Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Transcript

1 ε ω μ ε τ ρ ι α - Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Μ α θ η μ α τ ι κ α υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 ε ω μ ε τ ρ ι α Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι ια τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014

3 ε ω μ ε τ ρ ι α 1. ε ω μ ε τ ρ ι α 1. 1 Ισοτητα Τριγωνων 1. Λογος Ευθυγραμμων Τμηματων 1. 3 Θεωρημα Θαλη 1. 4 Ομοιοθεσια 1. 5 Ομοιοτητα. Ομοια Πολυγωνα Β. Ομοια Τριγωνα 1. 6 Λογος Εμβαδων Ομοιων Σχηματων

4 4 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 1 Τ ρ ι γ ω ν ο Ειναι το κυρτο πολυγωνο που εχει τρεις γωνιες. Τ ρ ι γ ω ν ο Β : κ ο ρ υ φ ε ς : τα σημεια, Β,. π λ ε υ ρ ε ς : τα τμηματα Β, Β, η γ, α, β αντι- στοιχα. γ ω ν ι ε ς : τις, Β,. κ υ ρ ι α σ τ ο ι χ ε ι α : ειναι οι πλευρες και οι γωνιες του. π ε ρ ι μ ε τ ρ ο ς : ειναι το αθροισμα α + β + γ των πλευρων του. Συμβολιζεται τ και η ημιπεριμετρος του τ = (α + β + γ)/ Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς π λ ε υ ρ ε ς σ κ α λ η ν ο : αν εχει ολες τις πλευρες του ανισες (σχ. Β). ι σ ο σ κ ε λ ε ς : αν εχει δυο πλευρες του ισες. Το κοινο σημειο των ισων πλευρων λεγεται κ ο ρ υ φ η και η πλευρα απεναντι του βαση (σχ. ΔΕΖ). ι σ ο π λ ε υ ρ ο : αν εχει ολες τις πλευρες του ισες (σχ. ΗΘΙ). (Ειναι και ισοσκελες με τρεις βασεις). Ο ν ο μ α ω ς π ρ ο ς τ ι ς γ ω ν ι ε ς ο ξ υ γ ω ν ι ο : αν εχει ολες τις γωνιες του οξειες (σχ. Β). ο ρ θ ο γ ω ν ι ο : αν εχει μια γωνια ορθη. Η πλευρα απεναντι απο την ορ- θη λεγεται υποτεινουσα και οι αλλες καθετες (σχ. ΔΕΖ). α μ β λ υ γ ω ν ι ο : αν εχει μια γωνια αμβλεια (σχ. ΗΘΙ). Σε καθε τριγωνο οι δυο γωνιες του ειναι παντα οξειες και το ονομα του το παιρνει απ τη τριτη γωνια. γ β Β α Β Δ Η Ε Ζ Θ Ι Β Δ Η Ε Ζ Θ Ι

5 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν 5 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 1 Π α ρ α τ η ρ η σ η : Το σκαληνο τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο. Το ισοσκελες τριγωνο: μπορει να ειναι και οξυγωνιο η ορθογωνιο η αμβλυγωνιο. Το ισοπλευρο τριγωνο: ειναι παντα οξυγωνιο (ολες οι γωνιες του απο 60 ο ). Δ ι α μ ε σ ο ς Ειναι το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει μια κορυφη με το μεσο της απεναντι πλευρας. Οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις πλευρες α, β και γ συμβολιζονται με μ α, μ β και μ γ αντιστοιχα. Υπαρχουν τρεις διαμεσοι στο τριγωνο που τεμνονται στο ιδιο σημειο (βαρυκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο. Δ ι χ ο τ ο μ ο ς Ειναι το ευθυγραμμο τμημα της διχοτομου μιας γωνιας, με ακρα την κορυφη και το σημειο τομης της διχοτομου με την απεναντι πλευρα. Οι διχοτομοι των γωνιων, Β και του τριγωνου συμβολιζονται με δ α, δ β και δ γ αντιστοιχα. Υπαρχουν τρεις διχοτομοι στο τριγωνο που τεμνονται στο ι- διο σημειο (εγκεντρο), παντα μεσα στο τριγωνο. Υ ψ ο ς Ειναι η αποσταση μιας κορυφης απ την απεναντι πλευρα. Τα υψη απ τις κορυφες, Β και του τριγωνου συμβολιζονται με υ α, υ β και υ γ αντιστοιχα. Υπαρχουν τρια υψη στο τριγωνο που τεμνονται στο ιδιο σημειο (ορθοκεντρο) που βρισκεται: μεσα στο τριγωνο, αν αυτο ειναι οξυγωνιο. στη κορυφη της ορθης γωνιας, αν αυτο ειναι ορθογωνιο. εξω απ το τριγωνο, αν αυτο ειναι αμβλυγωνιο. Μ μβ μα μγ Β K 5,3 Μ δβ δα G Θ δγ Λ Λ Β K

6 6 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 1 Ι σ ο τ η τ α T ρ ι γ ω ν ω ν Δυο τριγωνα ειναι ισα αν μετα απο καταλληλη μετατοπιση ταυτιζονται. Δυο ισα τριγωνα εχουν τις πλευρες τους και τις γωνιες τους ισες μια προς μια. Σε δυο ισα τριγωνα απεναντι απο ισες πλευρες βρισκονται ισες γωνιες και αντιστροφα. Οι ισες πλευρες που βρισκονται απεναντι απο ισες γωνιες λεγονται α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ς η ο μ ο λ ο γ ε ς. Ι σ ο τ η τ α Σ κ α λ η ν ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν 1 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π Π ) ν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα. ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π ) ν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. 3 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π Π Π ) ν δυο τριγωνα εχουν τις πλευρες τους ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. l l V l Β l l V Β l

7 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν 7 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 1 Ι σ ο τ η τ α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ω ν T ρ ι γ ω ν ω ν ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν τις καθετες πλευρες τους ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα. Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγωνων α- φου περιεχομενη γωνια των καθετων ειναι ορθη (Π--Π). ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν μια καθετη πλευρα και τη προσκειμενη σ αυτην οξεια γωνια, ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα. Η περιπτωση αναγεται στην ισοτητα τυχαιων τριγωνων α- φου η δευτερη προσκειμενη της καθετης ειναι ορθη γωνια (-Π-). Θ ε ω ρ η μ α 1 ο ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν δυο αντιστοιχες πλευρες ισες μια προς μια, τοτε ειναι ισα. Σ αυτην τη περιπτωση, τα τριγωνα εχουν ισες και τις τριτες πλευρες τους, που προκυπτει απ το Πυθαγορειο θεωρημα. Δηλαδη (Π-Π-Π) Θ ε ω ρ η μ α ο ν δυο ορθογωνια τριγωνα εχουν μια πλευρα ιση και μια αντιστοιχη οξεια γωνια ιση, τοτε ειναι ισα. Σ αυτην τη περιπτωση, τα τριγωνα εχουν ισες και τις τριτες γωνιες τους, αφου αυτες ειναι συμπληρωματικες ισων γωνιων. Δηλαδη (-Π-) Β Β Β Β Β Β Β Β

8 8 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 1 Σ υ ν ε π ε ι ε ς Ι σ ο τ η τ α ς Ο ρ θ. T ρ ι γ ω ν ω ν Σε καθε ισοσκελες τριγωνο οι προσκειμενες στη βαση γωνιες ειναι ισες και η διχοτομος της γωνιας της κορυφης ειναι δια- μεσος και υψος. π ο δ ε ι ξ η Φερνω διχοτομο Δ. Τα τριγωνα ΒΔ και Δ ειναι ισα γιατι: 1. Δ ειναι κοινη ΒΔ = Δ Δ διαμεσος ˆ = ˆ (Δ διχοτομος) ˆΒ = ˆ Δ ˆ =Δ ˆ = Β = (Β ισοσκελες) οποτε Δ υψος Η διαμεσος ισοσκελους τριγωνου, που αντιστοιχει στη βαση του, ειναι διχοτομος και υψος. π ο δ ε ι ξ η Φερνω διαμεσο Δ. Τα τριγωνα ΒΔ και Δ ειναι ισα γιατι: 1. Δ ειναι κοινη ρα. ΒΔ=Δ (Δ διαμεσος) ˆ = ˆ οποτε Δ διχοτομος Β= (Β ισοσκελες) Δ ˆ =Δ ˆ = 90 0 οποτε Δ υψος. 1 Το υψος ισοσκελους τριγωνου που αντιστοιχει στη βαση ει- ναι διαμεσος και διχοτομος της γωνιας της κορυφης. π ο δ ε ι ξ η Φερνω το υψος Δ. Τα τριγωνα ΒΔ και Δ ειναι ισα γιατι: 1. Τρ.Β ειναι ορθογωνιο ρα. Δ ειναι κοινη ΒΔ = Δ οποτε Δ διαμεσος. 3. Β= (Β ισοσκελες) 1 =οποτε Δ διχοτομος. 1 1 Β Δ 1 1 Β Δ 1 Β Δ

9 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν 9 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 1 Καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος ευθυγραμμου τμηματος ισαπεχει απο τα ακρα του. π ο δ ε ι ξ η Φερνω μεσοκαθετη ΜΔ. Τα τριγωνα ΜΔ και ΜΔΒ ειναι ισα γιατι: 1. ΜΔ ειναι κοινη Δ ˆ =Δ ˆ = Δ=ΔΒ (ΜΔ μεσοκαθετη) ρα Μ = ΜΒ Καθε σημειο που ισαπεχει απο τα ακρα ενος ευθυγραμμου τμηματος ανηκει στη μεσοκαθετο του. π ο δ ε ι ξ η Εστω σημειο Μ με Μ = ΜΒ. Φερνω διαμεσο ΜΔ Το τριγωνο ΜΒ ειναι ισοσκελες (Μ = ΜΒ) και συμφωνα με προηγουμενο θεωρημα ΜΔ ειναι και υψος. ρα ΜΔ ειναι μεσοκαθετη και το Μ ανηκει σ αυτην. Kαθε σημειο της διχοτομου μιας γωνιας ισαπεχει απ τις πλευ - ρες της και αντιστροφα καθε εσωτερικο σημειο της γωνιας που ισαπεχει απο τις πλευρες ειναι σημειο της διχοτομου. π ο δ ε ι ξ η Τα τριγωνα ΟΜ και ΟΒΜ ειναι ισα γιατι: 1. Ορθογωνια. ΟΜ κοινη ρα Μ = ΜΒ 3. ˆ ˆ MOA=MOB (Οδ διχοτομος) ν τ ι σ τ ρ ο φ α Τα τριγωνα ΟΜ και ΟΜΒ ειναι ισα γιατι: 1. Ορθογωνια. ΟΜ κοινη ˆ ˆ MOA=MOB δηλαδη Οδ διχοτομος 3. Μ = ΜΒ (υποθεση). Μ 1 Δ Β Μ Δ Β Μ δ Ο Β

10 10 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 1 Μεθοδος : ποδειξη ισοτητας ευθυγραμμων τμηματων γωνιων. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι δυο ευθυγραμμα τμηματα (γωνιες) ειναι ισα : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα του προβληματος. Μαρκαρουμε με ιδια σημαδια τα ισα τμηματα και τις ισες γωνιες. Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι πλευρες τους η γωνιες της ζητουμενης ισοτητας ειναι γωνιες τους. Δειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα, συμφωνα με τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων. Συμβουλη : Συμφωνα με τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων απαιτουνται 3 ισοτητες (τμηματων - γωνιων). Ετσι ξεκινω απο αυτα που ειναι προφανη. Δηλαδη Τριγωνα ορθογωνια Κοινα τμηματα - γωνιες Δοσμενες ισοτητες (υποθεση) Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο Β και εστω Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε το ΒΜ ετσι ωστε ΜΖ = ΒΜ. Να δειξετε οτι Ζ = Β. Τα τριγωνα ΜΖ και ΜΒ ειναι ισα γιατι : 1. Μ = Μ (Μ μεσο ). ΒΜ = ΜΖ (υποθεση) (Π Π) 3. Μ 1 = Μ (κατακορυφη) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Ζ = Β. Τα τριγωνα ΟΒ και ΟΔ ειναι ισα γιατι: 1. Ο = ΟΒ = Ο = ΟΔ = ρ. Β = Δ (υποθεση) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και AOB=ΟΔ ˆ ˆ 1 Μ Aν οι χορδες δυο τοξων ενος κυκλου, μικροτερων του ημικυκλιου, ειναι ισες, τοτε και οι αντιστοιχες επικεντρες γωνιες (κορυφη το Ο) ειναι ισες. Β A Β Ο Ζ Δ

11 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν 11 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 1 Μεθοδος : ποδειξη ισοτητας ευθυγραμμων τμηματων γωνιων σε ισοσκελες τριγωνο. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι δυο ευθυγραμμα τμηματα (γωνιες) ειναι ισα : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα του προβληματος. Μαρκαρουμε με ιδια σημαδια τα ισα τμηματα και τις ισες γωνιες. Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι πλευρες τους η γωνιες της ζητουμενης ισοτητας ειναι γωνιες τους. Δειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα, συμφωνα με τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων. Δεν ξεχνουμε οτι στο ισοσκελες τριγωνο Β (Β βαση) ειναι : Β = Β = Το υψος απ τη κορυφη ειναι διχοτομος και διαμεσος. Τα τριγωνα ΒΕ και Δ ειναι ισα γιατι : 1. = κοινη. Β = (τριγωνο Β ισοσκελες) 3. Ε = Δ (αθροισματα ισων τμηματων) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Δ = ΒΕ. Μεθοδος : ποδειξη οτι τριγωνο ειναι ισοσκελες. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι ενα τριγωνο εναι ισοσκελες : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα του προβληματος. Μαρκαρουμε με ιδια σημαδια τα ισα τμηματα και τις ισες γωνιες. Θεωρουμε τα τριγωνα στα οποια τα τμηματα της ζητουμενης ισοτητας ειναι πλευρες τους η γωνιες της ζητουμενης ισοτητας ειναι γωνιες τους. Δειχνουμε οτι τα πιο πανω τριγωνα ειναι ισα, συμφωνα με τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων. Δεν ξεχνουμε οτι στο ισοσκελες τριγωνο Β (Β βαση) ειναι : Β = Β = Το υψος απ τη κορυφη ειναι διχοτομος και διαμεσος. Δ Β Ε

12 1 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 1 Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο Β και εστω Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε το ΒΜ ετσι ωστε ΜΖ = ΒΜ. Να δειξετε οτι Ζ = Β. Τα τριγωνα Ε και ΔΒ ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. Β = (τριγ. Β ισοσκελες) 3. = κοινη Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Ε = Δ που σημαινει οτι το τριγωνο ΕΔ ειναι ισοσκελες. Μεθοδος : ποδειξη ισοτητας τριγωνων με χρηση βοηθητικης ισοτητας τριγωνων. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι δυο ευθυγραμμα τμηματα (γωνιες) ειναι ισα : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα του προβληματος. Μαρκαρουμε με ιδια σημαδια τα ισα τμηματα και τις ισες γωνιες. Παρατηρουμε οτι για την ζητουμενη ισοτητα των τριγωνων δεν εχουμε τις απαραιτητες ισο- τητες ωστε να ικανοποιειται καποιο απ τα κριτηρια. Εχοντας υποψιν τα δοσμενα και τα κριτηρια ισοτητας τριγωνων, ανακαλυπτουμε την ισοτητα (ισοτητες) που λειπει για την ζητουμενη ισοτητα τριγωνων. Η προηγουμενη ισοτητα (που λειπει) αποδεικνυεται απο ισοτητα βοηθητικων τριγωνων. Δειξτε οτι τα τριγωνα Β και Β ειναι ισα αν: υα = υα υβ = υβ α = α Τα τριγωνα ΒΔ και 'Β'Δ' ειναι ισα γιατι: Ορθογωνια Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ΒΕ = Β'Ε'(υποθεση) ισα, δηλαδη =' Β = Β''(υποθεση) Τα τριγωνα Δ και ''Δ' ειναι ισα γιατι: Ορθογωνια Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια =' (προηγ.αποδειξη) τους ισα, δηλαδη ='' Δ = 'Δ'(υποθεση) Ειναι:Β =Β'', ='' και =' που σημαινει οτι τα τριγωνα Β και 'Β'' ειναι ισα. Β Ε Ε Δ Β Δ Ε Β Δ

13 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν 13 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 1 Μεθοδος : ποδειξη ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι δυο ευθυγραμμα τμηματα (γωνιες) ειναι ισα : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα του προβληματος. Μαρκαρουμε με ιδια σημαδια τα ισα τμηματα και τις ισες γωνιες. φου τα τριγωνα ειναι ορθογωνια αρκουν δυο ισοτητες τμηματων γωνιων, προκειμενου να αποδειξουμε την ισοτητα τους, οπως παρακατω : Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε καθετη πλευρα. Υποτεινουσα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια. Οι δυο καθετες πλευρες. Οποιαδηποτε καθετη πλευρα και μια οποιαδηποτε οξεια γωνια. Να δειξετε οτι τα μεσα των ισων πλευρων ισοσκελους τριγωνου ισαπεχουν απο: τη βαση του απ τις ισες πλευρες του. Τα τριγωνα ΒΜΚ και ΝΛ ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. ΜΒ = Ν (Β = και Μ, Ν μεσα τους) 3. Β = (τριγ. Β ισοσκελες) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΜΚ = ΝΛ. Τα τριγωνα ΜΔ και ΕΝ ειναι ισα γιατι : 1. Ορθογωνια. = κοινη 3. Μ = Ν (Β = και Μ, Ν μεσα τους) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΜΔ = ΝΕ. Μεθοδος : ποδειξη ισοτητας τριγωνων με τη βοηθεια μεσοκαθετης διχοτομου. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι ενα τριγωνο εναι ισοσκελες : Φτιαχνουμε σχημα που ανταποκρινεται στα δοσμενα του προβληματος. Μαρκαρουμε με ιδια σημαδια τα ισα τμηματα και τις ισες γωνιες. Εχοντας υποψιν τα προηγουμενα, χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα : της μεσοκαθετης οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ τα ακρα του ευθυγραμμου τμηματος. της διχοτομου οτι καθε σημειο της ισαπεχει απ τις πλευρες της γωνιας. Μ Ε Β Κ Δ Ν Λ

14 14 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 1 Δινεται ισοσκελες τριγωνο Β (Β = ) και σημειο Δ στο εσωτερικο του που ισαπεχει απ τα ακρα της βασης του. Να αποδειξετε οτι το σημειο Δ ισαπεχει απ τις πλευρες Β και. φου το Δ ισαπεχει απο τα Β και, σημαινει οτι βρισκεται στη μεσοκαθετη του τμηματος Β. Η μεσοκαθετη της βασης διερχεται απ'τη κορυφη ισοσκελους τριγωνου. Στο τριγωνο Β (με βαση Β) η μεσοκαθετη της βασης διερχεται απ'τη κορυφη. Ετσι η Κ ειναι και διαμεσος, αρα και διχοτομος της. Καθε σημειου της διχοτομου της ισαπεχει απ'τις πλευρες της, αρα και το Δ, που σημαινει οτι ΔΜ = ΔΝ. Μ Ν Δ Β Κ

15 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν 15 ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Η καθετος που φερεται απο το κεντρο ενος κυκλου προς μια χορδη του διχοτομει τη χορδη και το αντιστοιχο τοξο της. Δυο χορδες ενος κυκλου ειναι ισες αν και μονο αν τα αποστηματα τους ειναι ισα.. Στις πλευρες Β, Β, ισοπλευρου τριγωνου Β, παιρνουμε σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα, ωστε Δ = ΒΕ = Ζ. ποδειξτε οτι το τριγωνο ΔΕΖ ειναι ισοπλευρο. 3. ν Ε, Ζ ειναι σημεια της διχοτομου Δ τριγωνου Β, τετοια ωστε Ε = Β και Ζ =, να δειξετε οτι A Ε= Ζ Β. 4. Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο Β και εστω Μ το μεσο της. Προεκτεινουμε το ΒΜ ετσι ωστε ΜΖ = ΒΜ. Να δειξετε οτι Ζ = Β 5. Θεωρουμε το τυχαιο τριγωνο Β και εστω Ε, Ζ τα μεσα των Β και αντιστοιχα. Προεκτεινουμε τα ΒΖ, Ε ετσι ωστε ΖΗ = ΒΖ και ΕΘ = Ε. Να δειξετε οτι Θ = Η. 6. Σε ευθεια ε παιρνουμε διαδοχικα τα σημεια, Β, και παιρνουμε τα ισοπλευρα τριγωνα ΒΖ και ΒΕ (στο ιδιο ημιεπιπεδο ως προς ε). Να δειξετε οτι Ε = Ζ. 7. Θεωρουμε το ισοσκελες τριγωνο Β (Β = ), οι διχοτομοι του ΒΔ και Ε και οι διαμεσοι του ΒΖ και Η. Να δειξετε οτι: ΒΔ = Ε ΒΖ = Η

16 16 Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Εστω κυρτο τετραπλευρο ΒΔ με Β = Β και =. Να δειξετε οτι Δ = Δ. 9. Eστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο Β. Προεκτεινουμε τις πλευρες Β και ετσι ωστε Ε = Β και Ζ =. Να δειξετε οτι Β = ΖΕ. 10. Εστω το ισοσκελες τριγωνο Β (Β = ) και Μ το μεσο της Β. Παιρνουμε σημειο Δ της Β 1 1 και σημειο Ε της ετσι ωστε Δ = Β και Ε =. 3 3 Να δειξετε οτι το τριγωνο ΜΔΕ ειναι ισοσκελες. 11. Εστω ο κυκλος (Ο, ρ) και Β μια χορδη του. Προεκτεινουμε την Β εκατερωθεν κατα ισα τμηματα και ΒΔ. Να δειξετε οτι Ο=ΟΔ Β. 1. Εστω οτι εχουμε το τυχαιο τριγωνο Β. Φερνουμε το Δ καθετο στην πλευρα Β και το Ε καθετο στην πλευρα ετσι ωστε Δ = Β και Ε =. Να δειξετε οτι Δ = ΒΕ. 13. Δυο ισοσκελη τριγωνα Β και ΔΕ ( με βασεις Β και ΔΕ) εχουν κοινη την κορυφη και τις γωνιες της κορυφης ισες. Να δειξετε οτι : ΒΔ = Ε (η ΒΕ = Δ) Εστω το ορθογωνιο τριγωνο Β ( Â =90 ) και ΒΔ η διχοτομος της γωνιας Β. π το Δ φερνουμε ΔΕ Β που τεμνει την Β στο Ζ. Να δειξετε οτι το τριγωνο ΒΖ ειναι ισοσκελες. 15. ν δυο τριγωνα ειναι ισα, τοτε και τα υψη που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες ειναι ισα.

17 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν 17 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. Ι σ α Τ μ η μ α τ α μ ε τ α ξ υ Π α ρ α λ λ η λ ω ν Ε υ θ ε ι ω ν ν παραλληλες ευθειες οριζουν ισα τμηματα σε μια ευθεια, τοτε θα οριζουν ισα τμηματα και σε οποιαδηποτε αλλη ευθεια που τις τεμνει. π ο δ ε ι ξ η Τρεις παραλληλες ευθειες ε1, ε, ε3 τεμνουν την ευθεια ε στα σημεια, Β, αντιστοιχα, ετσι ωσ- τε τα ευθυγραμμα τμηματα Β, Β να ειναι ισα μεταξυ τους. Η ευθεια ε τεμνει τις ε1, ε, ε3 στα σημεια, Β, αντιστοιχα. Φερνουμε Δ // ε, Β Ε // ε. Ετσι ΔΒ, ΒΒ Ε παραλληλογραμμα με Δ = Β, Β Ε = Β (απεναντι πλευρες παραλληλο- γραμμων) και επειδη απ την υποθεση Β = Β τοτε Δ = Β Ε (1) Τα τριγωνα Β Δ και Β Ε ειναι ισα γιατι: Δ = Β Ε λογω της (1) Τα τριγωνα ' ΒΔ και ΒΔ ειναι ισα γιατι: 1 = B' 1 εντος εκτος και επι τα αυτα μερη ( Δ Β Ε που τεμνονται απο την ε ). ΒΔ = κοινη Β B' = ' εντος εκτος και επι τα αυτα μερη (ε ε3 που τεμνονται απ την ε ). 1 =Δ 1 εντος εναλλαξ ( - Π ) Β Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, δηλαδη Β = = Β. =Δ εντος εναλλαξ Εφαρμογη του παραπανω στο τραπεζιο, οπου η παραλληλη απ το μεσο μιας απ τις μη πα- Ετσι και τα υπολοιπα αντιστοιχα στοιχεια τους ειναι ισα, οποτε ραλληλες Β = Δ πλευρες και Δ = του Β. προς τις βασεις του, διερχεται απ το μεσο της αλλης μη παραλληλης 8. πλευρας του και τη χωριζει σε δυο ισα τμηματα. Να αποδειξετε οτι οι απεναντι πλευρες ενος παραλληλογραμμου ειναι ισες. ν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγωνου φερουμε ευθεια παραλληλη προς μια αλλη πλευρα του, τοτε αυτη διερχεται απο το μεσο της τριτης πλευρας του. π ο δ ε ι ξ η πο το μεσο Μ της Β φερουμε ΜΝ // Β. πο την κορυφη φερνουμε ευθεια ε // Β. Τοτε, συμφωνα με το προηγουμενο: Οι ε, ΜΝ, Β ειναι παραλληλες και αφου οριζουν ισα τμηματα στην Β, θα οριζουν ισα τμηματα και στην. Ετσι Ν = Ν. ε1 ε ε3 Β Β ε Μ Δ ε 1 Ε Ν Β 1 (ε)

18 18 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. Δ ι α ι ρ ε σ η ε υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ τ μ η μ α τ ο ς σ ε ν ι σ α τ μ η μ α τ α Παιρνουμε ενα ευθυγραμμο τμημα Β, με μηκος που δεν διαιρειται με το 3 και θελουμε να το διαιρεσουμε σε τρια ισα τμηματα. Μπορουμε να διαιρεσουμε το ευθυγραμμο τμημα Β σε τρια ισα τμηματα με ακριβεια, με τη βοηθεια κανονα και διαβητη ως εξης: πο το σημειο φερουμε μια τυχαια ημιευθεια x και πανω σ αυτην παιρνουμε με το διαβητη τρια δια- δοχικα ισα ευθυγραμμα τμηματα Ε, ΕΖ, ΖΗ. Ενωνουμε τα σημεια Β, Η π τα σημεια Ζ, Ε, φερνουμε ΖΔ, Ε, y παραλληλες προς τη ΒΗ. Οι παραλληλες αυτες οριζουν στην x ισα τμηματα, οποτε θα οριζουν ισα τμηματα και στην Β. ρα εχουμε = Δ = ΔΒ. Με τον ιδιο τροπο μπορουμε να διαιρεσουμε το ευθυγραμμο Β σε 4, 5, 6,..., ν ισα τμηματα. 3. Λ ο γ ο ς δ υ ο Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν Στο ορθογωνιο Ο λογος ενος τριγωνο ευθυγραμμου του διπλανου τμηματος σχηματος, Β προς το ευθυγραμμο τμημα Δ συμβολιζεται να υπολογισετε τους λογους α) Β Β και ειναι β) Β ο αριθμος λ, γ) για τον οποιο ισχυει Β = λ 1 Δ cm. Δ Β Β Ο λογος δυο ευθυγραμμων τμηματων ειναι ισος με το λογο των μηκων τους, cm εφοσον εχουν μετρηθει με την ιδια μοναδα μετρησης. ν α λ ο γ α Ε υ θ υ γ ρ α μ μ α Τ μ η μ α τ α Τα ευθυγραμμα τμηματα α, γ ειναι αναλογα προς τα ευθυγραμμα τμηματα β, δ, οταν ισχυει: α γ = β δ. Ι δ ι ο τ η τ ε ς ν α λ ο γ ι ω ν y Ε Δ Ζ Β Η x Β Σε καθε αναλογια το γινομενο των α κ ρ ω ν ο ρ ω ν ειναι ισο με το γινομενο των μ ε σ ω ν ο ρ ω ν. ν α γ = τοτε αδ β δ = βγ

19 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν 19 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. Σε καθε αναλογια μπορουμε να εναλλαξουμε τους μ ε σ ο υ ς η τ ο υ ς α κ ρ ο υ ς ο ρ ο υ ς και να προκυψει παλι αναλογια. α γ α β δ γ ν = τοτε = η = β δ γ δ β α Λογοι ισοι μεταξυ τους ειναι και ισοι με το λογο που εχει αριθμητη το αθροισμα των αριθμητων και παρονομαστη το αθροισμα των παρονομαστων. α γ α γ ν = τοτε = = β δ β δ Ε φ α ρ μ ο γ ε ς α + γ β+δ Σε ν Δ ειναι το μεσο της πλευρας Β τριγωνου Β, ΔΕ // Β και ΕΖ // Β, να αποδειχτει οτι: α) Ζ το μεσον της πλευρας Β β) ΔΕ = Β α) Στο τριγωνο Β εχουμε Δ μεσο Β και ΔΕ // Β, οποτε Ε μεσο της. Ε το μεσο της και ΕΖ // Β, οποτε Ζ μεσο Β. β) Το τετραπλευρο ΔΕΖΒ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες του παραλληλες) οποτε ΔΕ = ΒΖ = Β (Ζ μεσο της Β). ν Μ διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου Β ( = 90 ο ), να αποδειχτει οτι: Μ = Β. Φερνουμε απ το Μ παραλληλη στην Β. Ετσι ΔΜ (ΔΜ Β, Β ) και Δ μεσο της. Δηλαδη η ΜΔ ειναι μεσοκαθετη του και Μ = Μ (1) Μ μεσο της Β, οποτε Μ = Β () Β Δ Δ Ζ Ε Μ π τις (1) και () : Μ = Β Σ η μ ε ι ω σ η ν 0 Β =30 τοτε Β =60 0 και το ισοσκελες τριγωνο ΒΜ (Μ = ΜΒ) θα ειναι ισοπλευ- ρο, οποτε και : Β = Β.

20 0 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. Μεθοδος : Iσα τμηματα μεταξυ παραλληλων ευθειων. Προκειμενου να υπολογισουμε τμημα που ενωνει μεσα ευθυγραμμων τμηματων : εξασφαλιζουμε παραλληλια ευθειων που τεμνουν ευθειες σε ισα τμηματα. βολευει να ακολουθουμε τη διαδικασια της προτεραιοτητας των πραξεων : Πρωτα υπολογιζουμε τις δυναμεις. Στη συνεχεια κανουμε τους πολλαπλασιασμους και τις διαιρεσεις. Τελος, κανουμε τις προσθεσεις και τις αφαιρεσεις. Οταν η παρασταση περιεχει και παρενθεσεις, εκτελουμε πρωτα τις πραξεις μεσα στις Εστω τραπεζιο Β (Β Δ). π το μεσο Μ της Δ φερουμε παραλληλη προς τις βασεις Β και Δ, που τεμνει τη Β στο Ν. Να δειξετε οτι : ΜΝ = Β+Δ Στο τριγωνο Δ : Μ μεσο της Δ και ΜΚ Δ Ετσι, Κ μεσο της και ΜΚ = Δ Στο τριγωνο Β : Μ, Κ μεσα των Δ, αντιστοιχα Ετσι, ΚΝ = Β Ομως ΜΝ = ΜΚ + ΚΝ () (1) (1,) = Δ + Β = Β+Δ Μεθοδος : Λογος ευθυγραμμων τμηματων. Προκειμενου να υπολογισουμε το λογο ευθυγραμμων τμηματων : βρισκουμε το μηκος καθενος απ τα τμηματα τον λογο των οποιων ζητουμε. (μεγαλη βοηθεια το Πυθαγορειο θεωρημα). προσδιοριζουμε το κλασμα των τμηματων των οποιων ζητουμε το λογο. Μ Δ Β Κ Ν Σε ορθογωνιο τριγωνο Β ( = 90 ο ) ειναι Β = 3cm και = 4cm. Να υπολογισετε τους λογους. Β Β Β Β

21 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν 1 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. πο το Πυθαγορειο θεωρημα : Β = Β + = = = 5 οποτε Β = 5 cm Ετσι Β 3 = Β 5 = 4 Β 5 Β = 3 4 Μεθοδος : ναλογα ευθυγραμμα τμηματα. Προκειμενου να δειξουμε οτι τα τμηματα α, β ειναι αναλογα των γ, δ : βρισκουμε τους λογους α, β γ δ δειχνουμε οτι α = β γ δ. Προκειμενου να βρουμε τα τμηματα α, β που ειναι αναλογα των αριθμων, εστω, 3 : βρισκουμε τους λογους α, β 3 απο την ισοτητα α = β και απο σχεση μεταξυ των α, β (χρησιμοποιωντας ιδιοτητες αναλογ δ γιων) τα προσδιοριζουμε. π το μεσο Μ της πλευρας Β τριγωνου Β φερουμε παραλληλες στις αλλες δυο πλευρες του. ν Κ το σημειο τομης με την και Λ το σημειο τομης με την Β, να δειξετε οτι : τα τμηματα Β, Β ειναι αναλογα των τμηματων ΜΒ, ΜΚ. Οι πλευρες α, β, γ ενος τριγωνου Β ειναι αναλογες προς τους αριθμους 5, 4, 3 αντιστοιχα ενω η περιμετρος του τριγωνου ειναι 48 cm. Να βρεθει το μηκος των πλευρων α, β και γ. ΜΚ Β αρα Κ μεσο της και ΚΛ Β, αρα Λ μεσο της Β. Ετσι Β = ΜΒ και Β = ΜΚ Οποτε Β ΜΒ Β ΜΚ Β Β = = και = = οποτε = ΜΒ ΜΒ ΜΚ ΜΚ ΜΒ ΜΚ που σημαινει οτι Β, Β ειναι αναλογα των ΜΒ, ΜΚ. 4 cm Μ 3 cm Β Κ Β Λ

22 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. φου οι πλευρες α, β, γ ειναι αναλογες των αριθμων 5, 4, 3 τοτε ισχυει : ιδιοτητα α+β+γ = 48 α β γ α+β+γ α+β+γ αναλογιων Ετσι = = = = = = 4 α = 4 η α = 4 5 =0 cm 5 β =4 η β = 4 4 = 16 cm 4 γ = 4 η γ = 3 4 = 1 cm 3 Μ διαμεσος στην υποτεινουσα, οποτε Μ = Μ = ΜΒ = Β φου Β =30 0 τοτε =60 0 και το ισοσκελες τριγωνο Μεθοδος : Διαμεσος στην υποτεινουσα ορθογωνιου τριγωνου. Προκειμενου να υπολογισουμε ευθυγραμμα τμηματα, οξειες γωνιες η ισοτητες τμηματων, οταν δινεται ορθογωνιο τριγωνο και η διαμεσος στην υποτεινουσα του : χρησιμοποιουμε την εφαρμογη «η διαμεσος στην υποτεινουσα ορθογωνιου τριγωνου ισουται με το μισο της υποτεινουσας». χρησιμοποιουμε την εφαρμογη «η καθετη πλευρα ορθογωνιου τριγωνου που βρισκεται απεναντι απο γωνια 30 0 ισουται με το μισο της υποτεινουσας». Σε ορθογωνιο τριγωνο Β ( 0 = 90 ) με 0 Β =30 και Μ μεσο της υποτεινουσας, η μεσοκαθετη της Β τεμνει την Β στο Δ. Δειξτε οτι ΜΔ = Δ = Β 3. Μ (Μ = Μ) θα ειναι ισοπλευρο, οποτε: = Β Τα ορθογωνια τριγωνα Δ και ΔΜ ειναι ισα γιατι: = Μ (1) γ Β α Μ 30 0 Δ Β β Δ =κοινη Μ = λογω της (1) οποτε ΔΜ =Δ () 0 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΔΜ, Β=30, οποτε () ΒΔ ΔΜ = η ΔΜ =Β-Δ η 3ΔΜ =Β Β η ΔΜ = 3

23 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν 3 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν Να αποδειξετε οτι η ευθεια που συνδεει τα μεσα δυο απεναντι πλευρων παραλληλογραμμου ειναι παραλληλη προς τις αλλες δυο πλευρες και διερχεται απο το σημειο τομης των διαγωνιων του.. ν Ε, Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων Β, Δ παραλληλογραμμου ΒΔ αντιστοιχα και η ΕΖ τεμνει την στο Η, δειξτε οτι : 4Η =. Yποδειξη: Να φερετε και τη διαμεσο ΒΔ. 3. Δειξτε οτι το τετραπλευρο με κορυφες τα μεσα των πλευρων τετραπλευρου ΒΔ, ειναι παραλληλογραμμο. Yποδειξη: Να φερετε μια απ τις διαμεσους του ΒΔ. 4. Σε τραπεζιο ΒΔ η βαση Δ ειναι διπλασια της βασης Β. Δειξτε οτι οι διαγωνιες, ΒΔ τριχοτομουν τη διαμεσο ΜΝ. 5. Στο διπλανο σχημα, στο ορθογωνιο τριγωνο Β, η Β = 1 cm η Β = x + και το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των πλευρων και Β ειναι ισο με x 1 cm. Να υπολογισετε ποσες μοιρες ειναι η γωνια. x 1 A x + 6. Σ ενα τριγωνο Β παιρνουμε τα μεσα Μ, Ν των πλευρων του Β και. Πανω στις πλευρες Β και σημειωνουμε τα σημεια Κ, Λ ετσι ωστε Κ = 1 Μ και Λ = 1 Ν. Να αποδειξετε οτι ΚΛ = 1 4 Β.

24 4 Λ ο γ ο ς Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ω ν Τ μ η μ α τ ω ν ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Σε ορθογωνιο τριγωνο Β ( = 90 ο ) ειναι Β = 7,5 cm και = 4,5 cm. Να υπολογισετε τους λογους. Β Β Β Β 8. Οι γωνιες ενος τριγωνου ειναι αναλογες των αριθμων, 3, 4. Να βρεθουν οι γωνιες του τριγωνου σε μοιρες. 9. Σε ορθογωνιο τριγωνο Β ( = 90 ο ) η υποτεινουσα του ειναι διπλασια της πλευρας. Να υπολογισετε τις οξειες γωνιες του τριγωνου. Να υπολογισετε το λογο της περιμετρου τριγωνου Β, προς τη περιμετρο του τριγωνου που εχει για κορυφες τα μεσα των πλευρων του τριγωνου Β.

25 Θ ε ω ρ η μ α Θ α λ η 5 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 3 Θ ε ω ρ η μ α Θ α λ η : ν τρεις παραλληλες ευθειες τεμνουν αλλες δυο ευ- θειες, θα οριζουν πανω σ αυτες τμηματα αναλογα. Δηλαδη αν ε1 ε ε3 θα ειναι: Β Β = = ΔΕ ΕΖ ΔΖ. Το θεωρημα του Θαλη ισχυει και για περισσοτερες απο τρεις παραλληλες ευθειες που τεμνουν αλλες δυο. ν τ ι σ τ ρ ο φ ο θ ε ω ρ η μ α τ ο ς Θ α λ η : ν δυο παραλληλες ευθειες ε1, ε τεμνουν δυο αλλες ευθειες δ1, δ στα σημεία, Β και Δ, Ε αντιστοιχα και μια τριτη ευθεια τις τεμνει στα, Ζ ετσι ωστε Β ΔΕ = Β ΕΖ, τοτε η Ζ ειναι παραλληλη στις ε1, ε, δηλαδη ε1 ε ε3. Ε υ θ ε ι α π α ρ α λ λ η λ η σ ε π λ ε υ ρ α τ ρ ι γ ω ν ο υ : ν η παραλληλη ευθεια σε μια πλευρα τριγωνου τεμνει τις αλ- λες δυο πλευρες του, τοτε οριζει πανω σ αυτες τμηματα ανα- λογα. Δηλαδη αν ΔΕ Β τοτε θα ισχυει: Δ Ε = ΔΒ Ε Δ Ε η ισοδυναμα = Β. Ισχυει και το αντιστροφο. Θ ε ω ρ η μ α Θ α λ η σ τ α Τ ρ ι γ ω ν α : Το τριγωνο που οριζεται απ τις ευθειες δυο πλευρων τριγω- νου και μια παραλληλη στην τριτη πλευρα του, εχει πλευρες αναλογες προς τις πλευρες του αρχικου τριγωνου. Δηλαδη αν ΔΕ Β τοτε θα ισχυει: Δ Ε ΔΕ = = Β Β Δ Δ ε1 Β Ε Β Ε ε Ζ Ζ ε3 δ1 Ε Β Ε Β Δ Δ δ Δ Δ Ε Ε

26 6 Θ ε ω ρ η μ α Θ α λ η Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. Μεθοδος : Υπολογισμος ευθυγραμμου τμηματος. Προκειμενου να υπολογισουμε ευθυγραμμο τμημα (τμηματα) που οριζεται αν τουλαχιστον τρεις παραλληλες ευθειες τεμνουν δυο αλλες: προσδιοριζουμε την ισοτητα των λογων, συμφωνα με το θεωρημα Θαλη. αντικαθιστουμε τα γνωστα τμηματα στα κλασματα που προκυπτουν. προσδιοριζουμε το ζητουμενο, με τη βοηθεια των ιδιοτητων των αναλογιων. Στο διπλανο σχημα, για το τριγωνο Β ισχυουν : ΔΕ Β Δ = x + Ε = 5x - Ε = x ΔΒ =3 ν ο x ειναι ακεραιος, να τον υπολογισετε. π το θεωρημα Θαλη στο τριγωνο Β (ΔΕ Β) : Δ ΔΒ x+ 3 Ε Ε 5x- x = η = η x(x+) =3(5x-) η 4x +4x =15x-6 η a =4 Δ =β -4αγ =(- 11) =11-96=5 > x = = 4x -11x+6=0 =0: β =- 11 τοτε - β± Δ -(- 11)± 5 11±5 1 x = = = 8 1, γ =6 α 4 8 φου ο x ειναι ακεραιος, δεκτη ειναι η τιμη x =. x = = 8 4 Σε τριγωνο Β παιρνουμε σημεια Δ, Η στην Β, Ε στην και Ζ στην Β, τετοια ωστε ΔΕ Β, ΕΖ Β και ΖΗ. Δειξτε οτι : x+ 5x- Δ Ε 3 x Β Δ ΗΒ = ΔΒ Η Δ= ΗΒ Ειναι

27 Θ ε ω ρ η μ α Θ α λ η 7 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 3 Δ Ε ΔΕ Δ (θ.θαλη): = ΔΒ Ε Ε ΒΖ Δ ΒΗ ΕΖ Β (θ.θαλη): = oποτε = Ε Ζ ΔΒ Η ΒΖ ΒΗ ΖΗ (θ.θαλη): = Ζ Η Τα ΕΖΗ, ΔΕΖΒ ειναι παραλληλογραμμα, οποτε : Η=ΔΒ η Δ+ ΔΗ ρκει να ισχυει: Ε ΒΖ =. Δ Β Πραγματι, =ΒΗ+ ΔΗ η Δ =ΒΗ Μεθοδος : ποδειξη παραλληλιας ευθειων. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι ευθειες ειναι παραλληλες : βρισκουμε τμηματα που οριζουν οι παραλληλες σε δυο ευθειες που τεμνουν. βρισκουμε ισους λογους τμηματων. χρησιμοποιουμε το αντιστροφο του θεωρηματος Θαλη. Δινεται τραπεζιο ΒΔ (Β Δ), με Δ= 9λ και Β = 6λ. 9 3 Πανω στις Δ και Β παιρνουμε σημεια Ε και Ζ αντιστοιχα, ωστε Ε = λ και ΒΖ = λ. 4 Δειξτε οτι : ΕΖ Β Δ. 9 3 λ λ Ε ΒΖ = η = η = η = Δ Β 9λ 6λ που αληθευει. Η Δ Ε Β Ζ Δ Ε Β Ζ

28 8 Θ ε ω ρ η μ α Θ α λ η ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Σε τραπεζιο ΒΔ η διαμεσος ΜΝ τεμνει τη διαγωνιο ΒΔ στο Ε. Να δειξετε οτι ΔΕ = ΕΒ (ΜΝ Β, θ.θαλη...). πο τυχαιο σημειο Ν της διαμεσου Μ τριγωνου Β, φερνουμε παραλληλες προς τις πλευρες Β, που τεμνουν την Β στα Δ, Ε. ποδειξτε οτι η ΝΜ ειναι διαμεσος του τριγωνου ΝΕΔ. (θ.θαλη στα τριγωνα ΒΜ, Μ... και ιδιοτητες αναλογιων...) 3. Οι μη παραλληλες πλευρες Δ και Β τραπεζιου ΒΔ τεμνονται στο σημειο Ο. Η παραλληλη απ'το Β στην τεμνει την Δ στο Ε. Να δειξετε οτι : Ο =ΟΔ ΟΕ 4. (Β Δ, ΕΒ, θ.θαλη... και ιδιοτητες αναλογιων...) Σε τετραπλευρο ΒΔ, η παραλληλη στην Β απ'το τεμνει τη ΒΔ στο Ε και η παραλληλη στη Δ απ'το Ε τεμνει την στο Ζ. Δειξτε οτι ΕΖ Β. (Ε Β, ΕΖ Δ, θ.θαλη... και ιδιοτητες αναλογιων...) 5. π τα σημεια Δ, Ε της πλευρας Β τριγωνου Β φερνουμε παραλληλες στην Β, που τεμνουν την στα Ζ, Η και παραλληλες στην που τεμνουν την Β στα Θ, Κ αντιστοιχα. Δειξτε οτι: Β ΚΘ = ΖΗ (ΔΘ ΕΚ... ΕΗ ΔΖ Β... θ.θαλη...) 6. ν μια παραλληλη προς την διαμεσο Μ τριγωνου Β τεμνει τις Β, Β και στα σημεια Δ, Ε και Ζ αντιστοιχα, να δειξετε οτι Β Ζ = Δ. (ΔΕ Μ στα τριγωνα ΒΔΕ, Μ, θ.θαλη... ΜΒ = Μ...)

29 Θ ε ω ρ η μ α Θ α λ η 9 ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Τα τριγωνα ΒΡ, ΒΣ βρισκονται εκατερωθεν της Β. Τα σημεια Κ, Λ, Μ βρισκονται πανω στις Β, Ρ και Σ ετσι ωστε ΚΛ ΒΡ και ΚΜ ΒΣ. Δειξτε οτι: Λ Μ = ΛΜ ΡΣ ΛΡ ΜΣ (ΚΛ ΒΡ, ΚΜ ΒΣ, θ.θαλη... ) 8. Σε τετραπλευρο ΒΔ, η παραλληλη στην Β απ'το τεμνει τη ΒΔ στο Ε και η παραλληλη στη Δ απ'το Ε τεμνει την στο Ζ. Δειξτε οτι ΕΖ Β. (Ε Δ, Β Ζ, θ.θαλη... και ιδιοτητες αναλογιων...) ε Δ Ζ Η

30 30 Ο μ ο ι ο θ ε σ ι α Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 4 Ο ρ ι σ μ ο ι Ο μ ο ι ο θ ε τ ο Σ η μ ε ι ο υ Ομοιοθετο σημειου ως προς σημειο Ο ( κ ε ν τ ρ ο ο μ ο ι ο θ ε σ ι α ς ) ειναι ενα σημειο, που βρισκεται στην ημιευθεια Ο και συνδεεται με το με τη σχεση Ο' =λ Ο ο μ ο ι ο θ ε σ ι α ς). Το κεντρο Ο εχει ομοιοθετο τον εαυτο του. Τα ομοιοθετα ευθυγραμμα τμηματα που δε βρισκονται 3. στην ιδια ευθεια ειναι παραλληλα. Στο ορθογωνιο τριγωνο του διπλανου σχηματος, να υπολογισετε Ο μ ο ι ο θ ε τους τ ο λογους ω ν ι α ς α) Β β) Β γ) 1 cm Το ομοιοθετο μιας γωνιας xy, στην ομοιοθεσια με κεντρο Β Β Ο και λογο λ, ειναι μια ιση γωνια x''y'που προκυπτει απο τα σημεια, Β,, ομοιοθετα, με ομοιοθεσια κεντρου Ο και cm (λ ο γ ο ς Ο μ ο ι ο θ ε σ ι α ειναι η διαδικασια με την οποια βρισκουμε το ομοιοθετο ενος σημειου με κεντρο Ο και λογο λ ονομαζεται ομοιοθεσια. Ο μ ο ι ο θ ε τ ο Ε υ θ υ γ ρ α μ μ ο υ Τ μ η μ α τ ο ς Το ομοιοθετο ενος ευθυγραμμου τμηματος Β, στην ομοιο- θεσια με κεντρο Ο και λογο λ, ειναι το ευθυγραμμο τμημα Β, οπου, Β τα ομοιοθετα των ακρων του ευθυγραμ- μου τμηματος Β, ως προς Ο και λογο λ. λογο λ, των σημειων, Β, (με κορυφη, Β, σημεια των Οx, Οy αντιστοιχα). Ο μ ο ι ο θ ε τ ο Π ο λ υ γ ω ν ο υ Το ομοιοθετο ενος τετραπλευρου ΒΔ, στην ομοιοθεσια με κεντρο Ο και λογο λ, ειναι ειναι το τετραπλευρο Β Δ, οπου, Β,, Δ ειναι αντιστοιχως τα ομοιο- θετα των κορυφων του, Β,, Δ. Δυο ομοιοθετα πολυγωνα εχουν τις πλευρες τους αναλο- γες και τις αντιστοιχες γωνιες τους ισες. Οι αντιστοιχες πλευρες δυο ομοιοθετων πολυγωνων που δε βρισκονται στην ιδια ευθεια ειναι παραλληλες. Ο Β Β Β Β Ο Δ Δ Δ Ο B Β Β Β x x y Β y

31 Ο μ ο ι ο θ ε σ ι α 31 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς 1. 4 ν το πολυγωνο Π ειναι ομοιοθετο του Π με λογο λ, τοτε το Π ειναι μεγεθυνση του Π, οταν λ > 1 σμικρυνση του Π, οταν 0 < λ < 1 ισο με το Π, οταν λ = 1. Ο μ ο ι ο θ ε τ ο Κ υ κ λ ο υ Το ομοιοθετο ενος κυκλου (Κ, ρ), στην ομοιοθε- σια με κεντρο Ο και λογο λ, ειναι κυκλος (Κ, ρ ) ρ που προκυπτει απ τα σημεια Κ,, ομοιοθετα, Κ με ομοιοθεσια κεντρου Ο και λογο λ, των σημει- Ο ων Κ, (με Κ κεντρο και τυχαιο σημειο κυκλου). Κ ρ

32 3 Ο μ ο ι ο θ ε σ ι α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 4 Μεθοδος : Ευρεση ομοιοθετων γεωμετρικων σχηματων. Προκειμενου να βρουμε το ομοιοθετο ενος γεωμετρικου σχηματος σε μια ομοιοθεσια κεντρου Ο και λογου λ : ρχικα πρεπει να γνωριζουμε να βρισκουμε το ομοιοθετο ενος σημειου, εστω. Ενωνουμε το κεντρο Ο με το σημειο. Μετρουμε το ευθυγραμμο τμημα Ο. Μετρουμε πανω στην ημιευθεια Ο, με αρχη το Ο, αποσταση τοσες φορες μεγαλυτερη (μικροτερη) απο την αποσταση Ο, οσες δηλωνει ο λογος λ. Το αλλο ακρο της αποστασης αυτης (το ενα ειναι το Ο) ειναι το ζητουμενο ομοιοθετο. ια να βρουμε το ομοιοθετο ενος γεωμετρικου σχηματος βρισκουμε τα ομοιοθετα χαρακτηριστικων σημειων τους. Δηλαδη για να βρουμε το ομοιοθετο ενος ευθυγραμμου τμηματος : βρισκουμε τα ομοιοθετα των ακρων του και τα ενωνουμε. μιας γωνιας : βρισκουμε το ομοιοθετο της κορυφης, το ομοιοθετο του σημειου που ανηκει στη μια πλευρα της και το ομοιοθετο του σημειου Β που ανηκει στην αλλη πλευρα της και τα ενωνουμε με τη κορυφη. ενος πολυγωνου : βρισκουμε τα ομοιοθετα των κορυφων του και κατα συνεπεια τα ομοιοθετα των πλευρων του. ενος κυκλου : βρισκουμε τα ομοιοθετα Κ και, του κεντρου Κ και ενος σημειου του κυκλου. Με κεντρο Κ και ακτινα Κ γραφουμε τον ομοιοθετο κυκλο. Δινεται ορθογωνιο τριγωνο στο, με Β = 1,5, = και ο περιγεγραμμενος κυκλος του. Να βρειτε το ομοιοθετο του σχηματος, στην ομοιοθεσια με κεντρο το και λογο λ =. Ο περιγεγραμμενος κυκλος του τριγωνου Β εχει κεντρο το Κ που ειναι το μεσο της υποτει- νουσας Β. ια την ομοιοθεσια κεντρου και λογου λ : Το ομοιοθετο του ειναι ο εαυτος του. Βρισκουμε τα ομοιοθετα των σημειων Β, και Κ. Κ Ετσι Κ το ομοιοθετο του ειναι το. το ομοιοθετο του Β ειναι το Β. το ομοιοθετο του Β ειναι το Β. Οποτε Β Β Το σχημα χρωματος μπλε ειναι το ομοιοθετο του μαυρου σχηματος, στην ομοιοθεσια με κεντρο και λογο ομοιοθεσιας λ =.

33 Ο μ ο ι ο θ ε σ ι α 33 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν 1. 4 Μεθοδος : Ευρεση κεντρου και λογου ομοιοθεσιας. 4 5 Ε Ζ Προκειμενου να βρουμε το κεντρο και το λογο μιας ομοιοθεσιας : 6 7 χρειαζομαστε τουλαχιστον δυο σημεια και τα αντιστοιχα ομοιοθετα τους σημεια. Δ ενωνουμε δυο γνωστα σημεια με τα αντιστοιχα ομοιοθετα τους και προεκτεινουμε τις ευθει- ες πανω στις οποιες βρισκονται. Εκει που τεμνονται οι δυο ευθειες ειναι το κεντρο της ο- μοιοθεσιας. ο λογος της αποστασης του κεντρου απο ενα ομοιοθετο προς την αποσταση του κεντρου απο το αντιστοιχο σημειο, αποτελει το λογο της ομοιοθεσιας. Στο διπλανο σχημα, δινεται ορθογωνιο τριγωνο Β και τα σημεια, Β που ειναι ομοιοθετα των σημειων και Β αντιστοιχα. Να βρειτε το κεντρο της ομοιοθεσιας το λογο της ομοιοθεσιας το ομοιοθετο του τριγωνου Β. Ενωνουμε το σημειο με το σημειο και το σημειο Β με το σημειο Β και προεκτει- νουμε προς τα και Β. Το σημειο τομης Ο ειναι το κεντρο της ομοι- οθεσιας. Παρατηρουμε οτι Β = Β. Οποτε λ =. Ευκολα βρισκουμε το ομοιοθετο του, στην ομοιοθεσια με κεντρο Ο και λογο λ =, το (προεκτεινουμε το Ο κατα = Ο). Το ζητουμενο ομοιοθετο ειναι το τριγωνο Β. Ο Β Β Β Β Β

34 34 7 Ο μ ο ι ο θ ε σ ι α ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Δινεται τετραγωνο Β πλευρας α = 3 cm. Να σχεδιασετε το ομοιοθετο του με κεντρο και λογο λ = με κεντρο Δ και λογο λ = 1 με κεντρο και λογο λ = 1 3 Να σχεδιασετε τον ομοιοθετο κυκλο του κυκλου (Κ, 3) αν ο λογος ομοιοθεσιας ειναι λ = και το κεντρο σημειο Μ της περιφερειας του κυκλου (Κ, 3).. Στο διπλανο σχημα, δινεται το τετραγωνοβδ και τα σημεια, Β που ειναι ομοιοθετα των σημειων και Β αντιστοιχα. Να βρειτε το κεντρο της ομοιοθεσιας το λογο της ομοιοθεσιας το ομοιοθετο του τετραγωνου ΒΔ, ως προς τη παραπανω ομοιοθεσια. Δ Β

35 Ο μ ο ι ο τ η τ α 8 35 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς Ο μ ο ι α Π ο λ υ γ ω ν α Ο ρ ι σ μ ο ς Δυο πολυγωνα λεγονται ο μ ο ι α, οταν το ενα ειναι μεγεθυνση η σμικρυνση του αλλου, που σημαινει οτι εχουν τις γωνιες τους ισες μια προς μια και τις αντιστοιχες πλευρες τους αναλογες και συμβολιζονται Π Π'. Ο μ ο λ ο γ ε ς Π λ ε υ ρ ε ς δυο ομοιων πολυγωνων, λεγονται δυο οποιεσδηποτε αντιστοιχες πλευρες τους. Λ ο γ ο ς Ο μ ο ι ο τ η τ α ς δυο ομοιων πολυγωνων, λεγεται ο λογος δυο ομολογων πλευρων. Κ λ ι μ α κ α ενος χαρτη, λεμε τον λογο της αποστασης στο χαρτη προς την αντιστοιχη πραγματικη α- ποσταση. Σ υ ν ε π ε ι ε ς Ειναι διαδοχικα Ο λογος των περιμετρων δυο ομοιων πολυγωνων ειναι ισος με το λογο ομοιοτητας τους Ε ΒΖ 6 ΒΖ 1 ΒΖ = Δυο η κανονικα = πολυγωνα η = με το ιδιο η πληθος ΒΖ =14 πλευρων η ΒΖ ειναι =7 ομοια. ΕΔ Ζ Δυο ισα πολυγωνα ειναι και ομοια, με λογο ομοιοτητας 1. Καθε πολυγωνο ειναι ομοιο με τον εαυτο του. Δυο πολυγωνα ομοια προς τριτο ειναι και ομοια μεταξυ τους. Ο μ ο ι α Τ ρ ι γ ω ν α Ο ρ ι σ μ ο ς Δυο τριγωνα λεγονται ο μ ο ι α οταν εχουν τις γωνιες τους ισες μια προς μια και τις ομολογες πλευρες τους αναλογες. Δηλαδη τα τριγωνα Β και ΚΛΜ ειναι ισα αν: =K και Β = Λ και =Μ Ισχυει : Β Β = = ΚΛ ΛΜ ΚΜ Κ ρ ι τ η ρ ι ο Ο μ ο ι ο τ η τ α ς Τ ρ ι γ ω ν ω ν Δυο τριγωνα ειναι ομοια, οταν δυο γωνιες του ενος ειναι ισες με δυο γωνιες του αλλου μια προς μια. Λ ο γ ο ς Ε μ β α δ ω ν Ο μ ο ι ω ν Σ χ η μ α τ ω ν Ο λογος των εμβαδων δυο ομοιων σχηματων ειναι ισος με το τετραγωνο του λογου ομοιο- τητας τους.

36 36 Ο μ ο ι ο τ η τ α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : Ομοια πολυγωνα. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι δυο πολυγωνα ( με ιδιο πληθος πλευρων) ειναι ομοια : δειχνουμε αρχικα οτι εχουν τις γωνιες τους ισες μια προς μια. δειχνουμε οτι οι ομολογες πλευρες τους ειναι αναλογες. ια να εντοπισουμε ευκολα την ισοτητα των λογων των ομολογων πλευρων (εστω ΒΔ και ΚΛΜΝ τα πολυγωνα) : παιρνουμε δυο ισες γωνιες, εστω τις και Κ, και δειχνουμε οτι ο λογος των πλευρων Β ΚΛ Β Δ τους ειναι ισος, δηλαδη = και εναλλασσοντας τους μεσους ορους = Δ ΚΝ ΚΛ ΚΝ. στη συνεχεια παιρνουμε τις απεναντι των πιο πανω γωνιων, τις και Μ, και δειχνουμε οτι ο λογος των πλευρων τους ειναι ισος, δηλαδη Β = ΜΛ και εναλλασσον- Δ ΜΝ τας τους μεσους ορους Β = Δ ΜΛ ΜΝ. ουσιαστικα εχουμε βρει τους λογους, αλλα κανουμε την επαληθευση αν κανουμε την ιδια εργασια για ενα ακομη ζευγαρι ισων γωνιων. εναλλακτικη λυση να δειξουμε οτι το ενα πολυγωνο ειναι ομοιοθετο του αλλου σε μια ομοιοθεσια κεντρου ενος σταθερου σημειου γνωστου λογου ομοιοθεσιας λ. Προκειμενου να βρουμε μηκη πλευρων ομοιων πολυγωνων : βρισκουμε το λογο ομοιοτητας, αν δεν δινεται βρισκουμε την αγνωστη πλευρα, απ την ομολογη της με τη βοηθεια του λογου ομοιοτητας. Ειναι Δινονται τα παραλληλογραμμα ΒΔ και ΗΖΕ (διπλανο σχημα) με Δ, Β μεσα των Ε και Η αντιστοιχα. x Να 3 δειξετε + 3y 3 + οτι 5yx τα - δυο 3x y παραλληλογραμμα + y 3 + 5x 3-4x ειναι y ομοια xy = (x και 3 να + βρειτε 5x 3 ) + και (3y το 3 + λογο y 3 ) ομοιοτητας + (- 3x y. - 4x y ) + (5yx - xy) = 7x 3 + 5y 3-7x y + 4yx Ειναι κοινη Δ =Ε εντος εκτος και επιταυτα (Δ ΕΖ που τεμνουν την Ε). ρα και οι αλλες γωνιες τους ισες δηλαδη =Ζ και AΒ =Η Ετσι κοινη : Β Η Β Δ = η = Δ Ε Η Ε =Ζ : Β ΖΗ Β Δ = η = Δ ΖΕ ΖΗ ΖΕ (1) () Δ Ε Β Η Ζ

37 Ο μ ο ι ο τ η τ α 37 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν AΒ =Η: Β ΖΗ Β Β = η = Β Η ΖΗ Η πο (1), (), (3) : Β Δ = Η Ε Β Δ = = ΖΗ ΖΕ (3) αρα τα παραλληλογραμμα ειναι ομοια. Β μεσο Η οποτε Η = Β, οποτε ο λογος ομοιοτητας λ =. λ λ ι ω ς Β μεσο Η οποτε Η = Β, δηλαδη Η ειναι ομοιοθετο του Β σε μια ομοιοθεσια κεντρου και λογου λ =. Ομοια και οι αλλες πλευρες του ΕΖΗ ειναι ομοιοθετες των αντιστοιχων πλευρων του ΒΔ. Δηλαδη το ΕΖΗ ειναι ομοιοθετο του ΒΔ σε μια ομοιοθεσια κεντρου και λογου λ =. ρα ΕΖΗ ΒΔ. Δινονται τα ομοια παραλληλογραμμα ΒΔ και ΗΖΕ (διπλανο σχημα) με Δ = 4 cm και Β = 6 cm. ν η περιμετρος του ΗΖΕ ειναι Π = 40 cm, να βρει- τε τις πλευρες του. Π = 40 τοτε Ε + Η = 40 η Ε + Η = 0 (1) π την ομοιοτητα : Ε = η Ε =8 cm 4 Η = η Η=1 cm 6 ιδιοτητα (1) Ε Η Ε Η Ε Η Ε + Η Ε Η 0 = η = η = = η = = = Δ Β Στο διπλανο σχημα, τα τραπεζια ΒΔ και ΔΕΖ ειναι ομοια, με Β = 9, Δ = x και ΖΕ = 1. Να υπολογισετε το x. Δ Δ 4 Ε 6 Β Η 9 Β x Ζ Ζ 16 Ε π την ομοιοτητα : Β Δ 9 x x =- 1 απορριπτεται (μηκος) = η = η x =9 16 η x =144 η Δ ΖΕ x 16 x =1 Aρα x = 1

38 38 Ο μ ο ι ο τ η τ α Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : Ομοια τριγωνα. Προκειμενου να αποδειξουμε οτι δυο τριγωνα ειναι ομοια : δειχνουμε οτι εχουν τις γωνιες τους ισες μια προς μια (αρκουν δυο γωνιες). ν τα τριγωνα ορθογωνια, αρκει να εχουν μια οξεια γωνια ιση. Προκειμενου να εντοπισουμε ευκολα την ισοτητα των λογων των ομολογων πλευρων (εστω Β και ΚΛΜ τα τριγωνα) : γραφουμε τρεις ισους λογους και αριθμητες βαζουμε τις πλευρες του ενος τριγωνου (εστω του Β τις Β, Β, ) και παρονομαστες τις ομολογες πλευρες του αλλου τριγωνου, τις ΚΛ, ΛΜ, ΚΜ. Προκειμενου να προσδιορισουμε τις ομολογες πλευρες : ν προκειται να προσδιορισουμε την ομολογη πλευρα της Β σκεφτομαστε ως εξης : Η πλευρα Β στο τριγωνο Β ειναι απεναντι απ τη γωνια (το τριτο γραμμα του τριγωνου που λειπει απ την Β) η οποια ειναι ιση με την γωνια Μ του τριγωνου ΚΛΜ. Οποτε η ομολογη πλευρα της Β ειναι η ΚΛ (τα γραμματα του τριγωνου ΚΛΜ εκτος της γωνιας Μ) που βρισκεται απεναντι απ τη γωνια Μ. Ομοια και για τις αλλες πλευρες. Μια αναλλακτικη προταση : ραφουμε τα γραμματα τa ζευγη των ισων γωνιων : = K B = Λ = Μ ραφουμε το λογο των δυο τριγωνων (τρεις φορες με ισοτητα) και αφαιρουμε τα γραμματα των ισων γωνιων στον αριθμητη και παρονομαστη των ισων λογων (διαφορετικο γραμμα σε καθε λογο). Β Β Β = = ΚΛΜ ΚΛΜ ΚΛΜ η Β Κ ΛΜ = Β Κ ΛΜ Β Β Β = η = = ΚΛΜ ΛΜ ΚΜ ΚΛ εναλλακτικη λυση να δειξουμε οτι το ενα τριγωνο ειναι ομοιοθετο του αλλου σε μια ομοιοθεσια κεντρου ενος σταθερου σημειου γνωστου λογου ομοιοθεσιας λ. Προκειμενου να βρουμε μηκη πλευρων ομοιων τριγωνων : βρισκουμε το λογο ομοιοτητας, αν δεν δινεται βρισκουμε την αγνωστη πλευρα, απ την ομολογη της με τη βοηθεια του λογου ομοιοτητας. χρησιμοποιουμε τους τρεις ισους λογους των ομολογων πλευρων. πο σημειο Δ της υποτεινουσας Β ορθογωνιου τριγωνου Β φερουμε καθετη στη Β που τεμνει την Β στο Ε. Να δειξετε οτι τα Β και ΒΔΕ ειναι ομοια. Να γραψετε τους ισους λογους. ν Ε = 3cm, ΕΒ = 5 cm και ΔΕ = 4 cm, βρειτε τα μηκη των πλευρων του τριγωνου Β. Τα τριγωνα Β και ΒΔΕ ειναι ομοια αφου : Ειναι ορθογωνια Β ειναι κοινη

39 Ο μ ο ι ο τ η τ α 39 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν Προχειρο : =Δ, Β =Β, =Ε : Ετσι, Β Β = = ΒΕ ΔΕ ΒΔ (1) Β ΒΔΕ = Β ΒΔΕ = Β ΒΔΕ Β Β η = = ΒΕ ΔΕ ΒΔ Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΒΕΔ : ΒΔ = 5 3 = 5 9 = 16 οποτε ΒΔ = 4 Β 8 Β Β 6 πο (1) : = η = η =6 και = η = η Β =10 ΔΕ ΒΔ 3 4 ΒΕ ΔΕ 5 3 Μεθοδος : Λογος εμβαδων ομοιων σχηματων. Προκειμενου να βρουμε το εμβαδον σχηματος μετα απο αυξηση η μειωση των πλευρων (διαστασεων) του : δειχνουμε οτι σχηματα ειναι ομοια. βρισκουμε το λογο ομοιοτητας (ο λογος δυο ομολογων πλευρων) εξισωνουμε το λογο του εμβαδου μετα προς το εμβαδον πριν του σχηματος με το τετραγωνο λυνουμε την εξισωση που προκυπτει ωε προς εμβαδον μετα. Ενα τριγωνο εχει βαση 3 cm και εμβαδον 15 cm. Να υπολογισετε το εμβαδον ενος αλλου τριγωνου που ειναι ομοιο με το Β και εχει βαση 9 cm. Oι διαστασεις ενος ορθογωνιου μειωθηκαν κατα 0 %. Ποσο μειωθηκε το εμβαδον του ; Εστω Ε το εμβαδον του τριγωνου Β και Ε το εμβαδον του ομοιου τριγωνου του. Ο λογος ομοιοτητας ειναι : 9 λ = =3 3 Ε' Ε' =λ η =3 η Ε'=9 Ε η Ε'=9 15 =135 cm Ε Ε ν α, β ειναι οι αρχικες διαστασεις και α, β οι διαστασεις μετα τη μειωση 0 %, τοτε : α = 80 α =0,8 α 100 και β = 80 β =0,8 β 100 λ = α' 0,8 α = =0,8 α α Ετσι, αν Ε το αρχικο εμβαδον και Ε το εμβαδον μετα τη μειωση Ε' Ε Ε' Ε =λ η =0,8 η Ε'=0,64 Ε = Ε - 0,36Ε Δηλαδη το εμβαδον μειωθηκε κατα 36 %. Β 5 Δ Ε 3 3

40 40 Ο μ ο ι ο τ η τ α ι α Π ρ ο π ο ν η σ η πο το σημειο τομης Ο των διαγωνιων τραπεζιου, φερουμε την παραλληλη προς τις βασεις η οποια τεμνει τις μη παραλληλες πλευρες στα Ε και Ζ. Να αποδειξετε οτι ΟΕ = ΟΖ. ν μια γωνια ενος παραλληλογραμμου ειναι ιση με μια γωνια ενος αλλου παραλληλογραμμου, και οι λογοι των πλευρων των ισων γωνιων ειναι ισοι, τοτε να δειξετε οτι τα παραλληλογραμμα ειναι ομοια.. Εστω παραλληλογραμμο Β με κεντρο Ο. Στις προεκτασεις των Ο, ΟΒ, Ο και Ο παιρνουμε σημεια, Β, και ετσι ωστε = Ο, ΒΒ = ΟΒ, = Ο και = Ο. ειξτε οτι τα παραλληλογραμμα Β και Β ειναι ομοια και να βρειτε τον λογο ομοιοτητας. 3. ν Δ, ΒΕ, Ζ τα υψη ενος τριγωνου Β να αποδειξετε οτι τα τριγωνα ΗΕ και ΒΗΔ ειναι ομοια ΗΒΖ και ΗΕ ειναι ομοια 4. Δινεται ορθογωνιο τριγωνο Β( = 90 0 ) και το υψος του Δ. Ν αποδειξετε οτι τα παρακατω ζευγη τριγωνων ειναι ομοια ΒΔ, Β Β, Δ ΒΔ, Δ Σε καθε περιπτωση να γραψετε τους ισους λογους των ομολογων πλευρων. 5. Ενα τριγωνο Β ειναι εγγεγραμμενο σε κυκλο. Η διχοτομος του προεκτεινομενη τεμνει τον κυκλο στο Ε. ειξτε οτι τα τριγωνα Β και Ε ειναι ομοια και γραψτε την αναλογια των πλευρων τους. ειξτε οτι Β = Ε

41 Ο μ ο ι ο τ η τ α 41 ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Σ ενα τριγωνο Β φερνουμε το υψος του ΒΔ. Εστω Μ, Κ τα μεσα των Β και Β αντιστοιχα. Δειξτε οτι τα τριγωνα Β και ΚΔΜ ειναι ομοια και βρειτε το λογο ομοιοτητας τους. ραψτε τις ισοτητες των γωνιων των δυο τριγωνων που προκυπτουν απ την ομοιοτητα τους. 7. Ισοσκελες τριγωνο Β (Β = ) ειναι εγγεγραμμενο σε κυκλο (Ο, ρ). πο την κορυφη φερνουμε μια ευθεια η οποια τεμνει την Β στο Δ και τον κυκλο στο Ε. Να αποδειχθει οτι Β = Δ Ε. 8. Δινεται τραπεζιο ΒΔ (Β // Δ), το σημειο τομης Ο των διαγωνιων και η παραλληλη απο το Ο προς τη Δ που τεμνει τις Δ, Β στα σημεια Ε και Ζ. Να αποδειξετε οτι: τα τριγωνα ΟΕ και Δ ειναι ομοια τα τριγωνα ΒΟΖ και ΒΔ ειναι ομοια EA BΖ = AΔ Β ΟΕ = ΟΖ 9. Εστω τριγωνο Β και τα μεσα Δ, Ε των Β, αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι το τραπεζιο ΒΔΕ εχει τριπλασιο εμβαδον απο το τριγωνο ΔΕ. Δυο ομοια πολυγωνα εχουν εμβαδα 46 cm και 55 cm. Να υπολογισετε το λογο ομοιοτητας τους. 10. Σε τριγωνο Β ειναι B =. Να προεκτεινεται την Β κατα τμημα ΒΔ = Β και να δειξετε οτι τα τριγωνα Β και Δ ειναι ομοια. Στη συνεχεια να δειξετε οτι β = γ(α + γ). Να αποδειξετε οτι ισχυει και το αντιστροφο. Δηλαδη αν σε τριγωνο Β ισχυει β = γ(α + γ) να αποδειξετε οτι B =.

42 4 ε ω μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο 1. ινεται τριγωνο AB τετοιο, ωστε A = AB. ν A ειναι διχοτομος της γωνιας και E μεσο της A, να αποδειξετε οτι : AB = AE, B = E, το A ειναι καθετο στο BE. Ε μεσο, οποτε = Ε. Ομως = Β Ετσι, Β = Ε η Β = Ε (1) Τα τριγωνα ΒΔ και ΔΕ ειναι ισα γιατι Δ ειναι κοινη Β = Ε λογω της (1) 1 = Δ διχοτομος Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, με ΔΒ = ΔΕ Τα τριγωνα ΒΖ και ΖΕ ειναι ισα γιατι Ζ ειναι κοινη Β = Ε λογω της (1) 1 = Δ διχοτομος Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, με Δ 1 =Δ. Ομως 0 Δ 1 +Δ =180 η 0 Δ 1 +Δ 1 =180 η 0 Δ 1 =180 η Δ 1 =90 0 που σημαινει Δ ΒΕ.. ινεται ισοσκελες τριγωνο AB ( = ). Να δειξετε οτι ΒΔ = E, οπου ΒΔ, Ε διαμεσοι του τριγωνου. ΒΚ = Λ, οπου ΒΚ, Λ διχοτομοι του τριγωνου. ΒΜ = Ν, οπου ΒΜ, Ν υψη του τριγωνου. Τα τριγωνα ΒΔ και Ε ειναι ισα αφου ειναι κοινη Β = αφου το τριγωνο Β ισοσκελες Δ = Ε σαν μισα ισων τμηματων (Β = ) Ειναι ( Π Π ) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, δηλαδη ΒΔ = Ε 1 1 Ζ Β Δ Β Ε Ε Δ

43 ε ω μ ε τ ρ ι α 43 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο Τα τριγωνα ΒΔ και Ε ειναι ισα αφου ειναι κοινη Β = αφου το τριγωνο Β ισοσκελες Β 1 = σαν μισα ισων γωνιων ( Β =) Ειναι ( - Π ) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, δηλαδη ΒΔ = Ε Τα τριγωνα ΒΔ και Ε ειναι ισα αφου ειναι ορθογωνια ειναι κοινη Β = αφου το τριγωνο Β ισοσκελες Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, δηλαδη ΒΔ = Ε Λυσε την ιδια ασκηση χρησιμοποιωντας διαφορετικα ισα τριγωνα. 3. Στις προεκτασεις της βασης Β ισοσκελους τριγωνου Β (Β = ) παιρνουμε σημεια Δ και Ε τετοια ωστε ΒΔ = Ε. Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΒΔ και Ε ειναι ισα. Να δειξετε οτι το τριγωνο ΔΕ ειναι ισοσκελες. Να δειξετε οτι το τριγωνο ΚΛΜ ειναι ισοσκελες, αν Κ, Λ, Μ ειναι τα μεσα των Δ, Ε και ΔΕ αντιστοιχα. Το τριγωνο Β ειναι ισοσκελες και Β 1 = 1, οποτε και Β = (1) σαν παραπληρωματικες ισων γωνιων. Τα τριγωνα ΒΔ και Ε ειναι ισα αφου ΒΔ = Ε απ την υποθεση Β = αφου το τριγωνο Β ισοσκελες Β = λογω της (1) Ειναι ( Π - - Π ) φου τα τριγωνα ΒΔ και Ε ειναι ισα τοτε και τα υπολοιπα στοιχεια θα ειναι ισα, δηλαδη Δ = Ε, που σημαινει οτι το τριγωνο ΔΕ ειναι ισο- σκελες. Κ Β Β Ε Ε Δ Δ Β Μ Ε Λ Δ

44 44 ε ω μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο Τα τριγωνα ΚΔΜ και ΜΛΕ ειναι ισα αφου ΔΜ = ΜΕ αφου Μ μεσο της ΔΕ ΔΚ = ΕΛ αφου το τριγωνο ΔΕ ισοσκελες (Δ = Ε) και Κ, Λ μεσα των Δ, Ε Δ =Ε αφου το τριγωνο ΔΕ ισοσκελες Ειναι ( Π - - Π ) Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, δηλαδη ΜΚ = ΜΛ, που σημαινει οτι το τριγω- νο ΚΛΜ ειναι ισοσκελες. Παρατηρηση Το τελευταιο ερωτημα μπορουμε να το αντιμετωπισουμε και με ομοιοτητα και με μεσα πλευρων τριγωνου. 4. ινεται ορθογωνιο τριγωνο AB ( = 90 0 ) και M το μεσο της B. Προεκτεινουμε την AM κατα M ετσι, ωστε M = AM. Να αποδειξετε οτι : τα τριγωνα MB και AM ειναι ισα, τα τριγωνα M και ABM ειναι τα ευθυγραμμα τμηματα B και ειναι καθετα. Τα τριγωνα ΜΒΔ και Μ ειναι ισα αφου ΜΒ = Μ αφου Μ μεσο της Β ΜΔ = Μ απ την υποθεση ΒΜΔ =Μ κατακορυφην Ειναι ( Π - - Π ) και ΜΔΒ =Μ (1) Τα τριγωνα ΜΔ και ΒΜ ειναι ισα αφου ΜΒ = Μ αφου Μ μεσο της Β ΜΔ = Μ απ την υποθεση ΜΔ =ΜΒ κατακορυφην Ειναι ( Π - - Π ) και ΜΔ =ΜΒ () Μ Δ Β πο (1) + () προκυπτει : 0 ΜΔΒ+ΜΔ=Μ + ΜΒ η Δ = = 90 Δηλαδη τα ευθυγραμμα τμηματα B και ειναι καθετα.

45 ε ω μ ε τ ρ ι α 45 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο 5. πο τυχαιο σημειο Ν της διαμεσου Μ τριγωνου Β, φερνουμε παραλληλες προς τις πλευρες Β, που τεμνουν την Β στα Δ, Ε. ποδειξτε οτι η ΝΜ ειναι διαμεσος του τριγωνου ΝΕΔ. Στο τριγωνο ΒΜ η ΔΝ Β, οποτε: ΜΔ ΜΝ = ΒΔ Ν Στο τριγωνο Μ η ΜΕ, οποτε: ΜΕ ΜΝ = Ε Ν Ετσι ΜΔ ΜΕ ΜΔ ΜΕ ΜΔ ΜΕ = η = η = η ΒΔ Ε ΒΔ+ΜΔ Ε+ΜΕ ΒΜ Μ ΜΔ =ΜΕ, δηλαδη ΝΜ διαμεσος 6. Φερνω ΔΚ ΒΖ (Κ σημειο της ). Στο τριγωνο ΔΚ η ΕΖ ΔΚ, οποτε: Ζ Ε = =1 η Ζ =ΖΚ (1) ΖΚ ΕΔ Στο τριγωνο ΒΖ η ΔΚ ΒΖ, οποτε: (1) Ζ Β Ζ Ζ ΒΜ = Μ του τριγωνου ΝΔΕ. = η = η = η Ζ =Ζ ΖΚ ΒΔ ΖΚ Ζ Ν Β Δ Μ Ε Εστω Σε τριγωνο Β φερνουμε τη διαμεσο Δ και Ε το μεσο της. Η ΒΕ τεμνει την στο Ζ. Δειξτε οτι Ζ = Ζ. Ε Β Δ Ζ Κ 7. π'τη κορυφη παραλληλογραμμου ΒΔ φερνουμε ευθεια ε που τεμνει τη ΒΔ στο σημειο Ε, τη Β στο Ζ και την προεκταση της Δ στο Η. Δειξτε οτι : Ζ Β Η ΔΗ = Ε = ΕΖ ΕΗ

46 46 ε ω μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο Τα τριγωνα ΒΖ και ΖΗ ειναι ομοια αφου: ΖΒ = ΖΗ κατακορυφην Β =ΒΗ εντος εναλλαξ (Β Η τεμνουν Η) Ετσι Ζ Β Ζ Β = η = η ΖΗ Η Ζ+ΖΗ Β+Η Ζ Β Ζ Β = η = Η Δ+Η Η ΔΗ ΖΒ Δ (θ.θαλη): Ε ΕΔ ΕΖ ΕΒ 8. Ε ΕΖ ΕΗ Ε Β = Δ Β ΔΗ = η = η Ε =ΕΖ ΕΗ Σε παραλληλογραμμο ΒΔ, Κ σημειο της τετοιο ωστε Κ = 5Κ. ν η ΒΚ τεμνει την Δ στο Ε, να δειξετε οτι ΒΕ = 6ΚΕ. Ε Β οποτε απο θ. Θαλη: ΚΕ Κ ΚΕ Κ ΚΕ Κ = η = η = η ΚΒ Κ ΚΕ+ΚΒ Κ+Κ ΒΕ Κ+5Κ ΚΕ Κ ΚΕ 1 = η = η ΒΕ =6 ΚΕ ΒΕ 6Κ ΒΕ 6 9. Ειναι Β Δ (θ.θαλη): Ο ΟΒ = ΟΔ Ο ΕΒ (θ.θαλη): ΟΕ ΟΒ = Ο Ο Ο ΟΕ ΟΔ Ο ετσι: = η Ο =ΟΔ ΟΕ Ε Β Η Β Κ Ε Δ Οι μη παραλληλες πλευρες Δ και Β τραπεζιου ΒΔ τεμνονται στο σημειο Ο. Η παραλληλη απ'το Β στην τεμνει την Δ στο Ε. Να δειξετε οτι : Ο = ΟΔ ΟΕ. Ε Ο Ζ Β Β Δ

47 ε ω μ ε τ ρ ι α 47 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο 10. Μια ευθεια (ε) διερχεται απο το μεσο Μ ενος τμηματος Β. Να αποδειξετε οτι τα σημεια και Β ισαπεχουν απο την (ε). Εστω, ΒΔ οι αποστασεις των, Β απο την (ε). Τοτε = Δ = 90 ο. Τα τριγωνα Μ και ΒΔΜ ειναι ισα γιατι: Ορθογωνια Μ = ΜΒ Μ μεσο του Β Μ = Μ κατακορυφην 1 Ετσι και τα υπολοιπα αντιστοιχα στοιχεια τους ειναι ισα, οποτε = ΒΔ. 11. Στο διπλανο σχημα ειναι ΕΖ // Δ και ΕΗ// Β. Να υπολογισετε τα ευθυγραμμα τμηματα x και y. ΖΕ // Δ που τεμνουν τις Δ,. πο θ. Θαλη Ζ Ε = ΖΔ Ε 18-x 8 = x 1 1(18 - x) = 8x 16-1x = 8x 16= 0 x x = 10,8 Μ Β 1 18 Δ x Ζ y Η 8 Ε Δ 9 1 Β ΗΕ // Β που τεμνουν τις, Β. πο θ. Θαλη : Ε Η = Ε ΗΒ 8 y = 1 9 y = 6

48 48 ε ω μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο 1 ο Κ ε φ α λ α ι ο 1. Οι πλευρες ενος τριγωνου ειναι 4, 5, 6 cm αντιστοιχα. Σε ενα ομοιο τριγωνο η διαφορα της μικροτερης απο τη μεγαλυτερη ειναι 4 cm. Να υπολογισετε τα μηκη των πλευρων του δευτερου τριγωνου καθως και το λογο ομοιοτητας των δυο τριγωνων. Aν x cm η μικροτερη πλευρα του δευτερου τριγωνου, τοτε η μεγαλυτερη θα ειναι x + 4 cm. Aπ την ομοιοτητα των τριγωνων : x x+4 = η 6x =4(x+4) η 6x =4x+16 η x =16 η x =8 4 6 ρα η μικροτερη πλευρα του δευτερου τριγωνου ειναι 8 cm και η μεγαλυτερη = 1 cm. κομη, αν y η τριτη ζητουμενη πλευρα y 8 = η 4y =40 η y = δηλαδη η τριτη πλευρα του δευτερου τριγωνου ειναι 10 cm. Ο λογος ομοιοτητας των δυο τριγωνων, ειναι ο λογος δυο ομολογων πλευρων της, δηλαδη 8 λ = = 4

49 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α. 1 Τριγωνομετρικοι ριθμοι γωνιας ω με 0 0 ω Τριγωνομετρικοι ριθμοι Παραπληρωματικων ωνιων. 3 Σχεσεις μεταξυ Τριγωνομετρικων ριθμων ωνιας. 4 Νομος Ημιτονων Νομος Συνημιτονων

50 50 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι ω ν ι α ς Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς. 1. Ο ρ ι σ μ ο ι Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο Τ ρ ι γ ω ν ο ημω = συν = εφω = απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα προσκειμενη καθετη πλευρα Β υποτεινουσα απεναντι καθετη πλευρα προσκειμενη καθετη πλευρα Ο ρ θ ο κ α ν ο ν ι κ ο Σ υ σ τ η μ α ημω = συν = εφω = τεταγμενη του Μ = αποσταση Μ απο Ο τετμημενη του Μ αποσταση Μ απο Ο τεταγμενη του Μ = τετμημενη του Μ Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ε ς ω ν ι ε ς Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς = y x y ρ x ρ = Β = Β = AΒ Ειναι : ημ(90 0 ω ) = συνω και συν(90 0 ω ) = ημω ν 0 0 ω : 0 ημω 1 και - 1 συνω 1 ν δυο γωνιες εχουν το ιδιο ημιτονο και ειναι απο 0 o μεχρι και 180 o, τοτε ειναι ισες η παραπληρωματικες. ημ90 0 = 1 συν90 0 = 0 πο ημω > 0, συνω > 0, εφω > 0 πο ημω > 0, συνω < 0, εφω < 0 ημ(180 0 ω) = ημω συν(180 0 ω) = - συνω εφ(180 0 ω) = - εφω εφ90 0 = δεν οριζεται ΟΜ =ρ = x +y Μ ημ60 0 = 3 συν60 0 = 1 εφ60 0 = 3 Μ Μ Β Μ Μ ω Μ (x,y) ρ ημ45 0 = y Ο συν45 0 = εφ45 0 = 1 ημ30 0 = 1 ω συν30 0 = 3 εφ30 0 = x ημ0 0 = 0 συν0 0 =1 εφ0 0 = 0

51 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι ω ν ι α ς 51 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν. 1. Μεθοδος : Υπολογισμος τριγωνομετρικων αριθμων. Προκειμενου να προσδιορισουμε τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας ω με 0 0 ω : σε ορθοκανονικο συστημα συντεταγμενων : ρ = απο γνωστα σημεια (x, y), βρισκοντας το ρ = y x y ημω =, συνω =, εφω = ρ ρ x x + y = 6 +(- 8) = = 100 = 10 ημω = y ρ = - 8 = , συνω = x ρ = 6 = , εφω = y x = - 8 = Με την βοηθεια του πινακα x 0 1 y 0 3 σχεδιαζουμε τη γραφικη παρασταση της ευθειας y = 3x ια y = 3 εχουμε 3 = 3x η x = 1 ρα M(1, 3) x + y χρησιμοποιωντας τους τυπους απ τη γραφικη παρασταση ευθειας με γνωστη μιας συντεταγμενης σημειου της, βρισκοντας την αλλη και στη συνεχεια το ρ με αποτελεσμα να βρουμε ευκολα ημω, συνω, εφω. απ την ευρεση των συντεταγμενων του σημειου Μ, με γνωστο καποιο τριγωνομετρικο α- ριθμο της xom, η χρηση ορθογωνιων τριγωνων. Να υπολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας ω = x Ο M οταν Μ( 6, - 8) Μια ευθεια ε εχει εξισωση y = 3x. Να σχεδιασετε την ευθεια ε και να προσδιορισετε την τετμημενη ενος σημειου της Μ που εχει τεταγμενη 3. Να υπολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας ω = x Ο M. y 3 Μ ω 0 1 x ΟΜ = ρ = Ετσι x + y = 1 +3 = 10 ημω = y ρ = 3 10 = , συνω = 1 10 = 10 10, εφω = y x =3 1 = 3

52 5 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι ω ν ι α ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν. 1. Στο διπλανο σχημα ειναι εφω = - 5. ν η τεταγμενη του Μ 1 ειναι, τοτε να υπολογισετε : Το ημω και το συνω Εστω Μ(x, ), τοτε εφ ω = y x η = x η x = ΟΜ = ρ = x + y = - + = +4 = = ημω = y = = 10 = 5 ρ x 4 1 συνω = = 5 =- =- ρ Μεθοδος : Υπολογισμος μηκους, υψους με τη βοηθεια τριγωνομετρικων αριθμων. Μια γυναικα υψους 1,60 m απομακρυνεται απο τη βαση ενος φανοστατη υψους 8,6 m Να βρειτε ποσο εχει απομακρυνθει απο τον φανοστατη η γυναικα τη στιγμη που η σκια της γυναικας εχει γινει ιση με το υψος της. Μ y ω 0 x Προκειμενου να προσδιορισουμε την αποσταση δυο σημειων : σχηματιζουμε ορθογωνιο τριγωνο με μια πλευρα του την πιο πανω αποσταση. σε σχεση με τη δοσμενη γωνια, παιρνουμε τον ορισμο του καταλληλου τριγωνομετρικου αριθμου, εχοντας υποψιν τους τριγωνομετρικους αριθμους γνωστων γωνιων (30 0, 45 0, 60 0 ). λυνουμε την εξισωση που προκυπτει με αγνωστο την ζητουμενη αποσταση. Φ 8,6 Κ 1,6 Ο x Σκια Π x

53 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι ω ν ι α ς 53 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν. 1. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΚΠ, αν ω = ΠΚ, τοτε εφω = 1,6 1,6 = 1 οποτε ω = ΠΚ = 45 0 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΦΟΠ : ΦΟ 8,6 εφω=1 η =1 η =1 η x+1,6=8,6 η x =8,6-1,6= 7 m ΟΠ x+1,6 Μεθοδος : Υπολογισμος τριγωνομετρικων αριθμων αμβλειας γωνιας. Προκειμενου να προσδιορισουμε παρασταση που περιεχει τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας ω με 90 0 ω : βρισκουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους συμφωνα με : ημ(180 0 ω) = ημω συν(180 0 ω) = - συνω εφ(180 0 ω) = - εφω εχοντας υποψιν τους τριγωνομετρικους αριθμους γνωστων γωνιων (30 0, 45 0, 60 0 ) ημ150 =ημ( ) =ημ30 = εφ135 =εφ( ) =- εφ45 = συν150 =συν( ) =- συν30 =- συν135 =συν( ) =- συν45 = ημ135 =ημ( ) =ημ45 = Οποτε την αλλη και στη συνεχεια το ρ με αποτελεσμα να βρουμε ευκολα ημω, συνω, εφω. αντικαθιστουμε στη δοσμενη παρασταση. Να αποδειξετε οτι ημ150 + εφ συν ημ10 ημ135 συν150 = ημ10 =ημ( ) =ημ60 = (- 1) ημ150 + εφ135 συν150 = = =- = συν ημ ημ

54 54 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι ω ν ι α ς Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν. 1. Μεθοδος : Υπολογισμος μεγιστου - ελαχιστου παραστασης τριγωνομετρικων αριθμων. Προκειμενου να προσδιορισουμε το μεγιστο η το ελαχιστο παραστασης τριγωνομετρικων αριθμων : παιρνουμε τις ισοτητες : ν 0 0 ω : 0 ημω 1 και - 1 συνω 1. εμφανιζουμε, με λογικες πραξεις, τη δοσμενη παρασταση στο μεσαιο μελος της διπλης ανισοτητας. Να βρειτε τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη των παραστασεων : = 1 + ημα Ειναι ημα 1 η 0 ημα η 1 1+ημα +1 η 1 3 ρα, = 1 και = 3 mn max.(-1) +3-1 συνα 1 η 1 - συνα -1 η -1 - συνα 1 η συνα 3+1 η αντιστροφη Β = 3 - συνα συνα 4 η η 3-συνα 4 η 4 3-συνα η 4 3-συνα 1 Β 1 1 ρα, Β = και Β = 1 mn max Μεθοδος : Υπολογισμος γωνιας σε εξισωση ως προς τριγωνομετρικο αριθμο. Προκειμενου να προσδιορισουμε γωνια σε εξισωση ως προς τριγωνομετρικο αριθμο : λυνουμε την εξισωση ως προς τον τριγωνομετρικο αριθμο. απ το πινακα τριγωνομετρικων αριθμων βασικων γωνιων, βρισκουμε τη ζητουμενη γωνια. 0 0 Να βρειτε τη γωνια x, αν 0 x 180 και συν x = 1. Ειναι ± ± ± συνx = 0 x =45 συνx = ± η οποτε ( ) x =( ) =135 συνx =- συν x =1 η συν x = η συνx = η συνx = η συνx = η

55 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι ω ν ι α ς 55 ι α Π ρ ο π ο ν η σ η Μια ευθεια ε εχει εξισωση 3x + y = 6. Να σχεδιασετε την ευθεια ε και να προσδιορισετε την τεταγμενη ενος σημειου της Μ που ε- χει τετμημενη 4. Να υπολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας ω = x ΟM.. Να βρειτε τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη των παραστασεων: =3ημα-5 Β= 4-συνβ =7ημγ+6συνγ 3. Να υπολογισετε τη γωνια x, αν : ημ x = 0,5 με 0 x συν x = 3 με 90 x ημ x-ημx+1 = 0 με 0 x Να αποδειξετε οτι : ημ150 + συν165 +ημ75 - συν60 = ημ89 + ημ91 - συν1 = 0 ν, Β, ειναι οι γωνιες τριγωνου Β, να αποδειξετε οτι : 6. ημ(+β) =ημ συν(+) =- συνβ εφ(β+) =- εφ Ενα μικρο αγορι πεταει χαρταετο. Το νημα του αετου σχηματιζει γωνια 30 0 με το εδαφος. Εαν το υψος του αετου ειναι h = 4 m, βρειτε το μηκος (σε μετρα) του νηματος που το αγορι ε- χει χρησιμοποιησει Να βρειτε τη γωνια x, αν 0 x 180 και 1-ημ x =0 ημx+ 3 =0

56 56 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς Β α σ ι κ ε ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς ημ ω + συν ω = 1 με 0 0 ω Εναλλακτικα : ημ ω = 1 - συν ω συν ω = 1 - ημ ω εφω = ημω συνω με 0 0 ω και συνω 0 Εναλλακτικα : ημω = εφω συνω συνω = ημω εφω π ο δ ε ι ξ η Ειναι διαιρω με ρ ρ = x + y η x + y =ρ η y ημω = ρ x y ρ x y + = η + =1 η ρ ρ ρ ρ ρ συνω + ημω = 1 Ειναι x συνω = ρ y y ημω = διαιρω με ρ 0 ρ y ρ ημω εφω = η εφω = η εφω = x αριθμητη - παρονομαστη x x συνω συνω = ρ ρ Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Οι πλευρες καθε τριγωνου ειναι αναλογες προς τα ημιτονα των απεναντι γωνιων του : α β γ = = ημ ημβ ημ π ο δ ε ι ξ η Δ Στο τριγ. Δ:ημ= η Δ =β ημ β α β Ετσι, β ημ=α ημβ η = Δ ημ ημβ Στο τριγ. ΒΔ:ημΒ= η Δ =α ημβ α β γ Ομοια και =, ημβ ημ α β γ β α οποτε = = ημ ημβ ημ y ρ ω Μ(x,y) 0 x Δ γ Β

57 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν 57 Β α σ ι κ ε ς ν ω σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν Σε τριγωνο Β ισχυει α = β +γ - β γ συν β = γ + α - γ α συνβ γ = α + β - β β συν α =β -Δ A π ο δ ε ι ξ η Δ γ Πυθαγορειο στο τρ. ΒΔ α =Δ +ΔΒ α = β -Δ +(γ-δ) Πυθαγορειο στο τρ. Δ η β =Δ +Δ η Δ =β -Δ Δ Δ =βσυν Δ =βσυν συν= β Δ =βσυν α =β +γ -βγσυν +γ -γδ+δ η α =β +γ -γ Δ =βσυν βσυν Με ομοιο τροπο κανουμε την αποδειξη, αν το τριγωνο ειναι αμβλυγωνιο. β η α η Β

58 58 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : Ευρεση τριγωνομετρικων αριθμων γωνιας αν ειναι γνωστος ο ενας απ αυτους. Προκειμενου να βρουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους γωνιας ω : αν ειναι δοσμενα το ημω η το συνω και αν η γωνια ω ειναι οξεια η αμβλεια απ τον τυπο : ημ ω + συν ω = 1 βρισκουμε το ζητουμενο ημω η συνω το προσημο προκυπτει απ το αν η γωνια ω ειναι οξεια η αμβλεια. αν το δοσμενο εινα η εφω και αν η γωνια ω ειναι οξεια η αμβλεια παιρνουμε τον : ημ ω + συν ω = 1 και διαιρουμε με συν ω οποτε προκυπτει εφ ω την 1 οποια αντικαθιστουμε και συν ω απ τη παραπανω βρισκουμε το συνω και απ τον τυπο ημ ω + συν ημω ω = 1 η εφω = συνω προσδιοριζουμε και το ημω. ν ημx = και 0 < x < εφx = - και 90 < x < τοτε να υπολογισετε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους. ημ x+συν x =1 η συν x =1-ημ x η συν x =1- η συν x = η 0 x συν x = η συνx = ± η συνx 0 5 ημx εφx = η εφx = η εφx = συνx Β = συνx = 13 η 5 εφx = ημ x συν x ημ x+συν x =1 η + = η εφ x+1 = η - +1 = η συν x συν x συν x συν x 3 συν x συν x 3 συν x 3 συν x = η +1 = η = η συν x = η συνx = ± η 3 συνx = ± η 90 x 180 συνx 0 3 συνx = - ημx εφx = η ημx = εφx συνx η ημx = - - η ημx = η συνx ημx =

59 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν 59 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : ποδειξη ισοτητας. Προκειμενου να αποδειξουμε μια τριγωνομετρικη ισοτητα (τριγ. αριθμοι της ιδιας γωνιας) : Δοσμενη τριγωνομετρικη ισοτητα που θελουμε να δειξουμε οτι αληθευει : ξεκινουμε απ το ενα μελος (το πιο «πολυπλοκο») και με καταλληλους μετασχηματισμους καταληγουμε στο αλλο μελος, χρησιμοποιωντας τους τυπους ημ ω + συν ω = 1 η εφω = ημω συνω. Δοσμενη τριγωνομετρικη ισοτητα και θελουμε να δειξουμε οτι αληθευει αλλη ισοτητα : ξεκινουμε απ τη δοσμενη ισοτητα και με καταλληλους μετασχηματισμους καταληγουμε στη ζητουμενη ισοτητα, χρησιμοποιωντας τους τυπους ημ ω + συν ω = 1 η εφω = ημω συνω. Προκειμενου να αποδειξουμε μια τριγωνομετρικη ισοτητα (τριγ. αριθμοι διαφορετικης γωνιας) : ξεκινουμε απ το ενα μελος και μετασχηματιζουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους που δεν βρισκονται στο αλλο μελος (θελουμε τριγωνομετρικους αριθμους ιδιας γωνιας με το αλλο μελος). Nα δειξετε οτι (3ημx +4συνx) +(4ημx -3συνx) = 5 Aν ημx +3συνx = 3, τοτε να δειξετε οτι : (3ημx -συνx) = 1 συνβ εφα + ημβ εφα Nα δειξετε οτι = συνα εφβ εφβ+ ημα (3ημx+4συνx) +(4ημx-3συνx) =9ημ x + 4ημxσυνx+16συν x+16ημ x - 4ημxσυνx+9συν x = ημx+3συνx =3 η (ημx+3συνx) =3 η ημ x+6ημxσυνx+ 9συν x =9 ημ x +6συνx+ συν x+8συν 1+6συνx+8συν x =9 ( 1+6συνx+8συν x =9ημ x+9συν x η 9ημ x+συν x-6συνx =1 η (3ημx -συνx) = 1 η =5ημ x+5συν x = ημ x+συν x = 1 =5(ημ x+συν x) = =5 1 = 5 ημ x + συν x = 1 x =9 1 η ημ x+συν x) η

60 60 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν συνβ ημα συνβ ημαημβ + συνασυνβ εφα+ + ημβ συνα ημβ συναημβ ημασυνβ(ημαημβ + συνασυνβ) = = = συνα ημβ συνα ημαημβ + συνασυνβ εφβ+ + (ημαημβ + συνασυνβ) συναημβ ημα συνβ ημα ημασυνβ ημα συνα εφα = = ημβ εφβ συνβ Μεθοδος : Ευρεση πλευρας η γωνιας τριγωνου. 0 Σε τριγωνο Β ειναι β = 3 cm, γ = 1 cm και = 30, να βρεθει : η πλευρα α η αμβλεια γωνια Β π'το νομο των συνημιτονων στο τριγωνο Β : 0 α =β +γ -βγσυν η α =( 3) συν30 η α =3+1- α =1 η α = 1 π'το νομο των ημιτονων στο τριγωνο Β : α β = η = η = η = η ημβ = οποτε 0 ημ ημβ ημ30 ημβ 1 ημβ ημβ 0 0 Β=60 η Β=10 Ομως η Β αμβλεια, αρα Β = 10 0 ημασυνβ = = συναημβ Προκειμενου να βρουμε πλευρα η γωνια τριγωνου : αν γνωριζουμε μια πλευρα ενος τριγωνου, την απεναντι γωνια της και μια αλλη πλευρα η γωνια του, τοτε μπορουμε να υπολογισουμε τις υπολοιπες πλευρες γωνιες του με το νομο των α β γ ημιτονων = = ημ ημβ ημ. αν σ ενα τριγωνο γνωριζουμε τις τρεις πλευρες του η δυο πλευρες και την περιεχομενη γωνια τους, τοτε μπορουμε να υπολογισουμε, τοτε μπορουμε να υπολογισουμε τις υπολοιπες πλευρες γωνιες του με το νομο των συνημιτονων α = β +γ - β γ συν. 3 3 η

61 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν 61 Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν Μεθοδος : ποδειξη ισοτητων με ημιτονα συνημιτονα γωνιων τριγωνου. Προκειμενου να αποδειξουμε μια τριγωνομετρικη ισοτητα (περιεχει ημιτονα) : α β γ εξισωνουμε τη διπλη ισοτητα του νομου ημιτονων με κ, = = = κ ημ ημβ ημ α β γ λυνουμε καθεμια ως προς ημιτονο ημ=, ημβ =, ημ = κ κ κ αντικαθιστουμε τα ημ, ημβ, ημ στην προς αποδειξη σχεση. Προκειμενου να αποδειξουμε μια τριγωνομετρικη ισοτητα (περιεχει συνημιτονα) : λυνουμε καθεμια οι οποιες μας ενδιαφερουν, ως προς συνημιτονο β +γ -α α +γ - β α + β -γ συν =, συνβ =, συν = βγ αγ αβ αντικαθιστουμε τα συν, συνβ, συν στην προς αποδειξη σχεση. Σε καθε τριγωνο Β να αποδειξετε οτι α(ημβ - ημ) + β(ημ - ημ) + γ(ημ - ημβ) = 0 β - γ = α(βσυν - γσυνβ) π το νομο των ημιτονων : Θετουμε α β γ = = =κ ημ ημβ ημ α α =κ οποτε ημ= ημ κ β β =κ οποτε ημβ= ημβ κ γ γ =κ οποτε ημ = ημ κ Ετσι α β γ = = ημ ημβ ημ. οποτε α(ημβ - ημ) + β(ημ - ημ) + γ(ημ - ημβ) = α( β κ - γ κ ) + β(γ κ - α κ ) + γ(α κ - β κ ) = = αβ κ - αγ κ + βγ κ - αβ κ + αγ κ - βγ κ = 0 π τον νομο συνημιτονων : γ = α + β - αβσυν η αβσυν = α + β - γ η βσυν = α + β - γ α (1)

62 6 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς σ κ η σ ε ω ν β = α + γ - αγσυνβ η αγσυνβ = α + γ - β η γσυνβ = Ετσι α(βσυν - γσυνβ) = αβσυν - αγσυνβ (1),() α + β - γ = α α = = = α + β - γ α - - α + β - γ - α (β - γ ) = β - γ = α + γ - β α α + γ - β α α + γ - β +β -γ = = = ()

63 Σ χ ε σ ε ι ς Ν ο μ ο ς Η μ ι τ ο ν ω ν Σ υ ν η μ ι τ ο ν ω ν 63 ι α Π ρ ο π ο ν η σ η ν ημx = και 0 <x <90, να υπολογισετε : 5 το συνx και την εφx. την αριθμητικη τιμη της παραστασης :. = 3 ημ x+5 ημx συνx εφ x 0 0 ν εφx =3 και 0 < x <90, να υπολογισετε : το συνx και την εφx. την αριθμητικη τιμη της παραστασης : 3. = ημx+3 5 εφx+3 ημ x+συνx Να αποδειξετε οτι : 4. ημ x-συν x =1-συν x =ημ x-1 εφ x-1 =ημ x-συν x εφ x+1 συνx ημ x + =ημx+συνx 1-εφx ημx-συνx (ημx+συνx) -(ημx-συνx) =4 ημx συνx Να αποδειξετε οτι το τριγωνο Β ειναι ισοσκελες αν ισχυει ενα απο τα : βημβ=γημ βσυν = γσυνβ 5. Να υπολογισετε τη γωνια τριγωνου Β αν :α = cm, β = cm και γ =( 3-1) cm. 0 Να υπολογισετε τα υπολοιπα στοιχεια τριγωνου Β αν :α =1 cm, β = 3 cm και = ν α, β, γ ειναι πλευρες τριγωνου Β και ισχυει :β = α +γ +αγ, τοτε να υπολογισετε τη γωνια Β.

64 64 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο ημx -συνx = 1 εφx + εφx 0 0 ν συνx = - και 90 < x < 180, τοτε να υπολογισετε τη τιμη της παραστασης : Ειναι ημ x+συν x =1 η ημ x+ - =1 η ημ x+ =1 η ημ x+=1- η ημ x = - η ημx = = 5 3 εφx =- συνx < x < 180 ημ x = η ημx =± οποτε ημx > 0 Οποτε = 5 5 = 5 1 = Eιναι ημx = x -1 ν x >, 0 < α < 90 και ημα =, τοτε να δειξετε οτι : εφα = x -1. x 1 x > ημ α + συν x = 1 x-1 x-1 x 1 1 ημα = η ημ α = η ημ α = - η ημ α =1- η x x x x x 1 x > ημ α =ημ α+συν x- η συν x = η συνx = Οποτε x-1 ημα εφα = = x = συνα 1 x x x x x-1 x 1 x x-1 = = 1 x -1

65 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 65 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο 3. Να αποδειξετε οτι : Β + σε καθε τριγωνο Β ισχυει : ημ + ημ = 1 A σε ισοσκελες τριγωνο Β (Β = = α) η βαση του Β = αημ. Ειναι Β Β +Β+ =180 η + + =90 η + =90- η ημ(90 - α) = συνα + Β + Β ημ =ημ 90- η ημ =συν (1) Οποτε (1) ημ α + συν α = 1 Β + Β Β ημ +ημ =ημ +συν = 1 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΔ, απ'τον ορισμο του ημιτονου ειναι: Β Β A ΒΔ A A ημ = η ημ = η ημ = η Β Β α A Β αημ = η 4. Να αποδειξετε Ειναι A Β = αημ εφ θ + = 1+συν θ 1+εφ θ ημ θ ημ θ+ συν θ (ημ θ+ συν θ ) +συν θ 1+συν θ + εφ θ+ = συν θ = συν θ = συν θ = συν θ = 1 συν θ 1+εφ θ ημ θ συν θ+ημ θ (συν θ+ημ θ) 1+ συν θ συν θ συν θ Β 1 Β Δ = συν θ (1+συν θ) 1 συν θ =1+συν θ

66 66 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο 5. Να βρειτε τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη των παραστασεων : = 4ημ x -1 Β = 4 -συνx Ειναι 0 ημx 1 0 ημ x ημ x ημ x Να υπολογισετε τη γωνια α, αν το συνx ειναι ριζα της εξισωσης x -3x - = 0 και α 180. Ειναι Ειναι Δ =β -4αγ =(- 3) -4 (- ) =9+16=5 > 0 x -3x-=0: β =- 3 τοτε - β± Δ -(- 3)± 5 3±5 1 x = = = 4 1, γ =- α a = x = απορριπτεται αφου συνx 1 1 x =- η 7. φου Ετσι A = x = = x = = συνα =- η α =10 αφου: συν10 =συν( ) =- συν60 = <x <90 τοτε : ημx 0, ημx 1, συνx 0, συνx 1. συνx = ημx 1 η συν x = 4ημ x 4ημx + 1 η 1 - ημ x = 4ημ x 4ημx + 1 η 5ημ x 4ημx = 0 η ημx(5ημx 4) = 0 η mn A = 3 max -1 συνx συνx συνx συνx συνx +4 Β 6 B = mn B = ν 0 < x < 90 και συνx = ημx -1, να υπολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας x. max ημx = 0, απορριπτεται απο περιορισμο η η 5ημx-4 =0 4 ημx = 5

67 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 67 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο συνx =ημx-1 η συνx = -1 η συνx = - η ημx εφx = η εφx = η εφx = η εφx = συνx λ λ-1 λ +1 λ +1 4λ λ -λ+1 + =1 ημ x+συν x =1 η + =1 λ +λ+1 λ +λ +1 4λ +λ -λ+1=λ +λ+1 4λ - 4λ =0 4λ(λ-1) =0 λ =0 λ =1 π το νομο των ημιτονων : 3 συνx = 5 λ λ-1 Να βρεθει ο πραγματικος αριθμος λ, αν ημx = και συνx =. λ+1 λ Να αποδειξετε οτι το τριγωνο Β ειναι ισοσκελες, αν = 10, β = 5 cm και α = 5 3 cm. ημ10 0 = ημ60 0 α β ημ ημβ ημβ ημβ ημβ = η ημ10 = η ημ60 = η = 3 η Β=30 10 = η ημβ= η ημβ = η ημβ 10 Β= Δεκτη η Β = 30 αφου δεν υπαρχει τριγωνο με δυο αμβλειες γωνιες ( = 10 ) Ετσι και = =30 Δηλαδη, Β= που σημαινει οτι το τριγωνο Β ειναι ισοσκελες = η ημβ

68 68 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο 10. Ενας παρατηρητης στο εδαφος βλεπει υπο γωνια κλισης 30 0 ενα αεροπλανο και 10 δευτερολεπτα αργοτερα το βλεπει υπο γωνια κλισης Εαν το αεροπλανο πετα με σταθερη ταχυτητα και σε σταθερο υψομετρο 6000 ποδων σε ευθεια γραμμη ακριβως πανω απο τον παρατηρητη, να βρειτε την ταχυτητα του αεροπλανου σε μιλια ανα ωρα. (Σημειωση: 1 μιλι = 580 ποδια) Η ισοτητα των γωνιων φαινεται στο διπλανο σχημα. Στο ορθογωνιο τριγωνο Π : 0 Π =30 οποτε Π = = 6000 = 1000 ποδια Στο τριγωνο ΠΒ νομος ημιτονων : Β ημ30 Β ημ30 ΠΒ = η ημ ημ10 = ημ ημ60 = ΠΒ = η ημ60 Β = η Β = η Β= η Β= = 698 η Β =1,31 μιλια t = 10 δευτερολεπτα = = ωρες Ετσι η ταχυτητα του αεροπλανου ειναι : AB 1,31 μιλια υ = = = 471,6 μιλια/ωρα t 1 ωρες Να αποδειξετε οτι σε καθε τριγωνο Β : α + β ημ+ ημβ εφβ α + β -γ = = γ ημ εφ α +γ - β Π Β Ειναι απ το νομο ημιτονων ιδιοτητα αναλογιων α β α+β = = ημ ημβ ημ+ημβ α+β γ α+β ημ+ημβ τοτε = η = α γ ημ + ημβ ημ γ ημ = ημ ημ

69 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α 69 Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο Ειναι απ'το νομο συνημιτονων : γ =α +β -αβσυν η α +β -γ =αβσυν β =α +γ -αγσυνβ η α +γ -β =αγσυνβ Ειναι απ'το νομο ημιτονων : β γ β ημβ = η = ημβ ημ γ ημ Ετσι α +β -γ αβσυν β συν ημβ συν εφβ 1. α +γ -β ημβ = = = = συνβ = αγσυνβ γ συνβ ημ συνβ ημ εφ συν Να βρειτε τις πλευρες τριγωνου Β, αν τα μηκη τους ειναι διαδοχικοι αρτιοι φυσικοι αριθμοι, με γ να ειναι η μικροτερη πλευρα και συν = 4 5. Να δειξετε επιπλεον οτι το τριγωνο ειναι ορθογωνιο. Εστω γ, γ +, γ + 4 οι πλευρες του τριγωνου με γ φυσικο αρτιο. π το νομο των συνημιτονων : γ = (γ + ) + (γ + 4) - (γ + )(γ + 4)συν γ = γ + 4γ γ + 8γ (γ + 4γ + γ + 8) = 1γ γ - (γ + 1γ + 16) = 5γ + 60γ γ - 48γ 64-3γ + 1γ + 36 = 0 γ - 4γ - 1 = 0 Δ =β -4αγ =(- 4) -4 1 (- 1) =16+48=64 > 0 a =1 4+8 γ = =6 γ =- 1 α γ = =- <0 απορρ. γ -4γ-1=0: β =- 4 τοτε - β± Δ -(- 4)± 64 4±8 1 γ = = = 1, Δεκτη η τιμη γ = 6 (αφου προκειται περι μηκους) και οι αλλες δυο πλευρες ειναι 8 και 10. Ειναι = = 100 = 10 Ετσι, απ το Πυθαγορειο θεωρημα το τριγωνο Β ειναι ορθογωνιο.

70 70 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Μ ι α Ε π α ν α λ η ψ η γ ι α τ ο ο Κ ε φ α λ α ι ο 13. Δυο ανδρες που βρισκονται απ την ιδια πλευρα βλεπουν κτιριο υψους 51,7 μετρων, υπο γωνια 30 0 και 60 0 αντιστοιχα. Να βρειτε την αποσταση σε μετρα μεταξυ των δυο ανδρων που η α- ποσταση των ματιων τους απ το εδαφος ειναι 1,7 μετρα. Στο τριγωνο Δ, η γωνια =30 0, οποτε Δ = y = 50 = 100 μετρα Στο τριγωνο ΒΔ, νομος ημιτονων : x ημ30 x ημ30 y = η ημ ημ60 = 0 0 ημ10 = ημ ημ60 = y = η ημ60 x 100 A = η x x = η x = η x = η x =57,73 3 ( 3) Δηλαδη η αποσταση των δυο ανδρων ειναι 57,73 μετρα y 10 0 B Δ 50