1 Algebarske operacije i algebraske strukture
|
|
- Μελπομένη Κολιάτσος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo a = (a i ) i I A I, gde je a i := a(i). Ako je I =, onda je svaka I-familija prazna. Pojam familije uopštava pojam ured ene n-torke (n je prirodan broj) i pojam niza. Defnicija 1.2 Neka je A neprazan skup i n nenegativan ceo broj. a) Definišemo n-ti stepen skupa A, u oznaci A n : A 0 := { } i A n := {(a 1,..., a n ) a 1,..., a n A}, ako je n > 0. A n se formalizuje i kao skup svih funkcija iz skupa {1, 2,..., n} u skup A. b) Algebarska operacija skupa A, dužine n, ili n-arna operacija skupa A, je ma koja funkcija f : A n A. Za n kažemo da je arnost ili dužina operacije f, u oznaci ar(f). Ako je f n-arna operacija i ako su a 1,..., a n A, onda za sliku f(a 1,..., a n ) iz A kažemo i da je rezultat operacije f, primenjene na (a 1,..., a n ). Operacije f dužine 0 su odred ene slikom f( ) jedinog elementa iz A 0, to jest fiksiranim elementom a := f( ) iz A. Zato ćemo nularne operacije poistovećivati sa izabranim elementima skupa A i tako ih zapisivati. Zapravo, konstante iz A su našom definicijom formalno uvedene kao nularne operacije. Ako je f operacija dužine 1, ili unarna operacija, i a A, rezultat pišemo f(a); ali ne uvek, veoma retko. Neki znaci, na primer, 1,,, c, T, se često koriste za označavanje unarnih operacija. Tada rezultat primene tih operacija na a pišemo ( a), (a 1 ), (a ), a, (a c ), (a T ). 1
2 Ako je f operacija dužine 2, ili binarna operacija, i a, b A, rezultat u takozvanom prefiksnom zapisu pišemo f(a, b), ali se takav zapis retko koristi. Neki znaci, na primer +,,,,,,, pa čak i,, se često koriste za označavanje binarnih operacija i rezultat primene tih operacija na a, b A se piše u takozvanom infiksnom zapisu. Na primer (a b). Defnicija 1.3 Algebarska struktura, ili kraće algebra, je ured eni par A := (A, Ω), gde je A neprazan skup, domen algebre A, i Ω neka familija algebarskih operacija skupa A. Tip, ili signatura, algebre A = (A, Ω) je Ω-familija (ar(f)) f Ω. Kada je Ω = (f i ) i I, za neki skup I, onda pišemo i A := (A, f i ) i I. Tada je tip, ili signatura, algebre A I-familija (ar(f i )) i I. Algebre A i B su istotipne ako imaju jednake tipove. 2 Algebarski: jezik, izraz, zakon, teorija Defnicija 2.1 Algebarski jezik L je skup nekih simbola koje nazivamo simboli algebarskih operacija, na kome je definisana funkcija arnosti ar : L N 0 : f ar(f) 0, koja svakom simbolu jezika L pridružuje njegovu dužinu (arnost). Tada je ar(l) := (ar(f)) f L N 0 L jedna L-familija u N 0. Napomena. L = m 0 L m, gde je L m := {f L ar(f) = m}. Element f jezika L zovemo simbolom (znakom): 1) konstante, ako je ar(f) = 0, 2) unarne operacije, ako je ar(f) = 1, 3) binarne operacije, ako je ar(f) = 2, 4) ternarne operacije, ako je ar(f) = 3. 2
3 Defnicija 2.2 Neka je L algebarski jezik, Var skup disjunktan sa L čije elemente nazivamo promenljivim. Skup algebarskih izraza (ili terma) jezika L, nad skupom promenljivih Var, u oznaci Term L (Var), ili samo Term L, definišemo induktivno: (i) Promenljive i znaci konstanti su termi. (ii) Ako je m > 0, f L m i ako su t 1, t 2,..., t m termi, onda je i f(t 1, t 2,..., t m ) term. (iii) I ništa više. (Termi se dobijaju jedino primenom (i) i (ii).) Defnicija 2.3 Neka je L algebarski jezik. Skup algebarskih izraza (ili terma) jezika L, nad skupom promenljivih Var, L Var =, u oznaci T L (Var), ili samo T L, definišemo induktivno: (i) T 0 := Var L 0, (ii) T n+1 :=T n {f(t 1,..., t m ) m>0, f L m, t 1,..., t m T n }, n 0, (iii) T L := n 0 T n. Term L = Term L (Var) i T L = T L (Var) su najmanji skupovi koji sadrže promenljive i koji su zatvoreni za sve operacijske znake. Definicija 2.2 i Definicija 2.3 definišu iste pojmove, Term L = T L. Defnicija 2.4 Složenost je funkcija sl : T L N 0. Složenost terma u T L je sl(u):=min {n 0 u T n }. Ako je u T 0, onda je sl(u) = 0. Ako u T 0 onda je sl(u) = n u T n \ T n 1. 3
4 Defnicija 2.5 Algebarski zakon jezika L, nad skupom promenljivih Var, je jednakost oblika u = v, gde su u, v T L (Var). Defnicija 2.6 Algebarska teorija T je ma koji skup algebarskih zakona, jezika L, nad skupom promenljivih Var. 3 Modeli: jezika, izraza, zakona, teorije Defnicija 3.1 Algebarska struktura jezika L, ili algebra jezika L, je ured eni par A := (A, (f A ) f L ), gde je A neprazan skup i (f A ) f L neka L-familija algebarskih operacija skupa A koja čuva arnost, to jest takva da je ar(f A ) = ar(f) za svaki operacijski znak f jezika L. Domen algebre A je skup A. Tip algebre A je familija ar(l) = (ar(f)) f L. Algebra A je trivijalna akko A = 1. Algebarski jezik L indeksira i operacije i njihove dužine (arnosti). Algebra A (tačnije, familija (f A ) f L ) je jedan,,model algebarskog jezika L. Algebarska operacija f A je,,model operacijskog znaka f L, u algebri A. Defnicija 3.2 Neka je T L skup terma jezika L, A := (A, f A ) f L je algebra jezika L, i data je funkcija vrednost promenljivih a : Var A. Vrednost terma u algebri A za datu vrednost promenljivih a : Var A je funkcija ϑ A a : T L A, definisana potpunom indukcijom po sl: (i) Ako je x Var, onda ϑ A a (x) := a(x). Ako je c L 0, onda ϑ A a (c) := c A. (ii) Ako je m > 0, f L m i ako su t 1, t 2,..., t m termi, onda je ϑ A a (f(t 1, t 2,..., t m )) := f A (ϑ A a (t 1 ), ϑ A a (t 2 ),..., ϑ A a (t m )). 4
5 (ii) (Detaljniji opis prethodnog koraka.) Ako je u = f(t 1, t 2,..., t m ) T n+1, to jest postoje m > 0, f L m, t 1, t 2,..., t m T n termi čija vrednost je, po (IH), već definisana, onda je ϑ A a (u) = ϑ A a (f(t 1, t 2,..., t m )) := f A (ϑ A a (t 1 ), ϑ A a (t 2 ),..., ϑ A a (t m )). Napomena. Neka je {x 1, x 2,..., x k }, k 0, skup promenljivih koje se pojavljuju u termu t T L (Var). Vrednost terma t = t(x 1, x 2,..., x k ) zavisi samo od vrednosti a i := a(x i ), 1 i k, ovih promenljivih. Zato ćemo pisati ϑ A a (t) = ϑ A a (t(x 1, x 2,..., x k )) =: t A [a 1, a 2,..., a k ], a u ovom zapisu se,,vide i algebra A i vrednost promenljivih a : Var A. Defnicija 3.3 Neka je t = t(x 1, x 2,..., x k ) T L (Var). Tada: t A : A k A : (a 1, a 2,..., a k ) t A [a 1, a 2,..., a k ] := ϑ A a (t) definiše jednu term operaciju skupa A, dužine k. Term operacija t A je,,model terma t, u algebri (modelu jezika L) A. Defnicija 3.4 Algebarski zakon u = v važi u algebri A, jezika L, akko ϑ A a (u) = ϑ A a (v), za svaku vrednost promenljivih a : Var A. Pišemo A u = v, i čitamo: A je model algebarskog zakona u = v. Ako je u = u(x 1, x 2,..., x k ) i v = v(x 1, x 2,..., x k ), onda A u = v akko ( a 1, a 2,..., a k A) u A [a 1, a 2,..., a k ] = v A [a 1, a 2,..., a k ]. Defnicija 3.5 Algebra A, jezika L, je model teorije T akko svi zakoni iz T važe u A, to jest akko A je model svakog zakona iz T. Pišemo A T. 5
6 4 Algebarske teorije i varijeteti Defnicija 4.1 Algebarski varijetet algebarske teorije T, u oznaci M(T), je klasa svih modela te teorije, to jest M(T) := {A A T}. Defnicija 4.2 Klasa algebri M, jezika L, je algebarski varijetet, ili jednakosna klasa, akko postoji algebarska teorija T, jezika L, tako da je M = M(T); akko M može da se aksiomatizuje algebarskim zakonima (jednakostima). 5 Homomorfizmi Defnicija 5.1 Neka su A i B algebre jezika L. Preslikavanje h : A B je homomorfizam h : A B iz algebre A u algebru B akko ( m 0) ( f L m )( a 1,..., a m A) h(f A (a 1,..., a m )) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )). Homomorfizam je preslikavanje,,saglasno sa svim parovima operacija (f A, f B ) f L. Specijalno, ako je ar( ) = 2, ar( ) = 1, ar(c) = 0, i ako su a, a 1, a 2 A, onda je h(a 1 A a 2 ) = h(a 1 ) B h(a 1 ), h(â A ) = ĥ(a)b, h(c A ) = c B. Defnicija 5.2 Neka je h : A B homomorfizam algebri jezika L. a) h je monomorfizam akko je h injekcija, to jest,,1 1, b) h je epimorfizam akko je h surjekcija, to jest,,na, c) h je izomorfizam akko je h bijekcija, to jest,,1 1 i,,na, d) h je endomorfizam akko je A = B, e) h je automorfizam akko je h izomorfizam i endomorfizam. 6
7 Lema 5.1 Neka su A, B, C algebre istog jezika L. Tada: a) Identiteta na A, I A : A A : a a, je automorfizam algebre A. b) Ako su h 1 : A B i h 2 : B C homomorfizmi algebri istog jezika, onda je i h 2 h 1 : A C homomorfizam. c) Ako je h : A B izomorfizam, onda je h 1 : B A homomorfizam.. a) Neka je m 0, f L m, a 1,..., a m A. Tada je I A (f A (a 1,..., a m )) = f A (a 1,..., a m ) = f A (I A (a 1 ),..., I A (a m )). Onda je I A homomorfizam, pa i automorfizam. b) Neka je m 0, f L m, a 1,..., a m A. Tada je (h 2 h 1 )(f A (a 1,..., a m )) = h 2 (h 1 (f A (a 1,..., a m ))) = h 2 (f B (h 1 (a 1 ),..., h 1 (a m ))) = f C (h 2 (h 1 (a 1 )),..., h 2 (h 1 (a m ))) = f C ((h 2 h 1 )(a 1 ),..., (h 2 h 1 )(a m )). c) Ako je m 0, f L m, b 1,..., b m B onda postoje jedinstveni a 1 = h 1 (b 1 ),..., a m = h 1 (b m ) A tako da je h 1 (f B (b 1,..., b m )) = h 1 (f B (h(a 1 ),..., h(a m ))) = h 1 (h(f A (a 1,..., a m ))) = f A (a 1,..., a m ) = f A (h 1 (b 1 ),..., h 1 (b m )). Posledica. Kompozicija dva monomorfizma (odnosno epimorfizma, izomorfizma, endomorfizma, automorfizma) je monomorfizam (odnosno epimorfizam, izomorfizam, endomorfizam, automorfizam). Defnicija 5.3 Neka je A neka algebra. End(A) := {h : A A h je endomorfizam}, Aut(A) := {h : A A h je automorfizam}. 7
8 Stav 5.1 Neka je A algebra. Tada, na osnovu Leme 5.1: End(A) = (End(A),, I A ) je monoid. Aut(A) = (Aut(A),, 1, I A ) je grupa. Defnicija 5.4 Algebre A i B jezika L su izomorfne, pišemo A = B, akko postoji izomorfizam h : A B. Lema 5.2 Izomorfnost je relacija ekvivalencije (na osnovu Leme 5.1). Stav 5.2 Neka je h : A B homomorfizam algebri jezika L. Onda za svaki term u = u(x 1,..., x k ) jezika L važi: ( a 1,..., a k A) h(u A [a 1,..., a k ]) = u B [h(a 1 ),..., h(a k )].. Dokaz izvodimo potpunom indukcijom po sl(u). (i) sl(u) = 0: Ako je u = c L 0, onda je h(u A ) = h(c A ) = c B = u B. Ako je u = x Var, onda je ( a A) h(u A [a]) = h(a) = u B [h(a)]. (ii) sl(u) = n + 1 > 0: Neka je u = f(t 1, t 2,..., t m ) T n+1, to jest postoje m > 0, f L m, t 1, t 2,..., t m T n termi za koje, po (IH), Lema već važi. u = u(x 1,..., x k ) = f(t 1 (x 1,..., x k ), t 2 (x 1,..., x k ),..., t m (x 1,..., x k )). Neka su a 1,..., a k A proizvoljni. Tada: h(u A [a 1,..., a k ]) = h(f A (t A 1 [a 1,..., a k ], t A 2 [a 1,..., a k ],..., t A m[a 1,..., a k ])) = f B (h(t A 1 [a 1,..., a k ]), h(t A 2 [a 1,..., a k ]),..., h(t A m[a 1,..., a k ])), jer je h homo, = f B (t B 1 [ha 1,..., ha k ], t B 2 [ha 1,..., ha k ],..., t B m[ha 1,..., ha k ]), na osnovu (IH), = u B [h(a 1 ),..., h(a k )] Stav 5.3 Neka je h : A B epimomorfizam algebri jezika L, i u = v algebarski zakon jezika L. Tada, ako A u = v onda B u = v. 8
9 . Neka je u = u(x 1, x 2,..., x k ) i v = v(x 1, x 2,..., x k ). Kako A u = v, imamo da je ( a 1, a 2,..., a k A) u A [a 1, a 2,..., a k ] = v A [a 1, a 2,..., a k ]. Ako su b 1, b 2,..., b k B = h[a], onda postoje a 1, a 2,..., a k A tako da je b 1 = h(a 1 ), b 2 = h(a 2 ),..., b k = h(a k ). Tada imamo u B [b 1, b 2,..., b k ] = u B [h(a 1 ), h(a 2 ),..., h(a k )] = h(u A [a 1, a 2,..., a k ]) = h(v A [a 1, a 2,..., a k ]) = v B [h(a 1 ), h(a 2 ),..., h(a k )] = v B [b 1, b 2,..., b k ]. Posledica. Neka je M algebarski varijetet i h : A B epimorfizam. Ako je A M, onda B M.. Postoji algebraska teorija T, jezika L, tako da je M = M(T). Kako A M, to je A T. Onda je B T, to jest B M. 6 Podalgebre Defnicija 6.1 Neka su A i B algebre jezika L. Algebra B je podalgebra algebre A, pišemo B < A, akko: 1 B A, 2 ( m 0) ( f L m )( b 1,..., b m B) f B (b 1,..., b m ) = f A (b 1,..., b m ). Defnicija 6.2 Neka je A algebra jezika L. B A je podalgebra algebre A akko: 1 B, 2 Ako je m 0, f L m, onda ( b 1,..., b m B) f A (b 1,..., b m ) B. Tada (do)definišemo algebru B čiji je domen skup B, tako da je ( m 0) ( f L m )( b 1,..., b m B) f B (b 1,..., b m ) := f A (b 1,..., b m ). Napomena. Prethodne dve definicije su ekvivalentne. 9
10 Stav 6.1 Ako je h : A B homomorfizam algebri jezika L, onda je h[a] podalgebra algebre B, u smislu Definicije 6.2, pa je h[a] algebra.. 1 A h[a], 2 Ako je m 0, f L m, b 1,..., b m h[a] onda postoje a 1,..., a m A tako da je f B (b 1,..., b m ) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )) = h(f A (a 1,..., a m )) h[a]. Posledica. Neka je M algebarski varijetet i neka je h : A B homomorfizam. Ako A M, onda h[a] M.. Jer je h[a] algebra (Stav 6.1), i h indukuje epimorfizam h : A h[a]. Lema 6.1 A i B su algebre jezika L. B je podalgebra algebre A akko: 1 B A, 2 µ : B A : b b je monomorfizam (prirodno utapanje).. : µ(f B (b 1,..., b m )) = f B (b 1,..., b m ) = f A (b 1,..., b m ) = f A (µb 1,..., µb m ). : f B (b 1,..., b m ) = µ(f B (b 1,..., b m )) = f A (µb 1,..., µb m ) = f A (b 1,..., b m ). Stav 6.2 Neka je B podalgebra algebre A, jezika L, i u = v ma koji algebarski zakon jezika L. Ako A u = v onda B u = v.. Neka je u = u(x 1, x 2,..., x k ) i v = v(x 1, x 2,..., x k ). Kako A u = v, imamo da je ( a 1, a 2,..., a k A) u A [a 1, a 2,..., a k ] = v A [a 1, a 2,..., a k ]. Neka su b 1, b 2,..., b k B A proizvoljni. Tada je u B [b 1, b 2,..., b k ] = µ(u B [b 1, b 2,..., b k ]) = u A [µb 1, µb 2,..., µb k ] = v A [µb 1, µb 2,..., µb k ] = µ(v B [b 1, b 2,..., b k ]) = v B [b 1, b 2,..., b k ]. Posledica. Neka je M algebarski varijetet i B podalgebra algebre A. Ako A M, onda B M. 10
11 7 Direktni proizvod Defnicija 7.1 Neka su A i A 1,..., A n algebre jezika L. Algebra A je direktni proizvod familije (A 1,..., A n ), u oznaci 1 A = n A i, akko: 1 A := n A i := {(a 1,..., a n ) a 1 A 1,..., a n A n } { i=1 a : {1,..., n} n A i ( i {1,..., n}) a(i) A i }. i=1 2 Ako je m 0, f L m, a 1,..., a m A, i {1,..., n}, onda je (f A (a 1,..., a m ))(i) := f A i (a 1 (i),..., a m (i)) A i. Specijalno, ako je c L 0, onda je c A = (c A1,..., c An ) A. Ako L 1, L 2, i ako su a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) A, onda â A = (â 1 A 1,..., â n A n ), a A b = (a 1 A 1 b 1,..., a n A n b n ). Defnicija 7.2 Neka su A i A i, i I, algebre jezika L. Algebra A je direktni proizvod familije algebri (A i ) i I,, u oznaci A = i I A i, akko: 1 A := { A i := a : I } A i ( i I) a(i) A 2 i. i I i I 2 Ako je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni, onda je ( i I) (f A (a 1,..., a m ))(i) := f A i (a 1 (i),..., a m (i)) A i. Specijalno, ako je c L 0, onda je c A (i) = c A i A i, c A = (c A i ) i I A. Ako L 1, L 2, i ako su a, b A, onda (uz a i := a(i), b i := b(i)) â A = (â(i)ai ) i I = (â i A i ) i I A, a A b = (a(i) A i b(i)) i I = (a i A i b i ) i I A. Napomena. Stepeni algebre A su A n := n A, A I := A. i=1 i I 1 Ili A = A 1 A n, A = A 1 A n. 2 (AI) Aksioma izbora: Ako je (A i) i I familija nepraznih skupova, onda je A i i=1 i I 11
12 Defnicija 7.3 Neka je (A i ) i I familija nepraznih skupova i A = i I A i. Tada se funkcija π i : A A i : a a(i) naziva i ta projekcija. Stav 7.1 Neka je (A i ) i I familija algebri jezika L i A = i I A i. Za svako j I, π j : A A j je epimorfizam π j : i I A i A j.. Prvo proveravamo da je π j homomorfizam, a onda da je,,epi. Ako je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni, onda je π j (f A (a 1,..., a m )) = (f A (a 1,..., a m ))(j) = f A j (a 1 (j),..., a m (j)) = f A j (π j (a 1 ),..., π j (a m )). Neka je α A j fiksiran, i neka je a A ma koji element(a ). Od a A i α, i = j; α A j pravimo b A tako da je b(i) := Tada je π j (b) = α. a(i), i j. Stav 7.2 Neka je (A i ) i I familija algebri jezika L, A = i I A i, i u = v algebarski zakon jezika L. Tada, A u = v akko ( i I) A i u = v.. : A u = v ( i I) A i = π i [A] u = v, prema Stavu 5.3. : ( a, b A) (a = b ( i I) πi (a) = π i (b)). ( ) Neka je u = u(x 1,..., x k ), v = v(x 1,..., x k ), i neka a 1,..., a k A. Kako ( i I) A i u = v, to je ( i I) ( a 1,..., a k A) u A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )] = v A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )]. Sada je ( a 1,..., a k A) ( i I) π i (u A [a 1,..., a k ]) ( ) = u A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )]) = v A i [π i (a 1 ),..., π i (a k )]) (zbog ( )) = π i (v A [a 1,..., a k ]). Odavde sledi, koristeći ( ), ( a 1,..., a k A) u A [a 1,..., a k ] = v A [a 1,..., a k ]), to jest A u = v. 12
13 Posledica Neka je (A i ) i I familija algebri jezika L, A = i I A i, i M algebarski varijetet jezika L. Tada, A M akko ( i I) A i M.. Postoji algebraska teorija T, jezika L, tako da je M = M(T). Onda: A M akko A T akko ( i I) A i T akko ( i I) A i M. Primer. Klasa svih polja nije algebarski varijetet (jednakosna klasa), jer je direktni proizvod dva polja ima prave delitelje nule.. (0 F, 1 K ) (1 F, 0 K ) = (0 F, 0 K ) = 0 F K. 8 Kongruencije i količničke algebre Defnicija 8.1 Neka je A algebra jezika L i A 2 binarna relacija skupa A. Tada je kongruencija algebre A akko: 1 je relacija ekvivalencije (R, S, T), 2 Ako je m > 0, f L m, onda za svako a 1,..., a m, b 1,..., b m A: a 1 b 1 a m b m f A (a 1,..., a m ) f A (b 1,..., b m ). Lema 8.1 Neka je A algebra jezika L, A 2 kongruencija algebre A. Ako je m > 0, f L m, onda za svako a 1,..., a m, b 1,..., b m A važi a 1/ = b 1/ a m/ = b m/ (f A (a 1,..., a m )) / = (f A (b 1,..., b m )) /.. a 1/ = b 1/ a m/ = b m/ a 1 b 1 a m b m f A (a 1,..., a m ) f A (b 1,..., b m ) (f A (a 1,..., a m )) / = (f A (b 1,..., b m )) /. 13
14 Defnicija 8.2 Neka je A algebra jezika L i kongruencija algebre A. Definišemo količničku (faktor) algebru A / := (A /, f A / )f L : 1 A / := { a / a A }, gde je a / := {b A a b}. 2 Ako je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni, onda je f A / (a1/,..., a m/ ) := (f A (a 1,..., a m )) /. Operacije su dobro definisane, na osnovu Leme 8.1. Specijalno, ako je c L 0, onda je c A / := (c A ) /. Ako L 1, L 2, i ako su a, b A, onda â / A / = (â A ) /, a / A / b/ = (a A b) /. Lema 8.2 Ako je A algebra jezika L, kongruencija algebre A, i π : A A / : a a /, onda je π epimorfizam, takozvana kanonska (prirodna) projekcija π : A A / algebre A, na faktor algebru A /.. Sledi iz prethodne definicije, kad je,,čitamo zdesna : π(f A (a 1,..., a m )) = (f A (a 1,..., a m )) / = f A / (a1/,..., a m/ ) = f A / (π(a1 ),..., π(a m )). Defnicija 8.3 Neka je h : A B homomorfizam algebri jezika L. Definišemo jezgro homomorfizma h, binarnu realciju, h A 2 : ( a 1, a 2 A) (a 1 h a 2 h(a 1 ) = h(a 2 )), ili skupovno Ker(h) := {(a 1, a 2 ) A 2 h(a 1 ) = h(a 2 )}. Lema 8.3 Jezgro homomorfizma h : A B je kongruencija algebre A.. Iz definicije sledi da je jezgro, kao jednakost slika, relacija ekvivalencije. Ako je m > 0, f L m, onda za svako a 1,..., a m, b 1,..., b m A: a 1 h b 1 a m h b m h(a 1 ) = h(b 1 ),..., h(a m ) = h(b m ) h(f A (a 1,..., a m )) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )) = f B (h(b 1 ),..., h(b m )) = h(f A (b 1,..., b m )) f A (a 1,..., a m ) h f A (b 1,..., b m ) 14
15 Teorema o razlaganju homomorfizma. Neka je h : A B homomorfizam, je h, to jest jezgro Ker(h). Neka je µ : h[a] B : b b prirodno utapanje (monomorfizam) i π : A A / : a a / prirodna projekcija (epimorfizam). Tada postoji tačno jedan izomorfizam ϕ : A / h[a], tako da je h = µ ϕ π.. Definišemo ϕ : A / h[a] : a / ϕ(a / ) := h(a). 0 ϕ je dobro definisano: a / = b / a b h(a) = h(b). 1 ϕ je,,1 1 : ϕ(a / ) = ϕ(b / ) h(a) = h(b) a b a / = b /. 2 ϕ je,,na : h[a] h(a) = ϕ(a / ). 3 ϕ je homomorfizam: Neka je m 0, f L m, i a 1,..., a m A proizvoljni. Onda je ϕ(f A / (a 1/,..., a m/ )) = ϕ((f A (a 1,..., a m )) / ) = h(f A (a 1,..., a m ))) = f B (h(a 1 ),..., h(a m )) = f h[a] (h(a 1 ),..., h(a m )) = f h[a] (ϕ(a 1/ ),..., ϕ(a m/ )). 4 h = µ ϕ π sledi iz definicije: ( a A) ϕ(a / ) = h(a) ( a A) ϕ(π(a)) = h(a) ( a A) µ(ϕ(π(a))) = h(a) µ ϕ π = h 5 ϕ je jedinstveno: µ ϕ π = h ( a A) µ(ϕ(π(a))) = h(a) ( a A) ϕ(π(a)) = h(a) ( a A) ϕ(a / ) = h(a). 15
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραBulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότερα1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
Διαβάστε περισσότεραBinarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραREPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA. master teza
REPREZENTACIJA ALGEBARSKIH MREŽA MREŽAMA SLABIH KONGRUENCIJA master teza Autor: Dušan Radičanin Mentor: dr Branimir Šešelja Novi Sad, 2013. 2 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 5 1.1 Razvoj problema povezanih
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPrimene teorije modela u poljima
Primene teorije modela u poljima Angelina Ilić Stepić mentor dr.žarko Mijajlović Matematički fakultet, Beograd 008 1 Predgovor Magistarski rad je iz oblasti teorije modela sa primenama na algebarska polja.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραPredikatska logika - III deo. Jelena Ignjatović
Predikatska logika - III deo Jelena Ignjatović Termi i formule Matematički izrazi i formule Matematičke izraze i formule gradimo od raznorodnih elemenata. Osnovni elementi matematičkih izraza i formula
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραOn predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1
Διαβάστε περισσότεραSintaksa i semantika u logici
Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραPredavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković
Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti Sadržaj predavanja 1 Prirodni
Διαβάστε περισσότεραKardinalni brojevi i Lebegova mera
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacyu/mii Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), 41-50 Kardinalni brojevi i Lebegova mera Dragan S Dor dević U ovom radu prikazujemo
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα[1] Formalni jezik iskazne logike
[1] Formalni jezik iskazne logike Svaka formalna teorija (formalni sistem) sastoji se iz tri komponente: formalnog jezika, aksioma i pravila izvođenja (zaključivanja) Formalni jezik [4] sastoji se iz osnovnih
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραKURS IZ MATEMATIKE I
UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima
Διαβάστε περισσότερα