ΘΕΜΑ 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ)

Transcript

1 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) α) Για την εξίσωση 6x 3x 1 0 ισχύει α = 3, β = -6, γ = 1 β) Η εξίσωση 3 0 δέχεται σαν λύση τον αριθμό. x 3x 3 ιι) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις και να γράψετε τις προτάσεις ολόκληρες γ) Η εξίσωση 0, 0 δεν έχει πραγματική ρίζα όταν Δ 0 δ) Η εξίσωση 0, 0 όταν Δ > 0 έχει πραγματικές λύσεις Β. Να γράψετε τους συντελεστές α =, β =., γ =.. σε όσες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι της μορφής ή μπορούν να μετατραπούν στη μορφή 0, 0. ) 3 0, ) 5 0, ) 6 0, v) 5 6 Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) α) Δυο τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες μια προς μια και ένα ζευγάρι γωνιών ίσα, είναι πάντα ίσα. β) Δυο ίσα τρίγωνα είναι πάντα όμοια γ) Δυο όμοια τρίγωνα είναι πάντα ίσα δ) Δυο ισόπλευρα τρίγωνα είναι πάντα όμοια Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις και να γράψετε τις προτάσεις ολόκληρες. α) Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι και.. προς την ΒΓ β) Για τις πλευρές α, β, γ οποιουδήποτε τριγώνου ισχύει.. και. και γ) Δυο τρίγωνα όμοια έχουν.. και.. δ) Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν ένα ζευγάρι οξειών γωνιών ίσο και Γ Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία στη ΣΤΗΛΗ 1 με τα ίσα τους στη ΣΤΗΛΗ. Να δικαιολογήσετε κάθε αντιστοίχιση που κάνετε. ΣΤΗΛΗ 1 ΣΤΗΛΗ 1 1 Α Β Γ 3 3 Δ 1 Ε 11 Ζ 1 Η. χ 1 1 Θ 1 Κ κανένα από τα παραπάνω

2 Στο διπλανό σχήμα ισχύουν τα εξής: Δ μέσο της ΑΒ, ΔΕ // ΒΓ, ΑΘ // ΕΗ // ΓΖ. Δίνονται επίσης τα μήκη ΑΔ = 5 cm, ΑΒ = 10 cm, ΑΕ = 4 cm και ΔΕ = 3 cm. i) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια ii) ΝΑ υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ = χ και ΘΗ = χ iii) Να υπολογίσετε το ευθύγραμμο τμήμα ΗΖ Α) Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης 0, 0 τότε να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α) το σωστό συμπέρασμα της στήλης (Β) ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. Δ > 0 1. Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση α. β. Δ = 0. Η εξίσωση έχει δυο άνισες λύσεις β. γ. Δ 0 3. Η εξίσωση έχει μια διπλή λύση γ. δ. Δ < 0 4. Η εξίσωση δεν έχει λύση δ. Β) Να χαρακτηρίσετε σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1. Η εξίσωση. Αν η εξίσωση μετατραπεί στη γενική μορφή Σ Λ δευτεροβάθμιας εξίσωσης, τότε α = β = γ 3. Αν μια εξίσωση ου βαθμού έχει διακρίνουσα Δ = 81, μπορεί να έχει Σ Λ λύσεις τους αριθμούς 9 και Η διακρίνουσα της εξίσωσης , είναι ίση με 5 Σ Λ 3 5 είναι ου βαθμού Σ Λ Γ) Να δικαιολογήσετε όσες από τις ερωτήσεις του Β) ερωτήματος έχετε χαρακτηρίσει σαν λάθος Α) Να χαρακτηρίσετε σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1. Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. Σ Λ. Δύο ισοσκελή τρίγωνα με μια γωνία 50 0 είναι πάντα όμοια μεταξύ τους. Σ Λ 3. Δυο τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες μια προς μια και μια γωνία Σ Λ του ενός είναι ίση με μια γωνία του άλλου τριγώνου, είναι πάντα ίσα. 4. Δυο ίσα τρίγωνα είναι πάντα όμοια. Σ Λ 5. Δυο όμοια τρίγωνα με λόγο ομοιότητας λ = 1, είναι πάντα ίσα. Σ Λ 6. Δυο ορθογώνια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες, έχουν ίσες τις διαμέσους που αντιστοιχούν προς τις υποτείνουσες. Σ Λ Β) Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα 3, 5, 6 του Α) ερωτήματος

3 Α) Να συμπληρωθούν τα κενά 3 ) ) Β) Να αναπτυχθούν οι ταυτότητες ) ) 3... ) ) 3... Δ Ν Κ Β όμοια. Γ) Να υπολογίσετε το ΚΝ όταν ΑΜ = 10 cm. Α Μ Γ Λ Ε Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ προς το μέρος του Β και προς το μέρος του Γ κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ προς το μέρος των Β και Γ αντίστοιχα και παίρνουμε τμήμα. Α) Να αποδειχτεί ότι τα τρίγωνα ΚΔΒ και ΛΕΓ είναι ίσα Β) Φέρνουμε τα ύψη ΑΜ και ΚΝ των τριγώνων ΑΒΓ και ΚΒΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΝΒ και ΑΜΒ είναι Α) Να λυθεί το σύστημα Β) Δίνεται η παράσταση , όπου α, β η λύση του συστήματος της προηγούμενης ερώτησης. Ι) Να βρεθούν οι τιμές του χ για τις οποίες δεν ορίζεται η παράσταση Α. ΙΙ) Να απλοποιηθεί η παράσταση Α. ι) Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α + β ). ( α - β ) = α - β ιι) Να παραγοντοποιήσετε τη παράσταση 36. α - 5 ιιι)να συμπληρωθεί η ταυτότητα: ( ) = 9χ Αν α είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης χ - 7χ - 8 = 0 και β είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης 4χ - 16= 0 να λυθεί το σύστημα

4 Στο διπλανό σχήμα ισχύει ι) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ είναι όμοια και να γραφτούν οι λόγοι των αντιστοίχων πλευρών τους. ιι) Αν το μήκος του ΑΔ είναι όσο η διακρίνουσα της εξίσωσης χ - 6χ + 4 = 0. Το μήκος του ΔΕ είναι ίσο με τη μεγαλύτερη από τις τιμές για τις οποίες δεν ορίζεται η 3 5 κλασματική παράσταση και το μήκος 3 4 του ΒΓ είναι όσο και ο συντελεστής του μονώνυμου που θα προκύψει από την αναγωγή των ομοίων όρων της παράστασης 6χ ψ - 5χ ψ + 8χ ψ να βρεθούν τα μήκη των πλευρών ΑΔ, ΒΓ, ΔΕ, ΑΓ. Έστω Α = χ 3-4χ και Β= χ - χ ι) Να γίνουν γινόμενα τα Α και Β. ιι) Να απλοποιήσετε το κλάσμα ιιι) Να δείξετε ότι η παράσταση Κ = Γ-χ + 00 είναι ανεξάρτητη του χ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ σε κάθε ένα από τα διπλανά σχήματα είναι ίσα. Να γράψετε για κάθε περίπτωση το κριτήριο ισότητας τριγώνων που εφαρμόζεται. ( Οι πλευρές με το ίδια σύμβολο στα σχήματα είναι μεταξύ τους ίσες. ) Δίνονται οι ευθείες ψ = kx + λ και ψ = αχ + β. ( Τα κ και λ είναι οι τιμές από τη λύση του συστήματος στο ερώτημα 1. και τα α και β οι τιμές από το ερώτημα.) 1. Να λυθεί το σύστημα 8 6. Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ του διπλανού σχήματος είναι όμοια. Να υπολογίσετε τα α και β. Δίνονται οι παραστάσεις Α=(χ-3)(χ+3) και Β = 3χ(χ+) (χ 3). 1. Να γίνουν όλες οι πράξεις, οι ταυτότητες και οι αναγωγές ομοίων όρων στις παραστάσεις Α και Β.. Να λύσετε την εξίσωση Β Α 4χ = 0 αφού αντικαταστήσετε τα Α και Β με τα αποτελέσματα που βρήκατε στο ερώτημα 1.

5 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ=ΑΓ) και Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. 1. Να αποδείξετε ότι τα τέσσερα τρίγωνα ( ΑΚΛ, ΒΚΜ, ΓΛΜ, ΚΛΜ ) που δημιουργούνται είναι ίσα μεταξύ τους.. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΚΛ είναι όμοια και να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας. α) Να αποδειχθεί η ταυτότητα:(α + β) = α + αβ + β β) Να συμπληρώσετε τα κενά: (α β) =.. (α+β)(α-β)=.. (α+β) 3 = (α-β) 3 = γ) Βρείτε τα αναπτύγματα: (α+5) =.. (α-3) =.. (α+4)(α-4)= (5α+1)(5α-1)=. δ) Να απλοποιήσετε τις εκφράσεις: α αβ β α αβ α αβ β ( α β),. α) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε ότι: ημ ω+συν ω=1 β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ( ω)=...ημ( ω)= συν(90 0 -ω)=. συν( B ω)=.. γ) Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών: ημ00 0, συν300 0, εφ50 0, συν100 0 ω (Δικαιολόγηση). O M(χ,ψ) A ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε το σύστημα: x + 4y = 1 x 4y = 8 β) Να λύσετε το σύστημα: 3x + 4y = 7 x + 5y = 0 γ) Ποιος από τους τέσσερις αριθμούς που βρήκατε σαν λύσεις των δύο παραπάνω συστημάτων ισούται με το συνημίτονο μιας γωνίας ω (συνω), αν γνωρίζετε ότι 90 0 <ω< δ) Να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας ω του προηγουμένου ερωτήματος (ημω).. α) Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: i) x 4 ii) x 6x 9 iii) x 5x 6 iv) 3x 6x β) Να λύσετε την εξίσωση 3x 6x x 5x 6 γ) Γράψτε τους περιορισμούς για τις λύσεις της εξίσωσης : 6x 0 x 4 δ) Να λύσετε την εξίσωση : 6x 0 x 4

6 3. α) Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΟΓ είναι ορθογώνια με γωνία ΑΟΒ=γωνία ΔΟΓ=90 0 και ΑΒ // ΔΓ. Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΔΟΓ είναι όμοια. β) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών ΟΒ και ΟΔ, αν ΑΒ=10cm, ΟΑ=6cm, ΟΓ=1cm. γ) Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας ΔΓ του ΔΟΓ τριγώνου. δ) Αν Κ είναι το μέσον του ευθ. τμήματος ΔΓ, να βρείτε το μήκος του ευθ. τμήματος ΟΚ. Β Ο Δ Α Κ Γ