Analitička geometrija - vežbe

Transcript

1 Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 2) i B(8). Zatim, odrediti koordinate tačke koja se nalazi na polovini duži AB. (b) Na brojnoj osi su date dve tačke A(x 1 ) i B(x 2 ). Odretiti koordinate tačke X(x) koja se nalazi na sredini duži AB. (c) Naći koordinate tačaka X(x) koja se nalaze dva puta bliže tački A( 8) nego tački B(1). 3. (a) Odrediti tačke X(x) na brojnoj osi za koje važi a) x 3 = 5, b) x + 4 = 4, c) d(x, 2) < 3, d) x 3 > 2 i e) x x + 2 = 1. (b) Na brojnoj osi je data tačka X(x). Odrediti tačke A(a) i B(b) koje se nalaze na rastojanju d od tačke X. 4. Za tačku u ravni P (x, y) (a) odrediti u kom kvadrantu se nalazi, ako se zna da joj je apscisa negativna; (b) odrediti znak koordinata x i y, ako se zna da leži u četvrtom kvadrantu; (c) odrediti koordinate, ako se zna da se nalazi na x osi; (d) odrediti koordinate, ako se zna da se nalazi na y osi. 5. U ravni su date tačke A(x 1, y 1 ) i B(x 2, y 2 ). Odrediti koordinate tačke S(x, y) koja polovi duž AB. 6. (a) U ravni su date tačke A(4, 1), B(3, 5), C( 1, 4) i D(0, 0). Ucrtati ih. (b) Kolika je dužina stranica dobijenog četvorougla ABCD? (c) Pokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat. (ideja: odrediti dužinu dijagonala) (d) Odrediti površinu kvadrata ABCD. 7. Pokazati da su tačke A(3, 6), B( 2, 4) i C(1, 2) kolinearne (leže na istoj pravoj). (ideja: pokazati da je dužina jedne od stranica trougla ABC jednaka zbiru druge dve) 8. Pokazati da je u paralelogramu zbir kvadrata dužina stranica jednak zbiru kvadrata dužina dijagonala. (ideja: postaviti paralelogram tako da mu je jedno teme u koordinatnom početku, a jedna stranica na pozitivnom delu x ose) 9. Neka je ABCD pravougaonik. Pokazati da za proizvoljnu tačku M u ravni važi AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2. 1

2 10. (a) Napisati jednačinu kružnice sa centrom u C( 2, 3) poluprečnika 5. Da li dobijena kružnica prolazi kroz tačku (2, 1)? (b) Pokazati da je jednačinom x 2 + 2x + y 2 = 0 definisana kružnica u ravni. Koja tačka je centar dobijene kružnice i koliki je poluprečnik kružnice? 11. Neka je dat trougao ABC. Odrediti koordinate centra opisane kružnice oko trougla ABC. Odrediti i poluprečnik opisanog kruga. (pomoć: neka je tačka A u kordinatnom početku, a stranica AB na pozitivnom delu x ose.) 12. Neka su u ravni date tačke A i B. Odrediti geometrijsko mesto tačaka u ravni, M, koje se nalaže na k puta većem rastojanju od tačke A nego od tačke B. 13. Odrediti koordinate temena jedinične kocke u prostoru, ako se zna da joj je jedno teme u koordinatnom početku a tri ivice koje polaze iz tog temena leže na pozitivnim delovima koordinatnih osa. Opisati koordinate tačaka koje leže na ivicama dobijene kocke. Opisati koordinate tačaka koje leže na stranicama dobijene kocke. Odrediti koordinate tačaka koje leže unutar kocke. 14. Odrediti skupove u prostoru odred ene jednačinama a) z 2 = 1, b) y 2 +z 2 = 1 i c) x 2 +y 2 +z 2 = Odrediti koordinate tačaka koje zadovoljavaju sistem jednačina x 2 + y 2 + z 2 = 4 i z = 1. Koja je geometrijska interpretacija ovog problema? 16. Da li je sistemima jednačina a) x 2 + y 2 + z 2 = 4 i z = 1 i b) x 2 + y 2 + z 2 = 4 i x 2 + y 2 = 3 definisana ista kriva u prostoru? 17. Definisati u prostoru simetralu ugla xoy (odnosno, simetralu prvog kvadranta xy ravni ali posmatranu u prostoru.)

3 2 Jednačine prave i med usobni odnos pravih u ravni 18. (a) Dati jednačinu prave paralelne sa y osom (vertikalna prava); (b) Dati jednačinu prave paralelne sa x osom (horizontalna prava); (c) Odrediti vertikalnu i horizontalnu pravu koja prolazi kroz tačku ( 2, 1.3), zatim isto odrediti i za tačku ( π, 0) (d) Dati jednačinu prave koja prolazi kroz koordinatni početak. 19. Za pravu 3x + 3y 1 = 0 reći (a) u kojoj tački seče x osu; (b) u kojoj tački seče y osu; (c) da li prolazi kroz tačku A(1, 2 3); (d) koji joj je koeficijent pravca i koji ugao gradi sa pozitivnim delom x ose posmatrano u smeru suprotnom od kazaljke na satu. 20. Odrediti jednačinu prave i nacrtati je u koordinatnom sistemu, ako se zna (a) da prolazi kroz tačku A(2, 3) i da joj je koeficijent pravca 3 2 ; (b) da prolazi kroz tačke sa koordinatama ( 2, 1) i (3, 4); (c) da joj je koeficijent pravca 2 a da y osu seče u 5; (d) da seče x osu u 4 a y osu u 1. Zatim odrediti u kojoj se tački seku prave koje su dobijene u zadacima pod b) i c). 21. Odrediti pravu koja prolazi kroz tačku (1, 2) i kroz tačku preseka pravih x+2y = 3 i 2x 3y = Odrediti koordinate tačke na pravoj y = 3x + 1 koja je jednako udaljena od tačke (0, 0) kao i od tačke ( 3, 4). 23. Označimo sa F temperaturu izraženu u stepenima Farenhajta a sa C u stepenima Celzijusa. Odrediti linearnu jednačinu oblika F = kc + n, koja povezuje Celzijusovu i Farenhajtovu skalu, ako se zna da se voda ledi na 32 F odnosno 0 C, a da ključa na 212 F odnosno 100 C. Nacrtati dobijenu pravu i odrediti koliko je stepeni Farenfajta 37 C, kao i koliko je stepeni Celzijusa 96 F. Pokazati da li postoji temperatura koja će na Farenhajtovom i Celzujusovom termometru dati istu numeričku vrednost? 24. Pritisak p koji deluje na ronioca ispod vode na dubini d dat je jednačinom p = kd + n. Na površini vode pritisak je 1 atmosfera, a na dubini od 100 metara pritisak je atmosfera. Odrediti koliki pritisak deluje na ronioca na dubini od 50 metara. 25. Pramen pravih sa centrom S(x 0, y 0 ) je skup svih pravih koje prolaze kroz tačku S, te je dat jednačinama y y 0 = k(x x 0 ), k R i x = x 0. Odrediti sve prave iz pramena sa centrom u S(2, 5) koje odsecaju jednake odsečke na koordinatnim osama. 26. (a) Odrediti jednačinu prave koja je paralelna pravoj 2x + 5y = 15 i prolazi kroz tačku (5, 1). (b) Odrediti jednačinu prave koja je ortogonalna na pravu 8x 13y = 13 i prolazi kroz tačku (0, 1). (c) Odrediti u kom su med usobnom odnosu prave ax + by = c 1 i bx ay = c 2, a, b 0. (d) Odrediti u kom su med usobnom odnosu prave ax + by = c 1 i ax + by = c 2, a, b Neka su date tačke A(a, 0) i B(0, b), a, b > 0. Odrediti koeficijent pravca prave koja prolazi kroz koordinatni početak O i kroz sredinu duži AB označenu sa P. Pod kojim uslovima su prave p(ab) i p(op ) med usobno normalne.

4 28. Zrak svetlosti dolazi duž prave x + y = 1 (iz drugog kvadranta) i odbija se (reflektuje) o x osu. Zna se da je upadni ugao jednak odbojnom uglu. Odrediti jednačinu prave po kojoj se prostire reflektovani zrak svetlosti. 29. Proveriti da li tačke A(6, 4), B(4, 3) i C( 2, 3) obrazuju jednakokraki pravougli trougao. 30. Pokazati da su tačke A(2, 1), B(1, 3) i C( 3, 2) temena nekog kvadrata i odrediti četvrto teme tog kvadrata. 31. (a) Odrediti udaljenost tačke P (2, 1) od prave y = x + 2. (b) Odrediti udaljenost tačke P (4, 6) od prave 4x + 3y = 12. (c) Odrediti udaljenost tačke P (a, b) od prave x = 1. (d) Odrediti algoritam po kom se računa udaljenost tačke P (x 0, y 0 ) od prave ax + by = c. 32. Data su temena trougla A(1, 4), B(4, 1) i C(3, 7). (a) Odrediti dužine stranica trougla ABC. (b) Odrediti koordinate ortocentra trougla ABC (presek visina). (c) Odrediti koordinate težista trougla ABC (presek pravih koje spajaju teme sa sredinom naspramne stranice). (d) Odrediti površinu trougla ABC. (e) Odrediti koordinate centra opisane kružnice oko trougla ABC. 33. Odrediti jednačinu simetrale ugla izmed u pravih a 1 x + b 1 y = c 1 i a 2 x + b 2 y = c Odrediti koordinate centra upisane kružnice u trougao sa temenima A(3, 4), B(0, 8) i C(0, 0).

5 3 Konusni preseci 3.1 Kružnica 35. Odrediti poluprečnik i centar kružnice 2x 2 + 2y 2 28x + 12y = 0 i nacrtati je. 36. Odrediti poluprečnik i centar kružnice koja prolazi kroz tačke (1, 0), (0, 1) i (2, 2) i nacrtati je. 37. Odrediti oblast u ravni u kojoj je x 2 6x + y 2 2y Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar ( 2, 1) a prolazi kroz tačku (1, 3). Da li se tačka (1.1, 2.8) nalazi u unutrašnjosti, spoljašnjosti ili na kružnici. 39. Dokazati da se prečnik kružnice vidi iz proizvoljne njene tačke pod pravim uglom. Drugim rečima, pokazati da je svaki periferni ugao nad prečnikom kružnice prav. 40. Neka je data prava prava l jednačinom ax+by+c = 0 i kružnica k jednačinom (x p) 2 +(y q) 2 = r 2. Računajući rastojanje centra kružnice k od prave l, odrediti položaj prave l u odnosu na kružnicu k. 41. (a) Odrediti jednačinu tangente y = kx + n na kružnicu x 2 + y 2 = r 2 kroz tačku P (x 0, y 0 ) koja se nalazi na kružnici ili u njenoj spoljašnjosti. (b) (Optičko svojstvo kružnice) Zrak koji izvire iz centra kružnice, posle odbijanja o nju će se ponovo vratiti u centar. Pokazati da je tangenta normalna na prečnik kružnice u tački dodira. (c) Odrediti jednačinu tangente na kružnicu x 2 + y 2 = 25 u tački (5, 0) i u tački (3, 4). (d) Odrediti jednačinu tangente na kružnicu (x p) 2 +(y q) 2 = r 2 u tački sa kružnice P (x 0, y 0 ). (e) Odrediti jednačinu tangenti iz tačke (8, 8) na kružnicu x 2 + y 2 = 32, zatim odrediti i ugao izmed u dobijenih tangenti. (f) Odrediti jednačine tangenti na kružnicu x 2 + y 2 14y + 32 = 0 iz tačke (5, 4). 42. Odrediti jednačinu kružnice sa centrom u (4, 7) kojoj je prava 3x 4y + 1 = 0 tangenta. 43. Odrediti jednačine tangenti kružnice x 2 +y 2 +5x = 0 koje su normalne na pravu 4x 3y +7 = Odrediti jednačine tangenti na kružnicu (x 2) 2 + (y 1) 2 = 5 u tačkama u kojima kružnica preseca koordinatne ose. 45. Neka je na x osi data tačka A i na y osi tačka B i neka je njihovo med usobno rastojanje a. Pustimo da se tačka A slobodno kreće po x osi a da se tačka B kreće tako da rastojanje izmed u tačaka A i B ostane nepromenjeno. Odrediti koju krivu u ravni odred uju sredine duži AB. 46. Neka su t 1 i t 2 tangente kružnice x 2 + y 2 = r 2 koje je dodiruju u tačkama T 1 i T 2. Ako je T 0 (x 0, y 0 ) tačka preseka pravih t 1 i t 2 onda je xx 0 + yy 0 = r 2 jednačina prave koja prolazi kroz tačke T 1 i T 2. (Napomena: Tačka T 0 (x 0, y 0 ) i prava xx 0 +yy 0 = r 2 su med usobno pol i polara, redom u odnosu na kružnicu x 2 + y 2 = r 2.) 3.2 Parabola 47. Nacrtati date parabole i odrediti im fokus, direktrisu i teme, ako je a) x 2 = 6y i b) x = 3y Parabolu y 2 = 8x translirati za dve jedinice na dole i jednu na desno. Odrediti jednačinu, fokus, direktrisu, osu simetrije i teme novodobijene parabole i nacrtati je.

6 49. Nacrtati parabolu 3x 2 12x + y + 11 = 0 i odrediti joj fokus, direktrisu, osu simetrije i teme. 50. Odrediti oblast u ravni u kojoj je x 2y Pokazati da je 4p širina parabole x 2 = 4py, p > 0 u fokusu, odnosno da je udaljenost tačaka koje se nalaze u preseku prave y = p i parabole jednaka 4p. 52. Neka je data prava y = kx + n i parabola y 2 = 4px. Odrediti koje uslove treba da zadovoljavaju parametri k, n, p R tako da se prava i parabola a) seku u dve tačke, b) seku u jednoj tački i c) nemaju zajedničkih tačaka. 53. (a) Odrediti jednačinu tangente y = kx + n na parabolu y 2 = 4px kroz tačku P (x 0, y 0 ) koja se nalazi na paraboli ili u njenoj spoljašnjosti. (b) Odrediti jednačine tangenti parabole y 2 = 16x koje su od koordinatnog početka udaljene za (Optičko svojstvo parabole) Zrak koji idu paralelno osi simetrije parabole, nakon refleksije o parabolu ulazi u fokus parabole. Neka je data parabola y 2 = 4px i na njoj tačka P (x 0, y 0 ). Označimo sa F fokus date parabole i sa t tangentu date parabole u tački P. Pokazati da se zrak koji ide paralelno x osi duž prave y = y 0 reflektuje o parabolu i nastavlja pravom p(f P ). (Napomena: pokazati da je ugao (tačnije, tangens ugla) izmed u tangente i prave y = y 0 jednak uglu izmed u tangente i prave p(f P ).) 55. Pokazati da je direktrisa parabole geometrijsko mesto tačaka iz kojih se parabola vidi pod pravim uglom. (Napomena: Pokazati da su svake dve tangente na parabolu iz tačke na direktrisi med usobno normalne.) 56. Pokazati da normala na tangentu parabole povučena iz tačke preseka te tangente i tangente koja je paralelna direktrisi, prolazi kroz fokus parabole. 57. Parabola y 2 = 4px i kružnica kojoj je centar na y osi dodiruju pravu y = x + 3 u istoj tački. Odrediti jednačine parabole i kružnice. 58. (Dijametar ili prečnik parabole) Odrediti geometrijsko mesto tačaka koje su sredine paralelnih tetiva parabole. 3.3 Elipsa 59. Nacrtati date elipse i odrediti im fokuse i temena, ako je a) 16x 2 +25y 2 = 400 i b) 3x 2 +2y 2 = Odrediti jednačinu elipse i nacrtati je, ako se zna da su joj a) fokusi (± 2, 0) a temena (±2, 0) i b) fokusi (0, ±4) a temena (0, ±5). 61. Elipsu x y2 = 1 translirati četiri jedinice na desno i tri na gore. Odrediti jednačinu, fokuse, 9 centar, temena i veliku poluosu novodobijene elipse i nacrtati je. 62. Nacrtati elipsu 25x x + 9y y + 36 = 0 i odrediti joj fokuse, centar, temene i veliku poluosu. 63. Odrediti oblast u ravni u kojoj je x 2 + y 2 1 i 4x 2 + y Neka je data elipsa, neka je njen centar O i neka su M 1 i M 2 takve njene tačke da je p(o, M 1 ) p(o, M 2 ). Pokazati da odstojanje ove prave od centra elipse ne zavisi od izbora tačaka M 1 i M 2.

7 65. Neka je data prava y = kx + n i elipsa x2 + y2 = 1. Odrediti koje uslove treba da zadovoljavaju a 2 b 2 parametri k, n, a, b R tako da se prava i elipsa a) seku u dve tačke, b) seku u jednoj tački i c) nemaju zajedničkih tačaka. 66. (a) Odrediti jednačinu tangente y = kx + n na elipsu x2 a 2 + y2 b 2 = 1 kroz tačku P (x 0, y 0 ) koja se nalazi na elipsi ili u njenoj spoljašnjosti. (b) Odrediti jednačine tangenti iz tačke P (14, 1) na elipsu x 2 + 4y 2 = (Optičko svojstvo elipse) Zrak koji izvire iz jednog od fokusa elipse, nakon refleksije o elipsu ulazi u drugi fokus elipse. Neka je data elipsa x2 a 2 + y2 b 2 = 1 i na njoj tačka P (x 0, y 0 ). Označimo sa F 1 i F 2 fokuse date elipse i sa t tangentu date elipse u tački P. Pokazati da se zrak koji izvire iz fokusa F 1 i ide prema tački P reflektuje o elipsu i nastavlja pravom p(p F 2 ) prama fokusu F 2. (Napomena: pokazati da je ugao (tačnije, tangens ugla) izmed u tangente i prave p(p F 1 ) jednak uglu izmed u tangente i prave p(p F 2 ).) 68. Data je elipsa svojom jednačinom x2 + y2 = 1. Neka su t a 2 b 2 1 i t 2 njene tangente u tačkama (a, 0) i ( a, 0), a t 3 njena tangenta u tački (0, b). Neka t 3 seče t 1 i t 2 u tačkama M 1 i M 2, redom. Dokazati da se duž M 1 M 2 iz fokusa elipse vidi pod pravim uglom. 69. U proizvoljnoj tački elipse x2 + y2 = 1 povučena je tangenta t i tangente u tačkama A a 2 b 2 1 (a, 0) i A 2 ( a, 0). Tangenta t seče druge dve tangente u tačkama T 1 i T 2. Dokazati da kružnica konstruisana nad duži T 1 T 2 kao prečnikom prolazi kroz oba fokusa elipse. 70. Odrediti geometrijsko mesto tačaka u ravni iz kojih se elipsa vidi pod pravim uglom. 71. (Dijametar ili prečnik elipse) Odrediti geometrijsko mesto tačaka koje su sredine paralelnih tetiva elipse. 72. Tačka T ( 3 2, 1) je sredina tetive elipse x2 + 4y 2 = 25. Odrediti dužinu te tetive. 3.4 Hiperbola 73. Nacrtati date hiperbole i odrediti im fokuse, temena i asimptote, ako je a) 9x 2 16y 2 = 144 i b) 8y 2 2x 2 = Odrediti jednačinu hiperbole i nacrtati je, ako se zna da su joj a) fokusi (±2, 0) a asimptote y = ± 1 3 x i b) temena (0, ±2) a asimptote y = ± 1 2 x. 75. Hiperbolu x2 16 y2 9 = 1 translirati dve jedinice na desno. Odrediti jednačinu, fokuse, centar, temena i asimptote novodobijene hiperbole. 76. Nacrtati hiperbolu 5y y 4x 2 = 0 i odrediti joj fokuse, centar, temena i asimptote. 77. Odrediti oblast u ravni u kojoj je 4y 2 x 2 4 i 4x 2 + y Neka je data prava y = kx+n i hiperbola x2 y2 = 1. Odrediti koje uslove treba da zadovoljavaju a 2 b 2 parametri k, n, a, b R tako da se prava i hiperbola a) seku u dve tačke, b) seku u jednoj tački i c) nemaju zajedničkih tačaka. 79. (a) Odrediti jednačinu tangente y = kx + n na hiperbolu x2 a 2 y2 b 2 = 1 kroz tačku P (x 0, y 0 ) koja se nalazi na hiperboli ili u njenoj spoljašnjosti. (b) U tačkama preseka prave x + y = 2 i hiperbole 2x 2 y 2 = 8 su povučene tangente na hiperbolu. Odrediti ugao izmed u tih tangenti.

8 80. (Optičko svojstvo hiperbole) Zrak koji izvire iz jednog od fokusa hiperbole, nakon refleksije o hiperbolu izgleda kao da izvire iz drugog fokusa. Neka je data hiperbola x2 a 2 y2 b 2 = 1 i na njoj tačka P (x 0, y 0 ). Označimo sa F 1 i F 2 fokuse date hiperbole i sa t tangentu date elipse u tački P. Pokazati da se zrak koji izvire iz fokusa F 1 i ide prema tački P, koja se nalazi na onoj grani hiperbole koja odgovara fokusu F 1, reflektuje o hiperbolu i nastavlja pravom p(p F 2 ) ali udaljavajući se od fokusa F 2. (Napomena: pokazati da je ugao (tačnije, tangens ugla) izmed u tangente i prave p(p F 1 ) jednak uglu izmed u tangente i prave p(p F 2 ).) 81. Data je hiperbola svojom jednačinom x2 y2 = 1. Neka je t njena tangenta koja je dodiruje a 2 b 2 u tački T. Neka t seče asimptote hiperbole u tačkama M 1 i M 2. Dokazati da je T središte duži M 1 M Neka proizvoljna tangenta hiperbole date jednačinom x2 y2 = 1 seče njene tangente koje su a 2 b 2 paralelne sa y osom u tačkama M 1 i M 2. Dokazati da se duž M 1 M 2 vidi iz fokusa pod pravim uglom. 83. Odrediti geometrijsko mesto tačaka u ravni koje su (osno) simetrične jednom od fokusa hiperbole u odnosu na sve tangente te hiperbole. 84. (Dijametar ili prečnik hiperbole) Odrediti geometrijsko mesto tačaka koje su sredine paralelnih tetiva hiperbole. 3.5 Konusni preseci i ekscentricitet 85. Neka je u ravni data prava x = d i tačka F (c, 0), c, d > 0. Neka je D projekcija tačke P (x, y) na pravu x = d. Odrediti geometrijsko mesto tačaka P (x, y) u ravni tako da je P F = ep D, ako je a) e (0, 1) i b) e > Odrediti ekscentricitet i nacrtati fokuse i direktrise elipse ako je a) 6x 2 +9y 2 = 54 i b) 2x 2 +y 2 = Odrediti ekscentricitet i nacrtati fokuse i direktrise hiperbole ako je a) x 2 y 2 = 1 i b) 8y 2 2x 2 = Odrediti standardnu jednačinu centralne elipse ako su joj a) fokusi F (±8, 0) i ekscentricitet e = 0.2 i b) temena T (0, ±70) i ekscentricitet e = Odrediti standardnu jednačinu centralne hiperbole ako su joj a) fokusi F (0, ±5) i ekscentricitet e = 1.25 i b) temena T (±2, 0) i ekscentricitet e = Odrediti ekscentricitet i standardnu jednačinu centralne elipse ako joj je fokus ( 2, 0) a direktrisa x = Odrediti ekscentricitet i standardnu jednačinu centralne hiperbole ako joj je fokus ( 6, 0) a direktrisa x = Odrediti fokus i direktrisu parabole y = ax 2 + bx + c. 93. Nacrtati oblik orbite Plutona ako se zna da mu je ekscentricitet e = Krajnje tačke male i velike ose elipse su (1, 1), (3, 4), (1, 7) i ( 1, 4). Nacrtati elipsu, odrediti joj standardnu jednačinu, zatim odrediti fokuse, direktrise i ekscentricitet date elipse. 95. Odrediti jednačinu elipse eksecntriciteta 2 3 odgovarajući fokus. tako da joj je prava x = 9 direktrisa a tačka (4, 0)

9 96. Ekscentricitet hiperbole je 3 2, a jedan od fokusa je tačka (1, 3) i njemu odgovarajuća direktrisa je prava y = 2. Odrediti jednačinu date hiperbole. 97. Odrediti konstante a, b i c tako da je jednačinom 4x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 data elipsa kojoj je x osa tangenta u koordinatnom početku i koja prolazi kroz tačku ( 1, 2). Odrediti i ekscentricitet dobijene elipse. 98. Odrediti geometrijsko mesto tačaka u ravni kod kojih je odnos udaljenosti od tačke A(1, 0) i od prave x = 9 jednak Konusni preseci kao kvadratne krive 99. Odrediti kom konusnom preseku odgovaraju sledeće kvadratne jednačine: (a) 2x 2 y 2 + 4xy 2x + 3y = 6; (b) x 2 3xy + 3y 2 + 6y = 7; (c) 3x xy + 12y x 9y + 72 = Rotirati koordinatne ose (x i y) tako da u novodobijenim koodrinatama (x i y ) nestane mešoviti član (B x y ) date kvadratne jednačine. Zatim nacrtati dobijene konusne preseke u novom koordinatnom sistemu. (a) x 2 + xy + y 2 = 1; (b) 3x 2 2 3xy + y 2 = 1; (c) xy y x + 1 = Pokazati da je B 2 4AC = B 2 4A C, A + C = A + C i D 2 + E 2 = D 2 + E Neka je data jednačina x 2 + 4xy + 4y 2 + 6x + 12y + 9 = 0. Odrediti da li data jednačina opisuje elipsu, parabolu ili hiperbolu. Pokazati da je zapravo tom jednačinom data prava 2y = x Odrediti ekscentricitet, fokuse i direktrise hiperbole xy = Proveriti da li postoji nedegenerisani konusni presek Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 tako da zadovoljava sve navedene osobine: 1. simetričan je u odnosu na koordinatni početak, 2. prolazi kroz tačku (1, 0) i 3. prava y = 1 mu je tangenta u tački ( 2, 1).

10 4 Parametrizacija krivih u ravni 105. Odrediti parametrizacije sledećih krivih u ravni (p, q, k, a, b, r su dati parametri) (a) y = q + k(x p); (b) (x p) 2 + (y q) 2 = r 2 ; (c) b 2 (x p) 2 + a 2 (y q) 2 = a 2 b 2 ; (d) b 2 (x p) 2 a 2 (y q) 2 = a 2 b 2 ; (e) y = q + (x p) Nacrtati u ravni krive date svojim parametrizacijama: (a) x = cos(π t), y = sin(π t), (b) x = 4 sin t, y = 2 cos t, t [0, π]; t [0, π]; (c) x = t, y = t, t 0; (d) x = 1 cos 2 t 1, y = tg t, t ( π 2, π 2 ); (e) x = 1 cos t, y = tg t, t ( π 2, π 2 ); (f) x = 2t 5, y = 4t 7, t R; (g) x = 1 t, y = 1 + t, t R; (h) x = t, y = 4 t 2, t [0, 2]; (i) x = t + 1, y = t, t Odrediti tačku na paraboli x = t, y = t 2, t R koja je najbliža tački (2, 1 2 ) Odrediti tačku na elipsi x = 2 cos t, y = sin t, t [0, 2π] koja je najdalja od tačke ( 3 4, 0) (Kriva veštice Anjezi) Neka je data kružnica poluprečnika 1 sa centrom u (0, 1). Proizvoljnu tačku A na pravoj y = 2 povežemo sa koordinatnim početkom O i sa B obeležimo presek date kružnice i duži OA. Tačka P se dobija kao presek vertikalne prave kroz tačku A i horizontalne kroz tačku B. Odrediti jednačinu krive koja opisuje položaj tačke P u ravni dok tačka A ide duž prave y = 2. (Napomena: Ime krive je nastalo kao greška pri prevodu sa latinskog, pravilan prevod bi bio uže koje vraća jedro. Mogu se koristiti sledeće činjenice: AB OA = (AQ) 2, Q(0, 2), zatim za tačku P (x, y) važi x = AQ, y = 2 AB sin t, gde je t ugao koji duž OA gradi s pozitivnim delom x ose.) 110. (Involuta kružnice) Ako zicu namotanu oko kalema (kružnice) pustimo da se odmota, njen kraj će prilikom odmotavanja opisati involutu kružnice u ravni (ovde se zanemaruje debljina zice). Neka je kalem kružnica x 2 + y 2 = 1, a kraj zice neka je tačka P (x, y) koja je u početnom momentu, dok je još žica namotana (1, 0). Pri odmotavanju žica je uvek tangentna na kružnicu u tački žice Q koja poslednja još uvek dodiruje kružnicu. Neka je sa t obeležen ugao koji gradi duž OQ sa pozitivnim delom x ose. Odrediti parametarske jednačine involute kružnice izražavajući koordinate tačke P (x, y) u zavisnosti od t, t (Hipocikloida) Neka se kružnica kotrlja unutar date veće kružnice. Proizvoljna tačka P na kružnici koja se kotrlja opisuje hipocikloidu unutar velike kružnice. Neka je velika fiksirana kružnica data sa x 2 + y 2 = a 2 i neka je poluprečnik male kružnice koja se kotrlja b i neka je njen centar obeležen sa C. Neka je u početnom momentu pozicija posmatrane tačke P (x, y) u A(a, 0). Odrediti parametarsku jednačinu hipocikloide koristeći kao parametar ugao θ koji gradi duž OC sa pozitivnim delom x ose.

11 5 Polarne koordinate 112. Ucrtati tačke date svojim polarnim koordinatama, a zatim odrediti i njihove pravougle koordinate: a) (2, 0), b) (2, π), c) (2, π/2), d) (2, π/2), e) (2, π/4), f) (2, π/3) Nacrtati date skupove opisane polarnim koordinatama (r, θ) : a) r = 2, b) r 1, c) 1 r 2, d) θ = π/6, 1 r 2, e) π/6 θ 2π/3, r 2, f) 0 θ π, r = Za date jednačine u polarnim koordinatama (r, θ) odrediti njihove ekvivalente u pravouglim koordinatam (x, y) i nacrtati odgovarajuće grafike: a) r cos θ + r sin θ = 1, b) r 2 = 1, c) r 2 = 4r sin θ, d) r 2 sin(2θ) = 2, e) r sin θ = ln r + ln(cos θ), f) r = 3 cos θ, g) r = 2 cos θ sin θ, h) r sin(θ + π/6) = Za date jednačine u pravouglim koordinatam (x, y) odrediti njihove ekvivalente u polarnim koordinatama (r, θ) i nacrtati odgovarajuće grafike: a) x 2 +y 2 = 4, b) x 2 y 2 = 1, c) x2 9 + y2 4 = 1, d) y 2 = 4x (Lemniskata) Nacrtati sledeće krive u ravni date jednačinama u polarnim koordinatama: a) r 2 = cos(2θ), b) r 2 = cos(2θ), c) r 2 = 4 sin(2θ) Inverzija u odnosu na kružnicu r = 1, θ [0, 2π] je preslikavanje koje tački u polarnim koordinatama (r, θ) dodeljuje tačku (1/r, θ). Pokazati da se inverzijom jedinična ravnostrana hiperbola (a = b = 1) slika u lemniskatu (Limaçon) Nacrtati četiri osnovna oblika limason krive: a) r = 1/2 + cos θ (ovde koristiti konvenciju za r < 0), b) r = 1 cos θ, c) r = 3/2 + cos θ, d) r = 2 + cos θ. (Napomena: Limaçon je reč francuskog porekla i označava organ čula sluha - kohlea ili puž smešten u unutrašnjem uvu. Opšti oblik limason krive je r = a ± b cos θ ili r = a ± b sin θ.) 119. Nacrtati sledeće oblasti u ravni date nejednakostima u polarnim koordinatama: a) 0 r 2 2 cos θ, b) 0 r 2 cos θ Nacrtati sledeće krive u ravni: a) r = cos(θ/2), θ [ π, π], b) r = 1 + cos(θ/2), θ [0, 2π], c) r = 1 + cos(θ/2), θ [0, 4π], d) r 2 = sin θ, θ [0, 2π] (Spirale) Nacrtati: a) spiralu: r = θ, θ 0, b) logaritamsku spiralu: r = e θ, θ R, c) hiperboličnu spiralu: r = 1 θ, θ > Odrediti polarne jednačine konusnih preseka sa jednim fokusom u koordinatnom početku, datih ekscentricitetom i direktrisom: a) e = 1, x = 2, b) e = 5, y = 6, c) e = 1 4, x = Odrediti polarnu jednačinu parabole sa fokusom u (0, 0) i direktrisom r cos(θ π/2) = (a) Neka je data elipsa velike ose a i ekscenticiteta e. Neka je fiksiran jedan od njenih fokusa F. Pokazati da je najmanje rastojanje tačke sa elipse od fokusa F jednako a(1 e) a najveće a(1 + e). (b) Halejeva kometa se kreće oko Sunca po eliptičnoj putanji, gde je a = astronomskih jedinica i e = 0.97, tako da se Sunce nalazi u jednom od fokusa eliptične putanje. Odrediti koja je najmanja a koja najveća udaljenost Halejeve komete od Sunca Jednačina elipse, parabole i hiperbole u polarnim koordinatama Neka se tačka F nalazi u koordinatnom početku i neka je data prava x = k, k > 0. Pokazati da je jednačinom ek r = 1 + e cos θ, k > 0, data: za e (0, 1) elipsa; za e = 1 parabola; za e > 1 hiperbola čiji je fokus tačka F, odgovarajuća direktrisa je prava x = k i ekscentricitet je e.

12 6 Vektorska algebra 6.1 Vektori u ravni, zbir vektora, množenje vektora skalarom 126. Neka su a, b i c proizvoljni vektori i α, β R. Pokazati (a) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (b) a + 0 = 0 + a = a (c) a + ( a ) = ( a ) + a = 0 (d) a + b = b + a (e) α( a + b ) = α a + α b (f) α(β a ) = (αβ) a (g) (α + β) a = α a + β a (h) 1 a = a. (Napomena: Algebarska struktura, sa definisaniom operacijom sabiranja i množenja skalarom, koja zadovoljava gore navedene uslove se naziva vektorski prostor.) 127. Neka su u ravni date tačke A, B i C koje formiraju trougao. Neka je u = AB i v = AC i neka je tačka P sredina stranice BC. Izraziti vektor a = AP preko vektora u i v Izraziti vektor P 3 P 4 ako je tačka P 3 (1, 3) a tačka P 4 je sredina duži P 1 P 2 gde je P 1 (2, 1) i P 2 ( 4, 3) Odrediti zbir vektora AB i CD ako je A(1, 1), B(2, 0), C( 1, 3) i D( 2, 2). Nacrtati i odrgovarajuću sliku u pravouglom koordinatnom sistemu (a) Za dati vektor AB = 3 i j, ako je tačka A(2, 9) odrediti koordinate tačke B. (b) Za dati vektor P Q = 6 i 4 j, ako je tačka Q(3, 3) odrediti koordinate tačke P Odrediti jedinične vektore koji su kolinearni i jedinične vektore koji su normalni vektoru u = i + 3 j Neka su dati vektori u = i 2 j, v = 2 i + 3 j i w = i + j. Izraziti vektor u = v 1 + w 1 gde je vektor v 1 kolinearan vektoru v a w 1 vektoru w Ptica poleće iz svog gnezda i leti 5 km pod uglom od 60 severno od pravca istoka, i tu se odmori na drvetu. Zatim leti 10 km u pravcu jugoistoka i sleti na vrh telefonskog stuba. Odrediti koordinate položaja drveta na kom se ptica odmarala, kao i koordinate položaja telefonskog stuba na kojem se ptica zaustavila ako se gnezdo nalazi u koordinatnom početku (jedna koordinatna jedinica odgovara 1 km) Neka su u ravni date tačke P (x 1, y 1 ) i Q(x 2, y 2 ). Upotrebom vektora odrediti koordinate sredine duži P Q Upotrebom vektora pokazati da je srednja linija trougla paralelna odgovarajućoj stranici trougla i da je duplo manje dužine Dokazati upotrebom vektora da su središta P, Q, R, S stranica AB, BC, CD, DA proizvoljnog četvorougla ABCD temena paralelograma Dokazati vektorski da je srednja linija trapeza paralelna njegovim osnovicama i da njena dužina jednaka polovini zbira dužina osnovica trapeza.

13 138. Neka je ABCDEF konveksan šestougao takav da je AB DE i neka su K i L središta duži odred enih središtima preostalih parova naspramnih stranica. Dokazati da je K L ako i samo ako je AB = ED Dokazati korišćenjem vektora da se dijagonale paralelograma polove Tačke P i Q su središta stranica BC i CD, redom, paralelograma ABCD. Prikazati vektore BC i CD pomoću vektora AP i AQ Neka su tačke S i T središta dijagonala AC i BD četvorougla ABCD. Dokazati da je 2 ST = AB + CD = AD + CB U ravni postoje dva linearno nezavisna (nekolinearna) vektora. 6.2 Vektori u prostoru, zbir vektora, množenje vektora skalarom 143. Izraziti vektor u = 9 i 2 j + 6 k kao proizvod njegovog intenziteta i vektora pravca Odrediti vektor intenziteta 7 u pravcu vektora a = 12 i 5 k Odrediti vektor dužine 5 u smeru suprotnom od vektora b = 2 i 3 j + 6 k Neka su u prostoru date tačke P (x 1, y 1, z 1 ) i Q(x 2, y 2, z 2 ). Upotrebom vektora odrediti koordinate sredine duži P Q Neka su date tačke P 1 (1, 4, 5) i P 2 (4, 2, 7). Odrediti vektor P 1 P 2, udaljenost tačaka P 1 i P 2 i koordinate središta duži P 1 P Neka je AB = i + 4 j 2 k. Odrediti koordinate tačke A ako je B(5, 1, 3) Odrediti udaljenost tačke P (x, y, z) od y ose i od yz ravni Odrediti vektor položaja težista trougla sa temenima A(1, 1, 2), B(2, 1, 3) i C( 1, 2, 1) Pokazati da su vektori (1, 0, 1), (1, 1, 0) i (1, 0, 0) linearno nezavisni (dakle, mogu zameniti bazu i, j i k ), zatim izraziti vektor (2, 3, 4) preko datih vektora. 6.3 Skalarni proizvod vektora 152. Neka su dati vektori a = 2 i 4 j + 5 k i b = 2 i + 4 j 5 k. Odrediti a b, a, b i ugao izmed u vektora a i b. Zatim odrediti i proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije vektroa b na vektor a Napisati vektor b = 3 j + 4 k kao sumu vektora paralelnog sa a = i + j i normalnog na a Dokazati nejednakost trougla u + v u + v Dokazati Koši-Švarcovu nejednakost u v u v. Zatim, ispitati pod kojim uslovima važi jednakost Dokazati zakon paralelograma u + v 2 + u v 2 = 2 u v Osenčiti u ravni oblast kojoj pripadaju tačke (x, y) tako da je (x i +y j ) v 0, za dati vektor v u ravni Da li za skalarni proizvod važi zakon skraćivanja, tj. da li iz a b 1 = a b 2 i a 0 sledi b1 = b 2?

14 159. Neka su u 1 i u 2 med usobno normalni vektori. Ako je v = a u 1 + b u 2, odrediti a, b R Korišćenjem vektora i skalarnog proizvoda vektora dokazati kosinusnu teoremu: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ, gde su a, b i c stranice trougla, a θ ugao izmed u stranica a i b Pokazati pomoću vektora da su dijagonale paralelograma normalne ako i samo ako je taj paralelogram romb Korišćenjem vektora pokazati da dijagonale paralelograma polove njegove unutrašnje uglove ako i samo ako je taj paralelogram romb Odrediti vektor koji polovi ugao izmed u vektora a i b Pokazati da se visine trougla seku u jednoj tački Neka su A, B, C i D proizvoljne tačke u prostoru. Pokazati da je tada AB CD + AC DB + AD BC = (Uglovi pravca) Uglovi pravca α, β i γ vektora v = a i +b j +c k se definišu kao uglovi izmed u vektora v i pozitivnog dela x, y i z ose, redom (α, β, γ [0, π]). Pokazati da je cos α = a v, cos β = b v, cos γ = c v, kao i da ako je v jedinični vektor onda je v = cos α i + cos β j + cos γ k Odrediti koliki se rad izvrši da bi se telo pomerilo iz koordinatnog početka do tačke (1, 1, 1) ako ga pomera sila F = 5 k Koliki rad izvršimo (izraziti u J = mn) dok vučemo sanduk 20 metara duž pristaništa ako ga vučemo silom od 200 N pod uglom od 30 od pravca kretanja sanduka (a) Pokazati da je vektor v = a i + b j normalan na pravu ax + by = c. (b) Pokazati da je vektor v = a i + b j paralelan sa pravom bx ay = c. (Napomena: koristiti koeficijente pravaca vektora i prave.) 170. (a) Odrediti pravu normalnu vektoru v = i + 2 j koja prolazi kroz tačku P (2, 1). Nacrtati odgovarajući crtež. (b) Odrediti pravu paralelnu vektoru v = i j koja prolazi kroz tačku P ( 2, 1). Nacrtati odgovarajući crtež Odrediti oštri ugao koji grade prave 3x + y = 5 i 2x y = Vektorski i mešoviti proizvod vektora 172. Odrediti a b i b a ako je a) a = 2 i 2 j k i b = i k ; b) a = i + j k i b = 0 ; c) a = i j i b = j k Nacrtati u koordinatnom sistemu i odrediti a b i b a ako je a) a = 2 i j i b = i +2 j ; b) a = i k i b = j Odrediti površinu trougla čija su temena P, Q i R, kao i jediničnu normalu na ravan r(p QR) ako je P ( 2, 2, 0), Q(0, 1, 1) i R( 1, 2, 2) Odrediti formulu za računanje površine trougla sa temenima u xy ravni datih sa (0, 0), (a 1, a 2 ) i (b 1, b 2 ).

15 176. Odrediti površinu paralelograma smeštenog u xy ravni čija su temena ( 1, 2), (2, 0), (7, 1) i (4, 3) Neka je a = 5 i j + k, b = j 5 k i c = 15 i + 3 j 3 k. Da li su neki od navedenih vektora med usobno paralelni ili normalni? 178. Neka su vektori e 1 i e 2 med usobno nekolinearni i neka je a = 3 e e 2 i b = e 1 e 2. Odrediti vektor a b pomoću vektora e 1 i e 2. Odrediti zatim i a b ako je e 1 = 3, e 2 = 2 i ugao izmed u vektora e 1 i e 2 je π Da li za vektorski proizvod važi zakon skraćivanja, tj. da li iz a b 1 = a b 2 i a 0 sledi b1 = b 2? 180. Da li iz a b 1 = a b 2 i a b 1 = a b 2 za a 0 sledi b 1 = b 2? 181. Odrediti moment sile M kao i njen intenzitet koji nastaje dejstvom sile F jačine F = 120N koja deluje pod uglom od 135 u odnosu na polugu dužine r = 20cm Odrediti mešoviti proizvod ( a b ) c kao i zapreminu paralelepipeda odred enog datim vektorima ako je a = i + j 2 k, b = i k i c = 2 i + 4 j 2 k Koristeći se samo skalarnim i vektorskim proizvodom od datih vektora a, b i c konstruisati a) vektor normalan na vektore a b i a c ; b) vektor normalan na vektore a + b i a b ; c) vektor dužine a u pravcu vektora b i d) površinu paralelograma odred enog vektorima a i c Pokazati za važi ( x y ) z = ( x z ) y ( y z ) x Dokazati Jakobijev identitet ( x y ) z + ( y z ) x + ( z x ) y = Dokazati da važi ( a b ) ( b c ) = (( a b ) c ) b Dokazati Lagranžov identitet ( x y ) ( z t ) = ( x z )( y t ) ( y z )( x t ).

16 7 Jednačine prave i ravni u prostoru 188. Odrediti prametarsku jednačinu prave koja prolazi: (a) kroz tačku P (3, 4, 1) i paralelna je vektoru v = i + j + k ; (b) kroz tačke P (1, 2, 1) i Q( 1, 0, 1); (c) kroz koordinatni početak i paralelna je vektoru v = 2 j + k ; (d) kroz tačku P (3, 2, 1) i paralelna je pravoj x = 1 + 2t, y = 2 t, z = 3t; (e) kroz tačku P (2, 4, 5) i normalna je na ravan 3x + 7y 5y = 21; (f) kroz tačku P (2, 3, 0) i normalna je na vektore u = i + 2 j + 3 k i v = 3 i + 4 j + 5 k ; (g) z osom Odrediti parametrizaciju duži koja spaja tačke P (0, 2, 0) i Q(3, 0, 0) Odrediti jednačinu ravni koja: (a) prolazi kroz tačku P (0, 2, 1) i normalna je na vektor n = 3 i 2 j k ; (b) prolazi kroz tačku P (1, 1, 3) i paralelna je ravni 2x + y + z = 7; (c) prolazi kroz tačke P (1, 1, 1), Q(2, 0, 2) i R(0, 2, 1); (d) prolazi kroz tačku P (2, 4, 5) i normalna je na pravu x = 5 + t, y = 1 + 3t, z = 4t; (e) koja je odred ena pravama x = 2t+1, y = 3t+2, z = 4t+3 i x = s+2, y = 2s+4, z = 4s 1 i odrediti tačku preseka datih pravih; (f) kroz tačku P (2, 1, 1) i normalna je na pravu u preseku ravi 2x+y z = 3 i x+2y +z = 2; (g) prolazi kroz tačke P (1, 2, 3) i Q(3, 2, 1) i normalna je na ravan 4x y + 2z = Odrediti udaljenost tačke P (2, 1, 1) od prave x = 2t, y = 1 + 2t, z = 2t Odrediti udaljenost tačke P (2, 2, 3) od ravni 2x + y + 2z = Odrediti udaljenost izmed u ravni x + 2y + 6z = 1 i x + 2y + 6z = Odrediti udaljenost izmed u prave x = 2 + t, y = 1 + t, z = t i ravni x + 2y + 6z = Odrediti ugao izmed u ravni x + y = 1 i 2x + y 2z = Odrediti tačku preseka prave x = 1 t, y = 3t, z = 1 + t i ravni 2x y + 3z = Odrediti jednačinu prave u preseku ravni 3x 6y 2z = 3 i 2x + y 2z = Odrediti presek prave x = 1 + 2t, y = 1 t, z = 3t sa koordinatnim ravnima Da li je prava x = 1 2t, y = 2 + 5t, z = 3t paralelna ravni 2x + y z = 8? Objasniti odgovor Neka su date tri prave x = 3+2t, y = 1+4t, z = 2 t, zatim x = 1+4s, y = 1+2s, z = 3+4s i x = 3 + 2r, y = 2 + r, z = 2 + 2r. Odrediti koje dve od njih su paralelna, koje normalne a koje mimoilazne Odrediti jednačinu simetralne ravni duži AB gde je A(a 1, a 2, a 3 ) i B(b 1, b 2, b 3 ) Odrediti tačku B simetričnu tački A(a 1, a 2, a 3 ) u odnosu na ravan Ax + By + Cz + D = Odrediti jednačinu normale iz tačke A(1, 2, 3) na pravu x 2 3 = y 4 = z Data je prava x 6 a 1 = z 1 0 i ravan x + y 2z = 2. Odrediti parametre a, b R tako da data prava pripada datoj ravni. = y b

17 205. Neka je data prava p kao presek ravni x 2y + z 1 = 0 i 2x + y z 3 = 0 i prava q data sa. Odrediti parametar m tako da se prave p i q seku. x 4 2 = y 3 1 = z 2 m 206. Odrediti jednačinu prave koja seče prave x 1 (4, 0, 1). 2 = y+3 4 = z 5 3 i x 5 = y 2 1 = z+1 2 i prolazi kroz tačku x Data je ravan α : 2x + 3y z = 1 i prava p : 2 = z 1. Odrediti projekciju p prave p na ravan α. Zatim odrediti tačku prave p koja je najbliža koordinatnom početku. 1 = y 3

18 8 Cilindri i kvadratne površi 208. Nacrtati sledeće cilindre: a) x 2 + z 2 = 4; b) z = y 2 1; c) 4x 2 + y 2 = 36 i d) yz = Nacrtati sledeće kvadratne površi: (a) elipsoide 9x 2 + 4y z 2 = 36 i 4x 2 + 4y 2 + z 2 = 16; (b) paraboloide z = 18 x 2 9y 2 i z = x 2 + 9y 2 ; (c) konuse y 2 + z 2 = x 2 i 9x 2 + 4y 2 = 36z 2 ; (d) hiperboloide 9y 2 + 4z 2 9x 2 = 36 i y 2 x 2 4z 2 = 4; (e) hiperbolične paraboloide y 2 x 2 = z i x 2 y 2 = z Nacrtati sledeće površi: (a) x 2 + y 2 + z 2 = 4; (b) z = 1 + y 2 x 2 ; (c) y 2 z 2 = 4; (d) y = (x 2 + z 2 ); (e) z 2 4x 2 4y 2 = 4; (f) z = x 2 y 2 1; (g) 9x y 2 = 4z Posmatrajmo bure koje je postavljeno uspravno (duž z ose) u pravouglom koordinatnom sistemu. Bure je oblika elipsoida i to tako da su linije nivoa pralelne xy ravni kružnice. Najveća kružnica je poluprečnika R i koordinatni početak je smešten u centar te kružnice (dakle, nalazi se u ravni z = 0). Baze bureta (dno i poklopac) su takod e kružnice poluprečnika r < R i nalaze se u ravnima z = h i z = h. Odrediti jednačinu površi koja odred uje zid datog bureta. Šta dobijamo ako je r = R? 212. Presek hiperboličnog paraboloida y2 b 2 fokus. x2 a 2 = z c i ravni y = y 1 je parabola. Odrediti joj teme i 213. (a) Proveriti da li svaki put kada presečemo kvadratne površi ravnima paralelnim koordinatnim ravnima dobijamo kvadratne krive (konusne preseke). (b) Proveriti šta se dobija kada presečemo kvadratnu površ proizvoljnom ravni u prostoru (Stereografska projekcija) Neka je data centralna jedinična sfera i neka je sa N obeležen njen severni pol N(0, 0, 1). Odrediti projekcije tačaka sfere (izuzev tačke N) iz severnog pola N na xy ravan Dokazati da kroz svaku tačku jednodelnog hiperboloida x2 čitave pripadaju tom hiperboloidu. + y2 z2 a 2 b 2 c 2 = 1 prolaze dve prave koje

19 9 Cilindrične i sferne koordinate 216. Date jednačine i nejednačine u pravouglim koordinatama prebaciti u cilindrične i sferne koordinate i odrediti koje površi su njima odred ene: (a) z = 2; (b) x 2 + y 2 = 5; (c) z = x 2 + y 2, z 1; (d) x 2 + y 2 + (z 1 2 )2 = 1 4 ; (e) x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 1, z Date jednačine i nejednačine u cilindričnim koordinatama prebaciti u pravougle i sferne koordinate i odrediti koje površi su njima odred ene: (a) r = 0; (b) z = 0; (c) r 2 + z 2 = 4, z 2; (d) z = 4 4r 2, 0 r 1; (e) z = 4 r, 0 r 4; (f) z + r 2 cos(2θ) = 0; (g) z 2 r 2 = Date jednačine i nejednačine u sfernim koordinatama prebaciti u pravougle i cilindrične koordinate i odrediti koje površi su njima odred ene: (a) ρ sin φ cos θ = 0; (b) tg 2 φ = 1; (c) ρ = 3, π 3 φ 2π 3 ; (d) φ = π 2, 0 ρ Odrediti pravougle koordinate centra sfere date a) cilindričnim koordinatama r 2 +z 2 = 4r cos θ+ 6r sin θ + 2z i b) sfernim koordinatama ρ = 2 sin φ(cos θ 2 sin θ) Odrediti skup u prostoru koji zadovoljava sledeće jednačine u cilindričnim koordinatama: a) r = 2 sin θ i b) r = 1 cos θ Odrediti skup u prostoru koji zadovoljava sledeće jednačine u sfernim koordinatama: a) ρ = 1 cos φ i b) ρ = 1 + cos φ (Ravan u cilindričnim i sfernim koordinatama) (a) Pokazati da ravan čija je jednačina z = c, c 0 data u pravouglim i cilindričnim koordinatama, u sfernim koordinatama ima jednačinu ρ = (b) Odrediti jednačinu xy ravni u sfernim koordinatama. c cos φ. (c) Pokazati da ravni normalne na x osu u cilindričnim koordinatama zadovoljavaju jednačinu r = a cos θ. (d) Pokazati da ravni normalne na y osu u cilindričnim koordinatama zadovoljavaju jednačinu r = b sin θ. (e) Odrediti jednačinu oblika r = f(θ) u cilindričnim koordinatama za ravan ax+by = c, c Naći jednačinu oblika ρ = f(φ) u sfernim koordinatama koja opisuje cilindar x 2 + y 2 = a 2.

20 224. (Simetrije) (a) Koju simetriju nosi površ data jednačinom r = f(z) u cilindričnim koordinatama? (b) Koju simetriju nosi površ data jednačinom ρ = f(φ) u sfernim koordinatama? 225. (Torus) Površ torus nastaje rotacijom kružnice u yz ravni, poluprečnika b > 0 sa centrom u tački (0, a, 0), a > b > 0, oko z ose. Odrediti jednačninu torusa koristeći pravougle, cilindrične i sferne koordinate.