Επανάληψη Συναρτήσεις Όριο Συνέχεια

Transcript

1 Επανάληψη Συναρτήσεις Όριο Συνέχεια 1) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln (1 lnx) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία γ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη f 1 δ) Να βρείτε, εαν υπάρχει, το όριο lim x + ( x x x 2 ημf 1 (x)) Α=(0,e), γν. Φθίνουσα, f 1 (x) = e 1 ex με D f 1 = R, 0] 2) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 + 1, x 0 και g(x) = x 2. Να βρείτε α) Τις συναρτήσεις f g και g f β) Τις συναρτήσεις f 1, g 1 και f 1 g 1 γ) Τα όρια lim (x (g f)(x)) και lim (x + ( x + x + f 1 g 1 )(x)) (f g)(x) = x 1, x [2, + ), (g f)(x) = x 2 1 με x [1, + ), f 1 (x) = x 1 με x 1, g 1 (x) = x 2 + 2, x 0, (f 1 g 1 )(x) = x 2 + 1, x 0, 0, + ] 3) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = ln2 x lnx α) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες. Στην περίπτωση που δεν είναι, να βρείτε, εαν υπάρχει το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο να είναι ίσες β) Να βρείτε το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης f γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g δ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων (ή με άλλο τρόπο), να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων f(x) = α και g(x) = α για τις διάφορες τιμές του α R

2 4) Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με f(x) = 2x + 4 και g(x) = αx + β με α, β R για τις οποίες ισχύει f g = g f α) Να αποδείξετε ότι 4α + 3β = 4 β) Αν επιπλέον, γνωρίζω ότι ισχύει lim τότε: i) Να αποδείξετε ότι α = 1 και β = 0 ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h, με 2ax3 +βx2 x 1 x 1 x 2 1 = c, με c R, h(x) = ln f(x) 1 ln (g(x) + 1), x ( 1,2) είναι αντιστρέψιμη 2 iii) Να ορίσετε την h 1 5) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x+1 και (f g)(x) = lnx, 0 < x e, όπου g: A g R α) Να βρείτε μία συνάρτηση g. Εαν g(x) = 1+lnx 1+lnx, 0 < x e, τότε: x 1 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h, με h(x) = g(x) γ) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι αντιστρέψιμες και να ορίσετε την αντίστροφή τους δ) Να αποδείξετε ότι i) f 1 (x) = f(x) για κάθε x 1 ii) g(e f 1 (x) ) = x για κάθε x R {1} 6) Έστω οι συναρτήσεις f: (0,1) R και g: (0, + ) R για τις οποίες ισχύει: (g f)(x) = ln 1 x, x (0,1) x+1 α) Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση της g f β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1 1 γ) Αν g(x) = lnx, x > 0, τότε να αποδείξετε ότι f(x) = 1 x, x (0,1) x+1

3 δ) Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f f και h είναι ίσες, όπου h(x) = x. Αν f f h, τότε να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο να είναι ίσες ε) Να υπολογίσετε το όριο lim x [1 x (g f) 1 (x + e x )] 7) Έστω οι συναρτήσεις f, g: R R, με την ιδιότητα f 2 (x) + g 2 (x) + x 4 + e 2x = 2e x [x 2 f(x)e x + g(x)] για κάθε x R α) Να αποδείξετε ότι f(x) = x 2, x R και g(x) = e x, x R β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη, ενώ η συνάρτηση g έχει αντίστροφη συνάρτηση, την οποία και να προσδιορίσετε γ) Να αποδείξετε ότι: i) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δεν τέμνονται πάνω στον άξονα των τεταγμένων ii) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων C f και C g, αν υπάρχουν, είναι λύσεις της εξίσωσης x = 2 ln x, x 0 iii) Να λύσετε την εξίσωση (f g)(x) = (g f)(x), x R 8) Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f

4 α) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της και να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. β) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων γ) Να εξετάσετε αν η πρόταση «η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της» είναι Σωστή ή Λάθος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) lim f(x) x ii) lim f(x) x 2 1 iii) lim x 0 f(x) iv) lim x 2 v) lim e x x 0 f(x) (x 2)f(x) 9) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύουν: Η f είναι γνησίως μονοτονη

5 f(x) 2 lim x 1 x 1 = 1 και lim f(x) 3 = 2 x 2 x 2 f(r) = (1, + ) α) Να υπολογίσετε τις τιμές f(1), f(2) και να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται καθώς και ότι η αντίστροφή της είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της γ) Να λύσετε την εξίσωση f (ln ( 1 f(e x3 +x δ) Να λύσετε την ανίσωση f 1 (lnx 1) < 1 )) = f (ln ( 1 f(e 2)) 10) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x +1, x R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να υπολογίσετε τα όρια lim x 1 + f 1 (x), lim x 2 f 1 (x) ε) Να ορίσετε τη συνάρτηση g=f f 1. Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και f 1 τέμνονται σε μοναδικό σημείο με τετμημένη x 0 (1,2) 11) Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln (xlnx) και g(x) = e x α) Να βρείτε τη συνάρτηση h(x) = (f g)(x) β) Να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της h με την αντίστροφή της γ) Να βρείτε συνάρτηση φ, με πεδίο ορισμού το (0, + ), για την οποία ισχύει: φ(h 1 e (x)) = x, x > 0 e x +e h 1 (x) όπου h 1 η αντίστροφη συνάρτηση της h του ερωτήματος β

6 δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης φ του ερωτήματος γ). Στη συνέχεια, να βρείτε για ποιες τιμές του α R για τον οποίο ισχύει α 1 2 < 1 2 υπάρχει μοναδικό x 0 R τέτοιο ώστε α + αe 1 x 0 1 = 0 12) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(2,4) και ικανοποιεί της σχέση f(f(x)) = αx + β 1 (1) για κάθε x R, με α R και β = α) Να αποδείξετε ότι β=1 β) Να αποδείξετε ότι α>0 γ) Αν η f είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού τότε: i) Να αποδείξετε ότι f(x) = 2x, x R ii) Να υπολογίσετε το όριο lim x 0 (f(x) συν 1 x ) lim 4 x +2 x x + 4 x +e x 13) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x x 3, x 0 α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία στα διαστήματα (, 0), (0, + ) β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να ορίσετε την f 1 δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της f 1 ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή στ) Να λύσετε την εξίσωση: f((2x 1) f((1 2x) 2015 ) + f((2x 1) f((1 2x) 2017 ) = 0 για x ± 1 2

7 14) Δίνεται η "1 1" συνάρτηση f: R R με f(x) = (βx 3 + x 2 + αx + 1)( x 2 + 2x x), 1 < a 2 και β R. Αν ισχύει lim f(x) = και lim f(x) = +, τότε: x x + α) Να αποδείξετε ότι β=0 β) Να αποδείξετε ότι 1<α<2 γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 δ) Να αποδείξετε ότι g(x) = x 5 + x 3 + x είναι γνησίως αύξουσα στο R. Στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση (α 1) 5f(x) + (α 1) 3f(x) + (a 1) f(x) < 3, αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R 15) Θεωρούμε τη συνάρτηση f: (0,1) (0, + ) η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f(x) + lnf(x) = e x 1 + ln (e x 1) για κάθε x (0,1) α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = x + lnx είναι 1 1 β) Να αποδείξετε ότι f(x) = e x 1 για κάθε x (0,1) γ) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f δ) Να υπολογίσετε το όριο lim [ 1 f ( 1,1 ημx )] x + x 2 e 1 x 2 16) Έστω η συνάρτηση f: R R, με σύνολο τιμών f(r) = R και με την ιδιότητα f 3 (x) f(x) = x 3, για κάθε x R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να ορίσετε τη συνάρτηση f 1 και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι f(4) = 0 και f(2021) = 1 γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f( x) f(2x ), x R είναι γνησίως φθίνουσα στο R δ) Να λύσετε την ανίσωση f(g(x 2 5x) + 5) < 0

8 17) Δίνεται η συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε x 3 = f 3 (x) + 2f(x) (1), για κάθε x R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και αν βρείτε το τύπο της f 1 3 γ) Αν f 1 (x) = { x3 + 2x, x 0 f 3, τότε να βρείτε το lim 1 (x) x 3 2x, x < 0 x + x δ) Να αποδείξετε ότι η f 1 είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). Στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση f 1 (x 3 + 2x) f 1 (x) > 0, για τα x που ικανοποιούν τη σχέση (1) 18) Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι η παρακάτω, τότε με βάση το σχήμα

9 α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f β) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και αν βρείτε τα σημεία τομής των C f και C f 1 γ) Να βρείτε τα όρια: i) lim x xf 1 (x)+1 f 1 (x) 1 ii) lim x ( (f 1 (x)) f 1 (x)) 19) Έστω οι συναρτήσεις f: R (0, + ), g: R R για τις οποίες ισχύουν: (f(0) f(1))x lim 5 +x 3 +1 = x f 2 (1)x 2 +x+1 (g g)(x) = f(0)g 3 (x) + f(1)f(x 3 + e x ) για κάθε x R Η f είναι γνησίως μονότονη α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = x 3 + e x είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνυσα στο R γ) Να δείξετε ότι η g είναι ) Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει f(x) + e f(x) = x 1 για κάθε x R, τότε: α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 f(2015)x γ) Να υπολογιστεί lim 3 +f(2)x+f(3) x f(2016)x 2 +f(5)x+6 δ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το R, να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι f 1 (x) = x + e x, x R

10 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Μαθηματικά Γ' Γενικού Λυκείου -Θετικών Σπουδών, Λύσεις Ασκήσεων Συγγραφέας: Συλλογικό έργο Εκδότης: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων Διόφαντος ISBN: Ολοκληρώματα: Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Λουκόπουλος Γεώργιος, Λουκόπουλος Παναγιώτης Εκδότης: Εν Δυνάμει ISBN: Μιγαδικοί, όρια, συνέχεια: Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Λουκόπουλος Γεώργιος, Λουκόπουλος Παναγιώτης Εκδότης: Εν Δυνάμει ISBN: Παράγωγοι: Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Λουκόπουλος Γεώργιος, Λουκόπουλος Παναγιώτης, Λουκόπουλος Σπύρος, Συλλογικό έργο Εκδότης: Εν Δυνάμει ISBN: Μαθηματικά Γ' Λυκείου Β τόμος Ομάδα προσανατολισμού: Θετικών σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής

11 Συγγραφέας: Μπάρλας Αναστάσιος Χ. Εκδότης: Ελληνοεκδοτική ISBN: Μαθηματικά Γ' Λυκείου Α' τεύχος Ομάδα προσανατολισμού θετικών σπουδών, οικονομίας και πληροφορικής Συγγραφέας: Μπάρλας Αναστάσιος Χ. Εκδότης: Εκδόσεις Μπάρλας ISBN: Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Μιχαήλογλου Στέλιος, Τόλης Ευάγγελος Εκδότης: Εκδοτικός Οίκος Α. Α. Λιβάνη ISBN: Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Μιχαήλογλου Στέλιος, Τόλης Ευάγγελος Εκδότης: Εκδοτικός Οίκος Α. Α. Λιβάνη ISBN: Αριθμός Σελίδων: 589 Εξώφυλλο: Μαλακό εξώφυλλο Γλώσσα Γραφής: ελληνικά Έτος Έκδοσης: 2013 Μαθηματικά Γ Λυκείου Γ1 Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Συγγραφέας: Νάκης Χρήστος, Στεργίου Χαράλαμπος

12 Εκδότης: Σαββάλας ISBN: Μαθηματικά Γ Λυκείου Γ2 Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Συγγραφέας: Συλλογικό έργο Εκδότης: Σαββάλας ISBN: Επαναληπτικά θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών / Οικονομίας & Πληροφορικής Συγγραφέας: Ρεκούμης Κωνσταντίνος, Λαγός Κωνσταντίνος Εκδότης: Μεταίχμιο ISBN: Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Διαφορικός λογισμός, ολοκληρωτικός λογισμός, οδηγός επανάληψης για τις εξετάσεις Προσανατολισμός θετικών σπουδών και σπουδών οικονομίας και πληροφορικής Συγγραφέας: Μιχαηλίδης Γιώργος Μ. Εκδότης: Ελληνοεκδοτική ISBN: Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου Συγγραφέας: Συλλογικό έργο Εκδότης: Έναστρον ISBN: Μαθηματικά Γ1 Λυκείου Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής

13 Συγγραφέας: Παπαδάκης Βασίλης Εκδότης: Σαββάλας ISBN: Μαθηματικά Γ Λυκείου Γ2 Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής Συγγραφέας: Παπαδάκης, Βασίλης Γ. Εκδότης: Σαββάλας ISBN: Μαθηματικά Γ λυκείου 200 προτεινόμενα Β και Γ θέματα εξετάσεων Συγγραφέας: Συλλογικό έργο Εκδότης: Ελληνοεκδοτική ISBN: : Επιλογή 3ο Θέμα Μαθηματικά Επιλογής Συγγραφέας: Γατσινάρης Βασίλης Εκδότης: Υπέρ ISBN: Προβλήματα μαθηματικών Γ λυκείου Μαθηματικά γενικής παιδείας: Μαθηματικά θετικής, τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Ξένος Θανάσης Π. Εκδότης: Ζήτη ISBN:

14 Θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης Γ λυκείου Τα θέματα των μαθηματικών στις πανελλήνιες εξετάσεις από το 1983 Συγγραφέας: Μιχαήλογλου Στέλιος, Τόλης Ευάγγελος Εκδότης: Εκδοτικός Οίκος Α. Α. Λιβάνη ISBN: Μαθηματικά Γ Γενικού Λυκείου - Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Προσανατολισμού Οικονομίας & Πληροφορικής Συγγραφέας: Ρουσάλης Ηλίας Εκδότης: Εκδόσεις Πατάκη ISBN: Μαθηματικά Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Τεχνικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Ζανταρίδης Νίκος, Μαυροφρύδης Βασίλης, Ραϊκόφτσαλης Θωμάς, Συλλογικό έργο Εκδότης: Ελληνοεκδοτική ISBN: Θετικής, τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Μπαϊλάκης Γιάννης Δ. Εκδότης: Εκδοτικός Οίκος Α. Α. Λιβάνη ISBN: Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης: Μιγαδικοί αριθμοί, συναρτήσεις, όρια συναρτήσεων, συνέχεια συναρτήσεων

15 Συγγραφέας: Γκατζούλης Κώστας Εκδότης: Γκατζούλης ISBN: Παράγωγοι: Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Γκατζούλης Κώστας Εκδότης: Σαββάλας ISBN: Γενικής παιδείας: Διαφορικός λογισμός, στατιστική, πιθανότητες, συνδυαστική, επαναληπτικά διαγωνίσματα Συγγραφέας: Τζιρώνης Κώστας, Τζουβάρας Θεόδωρος Εκδότης: Σαββάλας ISBN: Μαθηματικά Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Τεχνικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Συγγραφέας: Ζανταρίδης Νίκος, Μαυροφρύδης Βασίλης, Ραϊκόφτσαλης Θωμάς, Συλλογικό έργο Εκδότης: Ελληνοεκδοτική ISBN: