= 10, a u drugom slučaju je broj mogućnosti ( ( 2! = 15. Prema tome krajnji rezultat je S5 3 = ( (

Transcript

1 REŠENJA ZADATAKA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA ELEKTROTEHNIKU, RAČUNARSTVO, ANIMACIJU U INŽENJERSTVU I MEHATRONIKU, FTN NOVI SAD 0070 Na hipotenuzi AB pravouglog trougla ABC date su tače D i E, tave da je AD AC i BE BC Odrediti ugao δ <DCE Neaje ϕ <EDC i ψ <DEC Kao je <ACD <EDC <ADC ϕ i <BCE <DEC <BEC ψ, to je ϕ + ψ δ π Taode je ϕ + ψ + δ π Ao napravimo razliu prethodne dve jednaosti dobija se δ π tj δ π 4 Pet uglica se rasporeduje u tri utije, tao da je u svaoj utiji bar jedna uglica Na olio različitih načina se može izvršiti to rasporedivanje ao se: a uglice ne razliuju i utije razliuju b uglice razliuju i utije ne razliuju a Poredamo 5 uglica oje se ne razliuju u jednu vrstu Na svao od 4 mesta izmedu tih 5 uglica može se staviti ili ne staviti pregrada Postavićemo samo dve pregrade na nea od 4 pomenuta mesta medu tim uglicama, jer sve uglice oje su levo od prve pregrade su u prvoj utiji, sve uglice izmedu prve i druge pregrade su u drugoj utiji i sve uglice desno od druge pregrade su u trećoj utiji Prema tome od četiri mesta biramo dva na oja ćemo staviti pregrade i rezultat je 4 Efetivno ispisane sve mogućnosti su: ooo o o, oo oo o, oo o oo, o ooo o, o oo oo, o o ooo b Sup od 5 uglica A {,,, 4, 5} treba razbiti na tri disjuntna neprazna podsupa čija unija je ceo sup A Broj elemenata u tim podsupovima može biti,, ili,, U prvom slučaju broj mogućnosti je 5 0, a u drugom slučaju je broj mogućnosti 5! 5 Prema tome rajnji rezultat je S ! 5 Efetivno ispisane { sve mogućnosti su: }{ } {},{},{,4,5}, {},{},{,4,5}, {},{4},{,,5}, {},{5},{,,4},{},{,4,5}, { }{ } {},{4},{,,5}, {},{5},{,,4}, {},{4},{,,5},{5},{,,4}, {4},{5},{,,} ************************************************************************************************ { } {},{,},{4,5}, {},{,4},{,5}, {},{,5},{,4}, {},{,},{4,5}, {},{,4},{,5}, { } {},{,5},{,4}, {},{,},{4,5}, {},{,4},{,5}, {},{,5},{,4}, {4},{,},{,5}, { } {4},{,},{,5}, {4},{,5},{,}, {5},{,},{,4}, {5},{,},{,4}, {5},{,4},{,}, Bočne ivice prave pravilne trostrane piramide su jednae, a ivica osnove je x a Odrediti zapreminu V V x te piramide u zavisnosti od x b Odrediti masimum F max funcije F F x, ao je F 44V c Odrediti masimum V max funcije V V x a V x 4 x V x 4 x 44V x + x 4 F b F x 5 + x 0 x ± F max F c Očevidno je da masimum funcije F pa i funcije V nastupa za x Prema tome V max V 4 Nea je A, 8, 4, B7, 7, 8 i C8,, 4 a Izračunati intenzitete vetora BA i BC i ugao izmedu njih b Da li su tače A, B, C temena jednaoraog pravouglog trougla? Odgovor obrazložiti c Izračunati površinu paralelograma onstruisanog nad vetorima BA i BC d Izračunati intenzitet vetora BA BC a BA 8,, 4, BC, 8, 4, BA BC i BA BC 0 BA BC b Jesu, jer je trougao ABC jednaora čiji ugao pri vrhu B je π c Kao je ovaj paralelogram vadrat stranice 9, to je njegova površina 8 d Kao je intenzitet vetorsog proizvoda BA BC, jedna površini paralelograma onstruisanog nad vetorima BA i BC, to je BA BC 8

2 5 Ao je z + i i z i, odrediti u algebarsom i trigonometrijsom obliu: a a z z e i π 4 π e i π ei π cos z z, b z z 0 π + i sin cos π + i sin π i 4 b z z 0 00 e i π 0 00 e i π 00 cos π + i sin π 00 + i i Naći sup A svih realnih vrednosti parametra a za oje je a + x + a + x + > 0 za svai realni broj x Ao je a tada imamo > 0, što je tačno za svai realni broj x, pa A Ao je a, tada polinom a + x + a + x + jeste vadratni polinom, pa je pozitivan ao i samo ao a + > 0 a a < 0 a > a, a, Kao A, to je rajnji rezultat a [, 7 Nea je funcija f definisana sa fx sin x + cos x a Naći nule funcije fx u intervalu π, π] b Rešiti nejednačinu fx < 0 u intervalu π, π] a sin x + cos x 0 sin x + sin x 0 sin x {, } x π + π x π + π x 5π + π Kao je x π, π], to sledi da je rezultat zadata x { π, π, 5π } b Kao je funcija fx nepreidna, ona može da menja zna samo u njenim nulama π, π i 5π, a ao je očevidno f0 < 0, f π > 0, f π > 0, i fπ < 0 to sledi fx < 0 x π, π 5π, π] A min π, 0! 8 Nea je funcija f definisana sa fx + log + x a Rešiti jednačinu fx 0, b Rešiti nejednačinu fx > 0, a + log + x 0 + x x b Kao je funcija f nepreidna i ao za nulu ima samo x u ojoj sigurno menja zna, jer je f0 > 0 i f < 0, to sledi fx > 0 x, 9 Doazati da brojevi log, log, log obrazuju aritmetiču progresiju log + log log +log log log log, pa je srednji aritmetiča sredina rajnjih Drugi način log log log log log log log log log log 0 Nea je funcija f definisana sa fx x + 5x x x + 4x x 0 a Naći nule funcije f i rastaviti na proste nesvodljive činioce fatore polinom fx b Naći estremne tače A α, fα i B β, fβ funcije f c Odrediti intervale u ojima funcija f raste d Naći jednačine tangenti grafia funcije f ojima pripada tača N 5, 0 a fx 0 x { 5,, }, pa je fx x + 5x + x b A, i B, c f x,, d Jednačina tangente na rivu y fx roz taču 5, 0 je y 0 f γx + 5, gde P γ, fγ pripada i grafiu funcije f i grafiu tangente y 0 f γx + 5, pa sledi da je fγ f γγ + 5 γ + 5γ + γ γ + 8γ γ + 5 γ 5 γ + 9γ 5 0 γ 5 γ, pa su jednačine traženih tangenti y 0 f γx + 5 za γ { 5, } tj y 4x + 5 i y 5 4 x + 5 Svai zadata vredi masimum bodova KATEDRA ZA MATEMATIKU

3 Univerzitet u Novom Sadu, Faultet Tehničih Naua, 0070 ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Saobraćaj, Gra devinarstvo, Geodezija i geomatia Data je funcija fx x+7 x 7 4 a Odrediti domen i ispitati zna funcije fx b Izračunati lim x fx Rešiti nejednačinu x x +x+ < Rešiti jednačinu 4 Rešiti jednačinu log 5 x + log5 0+x sin x+cos xsinx+cosx log x 5 5 Dat je jednaorai trapez ABCD od oga su dužine osnovica AB0 i CD, a dužine raova BC AD5 Produžeci raova se seu u tači E Koji procenat površine trougla ABE pretstavlja površina trapeza ABCD? Površina prave pravilne četvorostrane piramide iznosi 40, a visina bočne strane je Izračunati zapreminu upe opisane oo piramide 7 Tače A,, i C,4,0 su dva temena trougla ABC, a C,, je sredina stranice AB a Odrediti oordinate temena B i veličinu ugla od temena A b Izračunati površinu trougla ABC 8 Data je funcija fx x x a U razvoju binoma ojim je definisana funcija fx, izračunati član oji sadrži x b Izračunati f 9 Zbir svih članova aritmetiče progresije je 05, a zbir prvog i poslednjeg člana je 90 Ao je olični trećeg i prvog člana jedna 9, izračunati sedmi član 0 Izračunati i +i 0+ i +5i

4 Univerzitet u Novom Sadu, Faultet Tehničih Naua, 0070 ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Saobraćaj, Gra devinarstvo, Geodezija i geomatia Data je funcija fx x+7 x 7 4 a Odrediti domen i ispitati zna funcije fx b Izračunati lim x fx a Zbog oblasti definisanosti orene funcije, potrebno je i dovoljno da x+7 0 x 7 0 x 7 x 7 x 7 Dale, domen funcije je D f [7, Dalje je fx x+7 x 7 4>0 x+7> x 7+ 4 x+7>x 7+8 x 7+ 8>8 x 7 > x 7 >x 7 8>x Dale, funcija je pozitivna na intervalu[7,8, a negativna na intervalu8, x 7 x+7 b lim fx lim x 7 x+7+ x x x+7+ x 7 4 lim x+7 x 7 x x+7+ x 7 4 x x Rešiti nejednačinu +x+ < lim x 4 x+7+ x 7 4 Nejednačina je definisana za x R jer je x + x+>0 Dale, x x x +x+ < x +x+ < 5 5 x x +x+ < 5x x +x+ < 5x x +x+ < 5x x +x+ + <0 x x+<0 x x+ x +x+ < 0 x < x<x x, ± 9 8 ± Dale, sup rešenja date nejednačine je R, Rešiti jednačinu log 5 x + log5 0+x log x 5 <x< S obzirom na domen logaritamse i orene funcije, ao i oblast definisanosti baze logaritamse funcije, za oblast definisanosti posmatrane jednačine dobijamo x 0 x >0 0+x>0 x>0 x x> x> 0 x>0 x x>, tj sup u ome se nalazi rešenje je D, log 5 x +log5 0+x log x 5 log 5 x + log 5 0+xlog 5 x log 5 x +log 5 0+xlog 5 x log 5 x +log 5 0+xlog 5 x log 5 x 0+xlog 5 x x 0+xx x ± +0 ± x x5, te je, zbog D,, jedino rešenje date jednačine x5 x + x 00

5 4 Rešiti jednačinu sin x+cos xsinx+cosx Koristeći identitete sin α+cos α i a + b a+b a ab+b dobijamo sin x+cos xsinx+cosx sinx+cosx sinxcosx sinx+cosx0 sinx+cosx sin x sinxcosx+cos x sinx+cosx sinx+cosx sinxcosx 0 sinx cosx sinxcosx0 x π 4 + π, Z sinx0 cosx0 x π 4 + π, Z xπ, Z x π + π, Z x π 4 + π, Z x π, Z 5 Dat je jednaorai trapez ABCD od oga su dužine osnovica AB0 i CD, a dužine raova BC AD 5 Produžeci raova se seu u tači E Koji procenat površine trougla ABE pretstavlja površina trapeza ABCD? Nea su S i T redom sredine stranica AB i CD E trapeza Kao je trapez jednaorai, sledi da su tače D E, T i S olinearne, i pri tome je ESA π C T Nea je Q podnožje normale na AB oja sadrži taču D Sledi da je DQT S A Q S B Iz QSDT CD sledi da je AQAS QS AB QS5 9 Primenom Pitagorine teoreme na trougao DQA dobijamo T SDQ AD AQ 5 9 Iz sličnosti DQA ESA sledi da je AQ AS DQ ES, odnosno 5 9 ES ES0 Koristeći formule za površine jednaoraog trougla i jednaoraog trapeza dobijamo P ABCD T S AB+CD 0+ 5, P ABE ABES5000, te je P ABCD 00 84% Dale, površina trapeza ABCD pretstavlja 84% površine trougla ABE P ABE Površina prave pravilne četvorostrane piramide iznosi 40, a visina bočne strane je Izračunati zapreminu upe opisane oo piramide Nea je ABCD vadrat u osnovi piramide, i nea je T vrh piramide i opisane upe Nea je H visina piramide i opisane upe, h visina bočne strane piramide, i nea je Q sredina npr duži BC Na osnovu date površine P p piramide dobijamo P p 40a + 4h a a + a a + a 400 a, ± +0 ±4 a { 0,4}, odnosno a 4 negativno rešenje odbacujemo D a a S C A Q a a B Iz pravouglog trougla T SQ sledi H T Q SQ h a 5 Poluprečni osnove opisane upe je polovina dijagonale vadrata oji je u osnovi piramide, dale r a, te za zapreminu upe dobijamo V r πh 8π5 8 5 π H T h

6 7 Tače A,, i C,4,0 su dva temena trougla ABC, a C,, je sredina stranice AB a Odrediti oordinate temena B i veličinu ugla od temena A b Izračunati površinu trougla ABC Nea je α ugao od temena A a AB AC OB OB OA OC OA OC OA,,,, 4,,,,,0,, odnosno dobili smo B, 0, Dalje je AB OB OA,0,,, 0,,4, AC OC OA,4,0,, 5,, Kao je AB AC0,,45,, , i pri tome je AB 0 i AC 0, iz 0 AB AC AB AC cosα sledi da je cosα0, odnosno α π b Kao je ABC pravougli trougao sa pravim uglom od temena A, i pri tome je AB , AC , sledi da je P ABC AB AC Data je funcija fx x x a U razvoju binoma ojim je definisana funcija fx, izračunati član oji sadrži x b Izračunati f a Koristeći binomni obrazac dobijamo fx x x x x x x pri čemu je x x x Dale, radi se o članu razvoja 5 b f x x x, x 9 x Zbir svih članova aritmetiče progresije je 05, a zbir prvog i poslednjeg člana je 90 Ao je olični trećeg i prvog člana jedna 9, izračunati sedmi član Dale, treba da izračunamo sedmi član aritmetiče progresije a,a,,a n, gde je n broj njenih članova, a je prvi član, i d je razlia članova niza Dato je da je 05a + a ++a n n a + a n na + a n 070, 90a + a n, 9 a a 9 a +d a Iz prve dve jednačine sledi n90070, odnosno n, a zatim iz i [] 90a + a n a + a +n d 90a + d, [] 9a a + d 8a d 0 d 4a, Uvrštavanjam[] u [] dobijamo 90a + 88a pa je a i d 4a 4 Tao za sedmi član niza dobijamo a 7 a + d 5

7 0 Izračunati i +i 0+ i +5i Kao je i +i i +i i i i i+i 9 i 7i 0 i i i+i i i +i i, sledi i +i 0+ i +5i 7i i +5i 4i Vrednosti omplesnog orena 4i izračunavamo u obliu 4ix+yi, gde je x,y R Kvadriranjem izraza 4ix+yi dobijamo 4ix y + xyi x y xy 4 y x xy x y y y x y y 4 4y x y t t 40 t y x y t, ± 9+ ±5 t y x y y 4 x y y y y x y x Dale, 4i{ i, +i}

8 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA, NOVI SAD STRUKA: MAŠINSTVO DATUM: 0070 ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ M A T E M A T I K E boda a Izračunati boda b Uprostiti izraz x x + x x 4x 4 bodova U vadratnoj jednačini : 7 + log x x, x R \ {, 0,, } x4 x + m x + m + 0 odrediti realan parametar m tao da jedan njen oren bude dva puta veći od drugog, a zatim izračunati te orene bodova Rešiti jednačinu 4 bodova Rešiti nejednačinu 5 bodova Rešiti jednačinu x x 0 log x < log 9 x + cos x + cos x 0 5 bodova U razvoju binoma x + x 4, x > 0 izračunati član oji ne sadrži x 7 boda a Nea su M i N redom sredine stranica BC i CD paralelograma ABCD Izraziti vetor MN pomoću vetora AB a i BC b boda b Za A, 0, i B0,, odrediti sredinu duži AB i intenzitet vetora AB TRAJANJE ISPITA: 80 minuta Katedra za matematiu

9 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA, NOVI SAD, STRUKA: MAŠINSTVO REŠENJA ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT IZ M A T E M A T I K E a Izračunati A : log 005 A : log log log log 4 b Uprostiti izraz B x x +x x x 4x 4 x x, x R \ {, 0,, } 4 B xx 4+4x+x x x 4x x+ x x xx 4+x x 4x x+ x x x xx x x x x 4 U vadratnoj jednačini x + m x + m + 0 odrediti realan parametar m tao da jedan njen oren bude dva puta veći od drugog, a zatim izračunati te orene Nea su x i x rešenja date jednačine Na osnovu Vijetovih pravila je x + x + m, x x m +, a iz uslova zadata je x x Tao dobijamo sistem jednačina x + x + m x + m x x x x m + x m + x +m x x x x ` +m m + iz og sledi + 8m + 8m 9m + 8, tj dobijamo jednačinu m 8m + 0 čije je rešenje m 4 Za m 4 rešenja polazne jednačine su x i x Rešiti jednačinu x x 0 x x 0 x x 0 Uvodjenjem smene x t dobija se vadratna jednačina t t 0 t t 0 čija su rešenja t i t Vraćanjem smene, za t dobija se x, pa je x, a rešenje t odbacujemo jer je x > 0 za svai realan broj x Dale, jedino rešenje jednačine je x 4 Rešiti nejednačinu log x < log 9 x + Data logaritamsa nejednačina je definisana za x > 0 i x + > 0, tj x 0, log x < log 9 x + log x < log x + log x < log x + x < x + Kao x 0, to dalje imamo da je x < x +, tao da dobijamo vadratnu nejednačinu x x < 0 čije je rešenje x, Iz uslova x 0, i x, sledi da je x 0, 5 Rešiti jednačinu cos x + cos x 0 cos x+cos x 0 cos x+cos x sin x 0 cos x +cos x 0 4 cos x cos x 4 cos x ± x ± π + π, Z i x ± π + π, Z Sup rešenja jednačine je { π + π Z} { π + π Z} U razvoju binoma x + x 4, x > 0 izračunati član oji ne sadrži x 4 4 x Razvoj datog binoma je x x +4, odnosno 7+4 0, a odatle dobijamo da je Traženi član binoma je x x 4 Za član oji ne sadrži x mora da važi a Nea su M i N redom sredine stranica BC i CD paralelograma ABCD Izraziti vetor MN pomoću vetora AB a i BC b MN MC + CN BC + CD b a b Za A, 0, i B0,, odrediti sredinu duži AB i intenzitet vetora AB Sredina duži AB je S +0, 0, +, tj S,, Kao je AB OB OA 0,,, 0,,, 0 to je intenzitet vetora AB, AB + + 0

10 Faultet tehničhih naua, Novi Sad Grafičo inženjerstvo i dizajn Inženjerstvo zaštite životne sredine REŠENJA ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE a boda Izračunati: + : 5 5 b boda Odrediti uslove pod ojima je sledeći izraz definisan, a zatim ga uprostiti: a + b ab a ab b + b a ab a boda + : b boda Dati izraz je definisan za ab 0 i a b, odnosno a 0 i b 0 i a b a + b ab a ab b + b a ab a + b ab a ba b + b aa b a + b a b a + b aba b a a b + b a b a + b aba b abb a aba b 48 4 bodova Rešiti nejednačinu: x 4 x x 5 0 bodova Data nejednačina je definisana za x R\{, 5} x 4 x x + x x 0 5 x x 5 0

11 Na osnovu čega dobijamo da je bodova Rešiti jednačinu:,,,, 5 5, + x x x x 4 x x bodova Data jednačina je definisana za svao x R x 4 x x 0 x [, [, 5 5 log 9 x log x + log 9 x log x + log 9 x + 7 log 4 + log x + log 9 x + 7 log 4 x + 9 x x + 9 x 4 x + 0 Posle smene x t pri čemu je t > 0, dobijamo vadratnu jednačinu t 4 t + 0 sa rešenjima t, t Iz x sledi da je x 0, odnosno x, a iz x sledi da je x, odnosno x Dale, sup rešenja date jednačine je R {, } 4 bodova Rešiti jednačinu: bodova cos x sin x cos x sin x sin x sin x sin x + sin x 0 sin x + sin x 0 sin x 0 + sin x 0 Iz sin x 0 sledi da je x π, Z, do jednačina sin x nema rešenja Dale, sup rešenja date jednačine je R {π Z} 5 bodova U razvoju binoma izračunati član oji ne sadrži x: 0 x + 4 x bodova 0 0 x + 4 x x + x x 0 x x x x x Iz uslova da član ne sadrži x dobijamo , odale sledi da je traženi član