λ. (13) Elvis Baraković 23 Edis Mekić
24 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Ako su pak, date ravni medusobno normalne (okomite), onda su njihovi vektori normale n 1 = (A 1, B 1, C 1 ) i n 2 = (A 2, B 2, C 2 ) medusobno normalni, pa im je skalarni proizvod jednak nuli, tj. vrijedi: A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Ako ravan Ax + By +Cz +D = 0 nije paralelna ni sa jednom koordinatnom osom, onda ona od koordinatnih osa odsijeca odsječke: z n x l O m y l = D A, m = D B, n = D C, pa se jednačnia ravni može zapisati u tzv. segmentnom obliku: x l + y m + z n = 1. Jednačina ravni odredene sa tri nekolinearne tačke M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) i M 3 (x 3, y 3, z 3 ) glasi x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0, gdje su x, y, z tekuće koordinate. Rastojanje tačke A(x 1, y 1, z 1 ) od ravni Ax + By + Cz + D = 0 računamo po formuli d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D. A2 + B 2 + C 2 Elvis Baraković 24 Edis Mekić
25 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Primjer 2.1 Kolike odsječke odsijeca ravan 3x + 5y 4z 3 = 0 od koordinatnih osa? Rješenje: Odsječci koje data prava odsijeca od koordinatnih osa su: Pa je l = D A, m = D B, n = D C. l = D A = 3 3 = 1, m = D B = 3 5 = 3 5, n = D C = 3 4 = 3 4. Primjer 2.2 Naći presjeke ravni x + 2y z 4 = 0 sa koordinatnim osama i koordinatnim ravnima. Rješenje: Svedimo datu jednačinu na segmentni oblik: x + 2y z 4 = 0 x + 2y z = 4/ : 4 x 4 + 2y 4 z 4 = 1 x 4 + y 2 + z 4 = 1, odavdve vidimo da su odsječci na koordinatnim osam l = 4, m = 2 i n = 4. Medutim, jednačine presjeka koodrinatnih ravni XOY, Y OZ i ZOX dobijamo na sljedeći način. Presjek ravni x+2y z 4 = 0 i XOY (z = 0) dobijamo tako što riješimo sljedeći sistem: x + 2y z 4 = 0 z = 0. Odakle dobijamo da je jednačina presjeka sa XOY ravni x + 2y 4 = 0. Presjek ravni x+2y z 4 = 0 i Y OZ (x = 0) dobijamo tako što riješimo sljedeći sistem: x + 2y z 4 = 0 x = 0. Odakle dobijamo da je jednačina presjeka sa Y OZ ravni 2y z 4 = 0. Presjek ravni x+2y z 4 = 0 i ZOX (y = 0) dobijamo tako što riješimo sljedeći sistem: x + 2y z 4 = 0 y = 0. Odakle dobijamo da je jednačina presjeka sa ZOX ravni x z 4 = 0. Elvis Baraković 25 Edis Mekić
26 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Primjer 2.3 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi: a) kroz tačku K(2, 5, 3) i paralelna je sa koordinatom ravni XOZ, b) kroz tačku L( 3, 1, 2) i osu OZ, c) kroz tačke M(4, 0, 2) i N(5, 1, 7), a paralelna je osi OX. Rješenje: a) Jednačina ravni koja prolazi tačkom K(2, 5, 3) glasi: A(x 2) + B(y + 5) + C(z 3) = 0. Njen vektor normale je n = (A, B, C). Pošto je tražena ravan paralelna sa ravni XOZ (y = 0), čiji je vektor normale n 1 = (0, 1, 0), to su njihovi vektori normale kolinearni tj. vrijedi (A, B, C) = λ(0, 1, 0) A = 0, B = λ, C = 0, pri čemu je λ proizvoljan realan broj. Sada je jednačina tražene ravni B(y + 5) = 0 y + 5 = 0. b) Kako tražena ravan prolazi tačkom L( 3, 1, 2) to njene koordinate zadovoljavaju opštu jednačinu ravni: Ax + By + Cz + D = 0 3A + B 2C + D = 0. (14) S obzirom da ona prolazi i kroz osu OZ, to svaka tačka sa ose OZ pripada traženoj ravni. Tačke koje pripadaju osi OZ su oblika (0, 0, z). Uzmimo tačke P(0, 0, 1) i Q(0, 0, 2) koje pripadaju osi OZ, te tačke pripadaju i traženoj ravni pa je 0 A + 0 B + C + D = 0 C + D = 0, 0 A + 0 B + 2C + D = 0 2C + D = 0. Rješenja posljednjeg sistema su C = 0 i D = 0. Uvrštavanjem ovih vrijedosti u jednačinu (14) dobijamo 3A + B = 0 B = 3A. Ako sada uvrstimo dobijene vrijednosti u opštu jednačinu ravni dobijamo: Ax + By + Cz + D = 0 Ax + 3Ay = 0/ : A x + 3y = 0, tražena jednačina ravni. Elvis Baraković 26 Edis Mekić
27 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU c) Kako tražena ravan Ax + By + Cz + D = 0 sadrži tačke M(4, 0, 2) i N(5, 1, 7), to koordinate datih tačaka zadovoljavaju jednačinu tražene ravni, odnosno dobijamo sljedeći sistem: 4A 2C + D = 0 5A + B + 7C + D = 0. Kako je tražena ravan paralelna osi OX, to je njen vektor normale n = (A, B, C) okomit sa jediničnim vektorom i = (1, 0, 0) ose OX. Odnosno n i = 0 (A, B, C) (1, 0, 0) = 0 A = 0. Uvrštavanjem dobijene vrijednosti u posljednji sistem dobijamo: 2C + D = 0 D = 2C B + 7C + D = 0 Iz druge jednačine dobijamo B + 7C + 2C = 0 B = 9C. Uvrštavanjem dobijenih vrijednosti u poštu jednačinu dobijamo: Ax + By + Cz + D = 0 9Cy + Cz + 2C = 0/ : C 9y + z + 2 = 0 je tražena jednačina ravni. Primjer 2.4 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku A(2, 1, 1) i koja normalna je na vektor a = {1, 2, 3}. Rješenje: Jednačina ravni koja prolazi kroz tačku A(2, 1, 1) glasi: A(x 2) + B(y 1) + C(z + 1) = 0. S obzirom da je tražena ravan normalna na vektor a = {1, 2, 3}, to je njen vektor normale n = {A, B, C} kolinearan sa vektorom a = {1, 2, 3}, pa su im odgovarajuće koordinate proporcionalne, tj.: Odnosno A 1 = B 2 = C 3 = λ. A = λ, B = 2λ, C = 3λ. Ako dobijene vrijednosti uvrstimo u jednačinu A(x 2)+B(y 1)+C(z+1) = 0, dobijamo traženu jednačinu ravni λ(x 2) 2λ(y 1) + 3λ(z + 1) = 0/ : λ x 2y + 3z + 3 = 0. Elvis Baraković 27 Edis Mekić
28 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Primjer 2.5 Sastaviti jendačinu ravni koja prolazi kroz tačku A(3, 4, 5) i paralelna je sa vektorima a = {3, 1, 1} i b = {1, 2, 1}. Rješenje: Jednačina ravni kroz datu tačku A glasi: A(x 3) + B(y 4) + C(z + 5) = 0. S obzirom da je ova ravan paralelna sa vektorima a i b, to je njen vektor normale n = {A, B, C} normalan na oba vektora, pa je n = a b. π n b a Odnosno, n = a b = i j k Prema tome, tražena jednačina ravni glasi: = i 4 j 7 k = { 1, 4, 7}. 1(x 3) 4(y 4) 7(z + 5) = 0/ ( 1) (x 3) + 4(y 4) + 7(z + 5) = 0 x 3 + 4y z + 35 = 0, odnosno x + 4y + 7z + 16 = 0. Primjer 2.6 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku A(7, 5, 1) i odsijeca na koordinatnim osama jednake odsječke. Rješenje: Jednačina ravni kroz datu tačku A glasi: A(x 7) + B(y + 5) + C(z 1) = 0. Elvis Baraković 28 Edis Mekić
29 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Kako tražena prava odsijeca na koordinatnim osama jednake odsječke to je l = D A = m = D B = n = D C, odakle je D A = D B = D C A = B = C. Dakle, jednačina tražene ravni glasi A(x 7) + A(y + 5) + A(z 1) = 0. Nakon dijeljenja sa A dobijamo x + y + z 3 = 0. Primjer 2.7 Sastavite jednačinu ravni koja je od koordinatnog početka udaljena za 6 jedinica i čiji su odsječci na koordinatnim osama vezani relacijom l : m : n = 1 : 3 : 2. Rješenje: Iz date proporcije dobija se: l : m = 1 : 3 l : n = 1 : 2 tj. m = 3l i n = 2l. Zamjenom dobijenih vrijednosti za m i n u segmentni oblik jednačine ravni: x l + y m + z n = 1 x dobijamo: l + y 3l + z = 1/ 6l 6x + 2y + 3z 6l = 0. Iz relacije za 2l udaljenost ravni od koordinatnog početka O(0, 0, 0) dobijamo: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 6l ± = 6, odnosno 6l ± = 6 l = ±7. Dobili smo dva rješenja za l, odnosno postoje 49 dvije ravni koje zadovaljavaju tražene uslove zadatka, to su ravni: 6x + 2y + 3z + 42 = 0 i 6x + 2y + 3z 42 = 0. Primjer 2.8 Izračunati visinu H S piramide čiji su vrhovi u tačkama S(0, 6, 4), A(3, 5, 3), B( 2, 11, 5) i C(1, 1, 4). Elvis Baraković 29 Edis Mekić
30 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Rješenje: S H s C A B Tražena visina H s je udaljenost tačke S od ravni odredene sa tačkama A, B i C. Jednačina ravni koja je odredena sa tačkama A, B i C je: x 3 y 5 z = 0. Nakon izračunavanja determinante dobijamo 42x + 21y + 42z 105 = 0/ : ( 21) 2x y 2z + 5 = 0. Tražena visina H S je udaljenost tačke S(0, 6, 4) od ravni 2x y 2z +5 = 0, odnosno, H S = d = = = 3. Primjer 2.9 Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz koordinatni početak i normalna je na ravni 2x y + 5z + 3 = 0 i x + 3y z 7 = 0. Elvis Baraković 30 Edis Mekić
31 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Rješenje: Jednačina ravni koja prolazi kroz koordinatni početak je Ax + By + Cz = 0. n n 1 n 2 Kako je tražena ravan normalna na ravni 2x y+5z+3 = 0 i x+3y z 7 = 0, to je njen vektor normale n = (A, B, C), normalan na ravan koju obrazuju vektori normala datih ravni, n 1 = (2, 1, 5) i n 2 = (1, 3, 1). Pa je n = n 1 n 2, odnosno n = n 1 n 2 = i j k = 14 i + 7 j + 7 k, odnosno n = (A, B, C) = ( 14, 7, 7). Jednačina tražene ravni glasi: 14x + 7y + 7z = 0/ : ( 7) 2x y z = 0. Primjer 2.10 Odrediti parametre m i n tako da ravni: budu paralelne. 2x + my + 3z 5 = 0 nx 6y 6z + 2 = 0 Elvis Baraković 31 Edis Mekić
32 2.1 Ravan u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Rješenje: Da bi ravni bile paralelne, potrebno je da su im koeficijenti uz nepoznate proporcionalni, tj.: 2 n = m 6 = 3 6, odakle se dobija da je m = 3 i n = 4. Primjer 2.11 Kako glasi jednačina ravni koja prolazi tačkama M(3, 5, 1) i N(4, 1, 2), a normalna je na ravan x 8y + 3z 1 = 0? Rješenje: Jednačina tražene ravni glasi Ax + By + Cz + D = 0. n N M n 1 Kako tačke M(3, 5, 1) i N(4, 1, 2) pripadaju traženoj ravni i kako je tražena ravan normalna na ravan x 8y+3z 1 = 0 to je n = MN n 1, jer je vektor n = (A, B, C) normalan na ravan koju čine vektori MN i n 1. Formirajmo vektor MN = (4 3, 1 ( 5), 2 1) = (1, 6, 1), a vektor n 1 = (1, 8, 3). Dakle, sada je: i j k n = = 26 i 2 j 14 k. Elvis Baraković 32 Edis Mekić
33 2.2 Prava u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Odnosno n = (A, B, C) = (26, 2, 14) A = 26, B = 2 i C = 14. Kako tačka M(3, 5, 1) pripada traženoj ravni to njene koordinate zadovoljavaju jednačinu te ravni pa je 3A 5B + C + D = ( 2) 14 + D = 0 D = 74. Odakle dobijamo da je jednačina tražene ravni 26x 2y 14z 74 = 0/ : 2 13x y 7z 37 = 0. Primjer 2.12 Iz pramena ravni: 2x 3y + z 3 + λ(x + 3y + 2z + 1) = 0, izdvojiti onu ravan koja sadrži tačku M(1, 2, 3). Rješenje: Pošto tačka M(1, 2, 3) pripada traženoj ravni datog pramena, to njene koordinate zadovoljavaju jednačinu pramena tj λ( ) = 0 λ = 4. Traženu jednačinu ćemo dobiti kada vrijednost λ = 4 uvrstimo u jednačinu datog pramena ravni, tj.: 2x 3y + z 3 4(x + 3y + 2z + 1) = 0, odnosno 2x + 15y + 7z + 7 = Prava u prostoru Neka prava p u prostoru može biti odredena kao presjek bilo koje dvije ravni π 1 i π 2, koje tom pravom prolaze. Odnosno π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Elvis Baraković 33 Edis Mekić
34 2.2 Prava u prostoru 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU p π 2 π 1 Pravu možemo zadati i u tzv. kanonskom obliku x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n, gdje je M(x 0, y 0, z 0 ) proizvoljna tačka koja pripada datoj pravoj, a p = (l, m, n) je vetor pravca date prave. Iz kanonskog oblika jednačine prave lahko možemo dobiti parametarski oblik jednačine prave, naime iz x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n = t x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt, t R. Jednačina prave kroz dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i M 2 (x 2, y 2, z 2 ) glasi: Primjer 2.13 x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1. Elvis Baraković 34 Edis Mekić
35 2.3 Zadaci za samostalan rad 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU 2.3 Zadaci za samostalan rad Zadatak 2.1 Izračunati intenzitet vektora c = 3 a + 2 b, ako je a = 3, b = 4 i ( a, b) = π 3. Rješenje: Iz c c = 217 i c c = c c slijedi c = 217. Zadatak 2.2 Odrediti parametar λ tako da vektori budu okomiti. Rješenje: λ = 6. a = 2 i 3 j i b = λ i + 4 j Zadatak 2.3 Dati su vrhovi A(1, 2, 3), B(3, 2, 1), i C(6, 4, 4) paralelograma ABCD. Odredite koordinate vrha D. Rješenje: D(4, 0, 6). Zadatak 2.4 Odrediti unutrašnje uglove trougla čiji su vrhovi A(5, 2, 4), B(9, 8, 3) i C(16, 6, 11). Rješenje: Odrediti vektore AB, AC, BA, BC i CA, CB, a zatim pomoću skalarnog proizvoda izračunati tražene uglove. α = π 4, β = π 2, γ = π 4. Zadatak 2.5 Vektori a i b obrazuju ugao α = 120 i pri tome je a = 3, b = 5. Odrditi a + b i a b. Rješenje: Iskoristiti činjenicu da je a 2 = a a. Dobija se a + b = 19 i a b = 7. Zadatak 2.6 Neka su p i q jedinični vektori koji zaklapaju ugao α = π 4. Odredite površinu paralelograma sa dijagonalama e = 2 p q i f = 4 p 5 q. Rješenje: Vidi primjer 1.20 P = Zadatak 2.7 Naći ugao α izmedu vektora a i b ako je poznato da je ( a + b) okomito na (7 a 5 b) i da je ( a 4 b) okomito na (7 a 2 b). Rješenje: cosα = Elvis Baraković 35 Edis Mekić
36 2.3 Zadaci za samostalan rad 2 PRVA I RAVAN U PROSTORU Zadatak 2.8 Odrediti visinu h a spuštenu iz vrha A trougla ABC sa vrhovima A(1, 0, 1), B( 1, 1, 1) i C(0, 2, 1). 34 Rješenje: h a = 2. Zadatak 2.9 Izračunati mješoviti proizvod sljedećih vektora: (a) a = (1, 2, 3), b = (3, 1, 2), c = (2, 3, 1) (b) a = ( 2, 1, 1), b = (1, 4, 1), c = (1, 5, 2) Rješenje: (a) ( a b) c = 18, (b) ( a b) c = 6. Zadatak 2.10 Izračunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a = (1, 0, 3), b = ( 1, 1, 0), c = (2, 1, 1). Rješenje: V = 8. Zadatak 2.11 Odrediti parametar t tako da vektori a = (t, 1, 1), b = (1, 2 t, 1) i c = (1, 1, 3 2t) budu komplanarni. Rješenje: Iskoristiti uslov komplanarnosti a ( b c) = 0 t 1 = 1 i t 2 = 3 2. Zadatak 2.12 Vektori a = (1, 2t, 1), b = (2, t, t) i c = (3t, 2, t) su ivice tetraedra. a) Izračunati zapreminu tetraedra. b) Odrediti realan parametar t tako da vektori a, b i c budu komplanarni. Rješenje: a) V = 1 3 (t + 1)(3t2 t + 2), b) t = 1. Zadatak 2.13 Dokazati da je za sve vrijednosti parametra λ. a ( b + λ a) = a b Elvis Baraković 36 Edis Mekić
Analitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραDrugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Opera u Sidneju, Australija
VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα> 0 svakako zadovoljen.
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραRAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραx bx c + + = 0 po nepoznatoj x, vrijedi da je
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu studijska 0/4. ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak. Za rješenja, kvadratne jednačine + = i + = 7. Koliko iznosi? 9 b c + + = 0 po nepoznatoj, vrijedi da je a) 4 b) 6 c) 7 d) 4
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα7.5. KOORDINATNI SISTEMI
- 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραMilan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit znanja Vektori
Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραl = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.
. U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραKoordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:
Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα